材料的力學(xué)性能

1、第五章 材料的力學(xué)性能§5.1 概述 前一章討論變形體靜力學(xué)時，研究、分析與解決問題主要是利用了力的平衡條件、變形的幾何協(xié)調(diào)條件和力與變形間的物理關(guān)系。物體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)中任一物體均應(yīng)處于平衡狀態(tài)，物體中的任一部分亦應(yīng)處于平衡狀態(tài)。力的平衡問題，與作用在所選取研究對象上的力系有關(guān)；在彈性小變形條件下，變形對于力系中各力作用位置的影響可以不計(jì)，故力的平衡與材料無關(guān)；用第二章所討論的平衡方程描述。變形的幾何協(xié)調(diào)條件，是在材料均勻連續(xù)的假設(shè)及結(jié)構(gòu)不發(fā)生破壞的前題下，結(jié)構(gòu)或構(gòu)件變形后所應(yīng)當(dāng)滿足的幾何關(guān)系，主要是幾何分析，也不涉及材料的性能。 因此，研究變形體靜力學(xué)問題，主要是要研究

2、力與變形間的物理關(guān)系。力與變形間的物理關(guān)系顯然是與材料有關(guān)的。不同的材料，在不同的載荷、環(huán)境作用下，表現(xiàn)出不同的力學(xué)性能（或稱材料的力學(xué)行為）。前一章中，我們以最簡單的線性彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系虎克定律，來描述力與變形間的物理關(guān)系，討論了變形體力學(xué)問題的基本分析方法。這一章將對材料的力學(xué)性能進(jìn)行進(jìn)一步的研究。 材料的力學(xué)性能，對于工程結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的設(shè)計(jì)十分重要。例如，所設(shè)計(jì)的構(gòu)件必須足夠“強(qiáng)”，而不至于在可能出現(xiàn)的載荷下發(fā)生破壞；還必須保持構(gòu)件足夠“剛硬”，不至于因變形過大而影響其正常工作。因此需要了解材料在力的作用下變形的情況，了解什么條件下會發(fā)生破壞。由力與變形直至破壞的行為研究中確定若干指標(biāo)來

3、控制設(shè)計(jì)，以保證結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的安全和正常工作。 材料的力學(xué)性能是由試驗(yàn)確定的。試驗(yàn)條件（溫度、濕度、環(huán)境）、試件幾何（形狀和尺寸）、試驗(yàn)裝置（試驗(yàn)機(jī)、夾具、測量裝置等）、加載方式（拉、壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲；加載速率、加載持續(xù)時間、重復(fù)加載等）、試驗(yàn)結(jié)果的分析和描述等，都應(yīng)按照規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范進(jìn)行，以保證試驗(yàn)結(jié)果的正確性、通用性和可比性。 本章主要討論材料的一般力學(xué)性能及其描述。§5.2 低碳鋼拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線 常用拉伸試樣如圖5.1所示。截面多為圓形(也有時用矩形)，試驗(yàn)段截面積為A。標(biāo)距長度l與橫向尺寸的關(guān)系規(guī)定為： 圓形截面桿： l=10d 或 l=5d 矩形截面板： l=11.3 或 l

4、=5.65 將試件二端夾持在試驗(yàn)機(jī)上，施加拉伸載荷F，記錄載荷F和標(biāo)距長度l的變化Dl。由試驗(yàn)結(jié)果可得到F-Dl曲線或s (=F/A)-e (=Dl /l)曲線。圖5.2 低碳鋼拉伸時的s-e曲線s=F/Ae=Dl/lopeysbksyssb彈性屈服強(qiáng)化頸縮頸縮k均勻變形圖5.1 拉伸試樣ldtbFFFFP=1kN 低碳鋼拉伸時得到的典型應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖5.2所示。由圖可見，應(yīng)力應(yīng)變曲線可分為四個階段。由原點(diǎn)o到點(diǎn)e為彈性階段；在e點(diǎn)以下，如果卸載，試件變形可完全恢復(fù)，變形是彈性的。由y到s點(diǎn)，應(yīng)變在應(yīng)力幾乎不變的情況下急劇增大，這種現(xiàn)象稱為材料的屈服或流動現(xiàn)象，是屈服階段。從s到b點(diǎn)，必須繼

