橢圓的簡單幾何性質(zhì)

1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)學(xué)科 : 數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容 : 橢圓的簡單幾何性質(zhì)【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1. 橢圓+=1(a>b>0),范圍：橢圓位于直線_=±a和y=±b所圍成的矩形里,即(_ I <a, I y I <b.2. 對(duì)稱性 : 橢圓關(guān)于 _軸 ,y 軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的 . 坐標(biāo)軸為橢圓的對(duì)稱軸 , 原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心, 即為橢圓的中心.3. 頂點(diǎn) : 橢園與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)為A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b)4 .離心率:e=,(o <e<1),e越接近于1,則橢圓越扁;e越接近于0,橢圓就越接近于 圓.

2、5 . 橢圓的第二定義: 平面內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為常數(shù)e(0<e< 1)的點(diǎn)的軌跡.定點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn),定直線為橢圓的準(zhǔn)線.6 .橢圓的焦半徑公式：設(shè)P(_0,y0)是橢圓+=1(a>b>0)上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1.F2分別 是橢圓的左.右焦點(diǎn),貝U | PF1 | =a+e_0, | PF2| =a-e_0.7 . 橢圓的參數(shù)方程本節(jié)學(xué)習(xí)要求:橢圓的幾何性質(zhì)內(nèi)容多 . 它與直線的位置關(guān)系的確定離不開一元二次方程中的判別式及韋達(dá)定理. 如橢圓中的弦長問題 : 若直線 y=k_+b 和二次曲線A_2+Cy2+D_+Ey+F=0交，所得弦長可由下法求之，由

3、兩方程中消去y,得a_2+b_+c=0,記ubZYac,則弦長=;若弦過焦點(diǎn)，則用焦半徑公式更為簡潔.這要求大家針對(duì)具體的題目 , 靈活采用方法計(jì)算弦長或與焦半徑有關(guān)的問題 .【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】通過圓的方程的學(xué)習(xí)我們知道 , 圓的幾何性質(zhì)問題用代數(shù)的方法解題簡便, 計(jì)算量小的特點(diǎn) , 同樣 , 橢圓也有類似的幾何性質(zhì), 那么在學(xué)習(xí)本節(jié)之前要復(fù)習(xí)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程, 在此基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì), 掌握橢圓的性質(zhì), 標(biāo)準(zhǔn)方程 , 及橢圓的第二定義.例1設(shè)直線l過點(diǎn)P(-1,0),傾角為，求l被橢圓_2+2y2=4所截得的弦長.解：直線l的方程為y=_+,代入橢圓方程，得7_2+12_+2=0,

4、 v A=144-4_7_2=88二弦長=例 2 求橢圓 +=1 上的點(diǎn)到直線 3_+4y-64=0 的最長距離與最短距離.解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)為(5cos 9 ,9sin 9 ),則d=dma_=例3 已知橢圓+=1內(nèi)有一點(diǎn)P(1,-1),F 是右焦點(diǎn)，乂是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求MP+2MF 的最小值,并求此時(shí)M的坐標(biāo).解:過M作右準(zhǔn)線_=4的垂線，垂足為M1,由橢圓第二定義，有二；2| MF| = | MM1 .I MP| +2 | MF| = | MP| + | MM1過P作右準(zhǔn)線的垂線交橢圓于N,垂足為N1,垂線方程為y=-1.顯然| MP| + | MM1 > | NP| + | NN1

5、| (當(dāng)M與N重合時(shí)等號(hào)成立)而| NP| + |NN1| = | PN1| =3由方程組得N(,-1).| MP| +2 | MF|的最小值是3,此時(shí)M的坐標(biāo)是(,-1)【難題巧解點(diǎn)撥】 例1 P是橢圓方程為+=1上的任意一點(diǎn),F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，試求1PF1 | | PF2|的取值范圍.解：設(shè) | PF1 | =t,貝U t C a-c.a+c ，即 t C 4-,4+ 且 | PF2| =2a-t=8-t.| PF1 | | PF2| =t(8-t)=-(t-4)2+16 t 4-,4+ 當(dāng)t=4時(shí)，取最大值為16當(dāng)t=4 ±時(shí)，取最小值為9.所求范圍為9,16例2F1

6、.F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2作一條直線交橢圓于P.Q兩點(diǎn)，使PFUPQ, 且| PF1 | = | PQ| ,求橢圓的離心率e.解：如下圖，設(shè)I PF1 | =t,則| PQ| =t, | F1Q| =t,由橢圓定義有：| PF1 | + | PF2| = | QF1| + | QF2| =2a| PF1 | + | PQ| + | F1Q| =4a BP(+2)t=4a,t=(4-2)a| PF2| =2a-t=(2-2)a在 RQPF1F2中，| F1F1 | 2=(2c)2(4-2)a 2+ (2-2)a 2=(2c)2=9-6e=-例3 已知P是橢圓+=1(a>b>0)上

