6.2概率論與數理統計ppt課件

1、 確定統計量的分布確定統計量的分布 是數理統計的基本是數理統計的基本 問題之一問題之一 正態(tài)總體是最常見的總體正態(tài)總體是最常見的總體, 本節(jié)介紹本節(jié)介紹的幾個抽樣分布均對正態(tài)總體而言的幾個抽樣分布均對正態(tài)總體而言.6.2 統計 量及其分布2,N1.1.定義：設定義：設X1X1， ，XnXn是取自于總體是取自于總體X X的樣本的樣本稱樣本稱樣本X1X1， ，Xn Xn 的函數的函數g(X1g(X1， ，Xn )Xn )且不含未知參數且不含未知參數, ,則稱則稱g(X1g(X1， ，Xn )Xn )是總體是總體X X的一個統計量的一個統計量. . 例：設例：設X1X1， ，XnXn是取自于總體是取

2、自于總體X X 的樣本的樣本, ,其中其中 未知未知2,一、統計量一、統計量31131,1iiniiXXn這里這里都是統計量都是統計量,niiX12不是統計量不是統計量.而而6.2 統計量及分布統計量及分布,1.11 niiXnX樣樣本本均均值值,)()(11. 22122SSXXnSnii 標標準準差差樣樣本本均均方方差差樣樣本本方方差差3.樣本樣本k階矩階矩k階原點矩11nkkiimXnk階中點矩11()nkkiiMXXn2 2、幾個常用的統計量統計量、幾個常用的統計量統計量(1)()()E XE X2()(2)()D XD Xnn性質性質 如果總體如果總體X的期望為的期望為，方差為，方差

3、為2，那么，那么22(3)()()E SD X證明 (1)、(2)的證明留給讀者，下面證明性質(3)。 niiXXnEES122)(112211(2)1iniiEXXXXn22111121innniiiiEXXXXn221121niiEXX nXnXn2211()1niiEXnE Xn22222111()()1ninnn211()1niiEXXn1 1、樣本均值的分布、樣本均值的分布2(,)iiiXN ,那么niiiniiiniiiaaNXa12211,二二. .統計量的分布統計量的分布定理1:假設nXXX,21相互獨立,設設X1， ，Xn是取自于總體是取自于總體X 的樣本的樣本2,N特別地:

4、nNXnXnii21,10,1n XN例例1: 設設X1， ，Xn 是取自于總體是取自于總體)1 , 2(X的樣本的樣本,X是樣本均值是樣本均值, 試分別求出試分別求出XX和和在區(qū)間在區(qū)間 3 , 1上的概率上的概率,并且指出并且指出 23 X服從什么分布服從什么分布.二、二、樣本方差的分布樣本方差的分布(1)(1)卡方分布定義卡方分布定義 設設nXXX,21相互獨立,且都服從標準正態(tài)分布N (0,1),則稱221( )(1/2, /2)niiXnn注1 n = 1 時,其密度函數為0, 00,21)(221xxexxfx2468100.20.40.60.811.2注2 n = 2 時,其密度

5、函數為0, 00,21)(2xxexfx為參數為1/2的指數分布.2468100.10.20.30.4222121,02( )( )0,0 xnnne xxf xx其中其中10( )tte dt 稱為稱為函數，其具有性質函數，其具有性質(1)( ),(1)1,(1/2)(1)! ()nnnN 普通普通)(2n的密度函數為的密度函數為自由度為自由度為 n n 的的在在 0 0時收斂，時收斂，5101520250.10.20.30.4n=2n = 3n = 5n = 10n = 15 nnDnnE2)(,)(122)(,),(),(22122121222121nnXXXXnXnX則相互獨立，若分布

6、的性質分布的性質 )(22n 21,(,),iidnXXN 定理定理22(1) XS與相互獨立；);1()1()2(2222 nSn (3)樣本方差的分布樣本方差的分布闡明闡明:本定理是統計學的核心定理本定理是統計學的核心定理,其證明也是統計學其證明也是統計學 比較經典的證明比較經典的證明.三三. . 樣本均值與樣本方差適當比值的分布樣本均值與樣本方差適當比值的分布則稱則稱T 服從自由度為服從自由度為 n 的的T 分布分布,記為記為T t(n).其密度函數為其密度函數為/XTYn tntnnntfn2121221)( ),(, ) 1 , 0 (2nYNXX ,Y相互獨立相互獨立,設設1.t分