5、續(xù)加載才能使應(yīng)變進(jìn)一步增大，好像材料在屈服后又重新恢復(fù)了抵抗變形的能力，稱為強(qiáng)化階段。b點(diǎn)對應(yīng)著最大應(yīng)力，此后即開始發(fā)生局部橫截面面積收縮，從b到k為頸縮階段。到k點(diǎn)發(fā)生斷裂。在發(fā)生頸縮之前，從o到b，試驗(yàn)段的變形是均勻的，稱為均勻變形階段。spe圖5.3 彈性階段卸載加載oE1e 利用這一典型的s-e曲線，可以定義若干重要的材料性能如下。1) 比例極限 將圖5.2中彈性變形范圍內(nèi)的oe段，重新畫在圖5.3中。從o點(diǎn)到p處，應(yīng)力s與應(yīng)變e呈線性正比關(guān)系，應(yīng)力與應(yīng)變保持線性正比關(guān)系的最大應(yīng)力（p點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力），稱為比例極限，記作sp。2) 彈性模量 op段直線的斜率E，即材料的彈性模量。如圖5.

6、3所示，彈性模量為E=s/e。3) 彈性極限 卸載后，材料的變形若可完全恢復(fù)，則稱變形是彈性的。如圖5.3所示。材料保持彈性性能所對應(yīng)的最大應(yīng)力（e對應(yīng)的應(yīng)力），稱為彈性極限，記作se。 在比例極限以下，s與e呈線性關(guān)系，或稱為線彈性關(guān)系；應(yīng)力大于比例極限而小于彈性極限時，s與e間的線性關(guān)系不再保持，嚴(yán)格說來應(yīng)當(dāng)是非線性彈性的。4) 屈服極限 Assby圖5.4 彈性與塑性應(yīng)變卸載加載oE1eABeeepE1B應(yīng)力達(dá)到圖5.2中y點(diǎn)之值后，即使載荷不再增大，應(yīng)變也會繼續(xù)增大，材料進(jìn)入屈服流動階段。y點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力值，稱為屈服極限或屈服強(qiáng)度 (yield strength)，記作sys。對于大部分

7、金屬材料，屈服極限、彈性極限與比例極限在數(shù)值上的差別并不大，可將虎克定律的使用范圍延伸至s ys。即虎克定律為： s=Ee （ssys） -(5-1)進(jìn)入屈服階段之后，若從任一點(diǎn)B卸載到零，卸載線BB的斜率基本與E相同，所留下的不可恢復(fù)的殘余應(yīng)變，稱為塑性應(yīng)變，記作ep；另一部分在卸載過程中恢復(fù)了的應(yīng)變，是彈性應(yīng)變，記作ee。故B點(diǎn)的總應(yīng)變e是彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變之和。如圖5.4所示，有： e=ee+ep . -(5-2)故屈服極限sys是反映材料是否進(jìn)入屈服而出現(xiàn)顯著塑性變形的重要指標(biāo)。5) 應(yīng)變硬化 過了屈服流動階段后，繼續(xù)加載，則應(yīng)力和應(yīng)變沿曲線sb變化。在sb間任一點(diǎn)卸載到零，s-e響應(yīng)

8、曲線如圖5.4中AA'所示，AA'線的斜率也基本上與彈性模量E相同。卸載到零后再加載，s-e曲線沿A'A上升。比較osb和A'Ab二條曲線可知，好像材料的彈性極限和屈服極限因屈服后卸載而提高到了A點(diǎn)，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)變硬化。 工程中常常利用應(yīng)變硬化現(xiàn)象，使材料在較大的預(yù)應(yīng)變（發(fā)生塑性變形）后卸載，以達(dá)到提高其屈服極限，減小塑性變形的目的。如預(yù)應(yīng)力鋼筋等。 6) 極限強(qiáng)度 對應(yīng)于s-e圖上最高點(diǎn)(b點(diǎn))的應(yīng)力，稱為材料的極限強(qiáng)度(ultimate strength)，記作sb。是反映材料抵抗破壞的能力的重要指標(biāo)。 7) 延性和脆性 經(jīng)過頸縮階段，試件在k處發(fā)生斷裂。