7、的一點(diǎn)，F(xiàn)1F2為兩焦點(diǎn)，且F1P，F(xiàn)2P,若P到 兩準(zhǔn)線的距離分別為6和12,求此橢圓方程.解：(利用橢圓第二定義求解) 點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離分別是6和12 2 =6+12 即 a2=9c由橢圓第二定義知,e=. d1=6,d2=12| PF1| =6e, | PF2| =12e又 ; PF仕 PF2 a | PF1 | 2+ | PF2| 2= | F1F2| 2 36e2+144e2=4c2 .e= .a2=45又 a2=9cc=5b2=a2-c2=20所求橢圓的方程的+=1例4在橢圓3_2+4y2=12上，是否存在相異的兩點(diǎn)A.B關(guān)于直線y=4_+m對(duì)稱并說 明理由.解：設(shè) A(_1,y

8、1),B(_2,y2),AB的中點(diǎn) M(_0,y0)直線AB:y=-_+t,將AB的方程代入橢圓的方程消去 y得,13_2-8t_+16t2-48=0 .=( -8t)2-4_13_(16t2-48)>0. .-<t<且 _1+_2=t又AB的中點(diǎn)M在直線y=4_+m上, .t=4_t+m t= -m代入式得：-< m<解法二：設(shè)A(_1,y1),B(_2,y2)是橢圓上關(guān)于直線l:y=4_+m對(duì)稱的兩點(diǎn)，則+=1 +=1 -得+=0而 KAB=-故有 =-設(shè)AB的中點(diǎn)為(_,y),則有+_2=2_,y1+y2=2y代入即得AB中點(diǎn)的軌跡方程為y=3_.由由于 A

9、B 的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部+< 1m2<-< m<故當(dāng)me (-,)時(shí)，橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.例 5 橢圓 =1 上不同三點(diǎn) A(_1,y1),B(4,),C(_2,y2) 與焦點(diǎn) F(4,0) 的距離成等差數(shù)列 .(1) 求證 :_1+_2=8若線段AC的垂直平分線與一軸的交點(diǎn)為T,求直線BT的斜率k.解: 由題知a=5,b=3,c=4.(1) 由橢圓的第二定義知 :二| AF | =a- _1=5-_1同理有| CF | =5-_2 v | AF| + | CF| =2 | BF|且 | BF| =(5-_1)+(5-_2)=即+_2=8線段AC的中點(diǎn)為(4,

10、)它的垂直平分線方程為y- =(_-4)又點(diǎn)丁在_軸上，設(shè)其坐標(biāo)為(_0,0),代入上式得，_0-4=點(diǎn)A(_1,y1),B(_2,y2)都在橢圓上,y21=(25-_21),y22= (25-_22) .y21-y22=-(_1+_2)(_1-_2)將此式代入并利用_1+_2=8得0-4=-kBT=【命題趨勢(shì)分析】1 .熟練掌握橢圓的第二定義, 兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),運(yùn)用它們及參數(shù)間的關(guān)系解決相關(guān)問題 .2 .必要時(shí)，橢圓方程可設(shè)為m_2+ny2=1(n>0,n >0),這樣計(jì)算簡潔,還可避免對(duì)焦 點(diǎn)位置的討論.3 . 遇到弦的中點(diǎn)問題時(shí), 常用點(diǎn)差法 .例1橢圓=1的焦

11、點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么| PF1 | 是 | PF2| 的()A.7 倍B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍解: 設(shè) F1(-3,0),e=,P(_0,y0)二.線段PF1的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0, ；=0即_0=3 .I PF1 | =a+e_0=2+_3= .I PF2| =2a- | PF1 | =4 -=I PF1 | =7 | PF2| 故選 A例 2 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn) , 長軸在_軸上 , 離心率 e=, 已知點(diǎn) P(0,) 到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為 , 求這個(gè)橢圓方程, 并求橢圓上到 P 的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè)所求橢圓方程為+=1

12、(a>b>0)由 e2= =1- 和 e= 得 a=2b設(shè)橢圓上的點(diǎn)(_,y)到P點(diǎn)的距離為d,則d2=_2+(y-)2=a2(1-)+y2-3y+=-3(y+)2+4b2+3(- b< y< b)若b<時(shí)，則當(dāng)y=-b時(shí),d2(從而d)有最大值,由題設(shè)得()2=(b+)2,由此得b=- > 與b<矛盾.若b>時(shí)，當(dāng)y=-時(shí),d2有最大值,從而d有最大值,有()2=4b2+3,.b=1,a=2 所求橢圓方程為+y2=1，橢圓上的點(diǎn)(-,-),點(diǎn)(,-)到P點(diǎn)的距離都是.說明 : 本題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與函數(shù)思想, 本題關(guān)鍵是討論距離函數(shù)d2=-3(

13、y+ )2+4b2+3 在區(qū)間 -b,b 上的最值, 二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題要就對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系來討論.例3已知橢圓的中心在原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=_+1與該橢圓相交于P和Q,且OPL OQ,| PQ| =.求橢圓方程.分析 設(shè)P(_1,y1),Q(_2,y2,) 由OPLOQS口_2+y1y2=0，再結(jié)合弦長公式與韋達(dá) 解：設(shè)橢圓的方程為+=1(a>0,b >0,a >b或a<b),點(diǎn)P.Q的坐標(biāo)別為 P(_1,y1),Q(_2,y2).由消去y得(a2+b2)_2+2a2_+a2-a2b2=0,當(dāng)=(2a2)2 -4(a2+b2)(a2-a2b2) &

