第三章_一元一次方程方程應(yīng)用題歸類分析

1、一元一次方程方程應(yīng)用題歸類分析列方程解應(yīng)用題，是初中數(shù)學(xué)的重列方程解應(yīng)用題，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。許多實(shí)際問(wèn)題都?xì)w結(jié)為要內(nèi)容之一。許多實(shí)際問(wèn)題都?xì)w結(jié)為解一種方程或方程組，所以列出方程解一種方程或方程組，所以列出方程或方程組解應(yīng)用題是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際，或方程組解應(yīng)用題是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際，解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)重要方面；下面解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)重要方面；下面老師就從以下幾個(gè)方面分門(mén)別類的對(duì)老師就從以下幾個(gè)方面分門(mén)別類的對(duì)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題加以闡述，希望對(duì)同常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題加以闡述，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助學(xué)們有所幫助. .1. 1. 和、差、倍、分問(wèn)題：和、差、倍、分問(wèn)題： （1 1）倍數(shù)關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞）倍數(shù)關(guān)系：

2、通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)語(yǔ)“是幾倍，增加幾倍，增加到幾是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長(zhǎng)率倍，增加百分之幾，增長(zhǎng)率”來(lái)體現(xiàn)。來(lái)體現(xiàn)。 （2 2）多少關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞）多少關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)語(yǔ)“多、少、和、差、不足、剩多、少、和、差、不足、剩余余”來(lái)體現(xiàn)。來(lái)體現(xiàn)。2. 2. 等積變形問(wèn)題：等積變形問(wèn)題： “等積變形等積變形”是以形狀改變是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?。常用等量而體積不變?yōu)榍疤帷３Ｓ玫攘筷P(guān)系為：關(guān)系為： 形狀面積變了，周長(zhǎng)沒(méi)形狀面積變了，周長(zhǎng)沒(méi)變；變； 原料體積成品體積。原料體積成品體積。例2. 用直徑為90mm的圓柱形玻璃杯（已裝滿水）向一個(gè)由底面積為 內(nèi)高為81mm的長(zhǎng)方體鐵盒

3、倒水時(shí)，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（結(jié)果保留整數(shù)）125 1252mm分析：等量關(guān)系為：圓柱形玻璃杯體分析：等量關(guān)系為：圓柱形玻璃杯體積長(zhǎng)方體鐵盒的體積積長(zhǎng)方體鐵盒的體積 下降的高度就是倒出水的高度下降的高度就是倒出水的高度 解：設(shè)玻璃杯中的水高下降解：設(shè)玻璃杯中的水高下降xmmxmm3. 3. 勞力調(diào)配問(wèn)題：勞力調(diào)配問(wèn)題： 這類問(wèn)題要搞清人數(shù)的變化，常這類問(wèn)題要搞清人數(shù)的變化，常見(jiàn)題型有：見(jiàn)題型有： （1 1）既有調(diào)入又有調(diào)出；）既有調(diào)入又有調(diào)出； （2 2）只有調(diào)入沒(méi)有調(diào)出，調(diào)入部）只有調(diào)入沒(méi)有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變；分變化，其余不變； （3 3）只有調(diào)出沒(méi)有調(diào)入，調(diào)出部）只有

4、調(diào)出沒(méi)有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變。分變化，其余不變。 例例3. 3. 機(jī)械廠加工車(chē)間有機(jī)械廠加工車(chē)間有8585名工人，名工人，平均每人每天加工大齒輪平均每人每天加工大齒輪1616個(gè)或小個(gè)或小齒輪齒輪1010個(gè)，已知個(gè)，已知2 2個(gè)大齒輪與個(gè)大齒輪與3 3個(gè)小個(gè)小齒輪配成一套，問(wèn)需分別安排多少齒輪配成一套，問(wèn)需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？天加工的大小齒輪剛好配套？ 分析：列表法。分析：列表法。等量關(guān)系：小齒輪數(shù)量的等量關(guān)系：小齒輪數(shù)量的2 2倍大齒輪數(shù)量的倍大齒輪數(shù)量的3 3倍倍 每人每天每人每天 人數(shù)人數(shù) 數(shù)量數(shù)量 大齒

