哈爾濱工業(yè)大學(xué)運(yùn)籌學(xué)教案排隊(duì)論的應(yīng)用案例分析200916

1、2/2/20222地鐵車站樓梯和自動(dòng)扶梯處客流延時(shí)分析地鐵車站樓梯和自動(dòng)扶梯處客流延時(shí)分析 教學(xué)目的：利用排隊(duì)論建立軌道交通車站樓梯和教學(xué)目的：利用排隊(duì)論建立軌道交通車站樓梯和自動(dòng)扶梯處客流延時(shí)模型，得出客流延時(shí)的指標(biāo)自動(dòng)扶梯處客流延時(shí)模型，得出客流延時(shí)的指標(biāo)公式，可為更清楚地了解車站樓梯和自動(dòng)扶梯處公式，可為更清楚地了解車站樓梯和自動(dòng)扶梯處的乘客延時(shí)狀況提供一定的理論依據(jù)。的乘客延時(shí)狀況提供一定的理論依據(jù)。樓梯和自動(dòng)扶梯是軌道交通車站中主要的升降設(shè)樓梯和自動(dòng)扶梯是軌道交通車站中主要的升降設(shè)施，在客流頂峰時(shí)，由于樓梯和自動(dòng)扶梯的通過(guò)施，在客流頂峰時(shí)，由于樓梯和自動(dòng)扶梯的通過(guò)能力有限，大量的乘客

2、將會(huì)在樓梯和自動(dòng)扶梯口能力有限，大量的乘客將會(huì)在樓梯和自動(dòng)扶梯口處排隊(duì)等候，造成乘客進(jìn)出站時(shí)間延長(zhǎng)，弄清乘處排隊(duì)等候，造成乘客進(jìn)出站時(shí)間延長(zhǎng)，弄清乘客在樓梯和自動(dòng)扶梯處的延時(shí)狀況，有利于車站客在樓梯和自動(dòng)扶梯處的延時(shí)狀況，有利于車站運(yùn)營(yíng)效益的充分發(fā)揮。運(yùn)營(yíng)效益的充分發(fā)揮。2/2/20223乘客從站外經(jīng)檢票進(jìn)入車站付費(fèi)區(qū)，通過(guò)樓梯和自乘客從站外經(jīng)檢票進(jìn)入車站付費(fèi)區(qū)，通過(guò)樓梯和自動(dòng)扶梯到站臺(tái)，這是一個(gè)隨機(jī)的過(guò)程。由于檢票口動(dòng)扶梯到站臺(tái)，這是一個(gè)隨機(jī)的過(guò)程。由于檢票口與樓梯和自動(dòng)扶梯的通過(guò)能力相當(dāng)，乘客進(jìn)入站臺(tái)，與樓梯和自動(dòng)扶梯的通過(guò)能力相當(dāng)，乘客進(jìn)入站臺(tái)，先受檢票口通過(guò)能力約束，使得超過(guò)檢票口通過(guò)

3、能先受檢票口通過(guò)能力約束，使得超過(guò)檢票口通過(guò)能力的客流被暫時(shí)堵在檢票口外排隊(duì)等候檢票，因此力的客流被暫時(shí)堵在檢票口外排隊(duì)等候檢票，因此通過(guò)檢票口的乘客不會(huì)因?yàn)闃翘莺妥詣?dòng)扶梯的通過(guò)通過(guò)檢票口的乘客不會(huì)因?yàn)闃翘莺妥詣?dòng)扶梯的通過(guò)能力的約束而需要排隊(duì)。能力的約束而需要排隊(duì)。但乘客在出站時(shí)，特別是在客流頂峰，大量的乘客但乘客在出站時(shí)，特別是在客流頂峰，大量的乘客從列車上下來(lái)，并且在較短的時(shí)間內(nèi)通過(guò)樓梯和自從列車上下來(lái)，并且在較短的時(shí)間內(nèi)通過(guò)樓梯和自動(dòng)扶梯到達(dá)站廳出站，必然存在一局部乘客在樓梯動(dòng)扶梯到達(dá)站廳出站，必然存在一局部乘客在樓梯和自動(dòng)扶梯處排隊(duì)等候。和自動(dòng)扶梯處排隊(duì)等候。假設(shè)乘客排隊(duì)等候時(shí)間超過(guò)了

4、列車發(fā)車間隔，那么假設(shè)乘客排隊(duì)等候時(shí)間超過(guò)了列車發(fā)車間隔，那么等候的乘客越來(lái)越多，造成樓梯和自動(dòng)扶梯處越來(lái)等候的乘客越來(lái)越多，造成樓梯和自動(dòng)扶梯處越來(lái)越堵。越堵。2/2/202241 乘客排隊(duì)系統(tǒng)推導(dǎo)在一列車到站后的發(fā)車間隔內(nèi)，把從列車下到站在一列車到站后的發(fā)車間隔內(nèi)，把從列車下到站臺(tái)的乘客看作效勞對(duì)象，出站的樓梯和自動(dòng)扶梯臺(tái)的乘客看作效勞對(duì)象，出站的樓梯和自動(dòng)扶梯看作效勞通道，并對(duì)站臺(tái)上的樓梯和自動(dòng)扶梯以看作效勞通道，并對(duì)站臺(tái)上的樓梯和自動(dòng)扶梯以及乘客作一些根本的假設(shè)：及乘客作一些根本的假設(shè)：(1)樓梯和自動(dòng)扶梯沿著站臺(tái)縱向均勻布置，且樓梯和自動(dòng)扶梯沿著站臺(tái)縱向均勻布置，且這種均勻布置使乘客

