萬(wàn)爾遐：數(shù)學(xué)解題的理念與意義

1、萬(wàn)爾遐：數(shù)學(xué)解題的理念與意義萬(wàn)爾遐：數(shù)學(xué)解題的理念與意義讓我們?cè)谌f(wàn)老的引領(lǐng)下，去領(lǐng)略數(shù)學(xué)解題的魅力吧。 1 1 如果把解題比做打仗，那么解題者的兵器”就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，兵力”就是數(shù)學(xué)基本方法，而調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)解題思想則正是兵法” 2 2 數(shù)學(xué)家存在的主要理由就是解決問題。因此，數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問題和解答。問題是數(shù)學(xué)的心臟”3 3 問題反映了現(xiàn)有水平與客觀需要的矛盾，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，就是已知和未知的矛盾。問題就是矛盾。對(duì)于學(xué)生而言，問題有三個(gè)特征：（1 1）接受性：學(xué)生愿意解決并且具有解決它的知識(shí)基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ)。（2 2）障礙性：學(xué)生不能直接看出它的解法和答案，而必須

2、經(jīng)過(guò)思考才能解決。（3 3）探究性：學(xué)生不能按照現(xiàn)成的的套路去解，需要進(jìn)行探索，尋找新的處理方法。 4 4 練習(xí)型的問題具有教學(xué)性，它的結(jié)論為數(shù)學(xué)家或教師所已知，其之成為問題僅相對(duì)于教學(xué)或?qū)W生而言，包括一個(gè)待計(jì)算的答案、 一個(gè)待證明的結(jié)論、 一個(gè)待作出的圖形、 一個(gè)待判斷的命題、一個(gè)待解決的實(shí)際問題。 5 5 問題解決”有不同的解釋，比較典型的觀點(diǎn)可歸納為4 4 種：（1 1）問題解決是心理活動(dòng)。面臨新情境、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾而自己卻沒有現(xiàn)成對(duì)策時(shí)，所引起的尋求處理辦法的一種活動(dòng)。（2 2）問題解決是一個(gè)探究過(guò)程。把 問題解決”定義為 將先前已獲得的知識(shí)用于新的、不熟悉的情境的過(guò)

3、程”這就是說(shuō)，問題解決是一個(gè)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程、探索的過(guò)程、創(chuàng)新的過(guò)程。（3 3）問題解決是一個(gè)學(xué)習(xí)目的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決 ”因而，學(xué)習(xí)怎樣解決問題就成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本原因。此時(shí)，問題解決就獨(dú)立于特殊的問題，獨(dú)立于一般過(guò)程或方法，也獨(dú)立于數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容。（4 4）問題解決是一種生存能力。重視問題解決能力的培養(yǎng)、發(fā)展問題解決的能力，其目的之一是，在這個(gè)充滿疑問、有時(shí)連問題和答案都是不確定的世界里，學(xué)習(xí)生存的本領(lǐng)。 6 6 解題研究存在一些誤區(qū)， 首先一個(gè)表現(xiàn)是，用現(xiàn)成的例子說(shuō)明現(xiàn)成的觀點(diǎn)，或用現(xiàn)成的觀點(diǎn)解釋現(xiàn)成的例子。其次一個(gè)表現(xiàn)是，長(zhǎng)期徘徊在一招一式的歸類上，缺少觀點(diǎn)上的提高或?qū)嵸|(zhì)性的突

4、破。第三個(gè)表現(xiàn)是，多研究怎樣解”較少問為什么這樣解”在這些誤區(qū)里， 解題而不立法、作答而不立論 ”7 7 人的思維依賴于必要的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)正是數(shù)學(xué)解題思維活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)與憑借。 豐富的知識(shí)并加以優(yōu)化的結(jié)構(gòu)能為題意的本質(zhì)理解與思路的迅速尋找創(chuàng)造成功的條件。 解題 研究的一代宗師波利亞說(shuō)過(guò)： “貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本 ”。8 8 熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的體系。 對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)解題來(lái)說(shuō)， 應(yīng)如數(shù)學(xué)家珍說(shuō)出教材的概念 系統(tǒng)、定理系統(tǒng)、符號(hào)系統(tǒng)。還應(yīng)掌握中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽涉及的基礎(chǔ)理論。深刻理解數(shù)學(xué)概念、準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)定理、公式和法則。熟悉基本規(guī)則和常用的方法，不斷積累數(shù)學(xué)技巧。9