9、圖5.2中ok'反映了材料拉斷后剩余的塑性變形的大小，是度量材料塑性性能的指標(biāo)，稱為延伸率，記作dn。且有：-（5-3） 式中，l1為試件拉斷后的標(biāo)距長度，l0是試件原來的標(biāo)距長度，n為試件標(biāo)距長度與橫截面尺寸之比，如當(dāng)l0=10d 時，n=10。 度量材料塑性性能的另一個指標(biāo)，是斷開處橫截面面積最大縮減量與試件原來的橫截面積之比，稱為面縮率，記作y。且有：-（5-4） 式中，A1為試件拉斷后的最小橫截面積，A0是試件原來的橫截面積。 對于低碳鋼，d約25%左右，y約為60%。這二個指標(biāo)越高，材料的延性性能越好。 工程中常將材料區(qū)分為二類，塑性變形大的材料(一般d>5%)，如低碳

10、鋼、低合金鋼、青銅等稱為延性材料；塑性變形小的材料（一般 d<5%），如高強(qiáng)鋼、鑄鐵、硬質(zhì)合金、石料等，則稱為脆性材料。 由低碳鋼拉伸的s-e曲線，可以看到材料有如下重要指標(biāo)： 材料抵抗彈性變形能力的指標(biāo)彈性模量E； 材料發(fā)生屈服和破壞的二個強(qiáng)度指標(biāo)屈服強(qiáng)度sys和極限強(qiáng)度sb；反映材料延性的指標(biāo)延伸率d和/或面縮率y。表5-1列出了若干常用金屬材料的力學(xué)性能。表5-1 若干常用金屬材料的力學(xué)性能材料名稱 材料牌號 sys /MPasb /MPa d5 / % 備 注普通碳鋼( 低碳鋼 ) Q235 235375-500 21-26 原A3鋼 Q275 275 490-630 15-20

11、原A5鋼 優(yōu)質(zhì)碳鋼 35 315 530 20 35號鋼 45 355 600 1645號鋼低碳合金鋼 16Mn 345 510-660 2216錳 15MnV 390 530-680 1815錳釩 合金鋼 40Cr 785 980 9 40鉻 30CrMnSi 885 1080 10 30鉻錳硅 球墨鑄鐵 QT40-10 294 392 10 球鐵40 QT60-2 412 588 2球鐵60 鋁合金 LY12 274 412 19 硬鋁§5.3 不同材料拉伸壓縮時的機(jī)械性能1) 不同材料的拉伸s-e曲線 如前節(jié)所述，由低碳鋼拉伸時的s-e曲線，可以確定反映材料機(jī)械性能（或稱力學(xué)性

12、能）的指標(biāo)。但材料的種類很多，即使是金屬材料，拉伸s-e曲線也各不相同。圖5.5示出了若干材料拉伸時的s-e曲線。圖5.5 不同材料的拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線s (MPa)e (%)o20016MnQ235鋼4002010s (MPa)e (%)o200灰鑄鐵玻璃鋼40010.5s (MPa)e (%)o200球墨鑄鐵青銅40020鋁合金(a)(b)(c) 與典型的低碳鋼應(yīng)力-應(yīng)變曲線相比（圖5.5a），許多脆性材料到破壞時都沒有明顯的塑性變形，沒有屈服階段，也不存在屈服點(diǎn)，如圖5.5(b)中的鑄鐵、玻璃鋼及高強(qiáng)鋼、陶瓷材料等；許多延性材料沒有屈服平臺，也難以明確地確定其屈服點(diǎn)和屈服應(yīng)力，如圖5.5

13、(c)中的有色金屬、退火球墨鑄鐵等；還有些材料在彈性階段s-e間也并不顯示良好的線性關(guān)系（如灰鑄鐵、橡膠等）。0.2o圖5.6 名義屈服強(qiáng)度ses0.2ep 對于不存在屈服階段的脆性材料，其強(qiáng)度指標(biāo)只有極限強(qiáng)度sb；對于沒有屈服平臺、難于確定屈服點(diǎn)的材料，工程中規(guī)定以標(biāo)準(zhǔn)試件產(chǎn)生0.2%塑性應(yīng)變時的應(yīng)力值作為名義屈服強(qiáng)度，特別記作s0.2，如圖5.6所示。2) 壓縮時的機(jī)械性能 材料在受壓縮時的機(jī)械性能與受拉并不一定相同。因此，應(yīng)由材料的壓縮試驗(yàn)確定。圖5.7 拉壓機(jī)械性能拉伸osesyssys壓縮拉伸osesbcsbt壓縮(a) Q235鋼(b) 鑄鐵 一般來說，延性材料壓縮的機(jī)械性能與拉伸