5、在站臺(tái)上行走的距離最短。這種均勻布置使乘客在站臺(tái)上行走的距離最短。(2)下車乘客平均分布于每節(jié)車廂中。下車乘客平均分布于每節(jié)車廂中。(3)所有下車乘客在站臺(tái)上走行的速度是相等的，所有下車乘客在站臺(tái)上走行的速度是相等的，并保持一定的速度。并保持一定的速度。2/2/20225把每組樓梯和自動(dòng)扶梯及其吸引的客流看作為把每組樓梯和自動(dòng)扶梯及其吸引的客流看作為站臺(tái)上的一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)，那么在這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)站臺(tái)上的一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)，那么在這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)中：中：輸入過(guò)程：乘客以一定的速度從站臺(tái)行走到距輸入過(guò)程：乘客以一定的速度從站臺(tái)行走到距離自己最近的樓梯和自動(dòng)扶梯處尋求效勞，以離自己最近的樓梯和自動(dòng)扶梯處尋求效勞，以

6、 表示乘客單位時(shí)間到達(dá)樓梯和自動(dòng)扶梯的人表示乘客單位時(shí)間到達(dá)樓梯和自動(dòng)扶梯的人數(shù)，即排隊(duì)系統(tǒng)的輸入率數(shù)，即排隊(duì)系統(tǒng)的輸入率 (單位：人單位：人/s)。每。每組樓梯和自動(dòng)扶梯效勞的乘客數(shù)為組樓梯和自動(dòng)扶梯效勞的乘客數(shù)為 wqn2/2/20226 排隊(duì)系統(tǒng)的輸入率排隊(duì)系統(tǒng)的輸入率 W列車到站后下車或換乘的人數(shù)列車到站后下車或換乘的人數(shù) v下車乘客在站臺(tái)上的行走速度下車乘客在站臺(tái)上的行走速度 l站臺(tái)的有效長(zhǎng)度站臺(tái)的有效長(zhǎng)度 n站臺(tái)上樓梯和自動(dòng)扶梯的組數(shù)站臺(tái)上樓梯和自動(dòng)扶梯的組數(shù)輸入的時(shí)間 0lt2 nv 其輸入率的具體表達(dá)式為：2wvl (1)2/2/20227排隊(duì)規(guī)那么：乘客到達(dá)樓梯和自動(dòng)扶梯口處

7、，假排隊(duì)規(guī)那么：乘客到達(dá)樓梯和自動(dòng)扶梯口處，假設(shè)樓梯和自動(dòng)扶梯沒(méi)被占用時(shí)，乘客立即使用樓設(shè)樓梯和自動(dòng)扶梯沒(méi)被占用時(shí)，乘客立即使用樓梯和自動(dòng)扶梯，假設(shè)樓梯和自動(dòng)扶梯被占用，不梯和自動(dòng)扶梯，假設(shè)樓梯和自動(dòng)扶梯被占用，不能為乘客提供效勞時(shí)，乘客就會(huì)在此等候樓梯和能為乘客提供效勞時(shí)，乘客就會(huì)在此等候樓梯和自動(dòng)扶梯的效勞，而且效勞次序?yàn)橄鹊较刃凇Ｗ詣?dòng)扶梯的效勞，而且效勞次序?yàn)橄鹊较刃凇?/2/20228輸出過(guò)程：輸出過(guò)程： 由于樓梯和自動(dòng)扶梯的通過(guò)能力是一由于樓梯和自動(dòng)扶梯的通過(guò)能力是一定的，以定的，以 表示樓梯和自動(dòng)扶梯的輸出率表示樓梯和自動(dòng)扶梯的輸出率 (單單位：人位：人s)。那么排隊(duì)系統(tǒng)的輸出

8、率。那么排隊(duì)系統(tǒng)的輸出率 與樓梯和自與樓梯和自動(dòng)扶梯的寬度相關(guān)，當(dāng)樓梯和自動(dòng)扶梯的寬度確動(dòng)扶梯的寬度相關(guān)，當(dāng)樓梯和自動(dòng)扶梯的寬度確定后，每一組樓梯和自動(dòng)扶梯的輸出過(guò)程是一個(gè)定后，每一組樓梯和自動(dòng)扶梯的輸出過(guò)程是一個(gè)定長(zhǎng)輸出過(guò)程，其輸出率定長(zhǎng)輸出過(guò)程，其輸出率 的具體表達(dá)式為：的具體表達(dá)式為：2/2/20229(2) 排隊(duì)系統(tǒng)的輸出率排隊(duì)系統(tǒng)的輸出率C自動(dòng)扶梯自動(dòng)扶梯自動(dòng)扶梯的通過(guò)能力自動(dòng)扶梯的通過(guò)能力d自動(dòng)扶梯自動(dòng)扶梯自動(dòng)扶梯的凈寬度自動(dòng)扶梯的凈寬度C樓梯樓梯樓梯的通過(guò)能力樓梯的通過(guò)能力d樓梯樓梯樓梯的凈寬度樓梯的凈寬度輸出時(shí)間輸出時(shí)間 t1表達(dá)式為：表達(dá)式為：cdcd自動(dòng)扶梯自動(dòng)扶梯樓梯樓梯