5、輪大齒輪 16 16個(gè)個(gè)x x人人 小齒輪小齒輪 1 10 0個(gè)個(gè)x x人人解：設(shè)分別安排解：設(shè)分別安排x x名、名、 名工人加工大、名工人加工大、小齒輪小齒輪 由題可得由題可得: : 答：略答：略. .3 162 10 85()()xx85 x問(wèn)題二問(wèn)題二 某車(chē)間每天能生產(chǎn)甲種零件某車(chē)間每天能生產(chǎn)甲種零件120120個(gè)，個(gè)，或乙種零件或乙種零件100100個(gè)，甲、乙兩種零件分別取個(gè)，甲、乙兩種零件分別取3 3個(gè)、個(gè)、2 2個(gè)才能配成一套，現(xiàn)要在個(gè)才能配成一套，現(xiàn)要在3030天內(nèi)生產(chǎn)最多的天內(nèi)生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品，問(wèn)怎樣安排生產(chǎn)甲、乙兩種零件的成套產(chǎn)品，問(wèn)怎樣安排生產(chǎn)甲、乙兩種零件的天數(shù)？天數(shù)？

6、1 1、你能找出題中的等量關(guān)系嗎？、你能找出題中的等量關(guān)系嗎？ 生產(chǎn)出的甲、乙兩種零件恰好能配套生產(chǎn)出的甲、乙兩種零件恰好能配套2 2、該如何設(shè)未知數(shù)呢？、該如何設(shè)未知數(shù)呢？設(shè)安排生產(chǎn)甲種零件設(shè)安排生產(chǎn)甲種零件 x x 天，則生產(chǎn)乙種零件為天，則生產(chǎn)乙種零件為 （30 30 x x ）天。）天。3 3、你能列出此方程嗎？、你能列出此方程嗎？4 4、你會(huì)解此方程嗎？、你會(huì)解此方程嗎？5 5、你該如何取數(shù)呢？、你該如何取數(shù)呢？2)30(1003120 xx350 x 4. . 比例分配問(wèn)題：比例分配問(wèn)題： 這類問(wèn)題的一般思路為：設(shè)其這類問(wèn)題的一般思路為：設(shè)其中一份為中一份為x x，利用已知的比，寫(xiě)

7、出，利用已知的比，寫(xiě)出相應(yīng)的代數(shù)式。相應(yīng)的代數(shù)式。 常用等量關(guān)系：各部分之和常用等量關(guān)系：各部分之和總量。總量。 例例4. 4. 三個(gè)正整數(shù)的比為三個(gè)正整數(shù)的比為1 1：2 2：4 4，它，它們的和是們的和是8484，那么這三個(gè)數(shù)中最大的，那么這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是幾？數(shù)是幾？ 解：設(shè)一份為解：設(shè)一份為x x，則三個(gè)數(shù)分別為，則三個(gè)數(shù)分別為x x，2x2x，4x4x 分析：等量關(guān)系：三個(gè)數(shù)的和是分析：等量關(guān)系：三個(gè)數(shù)的和是8484 答：略答：略. .5. 5. 數(shù)字問(wèn)題數(shù)字問(wèn)題（1 1）要搞清楚數(shù)的表示方法：一個(gè)三位數(shù)的）要搞清楚數(shù)的表示方法：一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為百位數(shù)字為a a，十位數(shù)字是，

8、十位數(shù)字是b b，個(gè)位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為c c（其中（其中a a、b b、c c均為整數(shù)，且均為整數(shù)，且1a91a9， 0b90b9， 0c90c9）則這個(gè)三位數(shù)表示為：）則這個(gè)三位數(shù)表示為：100a+10b+c100a+10b+c。（2 2）數(shù)字問(wèn)題中一些表示：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之）數(shù)字問(wèn)題中一些表示：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大間的關(guān)系，較大的比較小的大1 1；偶數(shù)用；偶數(shù)用2N2N表示，連續(xù)的偶數(shù)用表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+22n+2或或2n22n2表示；奇表示；奇數(shù)用數(shù)用2n+12n+1或或2n12n1表示。表示。例例5. 5. 一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是十位上的一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的