14、時基本相同。如圖5.7(a)所示，延性金屬壓縮與拉伸時有基本相同的彈性模量E和屈服強(qiáng)度sys。但因?yàn)檠有圆牧嫌泻芎玫乃苄?，壓縮試驗(yàn)時，試件隨著載荷的增加愈壓愈扁，測不出其抗壓強(qiáng)度。 與延性材料不同，圖5.7(b)所示鑄鐵壓縮時的機(jī)械性能與拉伸時常常有較大的區(qū)別。脆性材料，如鑄鐵、混凝土、石料等，抗壓極限強(qiáng)度sbc可以遠(yuǎn)大于抗拉極限強(qiáng)度sbt。3) 泊松(Poission)比l+Dl圖5.8 泊松效應(yīng)d-DdFFxyz 如果在圓棒試樣拉伸實(shí)驗(yàn)中除測量伸長Dl外，還測量其直徑d的變化，則可發(fā)現(xiàn)材料在沿加載方向發(fā)生伸長的同時，在垂直于載荷方向的尺寸會因變形而縮短。這種現(xiàn)象稱為泊松效應(yīng)，如圖5.8所示

15、。記沿載荷方向(縱向或x方向)的應(yīng)變?yōu)閑1=Dl/l0，垂直于載荷方向(橫向或y、z方向)的應(yīng)變則可寫成為e2=(d-d0)/d0=-Dd/d0，橫向與縱向應(yīng)變之比的負(fù)值，稱為材料的泊松比，記作m，且： m= -e2/e1 -(5-5)圖5.9 彈性體積變化yzxFFa (1+e)b(1-m e)c (1- me)式(5-5)前面的負(fù)號，是為了使泊松比為正值。對于一般金屬材料，在彈性階段，泊松比m在0.25-0.35間。在塑性變形時，m0.5。 考查圖5.9所示體積為V0=abc的材料體元。在沿x方向載荷作用下，縱向應(yīng)變（x方向）為e，橫向應(yīng)變（y、z方向）則為-me，變形后縱向尺寸為 a+D

16、a=a(1+e)， 橫向尺寸為 b(1-me) 和c(1-me)。則變形后的體積為： V= abc (1+e) (1-me)2應(yīng)變e是遠(yuǎn)小于1的一個小量，上式展開后略去高階小量，得到： V= abc 1+(1-2m)e故體積的改變量為： DV=V-V0=abc (1-2m) e體積變化率為： DV/V0= (1-2m)e = (1-2m) s/E -(5-6) 當(dāng)e=0.2%，m=0.3時，DV/V0=0.08%?？梢姀椥泽w積變化率是很小的。 在塑性變形階段，泊松比m®0.5，由(5-6)式可知有DV®0。故金屬材料的塑性體積變化是可以忽略的。§5.4 真應(yīng)力、真

17、應(yīng)變 在由標(biāo)準(zhǔn)試件單軸拉壓試驗(yàn)確定材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線時，應(yīng)力和應(yīng)變都是以變形前的幾何尺寸（標(biāo)距長度l0、截面積A0）定義的。它們是工程應(yīng)力S、工程應(yīng)變e，且： sys均勻變形應(yīng)力Fl0Dlldl應(yīng)變oS-e 曲線s-e 曲線´´圖5.10 真應(yīng)力、真應(yīng)變實(shí)際上，一旦作用有載荷，材料在發(fā)生縱向伸長的同時，由于泊松效應(yīng)而使橫截面尺寸縮小，真實(shí)的應(yīng)力應(yīng)當(dāng)?shù)扔谳S力除以當(dāng)時的橫截面面積A（而不是原面積A0）。同時，在從0加載到F的過程中，桿的伸長是逐步發(fā)生的，對于任一載荷增量dF，應(yīng)變增量de等于長度增量dl與當(dāng)時長度l（不是原長l0）之比，如圖5.10所示。故真應(yīng)力s、真應(yīng)變e應(yīng)當(dāng)

18、定義為：-（5-7）； 式中，A為試件變形后的截面積，l為變形后的標(biāo)距長度。 如前所述，金屬材料的塑性體積變化是可以忽略的。在頸縮之前的均勻變形階段，因?yàn)閺椥詰?yīng)變?。ㄒ话阌衑e<0.5%），由式(5-6)知彈性體積變化也可以忽略。假定均勻變形階段體積不變，即有A0l0=A l，則真應(yīng)力、真應(yīng)變與工程應(yīng)力、工程應(yīng)變有下述關(guān)系： s=FN/A=FNl/A0l0=( FN/A0)( l0+D l)/ l0=S(1+e) -(5-8) e=ln(1+e)=ln(l/l0)=ln(A0/A)=ln1/(1-y) -(5-9)式中y即為面縮率。討論：由 (5-8) 式可見，s=S(1+e)S；拉伸時