9、1wtn (3)2/2/202210通過(guò)上面的假設(shè)和分析，每一組樓梯和自動(dòng)扶梯通過(guò)上面的假設(shè)和分析，每一組樓梯和自動(dòng)扶梯所組成的效勞系統(tǒng)是一個(gè)定長(zhǎng)輸入、定長(zhǎng)輸出的所組成的效勞系統(tǒng)是一個(gè)定長(zhǎng)輸入、定長(zhǎng)輸出的單通道排隊(duì)系統(tǒng)，由單通道排隊(duì)系統(tǒng)，由n組樓梯和自動(dòng)扶梯布置在組樓梯和自動(dòng)扶梯布置在站臺(tái)形成的乘客排隊(duì)系統(tǒng)那么是一個(gè)定長(zhǎng)輸入、站臺(tái)形成的乘客排隊(duì)系統(tǒng)那么是一個(gè)定長(zhǎng)輸入、定長(zhǎng)輸出、多通道的排隊(duì)系統(tǒng)即：定長(zhǎng)輸出、多通道的排隊(duì)系統(tǒng)即：d/d/n排隊(duì)系排隊(duì)系統(tǒng)。統(tǒng)。2/2/202211 上述這個(gè)上述這個(gè)d/d/n排隊(duì)系統(tǒng)可以近似的用圖排隊(duì)系統(tǒng)可以近似的用圖l來(lái)描述，橫軸來(lái)描述，橫軸表示時(shí)間，縱軸表示累表

10、示時(shí)間，縱軸表示累 計(jì)輸入或輸出乘客數(shù)；排隊(duì)系統(tǒng)計(jì)輸入或輸出乘客數(shù)；排隊(duì)系統(tǒng)輸入量曲線和輸出量曲線分別如下圖，它們對(duì)應(yīng)的縱軸坐輸入量曲線和輸出量曲線分別如下圖，它們對(duì)應(yīng)的縱軸坐標(biāo)就分別是累計(jì)輸入乘客數(shù)和累計(jì)輸出乘客數(shù)，陰影局部標(biāo)就分別是累計(jì)輸入乘客數(shù)和累計(jì)輸出乘客數(shù)，陰影局部的面積表示排隊(duì)乘客總的延誤時(shí)間。的面積表示排隊(duì)乘客總的延誤時(shí)間。圖1 ddn排隊(duì)系統(tǒng)圖形表示圖中參數(shù)的含義為： t0排隊(duì)系統(tǒng)中輸入完畢時(shí)間 t1排隊(duì)系統(tǒng)中輸出完畢時(shí)間 自動(dòng)扶梯和樓梯口的輸入率自動(dòng)扶梯和樓梯口的輸出率Q0輸入時(shí)間完畢時(shí)自動(dòng)扶梯和樓梯的輸出量Q1自動(dòng)扶梯口的全部輸入量2/2/202212 在這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)中采用

11、近似的計(jì)算得出一些重要的指標(biāo)表在這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)中采用近似的計(jì)算得出一些重要的指標(biāo)表達(dá)式為：達(dá)式為： 最大排隊(duì)乘客數(shù)：最大排隊(duì)乘客數(shù)： Q=Q1-Q0=t0-t0 (4) 排隊(duì)中最大延誤時(shí)間：排隊(duì)中最大延誤時(shí)間： ts=t1-t0 (假設(shè)假設(shè)ts0，那么表示沒(méi)有排隊(duì)產(chǎn)生，那么表示沒(méi)有排隊(duì)產(chǎn)生) (5) 平均排隊(duì)乘客數(shù)：平均排隊(duì)乘客數(shù)：12011Q(QQ )()t22101t(tt )2s0101D=Qt()t (tt )2排隊(duì)平均延誤時(shí)間：排隊(duì)乘客總的延誤時(shí)間： (8) (6) (7)2/2/202213車站樓梯和自動(dòng)扶梯處客流延時(shí)實(shí)例 以發(fā)車間隔以發(fā)車間隔2 min，6節(jié)編組的節(jié)編組的B型車為例