9、數(shù)是十位上的數(shù)的數(shù)的2 2倍，如果把十位與個(gè)位上的數(shù)對(duì)調(diào)，那倍，如果把十位與個(gè)位上的數(shù)對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大3636，求原來(lái)的兩，求原來(lái)的兩位數(shù)位數(shù)等量關(guān)系：原兩位數(shù)等量關(guān)系：原兩位數(shù)+36=+36=對(duì)調(diào)后新兩位數(shù)對(duì)調(diào)后新兩位數(shù)解：設(shè)十位上的數(shù)字解：設(shè)十位上的數(shù)字X X，則個(gè)位上的數(shù)是，則個(gè)位上的數(shù)是2x2x，10102x+x=2x+x=（10 x+2x10 x+2x）+36+36解得解得x=4x=4，2x=8.2x=8.答：略答：略. .6. 6. 工程問(wèn)題：工程問(wèn)題： 工程問(wèn)題中的三個(gè)量及其關(guān)系工程問(wèn)題中的三個(gè)量及其關(guān)系為：工作總量為：工作總量= =工

10、作效率工作效率工作時(shí)間工作時(shí)間 經(jīng)常在題目中未給出工作總量時(shí)，經(jīng)常在題目中未給出工作總量時(shí)，設(shè)工作總量為單位設(shè)工作總量為單位1 1。例例6. 6. 一件工程，甲獨(dú)做需一件工程，甲獨(dú)做需1515天完天完成，乙獨(dú)做需成，乙獨(dú)做需1212天完成，現(xiàn)先由甲、天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作乙合作3 3天后，甲有其他任務(wù)，剩天后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨(dú)完成，問(wèn)乙還要幾下工程由乙單獨(dú)完成，問(wèn)乙還要幾天才能完成全部工程？天才能完成全部工程？ 7. 7. 行程問(wèn)題：行程問(wèn)題： （1 1）行程問(wèn)題中的三個(gè)基本量及其關(guān)系：）行程問(wèn)題中的三個(gè)基本量及其關(guān)系： 路程路程= =速度速度時(shí)間。時(shí)間。 （2 2）基本類型有

11、）基本類型有 相遇問(wèn)題；相遇問(wèn)題； 追及問(wèn)題；常見(jiàn)的還追及問(wèn)題；常見(jiàn)的還有：相背而行；行船問(wèn)題；環(huán)形跑道問(wèn)題。有：相背而行；行船問(wèn)題；環(huán)形跑道問(wèn)題。 （3 3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，一般情況下時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，一般情況下問(wèn)題就能迎刃而解。并且還常常借助畫(huà)草問(wèn)題就能迎刃而解。并且還常常借助畫(huà)草圖來(lái)分析，理解行程問(wèn)題。圖來(lái)分析，理解行程問(wèn)題。 例例7. 7. 甲、乙兩站相距甲、乙兩站相距480480公里，一列慢車(chē)從甲公里，一列慢車(chē)從甲站開(kāi)出，每小時(shí)行站開(kāi)出，每小時(shí)行9090公里，一列快車(chē)從乙站開(kāi)公里，一列快車(chē)從乙站開(kāi)

12、出，每小時(shí)行出，每小時(shí)行140140公里。公里。 （1 1）慢車(chē)先開(kāi)出）慢車(chē)先開(kāi)出1 1小時(shí)，快車(chē)再開(kāi)。兩車(chē)小時(shí)，快車(chē)再開(kāi)。兩車(chē)相向而行。問(wèn)快車(chē)開(kāi)出多少小時(shí)后兩車(chē)相遇？相向而行。問(wèn)快車(chē)開(kāi)出多少小時(shí)后兩車(chē)相遇？ （2 2）兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出，相背而行多少小時(shí)）兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出，相背而行多少小時(shí)后兩車(chē)相距后兩車(chē)相距600600公里？公里？ （3 3）兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出，慢車(chē)在快車(chē)后面同）兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出，慢車(chē)在快車(chē)后面同向而行，多少小時(shí)后快車(chē)與慢車(chē)相距向而行，多少小時(shí)后快車(chē)與慢車(chē)相距600600公里？公里？ （4 4）兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出同向而行，快車(chē)在慢車(chē)）兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出同向而行，快車(chē)在慢車(chē)的后面，多少小時(shí)后快車(chē)追上慢車(chē)？的

