常微分方程解的結(jié)構(gòu)ppt課件

1、)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式階常系數(shù)線性微分方程的標準形式二階常系數(shù)線性方程的標準形式二階常系數(shù)線性方程的標準形式)(xfqyypy 常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)121212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa bky xky xy xyxy xyx ：設設為為定定義義在在內(nèi)內(nèi)的的兩兩個個函函數(shù)數(shù)，如如果果存存在在非非零零常常數(shù)數(shù), ,使使得得, ,則則稱稱線線性性相相關(guān)關(guān)，否否稱稱定定則則線線性性無無關(guān)關(guān)義義12( )( )0,y xyqyyypx 設設是是方方程程的的兩兩個個

2、線線性性無無關(guān)關(guān)定定理理9 9. .1 1的的解解，則則1122( )( )( )y xC y xC yx12,.C C是是方方程程的的通通解解，其其中中為為任任意意常常數(shù)數(shù)二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy(1) (1) 有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根1r2r,11xrey ,22xrey 兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy 2(40)pq 特征根為特征根為(2) (2) 有兩個相等的實根有兩個相等的實根2(40)pq 所以

3、齊次方程的通解為所以齊次方程的通解為;)(121xrexCCy ,11xrey ,221prr 一特解為一特解為特征根為特征根為另一特解另一特解;2xrxey (3) (3) 有一對共軛復根有一對共軛復根,1 jr ,2 jr 2(40)pq ,cos1xeyx,sin2xeyx方程的通解為方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達達式式實實根根21rr 實實根根21rr 復復根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx )(xfqy

4、ypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程對應齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu)*( )( )( ),y xY xyx二階常系數(shù)非齊次線性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如果是方程的一個特解，如果是方程的一個特解，是方程對應的齊次方程的通解，則方程的通解是方程對應的齊次方程的通解，則方程的通解為為12( )( )y xyx定理定理如果與分別為方程如果與分別為方程12( ),( )ypyqyfxypyqyfx 和和Y的特解，是方程的特解，是方程, 0 qyypy的通解，則的通解，則*12( )( )( )( )y xY xyxyx 12( )(

5、 ).ypyqyfxfx 是是方方程程的的通通解解常見類型常見類型( ),nP x( ),xnP x e 12(cossin)xeAxAx 難點：如何求特解？難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法方法：待定系數(shù)法.1.( )nypyqyP x設非齊方程特解為設非齊方程特解為*( )yQ x為多項式，為多項式，代入方程代入方程( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x 1011( )0nnnnQ xa xa xaqxa 時時，( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x 01,.naaa其其中中為為待待定定系系數(shù)數(shù)0 ,0qp 時時， 可可設設12011( )nnnnQ xa xa

6、 xaxa x 0,0qp 時時， 方方程程通通解解可可由由( )nyP x .直直接接積積分分得得到到設非齊方程特解為設非齊方程特解為*( )xyQ x e 代入原方程代入原方程2( )(2)( )() ( )( )nQxp Q xpq Q xP x 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ( )( ),nQ xQx 可可設設是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ( )( ),nQ xxQx 可可設設*( );xnyQx e *( );xnyxQx e (2.)xnypyqyP x e 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若

7、)3(, 02 qp , 02 p 2( )( ),nQ xx Qx 可可設設綜上討論綜上討論*( ) ,kxnyx e Qx 設設 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k*2( ).xnyx Qx e 特別地特別地xAeqyypy 2*2,22xxxAepqAyxepAx e 不是特征方程的根不是特征方程的根是特征方程的單根是特征方程的單根是特征方程的重根是特征方程的重根.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解對應齊次方程通解對應齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設設

8、代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1型型二二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP ,)()(xiexPqyypy 設設,)(1ximkeQxy 利用歐拉公式利用歐拉公式,)()(xiexPqyypy 設設,)(2ximkeQxy ximximxkeQeQexy ,sin)(co

9、s)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多項式，次多項式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是單根是單根不是根不是根 iik.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4ixeyy ,是是單單根根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy （取虛部）（取虛部）例例2 2.2cos的的

10、通通解解求求方方程程xxyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 設設代入輔助方程代入輔助方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例例3 3)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31xxxy 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取實部）（取實部）注意注

11、意xAexAexx sin,cos.)(的的實實部部和和虛虛部部分分別別是是xiAe .tan的的通通解解求求方方程程xyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 用常數(shù)變易法求非齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 設設, 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解為原方程通解為.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例4 4三、小結(jié)三、小結(jié)可以是復數(shù)）可以是復數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系數(shù)法待定系數(shù)法)只含上式一項解法：作輔助方程只含上式一項解法：作輔助方程,求特解求特解, 取取特解的實部或虛部特解的實部或虛部, 得原非齊方程特解得原非齊方程特解.思考題思考題寫出微分方程寫出微分方程x