12、，列車長(zhǎng)度型車為例，列車長(zhǎng)度114m，車廂定員，車廂定員245人，到站后人，到站后30 的乘客下車出站，的乘客下車出站，乘客在站臺(tái)上的走行速度取乘客在站臺(tái)上的走行速度取0.64 m/s。每。每1m寬的自動(dòng)扶寬的自動(dòng)扶梯梯 通過(guò)能力通過(guò)能力7 200人人/h。 站臺(tái)上布置兩組自動(dòng)扶梯供乘客出站，自動(dòng)扶梯在站臺(tái)上的站臺(tái)上布置兩組自動(dòng)扶梯供乘客出站，自動(dòng)扶梯在站臺(tái)上的布置位置滿足上面假設(shè)的原那么，那么自動(dòng)扶梯在站臺(tái)上的布置位置滿足上面假設(shè)的原那么，那么自動(dòng)扶梯在站臺(tái)上的布置位置如示意圖布置位置如示意圖2所示：所示： 圖2 兩組自動(dòng)扶梯布置位置示意圖2/2/2022142wv2 441 0.64=5/

13、sl114人0l114t=44.53s2 nv2 2 0.64 1w441t=110.25sn2 2此時(shí)站臺(tái)上兩組自動(dòng)扶梯和下車乘客是一個(gè)d/d/2系統(tǒng)，對(duì)于每一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)，其輸入率和輸出率為：=c自動(dòng)扶梯d自動(dòng)扶梯+c樓梯d樓梯=21=2人/s輸入時(shí)間t0為：輸出時(shí)間t1為：排隊(duì)中最大延誤時(shí)間為：ts=t1-t0最大排隊(duì)乘客數(shù)：Q=Q1-Q0=t0-t0=(5-2)44.53=134人(取整)排隊(duì)乘客總的延誤時(shí)間：s01011D=Qt()t (tt )134 65.7273.3822min2/2/202215 對(duì)一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，最大的排隊(duì)乘客數(shù)為對(duì)一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，最大的排隊(duì)乘客數(shù)為134

14、人，排隊(duì)人，排隊(duì)乘客的總的延誤時(shí)間為乘客的總的延誤時(shí)間為73、38 min，而對(duì)整個(gè)站臺(tái)來(lái)，而對(duì)整個(gè)站臺(tái)來(lái)說(shuō)，有兩個(gè)這樣的排隊(duì)系統(tǒng)，因此在一列車到來(lái)后的出站說(shuō)，有兩個(gè)這樣的排隊(duì)系統(tǒng)，因此在一列車到來(lái)后的出站乘客乘客 將會(huì)有將會(huì)有268人需要排隊(duì)等候，排隊(duì)中最大的延誤時(shí)間為人需要排隊(duì)等候，排隊(duì)中最大的延誤時(shí)間為65.72s，所有乘客總的排隊(duì)時(shí)間為，所有乘客總的排隊(duì)時(shí)間為146.76 min。假設(shè)。假設(shè)排隊(duì)系統(tǒng)中最大延誤時(shí)間大于列車發(fā)車間隔，那么在樓梯排隊(duì)系統(tǒng)中最大延誤時(shí)間大于列車發(fā)車間隔，那么在樓梯和自動(dòng)扶和自動(dòng)扶 梯處總有乘客在排隊(duì)等候，而且人數(shù)越來(lái)越多，這樣就需梯處總有乘客在排隊(duì)等候，而且人

15、數(shù)越來(lái)越多，這樣就需要重新設(shè)計(jì)樓梯和自動(dòng)扶梯的寬度。要重新設(shè)計(jì)樓梯和自動(dòng)扶梯的寬度。2/2/202216通過(guò)對(duì)站臺(tái)上客流狀態(tài)進(jìn)展假設(shè)，建立了樓梯和通過(guò)對(duì)站臺(tái)上客流狀態(tài)進(jìn)展假設(shè)，建立了樓梯和自動(dòng)扶梯處客流延時(shí)的自動(dòng)扶梯處客流延時(shí)的ddn排隊(duì)系統(tǒng)模型，排隊(duì)系統(tǒng)模型，并推導(dǎo)出客流延時(shí)的指標(biāo)公式。通過(guò)預(yù)測(cè)的客流并推導(dǎo)出客流延時(shí)的指標(biāo)公式。通過(guò)預(yù)測(cè)的客流以及乘客在站臺(tái)上行走的實(shí)際速度，可估算出車以及乘客在站臺(tái)上行走的實(shí)際速度，可估算出車站內(nèi)最大乘客延誤數(shù)量及延誤時(shí)間，有利于比較站內(nèi)最大乘客延誤數(shù)量及延誤時(shí)間，有利于比較清楚地把握車站內(nèi)乘客延時(shí)狀況。清楚地把握車站內(nèi)乘客延時(shí)狀況。討論：改變參數(shù)討論：改變參

16、數(shù)1下車人數(shù)比例為下車人數(shù)比例為60%；2平面通道的通行時(shí)間分析平面通道的通行時(shí)間分析2/2/202217學(xué)生實(shí)驗(yàn)城市軌道交通進(jìn)站檢票機(jī)分析教學(xué)目的：要求學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用排隊(duì)論的思想分析教學(xué)目的：要求學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用排隊(duì)論的思想分析實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題調(diào)查方案設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)特征分析*排隊(duì)系統(tǒng)參數(shù)分析*排隊(duì)系統(tǒng)仿真背景介紹2/2/202218排隊(duì)系統(tǒng)的描述排隊(duì)系統(tǒng)的描述顧客總體顧客總體隊(duì)伍隊(duì)伍效勞臺(tái)效勞臺(tái)效勞系統(tǒng)輸出輸出輸入輸入2/2/202219排隊(duì)效勞系統(tǒng)的根本概念排隊(duì)效勞系統(tǒng)的根本概念輸入過(guò)程：描述顧客來(lái)源是按怎樣的規(guī)律抵達(dá)排隊(duì)輸入過(guò)程：描述顧客來(lái)源是按怎樣的規(guī)律抵達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)。系統(tǒng)。1.顧客源總體顧客源總體