13、后面，多少小時(shí)后快車(chē)追上慢車(chē)？ （5 5）慢車(chē)開(kāi)出）慢車(chē)開(kāi)出1 1小時(shí)后兩車(chē)同向而行，快小時(shí)后兩車(chē)同向而行，快車(chē)在慢車(chē)后面，快車(chē)開(kāi)出后多少小時(shí)追上車(chē)在慢車(chē)后面，快車(chē)開(kāi)出后多少小時(shí)追上慢車(chē)？慢車(chē)？ 8. 8. 利潤(rùn)贏虧問(wèn)題利潤(rùn)贏虧問(wèn)題（1 1）銷售問(wèn)題中常出現(xiàn)的量有：進(jìn)）銷售問(wèn)題中常出現(xiàn)的量有：進(jìn)價(jià)、售價(jià)、標(biāo)價(jià)、利潤(rùn)等價(jià)、售價(jià)、標(biāo)價(jià)、利潤(rùn)等（2 2）有關(guān)關(guān)系式：）有關(guān)關(guān)系式： 商品利潤(rùn)商品利潤(rùn)= =商品售價(jià)商品售價(jià)商品進(jìn)價(jià)商品進(jìn)價(jià)= =商品商品標(biāo)價(jià)標(biāo)價(jià)折扣率折扣率商品進(jìn)價(jià)商品進(jìn)價(jià)商品利潤(rùn)率商品利潤(rùn)率= =商品利潤(rùn)商品利潤(rùn)/ /商品進(jìn)價(jià)商品進(jìn)價(jià) 商品售價(jià)商品售價(jià)= =商品標(biāo)價(jià)商品標(biāo)價(jià)折扣率折扣率商

14、品標(biāo)價(jià)折扣率商品標(biāo)價(jià)折扣率商品進(jìn)價(jià)商品進(jìn)價(jià)= =進(jìn)價(jià)進(jìn)價(jià)利潤(rùn)率利潤(rùn)率例例8. 8. 一家商店將某種服裝按進(jìn)一家商店將某種服裝按進(jìn)價(jià)提高價(jià)提高40%40%后標(biāo)價(jià)，又以后標(biāo)價(jià)，又以8 8折優(yōu)折優(yōu)惠賣(mài)出，結(jié)果每件仍獲利惠賣(mài)出，結(jié)果每件仍獲利1515元，元，這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是多少？這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是多少？ 本金本金：顧客存入銀行的錢(qián)：顧客存入銀行的錢(qián) 利息利息本金本金年利率年利率年數(shù)年數(shù)從從19991999年年1111月月1 1日起，國(guó)家對(duì)個(gè)人在銀行的存款征得利息稅日起，國(guó)家對(duì)個(gè)人在銀行的存款征得利息稅20 ： 稅后利息稅后利息本金本金年利率年利率年數(shù)年數(shù)（120 ） 本息和本息和：本金與稅后利息

15、的和：本金與稅后利息的和 即：即：本息和本息和本金本金本金本金年利率年利率年數(shù)年數(shù) （120 ） 9. . 儲(chǔ)蓄問(wèn)題儲(chǔ)蓄問(wèn)題 問(wèn)題問(wèn)題1 1： 一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為2.252.25，所得利息要交納所得利息要交納2020的利息稅，已知小帥有的利息稅，已知小帥有一筆一年期定期儲(chǔ)蓄，到期納稅后得利息一筆一年期定期儲(chǔ)蓄，到期納稅后得利息450450元，問(wèn)小帥存入多少本金？元，問(wèn)小帥存入多少本金？解解 ： 設(shè)小帥存入本金設(shè)小帥存入本金 元元. . 根據(jù)題意，得根據(jù)題意，得 解方程，得解方程，得答：小帥存入本金答：小帥存入本金2500025000元元2.25%1 20%450 x2

