2011年高考數(shù)學(xué)(廣東卷,理科)word版(全解全析)18365

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）本試題共4頁，21小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1、 答卷前，考生務(wù)必用黑色自己的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、和考生號、試室號、座位號，填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2、 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3、 非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的

2、答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求做大的答案無效。4、 作答選做題時(shí)，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點(diǎn)，再做答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無效。5、 考生必須保持答題卡得整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：柱體的體積公式，其中為柱體的底面積，為柱體的高.線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式,.其中表示樣本均值.是正整數(shù)，則）.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則=A B C D【解析】B;依題意得，故選B.2已知集合為實(shí)數(shù),且,為實(shí)數(shù),且,則的元素個(gè)數(shù)為A0 B1 C2

3、D3【解析】C;題意等價(jià)于求直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù),畫大致圖像可得答案為C.3. 若向量，滿足且，則A4 B3 C2 D0【解析】D;因?yàn)榍?所以，從而，故選D.4. 設(shè)函數(shù)和分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是A是偶函數(shù)B是奇函數(shù)C是偶函數(shù)D是奇函數(shù)【解析】A;依題意,故,從而 是偶函數(shù)，故選A.5. 在平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定，若為上的動點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為xyO2AA BC4 D3【解析】C;目標(biāo)函數(shù)即,畫出可行域如圖所示，代入端點(diǎn)比較之，易得當(dāng)時(shí)取得最大值,故選C6. 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一次就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍，若

4、兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為A BC D【解析】D;設(shè)甲隊(duì)獲得冠軍為事件,則包含兩種情況:(1)第一局勝;(2)第一局負(fù)但第二局勝;故所求概率,從而選D7. 如圖13，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為A B C D【解析】B;該幾何體是以正視圖所在的平行四邊形為底面，高為 的四棱柱，又平行四邊形的底邊長為,高為,所以面積 ,從而所求幾何體的體積,故選B8.設(shè)是整數(shù)集的非空子集，如果有，則稱關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的. 若,是的兩個(gè)不相交的非空子集，且有有，則下列結(jié)論恒成立的是A中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 B. 中至多有一個(gè)

5、關(guān)于乘法是封閉的C. 中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 D. 中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的【解析】A;因?yàn)?故必有或,不妨設(shè),則令,依題意對,有,從而關(guān)于乘法是封閉的;(其實(shí)到此已經(jīng)可以選A了,但為了嚴(yán)謹(jǐn),我們往下證明可以有一個(gè)不封閉以及可以兩個(gè)都封閉),取,則為所有負(fù)整數(shù)組成的集合,顯然封閉,但顯然是不封閉的,如;同理,若奇數(shù)，偶數(shù)，顯然兩者都封閉，從而選A二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分。 (一）必做題（9-13題）9. 不等式的解集是 .【解析】;解法一:原不等式或或,解得,從而原不等式的解集為.解法二(首選):的幾何意義為到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的差,畫出數(shù)

6、軸易得.解法三:不等式即,平方得,解得.10. 的展開式中，的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）【解析】;題意等價(jià)于求的展開式中的系數(shù),令得,故所求系數(shù)為.11. 等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和. 若，則_.【解析】;由得,故.12. 函數(shù)在_處取得極小值.【解析】;,當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，取得極小值.13. 某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm .因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為_cm.【解析】;提煉數(shù)據(jù)為,易得,于是，從而，,.所以線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，. 正確做法：抓住“兒子的身高與父親的身高有關(guān)”提

7、煉數(shù)據(jù)易得平均值,于是，從而，,，所以線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，.(這題做完后沒把握!疑問是的值取的理由!)（2） 選做題（14 - 15題，考生只能從中選做一題）14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知兩曲線參數(shù)方程分別為 和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_.【解析】;對應(yīng)普通方程為,聯(lián)立方程消去得,解得或(舍去),于是,故所求交點(diǎn)坐標(biāo)為.15.(幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點(diǎn)分別作圓的切線和割線交圓于,，且=7，是圓上一點(diǎn)使得=5，=, 則= .【解析】;結(jié)合弦切角定理易得,于是, 代入數(shù)據(jù)解得.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟。16. (本小題滿分12分

8、)已知函數(shù)（）求的值； （）設(shè)求的值.【解析】（）； （）因?yàn)椋?，因?yàn)樗裕炙?，所?17. (本小題滿分13分)為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5 件，測量產(chǎn)品中的微量元素的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號12345x169178166175180y7580777081（）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x , y滿足x175，且y75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等

9、品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）.【解析】（）乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為件. （）樣本中滿足x175，且y75的產(chǎn)品有件,故樣本頻率為,則可估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品數(shù)量為件.（）的可能取值為,且,故的分布列為的數(shù)學(xué)期望.18.(本小題滿分13分) 如圖5,在椎體中,是邊長為1的菱形，且,分別是的中點(diǎn). （）證明：平面; （）求二面角的余弦值.【解析】（）連接，xyzM 因?yàn)槭沁呴L為的菱形，且， 是的中點(diǎn)，所以均為正三角形， 且， 所以 所以，從而， 取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所? 又，所以平面，所以 在中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，所以 又，所以平面. （）解法一:由（）知為二面角的平面角,易得,在中,由

10、余弦定理得所以二面角的余弦值為.解法二:先證明平面，即證明即可，在中，；在中，所以在中，在中，故為直角三角形，從而.建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，從而，解得，令得顯然平面的一個(gè)法向量為，從而，所以二面角的余弦值為.19.(本小題滿分14分)設(shè)圓與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切.（）求圓的圓心軌跡的方程;（） 已知點(diǎn),且為上動點(diǎn),求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（）設(shè)圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為,半徑為2； 圓的圓心為,半徑為2；依題意,有或 所以 所以圓的圓心軌跡是以原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在軸上,焦距為,實(shí)軸長為的雙曲線, 因此,故軌跡的方程為. （）易得過點(diǎn)的直

11、線的方程為, 聯(lián)立方程消去得,解得, 則直線與雙曲線的交點(diǎn)為, 因?yàn)樵诰€段外,所以, 因?yàn)樵诰€段內(nèi),所以, 若點(diǎn)不住上,則, 綜上, 的最大值為,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.20.(本小題滿分14分)設(shè),數(shù)列滿足,.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：對于一切正整數(shù),【解析】（）由得, 當(dāng)時(shí), , 所以是以首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列, 所以,從而. 當(dāng)時(shí), ,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,從而. 綜上所述,數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （）當(dāng)時(shí),不等式顯然成立; 當(dāng)時(shí),要證,只需證,即證(*) 因?yàn)樗圆坏仁剑?）成立，從而原不等式成立；綜上所述，當(dāng)時(shí)，對于一切正整數(shù), (解后反思)事實(shí)上如果利用多元基本不等式更簡單,.21.（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系上,給定拋物線:,實(shí)數(shù)滿足,是方程的兩根，記. （）過點(diǎn)作的切線交軸于點(diǎn).證明:對線段上任一點(diǎn)有 （）設(shè)是定點(diǎn)，其中滿足,.過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與軸分別交與.線段上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為.證明:;（）設(shè).當(dāng)點(diǎn)取遍時(shí)，求的最小值(記為)和最大值(記為).【解析】（）因?yàn)?所以,過點(diǎn)的切線方程為 即,從而,又在直線上,故,其中 所以方程為,解得, 由于,且