17、:有限還是無(wú)限有限還是無(wú)限2.到達(dá)類型：?jiǎn)蝹€(gè)到達(dá)還是成批到達(dá)到達(dá)類型：?jiǎn)蝹€(gè)到達(dá)還是成批到達(dá) 3.相繼顧客到達(dá)的時(shí)間間隔：相互獨(dú)立、同分布的相繼顧客到達(dá)的時(shí)間間隔：相互獨(dú)立、同分布的;等時(shí)間間隔的等時(shí)間間隔的;服從服從Poisson分布的；分布的； k階階Erlang分分布布泊松分布適合于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。如某一效勞設(shè)施在泊松分布適合于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。如某一效勞設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)， 交換機(jī)接到呼叫的次數(shù)，汽車站臺(tái)的候客人數(shù)，交換機(jī)接到呼叫的次數(shù)，汽車站臺(tái)的候客人數(shù)，機(jī)器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)等等。機(jī)器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害

18、發(fā)生的次數(shù)等等。2/2/202220排隊(duì)效勞系統(tǒng)的根本概念排隊(duì)效勞系統(tǒng)的根本概念排隊(duì)規(guī)那么：指效勞系統(tǒng)是否允許排隊(duì)，顧客是否愿意排隊(duì)排隊(duì)規(guī)那么：指效勞系統(tǒng)是否允許排隊(duì)，顧客是否愿意排隊(duì)1.損失制排隊(duì)系統(tǒng)：顧客到達(dá)假設(shè)所有效勞臺(tái)被占，效勞機(jī)構(gòu)又損失制排隊(duì)系統(tǒng)：顧客到達(dá)假設(shè)所有效勞臺(tái)被占，效勞機(jī)構(gòu)又不允許顧客等待，此時(shí)該顧客就自動(dòng)離去。不允許顧客等待，此時(shí)該顧客就自動(dòng)離去。2.等待制排隊(duì)系統(tǒng)：顧客到達(dá)時(shí)假設(shè)效勞臺(tái)均被占，他們就排隊(duì)等待制排隊(duì)系統(tǒng)：顧客到達(dá)時(shí)假設(shè)效勞臺(tái)均被占，他們就排隊(duì)等待。效勞順序有：先到先效勞、后到先效勞、隨機(jī)效勞、有優(yōu)等待。效勞順序有：先到先效勞、后到先效勞、隨機(jī)效勞、有優(yōu)先權(quán)

19、的效勞先權(quán)的效勞3.混合制排隊(duì)系統(tǒng)：損失制與等待制的混合。隊(duì)長(zhǎng)容量有限混合制排隊(duì)系統(tǒng)：損失制與等待制的混合。隊(duì)長(zhǎng)容量有限的混合；等待時(shí)間有限的混合；逗留時(shí)間有限的混合的混合；等待時(shí)間有限的混合；逗留時(shí)間有限的混合2/2/202221排隊(duì)效勞系統(tǒng)的根本概念排隊(duì)效勞系統(tǒng)的根本概念效勞機(jī)構(gòu)：效勞機(jī)構(gòu)：2.顧客所需的效勞時(shí)間服從怎樣的概率分布顧客所需的效勞時(shí)間服從怎樣的概率分布(常見(jiàn)顧客的效勞時(shí)間分布有常見(jiàn)顧客的效勞時(shí)間分布有:定長(zhǎng)分布、負(fù)定長(zhǎng)分布、負(fù)指數(shù)分布、超指數(shù)分布、指數(shù)分布、超指數(shù)分布、k階階Erlang分布、分布、幾何分布、一般分布幾何分布、一般分布)2/2/202222排隊(duì)論模型的符號(hào)表示

20、排隊(duì)論模型的符號(hào)表示通常由通常由3-5個(gè)英文字母組成，個(gè)英文字母組成，其形式為其形式為 A/B/C/n，其中其中 A表示輸入過(guò)程，表示輸入過(guò)程， B表示效勞時(shí)間，表示效勞時(shí)間， C表示效勞臺(tái)數(shù)目，表示效勞臺(tái)數(shù)目， n表示系統(tǒng)空間數(shù)表示系統(tǒng)空間數(shù)排隊(duì)模型的表示：排隊(duì)模型的表示：X/Y/Z/A/B/CX顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間的分布；間的分布；Y效勞時(shí)間的分布；效勞時(shí)間的分布；Z效勞臺(tái)個(gè)數(shù)；效勞臺(tái)個(gè)數(shù)；A系統(tǒng)容量限制默認(rèn)為系統(tǒng)容量限制默認(rèn)為；B顧客源數(shù)目默認(rèn)為顧客源數(shù)目默認(rèn)為；C效勞規(guī)那么效勞規(guī)那么 默認(rèn)為先默認(rèn)為先到先效勞到先效勞FCFS)。 M負(fù)指數(shù)分布、負(fù)指數(shù)分布、D確定確

