初一幾何難題_練習(xí)題(含答案)

1、1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì),其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例1. 已知:如圖1所示,ABC 中,=C AC BC AD DB AE CF 90,。 求證:DE =DFCFBA ED圖1分析:由ABC 是等腰直角三角形可知,=A B 45,由D 是AB 中點(diǎn),可考慮連結(jié)CD ,易得CD AD =,=DCF 45。從而不難發(fā)現(xiàn)DCF DAE 證明:連結(jié)CDAC BC A BACB AD DBC

2、D BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD=90,=A D E CDFDE DF說(shuō)明:在直角三角形中,作斜邊上的中線是常用的輔助線;在等腰三角形中,作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然,在等腰直角三角形中,更應(yīng)該連結(jié)CD ,因?yàn)镃D 既是斜邊上的中線,又是底邊上的中線。本題亦可延長(zhǎng)ED 到G ,使DG =DE ,連結(jié)BG ,證EFG 是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。例2. 已知:如圖2所示,AB =CD ,AD =BC ,AE =CF 。 求證:E =FDBCF A圖2證明:連結(jié)AC 在ABC 和CDA 中,AB CD BC AD AC CA A

3、BC CDA SSS B D AB CD AE CFBE DF=,(在BCE 和DAF 中,BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F=(說(shuō)明:利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線,制造全等三角形,這時(shí)應(yīng)注意:(1制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量; (2添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形。2、證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中,平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行,可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證,也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直,可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°,或利用兩個(gè)銳角互余,或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。

4、例3. 如圖3所示,設(shè)BP 、CQ 是ABC 的內(nèi)角平分線,AH 、AK 分別為A 到BP 、CQ 的垂線。求證:KH BCBC MNQ PKH 圖3分析:由已知,BH 平分ABC ,又BH AH ,延長(zhǎng)AH 交BC 于N ,則BA =BN ,AH =HN 。同理,延長(zhǎng)AK 交BC 于M ,則CA =CM ,AK =KM 。從而由三角形的中位線定理,知KH BC 。證明:延長(zhǎng)AH 交BC 于N ,延長(zhǎng)AK 交BC 于M BH 平分ABC =ABH NBH 又BH AH=A H BN H B 90 BH =BH=ABH NBH ASA BA BN AH HN(,同理,CA =CM ,AK =KM

5、 KH 是AMN 的中位線 KH MN / 即KH/BC說(shuō)明:當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時(shí),則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折(軸對(duì)稱而成一個(gè)等腰三角形。例4. 已知:如圖4所示,AB =AC ,A AE BF BD DC =90。 求證:FD EDBC A FED 321圖4證明一:連結(jié)ADAB AC BD DCDAE DABBAC BD DCBD ADB DAB DAE=+=,129090在ADE 和BDF 中,AE BF B DAE AD BD ADE BDFFD ED=+=,313290說(shuō)明:有等腰三角形條件時(shí),作底邊上的高,或作

6、底邊上中線,或作頂角平分線是常用輔助線。證明二:如圖5所示,延長(zhǎng)ED 到M ,使DM =ED ,連結(jié)FE ,FM ,BMBCA EFD M圖5BD DCBDM CDE DM DE BDM CDE CE BM C CBM BM ACA ABM AAB AC BF AE AF CE BM=,/9090=AEF BFM FE FM DM DEFD ED說(shuō)明:證明兩直線垂直的方法如下:(1首先分析條件,觀察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用輔助線,見(jiàn)本題證二。(2找到待證三直線所組成的三角形,證明其中兩個(gè)銳角互余。 (3證明二直線的夾角等于90°。3、證明一線段和的問(wèn)題(一在較長(zhǎng)線段上截取

7、一線段等一較短線段,證明其余部分等于另一較短線段。(截長(zhǎng)法例5. 已知:如圖6所示在ABC 中,=B 60,BAC 、BCA 的角平分線AD 、CE 相交于O 。求證:AC =AE +CD圖6B CAEDF O142356分析:在AC 上截取AF =AE 。易知AEO AFO ,=12。由=B 60,知+=+=566016023120,。=123460,得:FOC DOC FC DC =,證明:在AC 上截取AF =AE(=BAD CAD AO AOAEO AFO SAS ,42又=B 60+=+=566016023120123460FOC DOC AAS FC DC(即AC AE CD =+

