高中數(shù)學(xué)必修四平面向量知識歸納典型題型(經(jīng)典)

1、一,向量重要結(jié)論（1）、向量的數(shù)量積定義： 規(guī)定， （2）、向量夾角公式：與的夾角為，則（3）、向量共線的充要條件：與非零向量共線存在惟一的，使。（4）、兩向量平行的充要條件：向量,平行（5）、兩向量垂直的充要條件：向量（6）、向量不等式：，（7）、向量的坐標(biāo)運算：向量,，則（8）、向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。相等向量：長度相等且方向相同的向量。（10）、零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量

2、平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區(qū)別）（11）、單位向量：模為1個單位長度的向量 向量為單位向量1（12）、平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量注：解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：（1） 給出直線的方向向量或，要會求出直線的斜率；（2）給出與相交,等于已知過的中點;（3）給出,等于已知是的中點;（4）給出,等于已知與的中點三點共線;（5）給出以下情形之一：；存在實數(shù)；若存

3、在實數(shù),等于已知三點共線.（6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角。（8）給出,等于已知是的平分線/（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心；（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)

4、心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；（16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線。（17）如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底（18）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（19）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)（20）1.結(jié)合律不成立：；2.消去律不成立不能得到3.=0不能得到=或=題型1.基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量。（2）若兩個向量不相等

5、，則它們的終點不可能是同一點。（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。（4）四邊形ABCD是平行四邊形的條件是。（5）若，則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形。（6）因為向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量。（7）若與共線， 與共線，則與共線。（8）若，則。（9）若，則。（10）若與不共線，則與都不是零向量。（11）若，則。（12）若，則。題型2.向量的加減運算1.設(shè)表示“向東走8km”, 表示“向北走6km”,則 。2.化簡 。3.已知,則的最大值和最小值分別為 、 。4.已知的和向量，且，則 ， 。5.已知點C在線段AB上，且,則 ， 。題型3.向量的數(shù)乘運算1.計算：（1） （2）2.已知，則

6、 。題型4.作圖法球向量的和已知向量，如下圖，請做出向量和。 題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中點，請用向量表示。2.在平行四邊形中，已知，求。題型6.向量的坐標(biāo)運算1.已知，則點的坐標(biāo)是 。2.已知，則點的坐標(biāo)是 。3.若物體受三個力,則合力的坐標(biāo)為 。4.已知，求，。5.已知,向量與相等，求的值。6.已知，則 。7.已知是坐標(biāo)原點，且，求的坐標(biāo)。題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底1.已知是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：A. B. C. D.2.已知，能與構(gòu)成基底的是（ ）A. B. C. D.題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)1.已知是坐標(biāo)原點，

7、點在第二象限，求的坐標(biāo)。2.已知是原點，點在第一象限，求的坐標(biāo)。題型9.求數(shù)量積1.已知，且與的夾角為，求（1），（2），（3），（4）。2.已知，求（1），（2），（3），（4）。題型10.求向量的夾角1.已知，求與的夾角。2.已知，求與的夾角。3.已知，求。題型11.求向量的模1.已知，且與的夾角為，求（1），（2）。2.已知，求（1），（5），（6）。3.已知，求。題型12.求單位向量 【與平行的單位向量：】1.與平行的單位向量是 。2.與平行的單位向量是 。題型13.向量的平行與垂直1.已知，當(dāng)為何值時，（1）？（2）？2.已知，（1）為何值時，向量與垂直？（2）為何值時，向量與平行？

8、3.已知是非零向量，且，求證：。題型14.三點共線問題1.已知，求證：三點共線。2.設(shè)，求證：三點共線。3.已知，則一定共線的三點是 。4.已知，若點在直線上，求的值。5.已知四個點的坐標(biāo)，是否存在常數(shù)，使成立？題型15.判斷多邊形的形狀1.若，且,則四邊形的形狀是 。2.已知，證明四邊形是梯形。3.已知，求證：是直角三角形。4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，,求證：是等腰直角三角形。題型16.平面向量的綜合應(yīng)用1.已知，當(dāng)為何值時，向量與平行？2.已知，且，求的坐標(biāo)。3.已知同向，則，求的坐標(biāo)。3.已知，則 。4.已知，請將用向量表示向量。5.已知，（1）若與的夾角為鈍角，求的范圍；（2）若與的夾角為

9、銳角，求的范圍。6.已知，當(dāng)為何值時，（1）與的夾角為鈍角？（2）與的夾角為銳角？7.已知梯形的頂點坐標(biāo)分別為，且，求點的坐標(biāo)。8.已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別為，求第四個頂點的坐標(biāo)。9.一航船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成角，求水流速度與船的實際速度。10.已知三個頂點的坐標(biāo)分別為，（1）若，求的值；（2）若，求的值?！緜溆谩?.已知，求和向量的夾角。2.已知，且，求的夾角的余弦。1.已知，則 65 。4.已知兩向量，求當(dāng)垂直時的x的值。5.已知兩向量，的夾角為銳角，求的范圍。變式：若，的夾角為鈍角，求的取值范圍。選擇、填空題的特殊方法：1.特例法例：全品P27：4。因為M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以