16、5000 xx分析：等量關(guān)系：分析：等量關(guān)系： 本息和本息和= =本金本金（1+1+利率）利率）例例9. 9. 某同學(xué)把某同學(xué)把250250元錢(qián)存入銀行，元錢(qián)存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后整存整取，存期為半年。半年后共得本息和共得本息和252.7252.7元，求銀行半年元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計(jì)利息期的年利率是多少？（不計(jì)利息稅）稅）問(wèn)題問(wèn)題2 2： 小帥存入本金小帥存入本金10001000元，作為兩年元，作為兩年期的定期儲(chǔ)蓄，到期后他共取出期的定期儲(chǔ)蓄，到期后他共取出1039.21039.2元，元，已知利息稅稅率是已知利息稅稅率是2020，求該儲(chǔ)蓄的年利，求該儲(chǔ)蓄的年利率

17、率 解方程，得解方程，得解解 : : 設(shè)兩年期儲(chǔ)蓄年利率為設(shè)兩年期儲(chǔ)蓄年利率為 . . 根據(jù)題意，得根據(jù)題意，得 答：兩年期儲(chǔ)蓄的年利率是答：兩年期儲(chǔ)蓄的年利率是2.452.45 1000 10002 1 20% 1039.2x 0.0245xx 有關(guān)溶液的濃度應(yīng)用題是初中有關(guān)溶液的濃度應(yīng)用題是初中代數(shù)中列方程解應(yīng)用題的一類基代數(shù)中列方程解應(yīng)用題的一類基本題解這類應(yīng)用題，關(guān)鍵的問(wèn)本題解這類應(yīng)用題，關(guān)鍵的問(wèn)題是：抓住不變量題是：抓住不變量( (如稀釋前溶質(zhì)如稀釋前溶質(zhì)重量等于稀釋后溶質(zhì)重量重量等于稀釋后溶質(zhì)重量) )列方列方程程 （1）求溶質(zhì)例例5 5、現(xiàn)有濃度為、現(xiàn)有濃度為2020的鹽水的鹽水

18、300300克和濃度為克和濃度為3030的鹽水的鹽水200200克，需配制成濃度為克，需配制成濃度為6060的鹽水，的鹽水，問(wèn)兩種溶液全部混合后，還需加鹽多少克？問(wèn)兩種溶液全部混合后，還需加鹽多少克？解：設(shè)兩種溶液全部混合后，還需加鹽解：設(shè)兩種溶液全部混合后，還需加鹽x x克，注克，注意混合前后溶質(zhì)總量不變，依題意得方程：意混合前后溶質(zhì)總量不變，依題意得方程： 20 20300+30300+30200+200+x=60 x=60(300+200+x)(300+200+x) 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得2 2x=900 x=900解這個(gè)方程得解這個(gè)方程得x=450 x=450答：兩種溶液全部混合后，還需加鹽答：

19、兩種溶液全部混合后，還需加鹽450450克克（2）求溶劑例例6 6、要把濃度為、要把濃度為9090的酒精溶液的酒精溶液500500克，克，稀釋成濃度為稀釋成濃度為7575的酒精溶液，需加水的酒精溶液，需加水多少克多少克解：設(shè)需加水解：設(shè)需加水x x克，因?yàn)榧铀昂笕苜|(zhì)數(shù)克，因?yàn)榧铀昂笕苜|(zhì)數(shù)量不變，依題意得方程量不變，依題意得方程 75 75( (x+500)=90 x+500)=90 500500 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得1515x=1500 x=1500 解這個(gè)方程得解這個(gè)方程得x=100 x=100 答：需加水答：需加水100100克克（3）求溶液例例7 7、有若干克、有若干克4 4的鹽水蒸發(fā)了一些水分后，的鹽水蒸發(fā)了一些水分后，變成變成1010的鹽水，接著加進(jìn)的鹽水，接著加進(jìn)4 4的鹽水的鹽水300300克，克，混合后變?yōu)榛旌虾笞優(yōu)?.46.4的鹽水，的鹽水， 問(wèn)問(wèn): :最初有鹽水多少克？最初有鹽水多少克？解：設(shè)最初有鹽水解：設(shè)最初有鹽水x x克，注意混合后的含鹽量，克，注意混合后的含鹽量，依題意得方程依題意得方程 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 1.44 1.44x=720 x=720 解這個(gè)方