21、定型、型、Ek k階愛(ài)爾朗分布。階愛(ài)爾朗分布。2/2/202223描述排隊(duì)論系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)描述排隊(duì)論系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)1.1.隊(duì)長(zhǎng)隊(duì)長(zhǎng)(Ls) (Ls) ：指在系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)：指在系統(tǒng)中顧客的平均數(shù) 等待隊(duì)長(zhǎng)等待隊(duì)長(zhǎng)(Lq)(Lq)：指系統(tǒng)中等待的顧客的平均數(shù)：指系統(tǒng)中等待的顧客的平均數(shù)2.2.顧客的平均等待時(shí)間顧客的平均等待時(shí)間(Wq)(Wq)：指顧客進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)刻起到開(kāi)場(chǎng)接：指顧客進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)刻起到開(kāi)場(chǎng)接 受效勞止的平均時(shí)間受效勞止的平均時(shí)間與平均逗留時(shí)間與平均逗留時(shí)間(Ws)(Ws)：指顧客在系統(tǒng)中平均等待時(shí)間與平均效勞：指顧客在系統(tǒng)中平均等待時(shí)間與平均效勞時(shí)間之和時(shí)間之和效勞機(jī)

22、構(gòu)工作強(qiáng)度效勞機(jī)構(gòu)工作強(qiáng)度= =由于效勞顧客的時(shí)間由于效勞顧客的時(shí)間/ /效勞設(shè)施總的效勞時(shí)間效勞設(shè)施總的效勞時(shí)間 =1-=1-效勞設(shè)施總的空閑時(shí)間效勞設(shè)施總的空閑時(shí)間/ /效勞設(shè)施總的效勞效勞設(shè)施總的效勞時(shí)間時(shí)間2/2/202224與排隊(duì)論模型有關(guān)的與排隊(duì)論模型有關(guān)的LINGO函數(shù)函數(shù)1.peb(load,S)該函數(shù)返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為該函數(shù)返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load，系統(tǒng)中有，系統(tǒng)中有S個(gè)效勞臺(tái)且允個(gè)效勞臺(tái)且允許排隊(duì)時(shí)系統(tǒng)繁忙的概率，也就是顧客等待的概率許排隊(duì)時(shí)系統(tǒng)繁忙的概率，也就是顧客等待的概率2.pel(load,S)該函數(shù)返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為該函數(shù)返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load，系統(tǒng)

23、中有，系統(tǒng)中有S個(gè)效勞臺(tái)且不個(gè)效勞臺(tái)且不允許排隊(duì)時(shí)系統(tǒng)損失的概率，也就是顧客得不到效勞離開(kāi)的概允許排隊(duì)時(shí)系統(tǒng)損失的概率，也就是顧客得不到效勞離開(kāi)的概率率3.pfs(load,S,K)該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為該函數(shù)的返回值是當(dāng)?shù)竭_(dá)負(fù)荷為load ，顧客數(shù)為，顧客數(shù)為K,平行效勞臺(tái)平行效勞臺(tái)數(shù)量為數(shù)量為S時(shí)，有限源的時(shí)，有限源的Poisson效勞系統(tǒng)等待或返修顧客數(shù)的期效勞系統(tǒng)等待或返修顧客數(shù)的期望值望值2/2/202225等待制排隊(duì)模型等待制排隊(duì)模型等待制排隊(duì)模型中最常見(jiàn)的模型是：等待制排隊(duì)模型中最常見(jiàn)的模型是： M/M/S/,即顧客到達(dá)系統(tǒng)的相繼到達(dá)時(shí)間間隔獨(dú)立，且即顧客到達(dá)系統(tǒng)的相繼到達(dá)

24、時(shí)間間隔獨(dú)立，且服從參數(shù)為服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布即輸入過(guò)程為過(guò)的負(fù)指數(shù)分布即輸入過(guò)程為過(guò)程，效勞臺(tái)的效勞時(shí)間也獨(dú)立同分布，且服程，效勞臺(tái)的效勞時(shí)間也獨(dú)立同分布，且服從參數(shù)為從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，而且系統(tǒng)空間無(wú)限，的負(fù)指數(shù)分布，而且系統(tǒng)空間無(wú)限，允許永遠(yuǎn)排隊(duì)允許永遠(yuǎn)排隊(duì)2/2/202226等待制排隊(duì)模型的根本參數(shù)等待制排隊(duì)模型的根本參數(shù)1.1.顧客等待的概率顧客等待的概率:Pwait=peb(load,S),:Pwait=peb(load,S),其中其中S S是效勞臺(tái)或效勞員的個(gè)數(shù)，是效勞臺(tái)或效勞員的個(gè)數(shù)，load= / =RT,load= / =RT,其中其中R= ,T= 1/R= ,T= 1