5、 9 數(shù)學(xué)的本質(zhì)活動(dòng)是思維。 思維的對(duì)象是概念， 思維的方式是邏輯。 當(dāng)這種思維與新事物 接觸時(shí)， 將出現(xiàn) “相容”和“不容”的兩種可能。 出現(xiàn) “相容”時(shí)，產(chǎn)生新結(jié)果， 且被原概念吸收， 并發(fā)展成新概念；當(dāng)出現(xiàn) “不容 ”時(shí)，則產(chǎn)生了所謂的問題。這時(shí)，思維出現(xiàn)迂回，甚至?xí)簳r(shí) 退回原地， 將原概念擴(kuò)大或?qū)⒃壿嬜兪?，直到新思維與事物相容為止。至此，也產(chǎn)生新的 結(jié)果，也被原思維吸收。這就是一個(gè)思維活動(dòng)的全過(guò)程。 1010 解題能力，表現(xiàn)于發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的敏銳、洞察力與整體把握。其主 要成分是 3 3 種基本的數(shù)學(xué)能力（運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力） ，核心是能否掌 握正確的

6、思維方法， 包括邏輯思維與非邏輯思維。 其基本要求包括： （ 1 1）掌握解題的科學(xué)程 序；（2 2）掌握數(shù)學(xué)中各種常用的思維方法，如觀察、試驗(yàn)、歸納、演繹、類比、分析、綜合、 抽象、概括等； （3 3）掌握解題的基本策略，能 “因題制宜 ”地選擇對(duì)口的解題思路，使用有效 的解題方法、調(diào)動(dòng)精明的解題技巧； （ 4 4）具有敏銳的直覺。應(yīng)該明白，我們的數(shù)學(xué)解題活動(dòng) 是在縱橫交錯(cuò)的數(shù)學(xué)關(guān)系中進(jìn)行的， 在這個(gè)過(guò)程中， 我們從一種可能性過(guò)渡到另一種可能性 時(shí)，并非對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)都洞察無(wú)遺， 并非總能借助于 “三段論 ”的橋梁， 而是在短時(shí)間內(nèi) 朦朧地插上幻想的翅膀， 直接飛翔到最近的可能性上， 從而

7、達(dá)到對(duì)某種數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)領(lǐng)悟：1111 解題具有實(shí)踐性與探索性的特征， “就像游泳， 滑雪或彈鋼琴一樣，只能通過(guò)模仿和實(shí) 踐來(lái)學(xué)到它你想學(xué)會(huì)游泳，你就必須下水，你想成為解題的能手，你就必須去解題”，尋 找題解，不能教會(huì)，而只能靠自己學(xué)會(huì) ”。1212 所謂解題經(jīng)驗(yàn)，就是某些數(shù)學(xué)知識(shí)、某些解題方法與某些條件的有序組合。成功是一 種有效的有序組合，失敗是一種無(wú)效的無(wú)序組合（它從反面向我們提供有效的有序組合）。成功經(jīng)驗(yàn)所獲得的有序組合，就好像建筑上的預(yù)制構(gòu)件（或稱為思維組塊），遇到合適的場(chǎng)合，可以原封不動(dòng)地把它搬上去。1313 認(rèn)為解題純粹是一種智能活動(dòng)顯然是錯(cuò)誤的；決心與情緒所起的作用非常重要。教育 學(xué)生解題是一種意志教育。 當(dāng)學(xué)生求解那些對(duì)他來(lái)說(shuō)并不太容易的題目時(shí)， 他學(xué)會(huì)了敗而不 餒，學(xué)會(huì)了贊賞微小的進(jìn)展， 學(xué)會(huì)了等待主要念頭的萌動(dòng)， 學(xué)會(huì)了當(dāng)主要念頭出現(xiàn)后如何全 力以赴，直撲問題的核心或主干；當(dāng)一旦突破關(guān)卡，如何去占領(lǐng)問題的至高點(diǎn)，并冷靜地府 視全局， 從而得到問題的完善解決。 如果學(xué)生在解題過(guò)程中沒有機(jī)會(huì)嘗盡為求解而奮斗的喜 怒哀樂，那么他的數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練就在最重要的地方失敗了。 14