19、e0，即真應(yīng)力s大于工程應(yīng)力S。二者的相對誤差為： (s-S)/S=e 故e越大，(s-S)越大。e=0.2%時，s比S大0.2%。 由 (5-9) 式可見，e=ln(1+e)，因?yàn)閑是一個小量，展開后得到： e=e-e2/2+e3/3- · · ·e 即拉伸時真應(yīng)變e小于工程應(yīng)變e。略去三階小量，可知二者的相對誤差為： （e-e)/e=e/2 e=0.2%時，e比e小0.1%。 由上述分析可知，對于一般工程問題，有e»e0.01，故s與S，e與e相差不超過1%，二者可不加區(qū)別。因此，除特別說明外，本書以后均用s與e表示應(yīng)力與應(yīng)變。§5.5 應(yīng)

20、力應(yīng)變曲線的理想化模型 在分析變形體力學(xué)問題時，需要知道材料應(yīng)力應(yīng)變間的物理關(guān)系。由試驗(yàn)得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線各種各樣，必須建立若干材料物理模型來反映這一關(guān)系，并給予適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)描述，才能寫出反映材料的力與變形之關(guān)系的物理方程。進(jìn)而與力的平衡方程、變形幾何協(xié)調(diào)方程一起求解變形體力學(xué)問題。 建立應(yīng)力應(yīng)變曲線的理想化模型時，既希望模型能符合材料性能的物理真實(shí)，又希望數(shù)學(xué)表達(dá)盡量簡單。材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線各種各樣，不可能只用一個模型；整條應(yīng)力應(yīng)變曲線往往很復(fù)雜，也難于用一個簡單的方程表達(dá)。因此，理想化模型的建立，與材料有關(guān)，與所研究的問題有關(guān)，與所考慮的變形大小有關(guān)。需要建立若干不同的模型，以適應(yīng)不同的材料

21、、不同的問題。 圖5.11中示出了六種不同材料性能的理想化模型。1) 線彈性模型是一種彈性材料模型，且應(yīng)力與應(yīng)變呈線性比例關(guān)系，如圖5.11(a)所示。可用于有這種線性關(guān)系的脆性材料，或延性材料的彈性小變形分析。對于一些有非線性彈性性能的材料，有時為使問題簡化，也可近似使用線彈性模型。應(yīng)力應(yīng)變間的物理關(guān)系用虎克定律描述，即： s=Ee 對于脆性材料，ssb；對于延性材料，ssys。2) 非線性彈性模型也是一種彈性材料模型，應(yīng)力應(yīng)變曲線是可逆的。載荷消除后，變形可以完全恢復(fù)，但應(yīng)力與應(yīng)變之關(guān)系是非線性的，如圖5.11(b)所示?？捎糜谙鹉z、灰鑄鐵等有非線性彈性性能的材料。非線性彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系通

22、?？捎脙缏杀磉_(dá)為： s=ken. -(5-10)對于脆性材料，ssb；對于延性材料，ssys。k、n為材料常數(shù)。E1essys 或sbo(a) 線彈性essys 或sbo(b) 非線性彈性essys o(c) 剛性理想塑性sE1esys o(e) 彈性理想塑性圖5.11 材料力學(xué)行為的理想化模型esys o(e) 冪硬化彈塑性eeepssE11esys o(f) 線性硬化彈塑性1E2AB3) 剛性理想塑性模型是一種理想塑性模型。模型忽略了材料的彈性變形，也不考慮應(yīng)變硬化，如圖5.11(c)所示，也簡稱為完全塑性或剛塑性模型。 當(dāng) ssys時，e=0； 當(dāng) e>0時，s=sys。 可用于有