25、/，R R是顧客的平均到達(dá)率，是顧客的平均到達(dá)率，T T是平是平均效勞時(shí)間均效勞時(shí)間2.2.顧客的平均等待時(shí)間：顧客的平均等待時(shí)間：Wq= PwaitT/(S-load),Wq= PwaitT/(S-load),其中其中T/(S-load)T/(S-load)可以看成一個(gè)合理的長(zhǎng)度間隔，可以看成一個(gè)合理的長(zhǎng)度間隔，3.3.顧客的平均逗留時(shí)間、隊(duì)長(zhǎng)和等待隊(duì)長(zhǎng)顧客的平均逗留時(shí)間、隊(duì)長(zhǎng)和等待隊(duì)長(zhǎng)littlelittle公公式式 Ws= Wq+1/ =Wq+T Ls= Ws=RWs Lq= Ws= Wq+1/ =Wq+T Ls= Ws=RWs Lq= Wq=R WqWq=R Wq2/2/202227等

26、待制排隊(duì)模型實(shí)例等待制排隊(duì)模型實(shí)例1.S=1 (M/M/1/)例例1：某維修中心在周末現(xiàn)只安排一名員工為顧客提供效勞，：某維修中心在周末現(xiàn)只安排一名員工為顧客提供效勞，新來(lái)維修的新來(lái)維修的 顧客到達(dá)后，假設(shè)已有顧客正在承受效勞，那么顧客到達(dá)后，假設(shè)已有顧客正在承受效勞，那么需要排隊(duì)等待，假設(shè)來(lái)維修的顧客到達(dá)過(guò)程為需要排隊(duì)等待，假設(shè)來(lái)維修的顧客到達(dá)過(guò)程為Poisson流，流，平均每小時(shí)平均每小時(shí)4人，維修時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要人，維修時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6min,試求該系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)。試求該系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)。2.S=3 (M/M/S/)例例2：設(shè)打印室有：設(shè)打印室有3名打字員

27、，平均每個(gè)文件的打印時(shí)間為名打字員，平均每個(gè)文件的打印時(shí)間為10min,而文件到達(dá)率為每小時(shí)而文件到達(dá)率為每小時(shí)15件，試求該打印室的主要數(shù)件，試求該打印室的主要數(shù)量指標(biāo)。量指標(biāo)。2/2/202228等待制排隊(duì)模型實(shí)例等待制排隊(duì)模型實(shí)例例1：Model:S=1;R=4;T=6/60;load=R*T;Pwait=peb(load,S);W_q=Pwait*T/(S-load);L_q=R*W_q;W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;End例例2：Model:S=3;R=15;T=10/60;load=R*T;Pwait=peb(load,S);W_q=Pwait*T/(S-load);L_

28、q=R*W_q;W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;END2/2/202229損失制排隊(duì)模型損失制排隊(duì)模型損失制排隊(duì)模型通常記為損失制排隊(duì)模型通常記為 M/M/S/S,當(dāng)當(dāng)S個(gè)效勞器被占用后，顧客自動(dòng)離個(gè)效勞器被占用后，顧客自動(dòng)離去去2/2/202230損失制排隊(duì)模型的根本參數(shù)損失制排隊(duì)模型的根本參數(shù)1.系統(tǒng)損失的概率：系統(tǒng)損失的概率：Plost=pel(load,S)2.單位時(shí)間內(nèi)平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)： e=Re= (1-Plost)=R(1-Plost)3.系統(tǒng)的相對(duì)通過(guò)能力系統(tǒng)的相對(duì)通過(guò)能力(Q)與絕對(duì)通過(guò)能力與絕對(duì)通過(guò)能力(A) Q=1-Plost,

29、 A= eQ= (1-Plost)2 =ReQ= R(1-Plost)2 4.系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)占用效勞臺(tái)的均值系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)占用效勞臺(tái)的均值:Ls= e/=ReT 注意：在損失制系統(tǒng)中，注意：在損失制系統(tǒng)中，Lq=0,即等待隊(duì)長(zhǎng)為即等待隊(duì)長(zhǎng)為05.系統(tǒng)效勞臺(tái)的效率：系統(tǒng)效勞臺(tái)的效率：=Ls/S6.顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時(shí)間顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時(shí)間:Ws=1/ =T注意：在損失制系統(tǒng)中，注意：在損失制系統(tǒng)中，Wq=0,即等待時(shí)間為即等待時(shí)間為02/2/202231損失制排隊(duì)模型實(shí)例損失制排隊(duì)模型實(shí)例S=1(M/M/1/1)例例1：設(shè)某條：設(shè)某條 線，平均每分線，平均每分鐘有鐘有0.6次呼喚，次呼

30、喚，假設(shè)每次通話假設(shè)每次通話時(shí)間平均為時(shí)間平均為1.25min,求系求系統(tǒng)相應(yīng)的參數(shù)統(tǒng)相應(yīng)的參數(shù)指標(biāo)。指標(biāo)。model:S=1;R=0.6;T=1.25;load=R*T;Plost=pel(load,S);Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e;L_s=R_e*T,eta=L_s/S;endEta-2/2/202232損失制排隊(duì)模型實(shí)例損失制排隊(duì)模型實(shí)例S1(M/M/S/S)例2：某單位 交換臺(tái)有一臺(tái)200門內(nèi)線的總機(jī)，在上班8小時(shí)內(nèi)，有20%的內(nèi)線分機(jī)平均每40min要一次外線 ，80%的分機(jī)平均間隔120min要一次外線。又知外線打入內(nèi)線的 平均每分鐘1次。假設(shè)與外線通話的時(shí)