8、(二延長(zhǎng)一較短線段,使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段,則兩較短線段成為一條線段,證明該線段等于較長(zhǎng)線段。(補(bǔ)短法例6. 已知:如圖7所示,正方形ABCD 中,F 在DC 上,E 在BC 上,=EAF 45。 求證:EF =BE +DFGB EC AFD123圖7分析:此題若仿照例1,將會(huì)遇到困難,不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)CB 至G ,使BG =DF 。證明:延長(zhǎng)CB 至G ,使BG =DF在正方形ABCD 中,=ABG D AB AD 90,=ABG ADF SAS AG AF (,13又=EAF 45+=+=23452145即GAE =FAE =+GE EFEF BE DF4、中考題:如圖

9、8所示,已知ABC 為等邊三角形,延長(zhǎng)BC 到D ,延長(zhǎng)BA 到E ,并且使AE =BD ,連結(jié)CE 、DE 。 求證:EC =EDE BDF AC 圖8證明:作DF/AC 交BE 于F ABC 是正三角形 BFD 是正三角形 又AE =BD=AE FD BF BA AF EF即EF =ACAC FDEAC EFD EAC DFE SAS EC ED/(=題型展示:證明幾何不等式:例題:已知:如圖9所示,=>12,AB AC 。 求證:BD DC >D B A1C 2E圖9證明一:延長(zhǎng)AC 到E ,使AE =AB ,連結(jié)DE 在ADE 和ADB 中,AE AB AD AD ADE

10、ADBBD DE E B DCE B DCE EDE DC BD DC=>>>>,21證明二:如圖10所示,在AB 上截取AF =AC ,連結(jié)DFD BA2C 1F 圖1043則易證ADF ADC =>>>>>3434,DF DC BFD B BFD B BD DF BD DC說(shuō)明:在有角平分線條件時(shí),常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形,這是常用輔助線?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1. 已知:如圖11所示,ABC 中,=C 90,D 是AB 上一點(diǎn),DE CD 于D ,交BC 于E ,且有AC AD CE =。求證:DE CD =12C圖11AB D E2

11、. 已知:如圖12所示,在ABC 中,=A B 2,CD 是C 的平分線。 求證:BC =AC +ADA CBD圖123. 已知:如圖13所示,過(guò)ABC 的頂點(diǎn)A ,在A 內(nèi)任引一射線,過(guò)B 、C 作此射線的垂線BP 和CQ 。設(shè)M 為BC 的中點(diǎn)。 求證:MP =MQBP MQCA 圖134. ABC 中,=BAC AD BC 90,于D ,求證:(AD AB AC BC <+14【試題答案】 1. 證明：取 CD 的中點(diǎn) F，連結(jié) AF C 4 1 F 3 E B A D Q AC = AD AFCD ÐAFC = ÐCDE = 90° 又 Ð

12、1 + Ð4 = 90° ，Ð1 + Ð3 = 90° Ð4 = Ð3 Q AC = CE DACF DCED ( ASA CF = ED 1 DE = CD 2 2. 分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡(jiǎn)單，但一時(shí)又不知如何下手，那么在證明一 條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的手法?！敖亻L(zhǎng)”即將長(zhǎng)的線段截 成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等； “補(bǔ)短”即將一條短線段延長(zhǎng)出另一條短 線段之長(zhǎng)，證明其和等于長(zhǎng)的線段。 E A D B 證明：延長(zhǎng) CA 至 E，使 CECB，連結(jié) ED 在 DCBD 和 DCED 中， C ìCB = CE ï Q íÐBCD = ÐECD ïCD = CD î DCBD DCED ÐB = ÐE Q ÐBAC = 2ÐB ÐBAC = 2ÐE 又 ÐBAC = ÐADE + ÐE ÐA D E=