23、明顯屈服平臺的材料，當(dāng)彈性變形比塑性變形小得多的時候，研究可忽略彈性變形的問題。 4) 彈性理想塑性模型既考慮彈性變形，也考慮塑性變形。彈性部分用線彈性模型，塑性部分用理想塑性，不考慮應(yīng)變硬化，如圖5.11(d)所示，也稱為理想彈塑性模型。其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表達(dá)為： 當(dāng) e£eys 時, s=Ee 當(dāng) e>eys 時, s=sys=Eeys -(5-11)式中eys=sys/E，稱為屈服應(yīng)變。理想彈塑性模型可用于有明顯屈服平臺的材料，研究彈塑性變形的問題。 5) 冪硬化彈塑性模型是一種綜合描述材料彈塑性性能的模型，如圖5.11(e)所示。許多無明顯屈服平臺的工程材料表現(xiàn)出這種應(yīng)力應(yīng)

24、變響應(yīng)，如圖5.5(c)。圖5.11(e)中s-e曲線上任一點(diǎn)A的應(yīng)變均可用彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變之和表示，即e=ee+ep。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，A點(diǎn)的應(yīng)力與其彈性應(yīng)變的關(guān)系服從虎克定律，即s=Eee；應(yīng)力與塑性應(yīng)變的關(guān)系則可用Holomon冪律公式描述，寫為；故其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可表達(dá)為： e=ee+ep=(s/E)+(s/K)n. -(5-12) (5-12)式即著名的Remberg-Osgood應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。式中K、n為材料常數(shù)，K是強(qiáng)度系數(shù)，具有應(yīng)力的量綱；n為應(yīng)變硬化指數(shù)。 冪硬化彈塑性模型可用于無明顯屈服平臺的材料，進(jìn)行彈塑性分析。 6) 線性硬化彈塑性模型也是一種彈塑性模型。考慮了材料的彈性變

25、形和塑性應(yīng)變硬化，如圖5.11(f)所示。彈性部分用線彈性模型，硬化部分用線性硬化。其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可表達(dá)為： s=Ee 當(dāng) e£eys 時, s=sys+E1(e-eys) 當(dāng) e>eys 時, -(5-13) 式中E、E1分別為彈性段OA和塑性應(yīng)變硬化段AB直線的斜率，都是材料常數(shù)。 此模型用于塑性應(yīng)變硬化可由線性近似的材料，進(jìn)行彈塑性分析。 上述各種理想化的材料物理模型，可以反映或部分反映材料s-e曲線的性態(tài)。不同的材料、不同的問題，可選用不同的模型。例如研究脆性材料或小變形問題，用線彈性模型（虎克定理）即可；不考慮硬化時，用理想彈塑性模型研究延性材料的彈塑性問題；考慮硬化

26、時冪硬化模型是廣泛使用的。當(dāng)然還可以作出一些其它的理想化模型，但上述模型是既簡單又實(shí)用的。§5.6 不同材料模型下力學(xué)問題的分析 本節(jié)將通過簡單拉壓桿系結(jié)構(gòu)的例題，討論不同材料物理模型下，變形體力學(xué)問題的分析方法。例5.1 三桿鉸接于C點(diǎn)，受力F作用，如圖5.12(a)所示。若各桿截面積均為A，材料亦相同，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系用線彈性模型，即s=Ee，求三桿內(nèi)力。a123F1F2F3FC(a)圖5.12 例5.1圖C123d1FC(b)d2aaa解：1)力的平衡方程。 三桿均為二力桿，整體受力如圖5.12(a)，匯 交力系的二個平衡方程為： F2=F3。 -(a) F1+2F2cosa=F

27、-(b) 三個未知量，二個獨(dú)立方程，是一次靜不定問題。 2)變形幾何條件。 三桿受拉，在F力作用下伸長，如圖5.12（b）所示。在小變形條件下，有a»a，故變形幾何協(xié)調(diào)條件為： d1cosa=d2 -(c) 3)力與變形間的物理關(guān)系（應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系）。 由線彈性模型有s=Ee，即F/A=EDL/L，故可知各桿的伸長DL=d為： d1=F1L1/EA； d2=F2L2/EA -(d) 求解上述方程，注意桿1的長度L1=L2cosa，由(c)、(d)二式得到： F2= F1cos2a -(e) 再由方程(a)、(b)、(e)解得： F1=F/(1+2cos3a) F2=F3=Fcos2a/

