多元微分與重積分

1、多兀微分與二重積分.二元微分學(xué)概念1. 極限，連續(xù)，單變量連續(xù)，偏導(dǎo)，全微分，偏導(dǎo)連續(xù)(必要條件與充分條件), f 二 f(X0x| y0y), . ：xf 二 f(X0 |x, yc),| ：yf 二 f (X0, % ； y) Ilim,.：ffx =lim xffrlimlx二 yfx 刃 fyLJLJfim-2|)2"(兇+(U)(判別可微性)(°,。)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的極限定義fx(0,0riimf(x，0) f(0,0)xt,fy(0,0riimf(0,y) f(0,0)2. 特例:f(x,y)(0,°)點(diǎn)處可導(dǎo)不連續(xù);f(x,y)xyx2 y20

2、-(0,0)(0,0)點(diǎn)處連續(xù)可導(dǎo)不可微；二.偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算1.顯函數(shù)一，二階偏導(dǎo)：Z二f(x, y)(3)含變限積分注:(1) Xy型;(2) Zx (x0,y0);2.復(fù)合函數(shù)的一,二階偏導(dǎo)(重點(diǎn)):Z = fu( x, yV, (x, y)3.熟練掌握記號(hào)fl，f2，fl1,隱函數(shù)(由方程或方程組確定22的準(zhǔn)確使用)：(i)形式：*Fx ,yz )=°；F(x, y,z) =0G(x,y,z)=0(存在定理)微分法（熟練掌握一階微分的形式不變性）：Fxdx Fydy F/z = °（要求：二階導(dǎo)）注：（X0，y°）與z的及時(shí)代入（4）會(huì)變換方程.三.二

3、元極值（定義?）;1. 二元極值（顯式或隱式）：（1）必要條件（駐點(diǎn)）;（2）充分條件（判別）2. 條件極值（拉格朗日乘數(shù)法）（注：應(yīng)用）目標(biāo)函數(shù)與約束條件：z = fX ,）y二（x,）y =°,（或：多條件）求解步驟：L（x,y '二f（x，）y （x，）y ,求駐點(diǎn)即可3. 有界閉域上最值（重點(diǎn)）. zf= （x,yM：D=（x, y）| （x, y）乞 0（2）實(shí)例：距離問題四二重積分計(jì)算：1概念與性質(zhì)（“積”前工作）：.d 二（1） D ,（2）對(duì)稱性（熟練掌握）：* D域軸對(duì)稱；*奇偶對(duì)稱；*字母輪換對(duì)稱；*重心坐標(biāo)；（3）“分塊”積分:*D =DA.D2;* f

4、 （x, y）分片定義;* f （x, y）奇偶2計(jì)算（化二次積分）：（1）直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)選擇（轉(zhuǎn)換）：以“ D ”為主；（2）交換積分次序（熟練掌握）.3.極坐標(biāo)使用（轉(zhuǎn)換）:f(x2 y2)附：D:(xa )2 (yb )2 mR2；雙紐線(x2 y2) =aX( 2-y2)2 2D:篤爲(wèi)叮a2 b2D :|x| +|y| <14. 特例：（1）單變量:f（x）或f（y）! （kx k2y）dxdy利用重心求積分：要求：題型D,且已知D的面積Sd與重心（X，y）5. 無界域上的反常二重積分（數(shù)三）f（M）do=, D; J L;丨行五：一類積分的應(yīng)用（門）:JJdg Sd1. “尺

5、寸”：D;（2）曲面面積（除柱體側(cè)面）;2. 質(zhì)量，重心（形心），轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；3. 為三重積分，格林公式，曲面投影作準(zhǔn)備.第六講：無窮級(jí)數(shù)（數(shù)一，三）.級(jí)數(shù)概念1定義:(1)an,Sn二印a2 4 C a*； (3) nm：SnCO (如 2 (n 1)!)注:河* J、丄 n（或 a ）;（3） “伸縮”級(jí)數(shù):（an1 一可）收斂=an收斂.lim a* =02性質(zhì)：（1）收斂的必要條件：n八加括號(hào)后發(fā)散，則原級(jí)數(shù)必發(fā)散（交錯(cuò)級(jí)數(shù)的討論）;r S= Sn S正項(xiàng)級(jí)數(shù):（1）定義：an 一°(2)特征:Sn1lnk n' n標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù):(1) n ,(2) n'審斂方法:

6、(注：2ab _a2 b2lnbIna,a 二b )正項(xiàng)級(jí)數(shù)1收斂：=SM （有界）1n Ink nk?n _P（1）比較法（原理）： n （估計(jì)）,如 0nf(x)dxP(n)Q(n)（2）比值與根值limUll*n i Unlim n Un* n )1（應(yīng)用：幕級(jí)數(shù)收斂半徑計(jì)算）交錯(cuò)級(jí)數(shù)（含一般項(xiàng)）:、(-1)n1an(an 0)lim加n注:若.an= Pa1寸“審”前考察：（1）an 0?an 0?;絕對(duì)（條件）收斂？、(-1)n11Z(-1)n1jp、(-1)n4標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù):（1）l ;5(2)l ;5in n來布尼茲審斂法（收斂?）(1)前提an發(fā)散；（2）條件:an LI,an &

7、#39; 0 ;5（3）結(jié)論:' （"G條件收斂補(bǔ)充方法：（1）加括號(hào)后發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散; En ' S, an> 0=時(shí)一* S二 SnT S.，則Un發(fā)散注意事項(xiàng)：對(duì)比' %; '1）an；、9n ； X 9n之間的斂散關(guān)系 幕級(jí)數(shù)：常見形式：瓦 9nXn瓦 K（XXo）1瓦 K（X Xof1.2.3.1.2.3.4.5.四.1.2.阿貝爾定理(1)結(jié)論:X=x 斂=RX -X。X = x 散匚X -X。(2)注:當(dāng)*n R = x xx = x條件收斂時(shí)3收斂半徑，區(qū)間，收斂域(求和前的準(zhǔn)備)n a n nnanX ,X 7 a Xnn

8、 與J anX同收斂半徑' 9nX與、an(xXo)之間的轉(zhuǎn)換4. 幕級(jí)數(shù)展開法：(1)前提：熟記公式(雙向，標(biāo)明斂域)ex =1 x 丄x2 丄 x30 H=R2!3!-(ex e) = V x2 丄x404 4 R22!4!-(ex-e»)二 x丄 x3 x5,4 ¥R23!5!1 1遡心-疋24/ U*Rsin x=xx3x5-* ,( * R3!5!11 -x=1 X x2 IIX (1 ,1)X214 (1,1)1 1In(1 x)二 xx2x3 - 0,X (-1,1In(1 -x)二-x -x2 -x3 - h X *-1,1) 2311arctanx

9、=xx3x5 - *,*-1,11ax2 bx c35考察導(dǎo)函數(shù)：Xg(x)U f'(x)= f(X jg(Xdx f(0)(4)考察原函數(shù)：Xg(x) J f(x)dx= f(x)二 g'(x)分解：f(x二g(xh(X (注:中心移動(dòng))(特別:5. 幕級(jí)數(shù)求和法(注:*先求收斂域，*變量替換):(1)Sx)八、，S'(x)斗| |,(注意首項(xiàng)變化) s(x)=(')',sx ) = "sx )"的微分方程應(yīng)用:、anXn =S(x)三 an =S(1)6. 方程的幕級(jí)數(shù)解法7. 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(數(shù)三):(1)復(fù)利：A(1 P)"；現(xiàn)值：A(1 P)1.2.傅里葉級(jí)數(shù)(數(shù)一)：(T 二2二)傅氏級(jí)數(shù)(三角級(jí)數(shù))：a。 S(x TCO二 an cosnx bn si n nxn=JDirichlet充分條件(收斂定理)：(1)由 f(x)= S(x)(和函數(shù))1Sx)匕f(x-) f(x ) 23.系數(shù)公式：1 二ao 二一_.f (x)dx,n lan1f (x) cosnxdx兀5'丿，n1 二f (x)si nnxdx兀S1,2,3,