31、間為平均3min，并且上述時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布，如果要求 的通話率為95%，問(wèn)該交換臺(tái)應(yīng)設(shè)置多少條外線？2/2/202233損失制排隊(duì)模型實(shí)例損失制排隊(duì)模型實(shí)例例例2：分析：分析：1) 交換臺(tái)的效勞分成兩類，第一類內(nèi)線交換臺(tái)的效勞分成兩類，第一類內(nèi)線打外線，其強(qiáng)度為打外線，其強(qiáng)度為 1=0.260/40+0.860/120200=140第二類是外線打內(nèi)線，其強(qiáng)度為第二類是外線打內(nèi)線，其強(qiáng)度為 2 =160=60因此總的強(qiáng)度為因此總的強(qiáng)度為 = 1+ 2=140+60=2003外線是整數(shù)，在滿足條件下，條數(shù)越外線是整數(shù)，在滿足條件下，條數(shù)越少越好少越好Model:R=200;T=3/60;loa

32、d=R*T;Plost=pel(load,S);Plost=0.05;Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e;L_s=R_e*T;eta=L_s/S;Min=S;gin(S);end2/2/202234混合制排隊(duì)模型混合制排隊(duì)模型混合制排隊(duì)模型通常記為：混合制排隊(duì)模型通常記為：M/M/S/K,即有即有S個(gè)效個(gè)效勞臺(tái)或效勞員，系統(tǒng)空間容量為勞臺(tái)或效勞員，系統(tǒng)空間容量為K，當(dāng)，當(dāng)K個(gè)位置已個(gè)位置已被顧客占用時(shí)，新到的顧客自動(dòng)離去，當(dāng)系統(tǒng)中被顧客占用時(shí)，新到的顧客自動(dòng)離去，當(dāng)系統(tǒng)中有空位置時(shí)，新到的顧客進(jìn)入系統(tǒng)排隊(duì)等待。有空位置時(shí)，新到的顧客進(jìn)入系統(tǒng)排隊(duì)等待。2/2/202235閉合式排

33、隊(duì)模型閉合式排隊(duì)模型設(shè)系統(tǒng)內(nèi)有設(shè)系統(tǒng)內(nèi)有M個(gè)效勞臺(tái)，顧客到達(dá)系統(tǒng)的間隔時(shí)間個(gè)效勞臺(tái)，顧客到達(dá)系統(tǒng)的間隔時(shí)間和效勞臺(tái)的效勞時(shí)間均為負(fù)指數(shù)分布，而系統(tǒng)的容和效勞臺(tái)的效勞時(shí)間均為負(fù)指數(shù)分布，而系統(tǒng)的容量和潛在的顧客數(shù)都為量和潛在的顧客數(shù)都為K，顧客到達(dá)率為，顧客到達(dá)率為 ，效勞，效勞臺(tái)的平均效勞率為臺(tái)的平均效勞率為 ，這樣的系統(tǒng)稱為閉合式排隊(duì)，這樣的系統(tǒng)稱為閉合式排隊(duì)模型，記為：模型，記為：M/M/S/K/K2/2/202236閉合式排隊(duì)模型的根本參數(shù)閉合式排隊(duì)模型的根本參數(shù)1.平均隊(duì)長(zhǎng)：平均隊(duì)長(zhǎng)：Ls=pfs(load,S,K),load=K / =KRT即即: 系統(tǒng)的負(fù)荷系統(tǒng)的負(fù)荷=系統(tǒng)的顧客數(shù)

34、系統(tǒng)的顧客數(shù)顧客到達(dá)率顧客到達(dá)率顧客的效勞時(shí)顧客的效勞時(shí)間間2.單位時(shí)間平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)單位時(shí)間平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù): e= KLs=R(KLs)=Re3.顧客處于正常情況的概率顧客處于正常情況的概率:P=(KLs)/K4.平均逗留時(shí)間、平均等待隊(duì)長(zhǎng)和平均排隊(duì)等待時(shí)間平均逗留時(shí)間、平均等待隊(duì)長(zhǎng)和平均排隊(duì)等待時(shí)間Ws=Ls/ e=Ls/Re Lq=Ls e/ =Ls-ReTWq=Ws1/ =WsT5.每個(gè)效勞臺(tái)的工作強(qiáng)度每個(gè)效勞臺(tái)的工作強(qiáng)度:Pwork= e/(S)2/2/202237排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化模型排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化模型例：某工人照管例：某工人照管4臺(tái)自動(dòng)臺(tái)自動(dòng)機(jī)床，機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間平均機(jī)床，機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間平均為負(fù)指數(shù)分布，假定平均為負(fù)指數(shù)分布，假定平均每周有一臺(tái)機(jī)床損壞需