28、(1+2cos3a) -(1)討論一、若材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系用非線性彈性模型，s=ken，再求三桿內(nèi)力。 在4.2節(jié)基本假設(shè)的情況下，改變材料的物理模型，并不影響力的平衡和變形幾何協(xié)調(diào)條件。故前述方程(a)、(b)、(c)各式仍然成立。 此時，力與變形間的物理關(guān)系由非線彈性模型s=ken描述，則有： s1=ke1n Þ F1/A=k(d1/L1)n s2=ke2n Þ F2/A=k(d2/L2)n -(d') 注意同樣有L1=L2cosa，上述二式相除，再利用(c)式，得到： F2/F1=(d2/d1) n×(L1/L2) n =cosnacosna=cos

29、2na 即有： F2=F1cos2na -(e') (e')與(b)式聯(lián)立解得： F1=F/(1+2cos2n+1a) F2=F3=Fcos2na/(1+2cos2n+1a) -(2)討論二、若材料為彈性理想塑性，如圖5.11(e)所示。試求桿系能承受的最大載荷F。 載荷F從零逐漸增大。在彈性階段，即s£sys時，線彈性模型下各桿內(nèi)力已求出，結(jié)果列于(1)式。中間桿1承受的內(nèi)力比桿2、3大，因?yàn)槿龡U截面積相同，故在F力作用下，桿1橫截面上的正應(yīng)力s1=F1/A也比桿2、3大。當(dāng)載荷F不斷增大時，桿1將首先進(jìn)入屈服。結(jié)構(gòu)中任一處應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力時的載荷，稱為該結(jié)構(gòu)的屈服

30、載荷，記作FS。 對于本例，屈服載荷FS由下述條件確定： s1=F1/A=FS/A(1+2cos3a)=sys得到屈服載荷FS為： FS=sysA(1+2cos3a) -(3) 超過屈服載荷FS后，因?yàn)椴牧鲜抢硐胨苄缘?，所以有s1ºsys，進(jìn)一步可知F1ºsysA。又由平衡方程F1+2F2cosa=F可知，當(dāng)FS£F£FU時，桿2、3的內(nèi)力和應(yīng)力為： F2=F3=(F-sysA)/2cosa s2=s3=(F/A)-sys/2cosa -(4) 由彈性解(1)知當(dāng)桿1進(jìn)入屈服，F(xiàn)=FS=sysA(1+2cos3a)時，s2=s3=syscos2a<

31、sys。故雖然桿1進(jìn)入屈服后不再能承受更多的載荷，但桿2、3承受的載荷仍可繼續(xù)增加，直到桿2、3也進(jìn)入屈服，則整個結(jié)構(gòu)屈服，將發(fā)生大的塑性變形而喪失承載能力。這種狀態(tài)稱為塑性極限狀態(tài)，對應(yīng)于此狀態(tài)的載荷稱為塑性極限載荷或簡稱極限載荷，記作FU。 在塑性極限狀態(tài)下，三桿應(yīng)力均到達(dá)屈服應(yīng)力，即s1=s2=s3=sys；內(nèi)力則為F1=F2= F3=sysA。由平衡方程可直接確定極限載荷FU為： FU=F1+2F2cosa=sysA(1+2cosa) -(5)比較(5)與(3)，顯然有FU>FS；若a=60°，則FU=1.6FS；即此三桿結(jié)構(gòu)的極限載荷是屈服載荷的1.6倍。故考慮塑性極

32、限狀態(tài)時，結(jié)構(gòu)的承載能力可以更大一些。討論三、不同材料物理模型下結(jié)果的比較與分析。將例5.1在不同材料物理模型下得到的結(jié)果匯總?cè)绫?-2。請?zhí)貏e注意其分析與討論。表5-2 例5.1在不同材料物理模型下所得結(jié)果的比較與分析材料物理模型桿的內(nèi)力適用范圍分析討論線彈性s=EeF1=F/(1+2cos3a) F2=F3= Fcos2a/(1+2cos3a) 0£ F£ FSa越大，F(xiàn)1越大；a=0°，F(xiàn)1=F2=F3=F/3；aÞ90°, F1ÞP, F2=F3Þ0非線性彈性s=kenF1=F/(1+2cos2n+1a); F2=

33、F3=Fcos2na/(1+2cos2n+1a)0£ F£ FSn=1，退化為線彈性。彈性理想塑性s=Ee (e£eys) s=sys (e>eys)FS=sysA(1+2cos3a)F1ºsysAF2=F3=( F-sysA)/2cosa；FU=sysA(1+2cosa)F=FSFS£F£FUFS£F£FUF=FU考慮塑性，結(jié)構(gòu)的承載能力可以大一些。極限載荷FU>屈服載荷FS若 a=60°，F(xiàn)U=1.6FS。討論四、若去掉桿1，試求二桿結(jié)構(gòu)的屈服載荷。 去掉桿1，平衡方程成為： F2=F3

