柯西不等式的應(yīng)用技巧

1、柯西不等式的應(yīng)用技巧及練習(xí)柯西不等式的一般形式是：設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立其結(jié)構(gòu)對稱，形式優(yōu)美，應(yīng)用極為廣泛，特別在證明不等式和求函數(shù)的最值中作用極大應(yīng)用時往往需要適當(dāng)?shù)淖冃危禾?、拆、分解、組合、配湊、變量代換等，方法靈活，技巧性強(qiáng)一、巧配數(shù)組觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)是：不等式左邊是兩個因式的積，其中每一個因式都是項(xiàng)的平方和，右邊是左邊中對立的兩項(xiàng)乘積之和的平方，因此，構(gòu)造兩組數(shù)：，便是應(yīng)用柯西不等式的一個主要技巧例1 已知求的最小值例設(shè)，求證：二、巧拆常數(shù)運(yùn)用柯西不等式的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的兩組數(shù)，當(dāng)這兩組數(shù)不太容易找到時，常常需要變形，拆項(xiàng)就是一個變形技巧例 設(shè)、為正數(shù)且各不相等，求證

2、： .三、巧添項(xiàng)根據(jù)柯西不等式的特點(diǎn)，適當(dāng)添補(bǔ)（或加或乘）上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的項(xiàng)等，也是運(yùn)用柯西不等式的解題技巧 例4 求證：.四、巧變結(jié)構(gòu)有些問題本身不具備運(yùn)用柯西不等式的條件，但是只要我們改變一下式子的形式結(jié)構(gòu)，認(rèn)清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征，就可達(dá)到運(yùn)用柯西不等式的目的例、為非負(fù)數(shù)，+=1，求證：例設(shè)求證：例5.若abc，求證：.練習(xí)題1. (2009年浙江省高考自選模塊數(shù)學(xué)試題)已知實(shí)數(shù)滿足 設(shè)(1) 求的最小值；(2) 當(dāng)時，求的取值范圍2 (2010年浙江省第二次五校聯(lián)考)已知，。ks5u(1) 求的最小值；(2) 求證：3 (2010年杭二中高三年級第三次月考)已知正數(shù)滿足：，求的最大值4

3、 (浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高考模擬試題) 已知是正數(shù)，且求的最小值； 5 (金華十校2009年高考模擬考試)若 ，求證： 6 (2010年寧波市高三模擬測試卷)已知為正實(shí)數(shù)，且證明：，并求等號成立時的值7 (浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高考模擬試題)若且，求證：。8(2010年金華十校高考模擬考試) 設(shè)正數(shù)x，y，z滿足 求值9 (2008年陜西高考理科數(shù)學(xué)壓軸題)已知數(shù)列的首項(xiàng)，(1) 求的通項(xiàng)公式；(2) 證明：對任意的10 已知實(shí)數(shù)滿足,試求的最值.11 求函數(shù)的最大值.12 求函數(shù)的極值，其中是常數(shù).13 已知為常數(shù)，當(dāng)時，求函數(shù)的最大值與最小值.14 已知對于滿足等式的任意數(shù)，對恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.15 設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，是到三邊的距離，是外接圓的半徑,證明：.16