柔性機械臂逆動力學(xué)問題的分析和求解

1、    柔性機械臂逆動力學(xué)問題的分析和求解         來源：歲月聯(lián)盟    作者：田中旭1 劉正興2    時間：2010-08-21                    摘要：采用割線坐標系

2、對機械臂的運動進行了描述，并分快變（振動）和慢變兩方面進行逆動力學(xué)問題的分析與求解。在對快變部分逆動力學(xué)性質(zhì)的分析中發(fā)現(xiàn)，快變部分精確的逆動力學(xué)解是發(fā)散的。在進行柔性機械臂逆動力學(xué)求解時，應(yīng)在慢變的意義上進行。文中給出了一種去掉系統(tǒng)快變部分的簡單方法，并進行了逆動力學(xué)求解。數(shù)值仿真結(jié)果表明，該處理方法是合理的。關(guān)鍵詞：柔性機械臂；動力學(xué)；逆動力學(xué)；振動；大范圍運動the Analysis and Solution for Inverse Dynamic Problems of Flexible Arms  Abstracet：The paper concentrates on the

3、 analysis and solution for inverse problems of flexible arms. The secant coordinate system is introduced to describe the location of the two-link arm. The fast (vibration) part and the slow part are analyzed for the inverse problems. The solutions for the fast part are found emanative through the an

4、alysis. So, the solution for the flexible arms should be carried out while only the slow part is included. A sample method is given to get rid of the fast part and get the solutions for the inverse problems. Numerical results show that this method is correct.Key words：flexible arm；dynamic；inverse dy

5、namic；vibration；movement with large range     雙連桿柔性機械臂是柔性系統(tǒng)中最為典型的例子之一，在實踐中，對其端點的運動實現(xiàn)精確的控制的最重要因素是控制算法的速度，復(fù)雜的控制算法難以實現(xiàn)。而逆動力學(xué)建模和控制是緊密相關(guān)的，通過逆動力學(xué)方法，得到一個比較精確的驅(qū)動力矩作為前饋，再施以適當(dāng)?shù)目刂扑惴ǎ詫崿F(xiàn)對機械臂的高速、高精度控制，則是一種具有實效的方法。    關(guān)于柔性臂控制的逆動力學(xué)方法的研究報道尚不多見，其中1-5對動力學(xué)方程解耦，即把動力學(xué)方程近似分解成一些相對簡單的系統(tǒng)，從而得到逆動

6、力學(xué)的表達式。Matsuno6通過對采用切線坐標系的動力學(xué)模型進行簡化，得到了一種實時的逆動力學(xué)方法。Gofron等應(yīng)用了驅(qū)動約束法7，把期望運動處理成非定常約束。Bayo在頻域內(nèi)進行了逆動力學(xué)求解8,9。Asada等提出了一種迭代求解的方法10。    在逆動力求解中常常會遇到求得的力矩不準，力矩振蕩很大，求解煩瑣等問題。因此，討論逆動力學(xué)求解的特點和性質(zhì)是非常重要的，并有助于采用合理的方式得到比較好的前饋力矩。1 動力學(xué)和逆動力學(xué)模型    一般情況下，柔性機械臂的兩根連桿橫向彈性變形(彎曲)較小，則忽略機械臂的徑向變形；假定關(guān)節(jié)

7、及臂端負載均為集中質(zhì)量，則忽略其大小。同時，暫不考慮電機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量和電機的阻尼。圖1 雙連桿柔性臂Fig.1 Two-link flexible arm 圖1是一雙連桿柔性機械臂，兩臂間關(guān)節(jié)電機質(zhì)量為 ，上臂端部集中質(zhì)量為 ，兩連桿質(zhì)量和抗彎剛度分別為 和 ， 和 ，兩連桿的長度分別為 和 ， 和 為兩關(guān)節(jié)電機提供的力矩。 連桿變形很小，對每根連桿建立一個運動坐標系，使得連桿在其中的相對運動很小。機械臂的整體運動則可由這兩個動坐標系的方位角來描述。于是，在動力學(xué)模型中將有兩類變量，一類是幅值很小但變化迅速的彈性坐標，另一類是變化范圍較大的方位角。本文采用端點連線坐標系，即將連桿兩端點的連線