14、gt;0 時(shí)由韋達(dá)定理得_1+_2=-,_1_2=.且 y1=_1+1,y2=_2+1,. OPLOQJ =-1,即 y1y2+_1_2=0,. .(_1+1)(_2+1)+_1_2=0, -2_1_2+(_1+_2)+1=0,又| PQ| =,由弦長公式有：I _2-_1 I =, .2 (_1+_2)2-4_1_2 =,4(_1+_2)2 -16_1_2-5=0解由 . 組成的方程組得或.，或解得或故所求橢圓方程為 +=1 或 +=1【同步達(dá)綱練習(xí)】A級(jí)一 . 選擇題1 .橢圓+=1與+=k(a>b>0,k >0) 一定具有相同的()A. 長軸B. 焦點(diǎn)C.離心率D. 頂

15、點(diǎn)2. 離心率為 , 且過點(diǎn) (2,0) 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()B.D.A. +y2=1+y2=1 或_2+=1C. _2+=1+y2=1 或+=13. 若方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-16,25)B.(,25)C.(-16,)D.(,+ °0)4. 若圓 (_-a)2+y2=9 與橢圓 +=1 有公共點(diǎn) , 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()A.(- ° ,+ °)B. -6,6 C. -, D.5. 若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三等分兩條準(zhǔn)線間的距離, 則橢圓的離心率為 ()A.3B.C.D.二 . 填空題6 .橢圓+=1的離心率e=,則實(shí)數(shù)

16、m的值為 .7 . 若方程 +=-1 表示橢圓 , 則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是8 . 若橢圓的長軸長. 短軸長 , 焦距依次成等差數(shù)列 , 則其離心率e=三 . 解答題9 .已知橢圓+=1上的點(diǎn)P到其右焦點(diǎn)的距離是長軸兩端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的等差 中項(xiàng)，求P點(diǎn)坐標(biāo).10 .已知P是橢圓+=1上的點(diǎn),且/ F1PF2=90，求AFIPF2的面積.AA級(jí)一 . 選擇題1 .不論k為何值,直線y=k_+1與焦點(diǎn)在一軸上的橢圓+二1有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的范 ()A.(0,1)B.(0,7)C. 1,7 D.(1,7 2 . 橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和中心將兩準(zhǔn)線間的距離四等分, 則一焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線A.B.C.D

17、.冗3 .已知F1.F2是橢圓+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)AB是過F1的弦，則AAB的周長 是()A.2aB.4aC.8aD.2a+2b4 . 已知 (0,-4) 是橢圓 3k_2+ky2=1 的一個(gè)焦點(diǎn) , 則實(shí)數(shù) k 的值是 ()A.6B.C.24D.5 .以橢圓的右焦點(diǎn)F2為圓心作圓，使這圓過橢圓的中心，且交橢圓于M點(diǎn)，若直線 MF1是圓F2的切線,則橢圓的離心率是()A. -1B.2-C.D. 填空題6 . 以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓交橢圓于四個(gè)點(diǎn) , 若順次連接四個(gè)點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形, 則橢圓的離心率e=7 .已知F1F2是橢圓兩焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn),

18、APF1F2滿足/PF1F2:/ PF2F1:/ F1PF2=1： 2： 3,則此橢圓的離心率 e=8 . 已知 A(1,1)B(2,3),橢圓C:_2+4y2=4a2,如果橢圓C和線段AB有公共點(diǎn)，則正數(shù)a的取值范圍是三 . 解答題9 .已知A.B是橢圓+=1上的兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，若| AF2| + | BF2| 二a,AB中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線距離為 , 求橢圓方程.10 .設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,若橢圓上存在一點(diǎn)P,使/OPA=求橢圓離心率的取值范圍 .【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】. 選擇題1 .已知M為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1F2是兩焦點(diǎn)，且/MF1F2=2,/MF2F1=(

19、aW0),則橢 圓的離心率是()A.1-2sina B.1-sin2 aC.1-cos2 a D.2cos a-12 . 橢圓 2_2+y2=1 上的點(diǎn)到直線 y=_-4 的距離的最小值是()A.B.C.D.3 .已知F是橢圓+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，PQ是過其中心的一條弦，則4FQP面積 的最大值是()A.abB.abC.acD.bc4 .已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率等于,若將此橢圓繞右焦點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 后 , 新位置的橢圓有一條準(zhǔn)線方程是y=, 則原橢圓方程是()A.+=1B.+=1D.C.+=1+=15 .橢圓+=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，則M的 縱坐標(biāo)是 ()A. ±B. ±C. ±D. ±二 . 填空題6. 已知圓柱底面的直徑為 2k, 一個(gè)與底面