34、-(a) 2F2cosa=F -(b) 隨著F的增大，二桿將同時進(jìn)入屈服，此時應(yīng)有：s2=s3=sys，F(xiàn)2=F3= sysA，故得： FS=2sysAcosa此二桿結(jié)構(gòu)是靜定的，一旦到達(dá)屈服載荷FS，結(jié)構(gòu)將喪失承載能力。故在小變形條件下靜定結(jié)構(gòu)的屈服載荷就是極限載荷。例5.2* 若例5.1中材料為彈性理想塑性，求0£F£FU時，桿系C處的位移。解：例5.1中已給出了彈性理想塑性材料情況下，0£F£FU時，各桿的內(nèi)力。下面依據(jù)材料物理模型分段討論各桿的變形和C處的位移。l 0£F£FS時：載荷從零增加到屈服載荷FS時，桿系處于線彈性階

35、段。各桿受力由（1）式給出為：F1=F/(1+2cos3a)； F2=F3=Fcos2a/(1+2cos3a)。如圖5.1(b)所示，由對稱性知桿系C處的位移沿鉛垂方向且等于桿1的伸長d1，故有： d1=F1L1/EA=FL1/(1+2cos3a) EA -（6）上式表明C處的位移是隨載荷F的增加而線性增加的。l F=FS時：載荷剛到達(dá)屈服載荷，是彈性階段的上限。由(3)式知FS=sysA(1+2cos3a)，桿系C處的位移仍然等于桿1的伸長d1。將F=FS代入(6)式，得到： dS=d1=FSL1/(1+2cos3a) EA=sysL1/E； -（7）l FS<F<FU時： F超

36、過屈服載荷，桿1進(jìn)入塑性，可自由伸長。但桿2、3之應(yīng)力仍小于屈服應(yīng)力，還處于彈性小變形階段，故C點(diǎn)的位移受到桿2、3的約束，桿1的伸長仍必須滿足幾何協(xié)調(diào)條件(c)， 即有： d1=d2/cosa=F2L2/EAcosa注意到此時桿2、3的內(nèi)力應(yīng)由(4)式給出為F2=F3=(F-sysA)/2cosa，且有L1=L2cosa，故C點(diǎn)的位移為： d1=d2/cosa=F2L2/EAcosa=(F-sysA)L1/ 2EAcos3a -（8）由上式可知，在FS<F<FU時，C處的位移仍然是隨載荷P的增加而線性增加的，但直線的斜率與小于0£F£FS時由（6）式給出之直線

37、的斜率。l F=FU時：載荷到達(dá)極限載荷，將(5)式給出的FU=sysA(1+2cosa)代入(8)式，此時C處的位移為： dU=d1=d2/cosa=sysL1/Ecos2a -（9）FdSdUd1FSFUo圖5.13 例5.2之F-d關(guān)系此后，結(jié)構(gòu)將因整體屈服而喪失承載能力。由上述結(jié)果，可畫出結(jié)構(gòu)的載荷-變形關(guān)系，如圖5.13所示。由上述例題的分析與討論可知，不同材料物理模型下的力學(xué)分析，只是描述力與變形間物理關(guān)系的應(yīng)力-應(yīng)變方程不同。材料模型分段描述時，要注意不同載荷段的應(yīng)力情況，采用適當(dāng)?shù)膽?yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表達(dá)。本例中關(guān)于物理方程的適用區(qū)間，關(guān)于所得到之結(jié)果的物理/幾何意義，關(guān)于結(jié)果的正確性條件，關(guān)于不同模型下結(jié)果的聯(lián)系與驗(yàn)證等思考與討論，是培養(yǎng)探究式、研究型思維所必需注意的。小 結(jié)： 1) 力與變形間的物理關(guān)系是與材料有關(guān)的，不同的材料在不同的載荷作用下表現(xiàn)出不同的力學(xué)性能。 2) 低碳鋼拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線是最典型的s-e曲線。有彈性、屈服、強(qiáng)化、和頸縮直至斷裂四個階段。 3) 材料力學(xué)性能的重要指標(biāo)有：抵抗彈性變形能力的指標(biāo)彈性模量E；發(fā)生屈服和 破