平面向量知識要點(一)

1、【第一部分 知識要點】一、向量的相關概念1、向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫做向量?！咀⒁狻繑盗颗c向量的區(qū)別： 數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大??；向量有方向、大小，向量具有雙重性，不能比較大小。2、向量的表示方法：幾何表示法：用有向線段表示；用字母a、b等表示；用有向線段的起點與終點字母表示：AB；坐標表示法： a=xi +yj = (x, y)。3、向量的模：向量 AB的長度的大小被稱為向量 AB的模，記作| AB|。4、特殊的向量：長度為 0的向量叫做零向量，記作 0 , 0的方向是任意性的；長度為1個單位長度的向量叫做單位向量?！咀⒁狻苛阆蛄?、單位向量的定義

2、只是限制大小，不能確定方向。5、相反的向量：與a長度相同、方向相反的向量，記作-a。6、相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量 a與b相等，記作a =6。7、平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作 a / b ,平行向量也稱為共線向量。規(guī) 定零向量與任意向量平行。8、兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量3與b,記作0A=a, 0B=b ,則/ AOB=3 (0W。w兀)叫做a與b的夾角?！咀⒁狻慨敗?0時，a與b同向；當。二兀時，a與b反向；當。=三時，a與b垂直，記作ab；規(guī) 2定零向量和任意向量都垂直；注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范

3、圍0W。W兀。9、實數與向量的積：實數入與向量a的積是一個向量，記作入a,它的長度與方向規(guī)定如下：入a |二|入| a ； 當入0時，入a的方向與a的方向相同；當 入0時，入a的方向與a的方向相反；當 入=0時，入a = 0 ,方 向是任意的。10、兩個向量的數量積：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為0 ,則a b=| a| b |cos 0叫做a與b的數量積(或內積)，規(guī)定0 a =0。11、向量的投影：| b |cos 0叫做向量b在向量a方向上的投影，投影也是一個數量，不是向量；當0為銳角時，-+a b投影為正值；當0為鈍角時，投影為負值；當。=0時，投影為| b| ；當。=180時，

4、投影為-| b |。bcos 0 =I a|CR,稱為向量b在a方向上的投影。投影的絕對值稱為射影。二、重要定理、公式1、平面向量基本定理：e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一對實數入1、入2,使a =入© +入2e2。平面向量的坐標表示：a=(x, y), i (1, 0), j (0, 1), 0 (0, 0)。若 A(X1, y。，B(X2, y2),則 AB=(X2-X1, y2-y 1), 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點的坐標。2、兩個向量平行的充要條件向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且

5、只有一個非零實數入，使b = X a ,設a = (X1, y。，b =fff一(X2, y2),貝U a “ b u b =入 a u Xy-X2y1=0。3、兩個向量垂直的充要條件：設 a=(X1, y。，b =(X2, y2),則 a，b u b a =0u X1X2+y1y2=0。4、平面內兩點間的距離公式設a = (x, y),則| a 12=X2+y2或| a |=以2 +y2。如果表示向量a的有向線段的起點和終點坐標分別為A(X1,y。，B(X2, v2 ,那么，| AB|=敢x 1 -X2)2 +(71 -y2)2 (平面內兩點間的距離公式)。-H f5、兩向量夾角的余弦( 0

6、W。W 兀)cos。=a-b= , X1X2 +y1y2。| a| b| y|x2 +y2 +62 +y2三、向量的運算a = （xi, yi）, b =（X2, y2）運算落詞 幾何方法坐標方法運算性質英型向量平行四邊形法則a+b = b + b , （a+b） +c=a +注2.三角形法則（首尾相接，首尾相連）（1 2, y1 y2）. .法（b+c）, AB+BC=AC向量a - b =a + （-b）, AB=- BA,的減 三角形法則（首首相接，尾尾相連，指向被減）a-b=（X1-X2, yi-y 2）法OB- OA= AB頭數入與向重a的積是,個向重，記作： 入a;.t入（pa）=