8、作為動坐標系的x軸（見圖1）。描述整體運動的是兩個角度 和 ，而連桿相對于動坐標系的運動則可視為簡支梁的振動。這樣，動力學(xué)模型剛度陣的彈性坐標互相不耦合，臂端的位置可由 和 確定，其期望運動形式（或數(shù)值解）： (1)如采用其他形式的動坐標系，兩桿的彈性坐標將耦合在一起，而且在逆動力學(xué)求解時，將不得不處理微分方程與代數(shù)方程組合的方程組。對每個機械臂取兩階模態(tài)坐標來描述，應(yīng)用拉格朗日方法得到動力學(xué)方程：(2)式中。為6×6質(zhì)量陣；為速度的二次項；為6×6剛度陣；為重力的廣義力向量；為驅(qū)動力矩的廣義力向量；，其中和、和分別是兩個機械臂的一階和二階彈性坐標。柔性臂系統(tǒng)的逆動力學(xué)問題

9、，是指在已知期望末端操作器運動軌跡的情況下，結(jié)合逆運動學(xué)與動力學(xué)方程對關(guān)節(jié)力矩進行求解。如果直接進行逆動力學(xué)求解，即把式(1)代入動力學(xué)方程式(2)中，對方程中的彈性坐標和力矩進行求解，一般情況下，其數(shù)值解將很快發(fā)散。表達系統(tǒng)運動狀態(tài)的坐標可以看成有兩部分組成：大范圍的相對緩慢的運動（慢變）部分和小范圍的振動（快變）部分。本文試圖將這兩部分分離，分別討論它們的逆動力學(xué)特性，并以此來分析整體系統(tǒng)的逆動力學(xué)問題。2 快變部分的逆動力學(xué)問題首先，尋求兩個關(guān)節(jié)力矩使端點保持不動，先不考慮大范圍的運動。此時，重力只起了一個改變平衡點的作用，在方程中把與它相關(guān)的部分略去，在動力學(xué)方程(2)中令，得：(3)

10、式中在方程(3)中消去和得：(4)式中：，,對式(4)降階：(5)式中其中，I是四階單位陣。方程(5)可化為下列形式：(6)式中。求出的特征值分別為式中。因的特征值存在正實部，則方程(3)所表示的系統(tǒng)不穩(wěn)定，其解發(fā)散，即雙連桿柔性臂在這種情況下，其振動問題的精確逆動力學(xué)解是發(fā)散的。的各特征值在復(fù)空間分布關(guān)于虛軸對稱，必然會出現(xiàn)正實部，如選取更多階模態(tài)函數(shù)離散時，會出現(xiàn)同樣的情況。因此，選取更多階模態(tài)函數(shù)離散時，其振動問題的逆動力學(xué)解是發(fā)散的。如應(yīng)用應(yīng)用文獻10中給出的迭代法進行逆動力學(xué)求解，當(dāng)積分步長很小時，其解是發(fā)散的；當(dāng)積分步長較大時，便可得到較好的結(jié)果。其原因是因為快變部分的逆動力學(xué)解發(fā)

11、散，當(dāng)步長較大時相當(dāng)濾掉了快變部分，便可得到較好的結(jié)果。3 慢變意義上的逆動力學(xué)在進行慢變意義上的逆動力學(xué)求解時，應(yīng)試圖將彈性坐標中的振動部分濾掉，彈性坐標中不應(yīng)含有振動部分，再結(jié)合期望的、求得力矩。如圖1所示，機械臂的各參數(shù)：L1=0.87m, L2=0.77m, M1=1.9kg, M2=0.8kg, m1=12.75kg, m2=2.4kg,=602.5,=218。期望運動軌跡：機械臂端點繞以(0.8, 0)為圓心，做半徑為0.5m,以每周1s作勻速圓周運動。由機械臂的動力學(xué)仿真結(jié)果可以看到，彈性坐標的一階、二階時間導(dǎo)數(shù)項振動幅值很大，但它們都在零值附近振動，即其慢變部分很小。因此，在式