7、布的定義分布的定義t 分布的圖形分布的圖形(紅色的是標準正態(tài)分布紅色的是標準正態(tài)分布)n = 1n=20-3-2-11230.10.20.30.42.t 分布的性質分布的性質f n(t)是偶函數是偶函數,2221)()(,tnettfn定理定理33.樣本均值與樣本方差適當比值的分布樣本均值與樣本方差適當比值的分布() (1)n XTt nS設設X1， ，Xn是取自于總體是取自于總體X 的樣本的樣本2,N證明證明),(2nNX()(0,1)n XN) 1() 1(22122nXXSnnii22)1( Sn 與X()()/ (1)n XSn Xt nS相互獨立相互獨立并且并且所以所以,由由t-分布

8、的定義有分布的定義有:那么那么),(1),(1221211mNYmYnNXnXmjjnii )1 , 0()()(2221NmnYX ),(2221mnNYX 相互獨立的簡單隨機樣本相互獨立的簡單隨機樣本.設設nXXX,21與與mYYY,21分別是來分別是來21( ,)XN 自正態(tài)總體自正態(tài)總體22(,)YN 與與的的) 1() 1() 1() 1(22222221 mSmnSn 222221) 1() 1( SmSn ) 2(2 mn YX 與與222221) 1() 1( SmSn 相互獨立相互獨立2)1()1()()(2222212221 mnSmSnmnYX 2) 1() 1(11)(

9、)(222121 mnSmSnmnYX ) 2(mnt四四.兩個樣本的方差比值的分布兩個樣本的方差比值的分布則稱則稱 F 服從為第一自由度為服從為第一自由度為n ,第二自由度為第二自由度為 m 的的F 分分布布. 0, 001222),(2122tttmntmnmnmnmntfmnnn其密度函數為其密度函數為:22 ( ), ( ),Xn YmX, Y 相互獨立，相互獨立，設設mYnXF/令令1.F 分布定義及性質分布定義及性質1234560.20.40.60.8m = 4, n =10m = 10, n = 10m = 15, n = 10性質性質:假設假設 nmFnXmYFmnFmYnXF

10、,1, 則則2.兩個樣本的方差比值的分布兩個樣本的方差比值的分布定理定理4相互獨立的簡單隨機樣本相互獨立的簡單隨機樣本. niiniiXXnSXnX12211)(111令令 mjjmjjYYmSYmY12221)(111設設nXXX,21與與mYYY,21分別是來分別是來),(211NX自正態(tài)總體自正態(tài)總體),(222NY與與的的那么) 1() 1() 1() 1(2222222121 mSmnSn )1,1(22222121 mnFSS 假設假設21那么那么)1, 1(2221 mnFSS(3)的概率不小于的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少則樣本容量至少取多少?例例2 2設設(72 ,

11、100)XN ,為使樣本均值大于70解解 設樣本容量為設樣本容量為 n , n , 那么那么)100,72(nNX故故)70(1)70(XPXP n1072701 n2.0 令令9 . 02 . 0n得得29. 12 . 0 n即即6025.41n所以取所以取42 n例例3 3 設設r.v. X r.v. X 與與Y Y 相互獨立，相互獨立，X N(0,16),X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與與Y1, Y2 , Y16Y1, Y2 , Y16 分別是取自分別是取自 X X 與與 Y Y 的簡單隨機樣本的簡單隨機樣本, , 求求統計量統計量1292221216XXXZYYY所服從的分布所服從的分布.解解)169,0(921 NXXX)1,0()(431921NXXX 16,2 , 1,)1 ,0(31 iNYi)16(3122161 iiY1292161134 (16)1316iiXXXtY2162221921YYYXXX 從而從而例例4 4 設設12(,)nXXX 是來自N ( , 2 )的簡單隨機樣本簡單隨機樣本, X是樣本均值是樣本均值,)(111221niiXXnS,)(11222n