12、(2)中去掉彈性坐標的一階、二階時間導(dǎo)數(shù)項，相當(dāng)于濾掉了彈性坐標中的振動部分，經(jīng)過整理得到如下形式：(7)式中，、中含、及其一階時間導(dǎo)數(shù)項。將式(1)代入式(7)中，再對方程求解，可以得到彈性坐標和力矩，彈性坐標見圖2（圖中不含振動的曲線）。為了考察得到的力矩，將力矩代入動力學(xué)方程式(2)中，得到的各彈性坐標見圖2（圖中含振動的曲線），軌跡跟蹤曲線、端點坐標與期望運動相比較的誤差曲線分別見圖3和圖4。含振動部分的彈性坐標彈性坐標的慢變部分圖2 各彈性坐標Fig.2 Elastic coordinates圖3 端點軌跡跟蹤Fig.3 Track following of the end poin

13、t圖4 端點運動的x和y方向坐標誤差Fig.4 the errors of coordinates in x and y Directions for the end movement由圖2中可以看出，由式(7)得到的彈性坐標（不含振動）與機械臂的動力學(xué)仿真得到的彈性坐標（含振動）的慢變部分十分相似，所以在式(2)中去掉彈性坐標的一階、二階時間導(dǎo)數(shù)項相當(dāng)于濾掉了彈性坐標中的振動部分，說明這種方法是合理的。由圖3與圖4給出的仿真結(jié)果可以看出，軌跡跟蹤很好，由此可見，得到的力矩精度很高.4 結(jié)束語由圖2可以看到，機械臂在運動過程中，其彈性坐標由兩方面組成，一方面是振動部分（快變部分），另一方面是與

14、載荷、慣性力有關(guān)的慢變部分。而彈性坐標速度、加速度的慢變部分很小，在逆動力學(xué)求解中將其略去是合理的，由式(7)得到了比較準確的彈性坐標慢變部分并非偶然。由以上分析可以看出，對于柔性機械臂系統(tǒng)，振動部分的精確逆動力學(xué)解是發(fā)散的，進行逆動力學(xué)求解時，應(yīng)濾掉振動部分，在慢變的意義上進行，才能得到比較好的前饋力矩。參 考 文 獻1 Xia J Z ,Manq C H. Real time estimation of elastic deformation for end-point tracking control of flexible two-link manipulatorsJ. The Jou

15、rnal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 1992, 115(3):385-393.2 Matsuno F, Sakawa Y., Asano T, Quasi-static hybrid position/force control of a flexible manipulatorC. Proceeding of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, Sacramento, Publ by IEEE, 1991, 3:2838-2843.3 Mat

16、suno F, Sakawa Y. Dynamic hybrid position/force control of a two degree-of-freedom flexible manipulatorJ. Journal of Robotic Systems, 1994, 11(5):355-366.4 Yoshikawa T. Dynamic hybrid position/force control of robot manipulators-description of hand constraints and calculation of joint driving forceJ

17、. IEEE J RA, 1987, (3):386-392.5 Kwon D S, Book W J. An inverse dynamic method yielding flexible manipulator state trajectoriesC. Proceedings of the American Control Conference, San Diego, Publ by American Automatic Control Council, 1990, 27-37.6 Matsuno F. Modeling and quasi-static hybrid position/

18、force control of constrained planar two-link flexible manipulatorsJ. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1994, 10(5):287-297.7 Gofron M, Shabana A A. Control structure interaction in the nonlinear analysis of flexible mechanical systemsJ. Nonlinear Dynamics, 1993, (4):183-206.8 Bayo E, Moulin H. An efficient computation of the inverse dynamics of flexible manipulators in the time domainC. Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, Scottsdale, Publ by IEEE, 1989, 710-715.9 Bayo E, Padadopoulos P, Stubbe J, et al. Inverse dyn