7、（入（1） a ,（入 +門旦 入ai=i入ii a ；當入 。時，入a的方-+何里（i）a = A.a + |ia,入（a + b）的乘 ，一,、，,、，Y 入 a=（入 x,入 y）注向與a的方向相同；當入0時，入a的方向與a一 一 -法=Xa + Xb,a"bub = X的方向相反；當人=0時，A a =0 ,方向是任意-ay X1y2-x 2y1=0 的。a - b =X1X2+y1y2,八/ ”八一、小F向量的數量積的幾何a - b =| a | b |cos 0 （0w。w兀），a=0或I rt|/興A-目.rCrr1 尺尺a,b = b,a,（入a）,b=a （入b ）

8、=入（a b ）,（a +b ） c=a c + b c,里思義：數重積a b等MM-eg- c ._1i _ II _：22廿1：2 2 ,2a | =a 或| a |= v x +y ,hj" b=uu, a b=u;wa b=| a | b |cos< a ,里積* c件匕人九-_ a u j '攵一j a /工a b>a , b | < | a | b | , a X方向上投影| b |cos0的乘積。-*Tfbu b a=0u xiX2+yiy2=0, cosf a b _XiX2 +yiy21 all b| «x2 +y2 +Jx2 +

9、y2【特別注忌】結行律不成立：a - （ b - c ）+（a b）c;消去律不成立：a - b =0不能彳至1 a =0b =0;乘法公式成立:（a + b） （a-b） =a - b J 2-2 .:22a b+b =| a | ±2a b+| b |。_ 一一線段的定比分點公式：設點P分有向線段PP2所成的比為入，即PiP=X PR ,則I - X1 +X24 X - - 1-. !o標公式）。當入=1時，得到中點公式：OP=（ OP + OP ）或2。2yi +y2廠2a - b =a - c ,不能得到 b =c ; =| a 2|-| b2| , （ a ± b

10、 ） 2=a2 +；=xinx21：入（線段定比分點坐yi + 入 y2y 一 ,li +人平移公式：設點 P （x, y）按向量a= （h, k）平移后得到點 P'(x' , y，),貝U OP=Op+a或x =x h： 曲線y =y ky=f （x）按向量向量a = （h, k）平移后得到的曲線的解析式為:三角形“四心” 的高的交點?！镜诙糠?重心是三條中線交點，外心是三邊垂直平分線交點,y-k=f （x-h ）。內心是三條角平分線交點，垂心是三邊上高考考點及題型解析】向量知識選擇和填空出現較多，在大題目中一般是和三角函數、圓錐曲線、立體幾何結合在一起考試?！镜谌糠掷}

11、精講】【1】下列物理量：質量，速度，位移，力，加速度，路程，密度，功。其中不是向量的有（）。A、1個B、2個C、3個D、4個2下列各量中不是向量的是（）A、浮力B、風速C、位移D、密度【3】下列4個命題：時間、速度、加速度都是向量；向量的模是一個正實數；所有的單位向量都相等;共線向量一定在同一直線上。其中真命題的個數為（A0B、1C、2D、3【4】如圖，四邊形 ABCM正方形， BCE為等腰直角三角形，則:（1）圖中與AB共線的向量有；(2)圖中與AB相等的向量有；（3）圖中與AB模相等的向量有；（4）圖中與EC相等的向量有【5】下列命題不正確的是（A、零向量沒有方向B 、零向量只與零向量相等

12、C 、零向量的模為 0 D、零向量與任何向量共線【6】判斷下列命題的真假：（1）單位向量都共線;（2）單位向量都相等；（3）共線的單位向量必相等；（4）與平面向量（一），第3頁QQt 碼：532265462a非零向量a共線的單位向量是-a-o|a|【7】如圖，O為正方形ABCD寸角線的交點，四邊形OAED OCFBTB是正方形。（1）寫出與AO相等的向量；（2）寫出與AO共線的向量；（3）向量AO與CO是否相等?【8】判斷下列命題的真假。若為假命題，請簡述理由。(1)向量AB與CD是共線向量，則ARC、D四點必在同一直線上;(2)單位向量都相等；(3)任一向量與它的相反向量不相等；(4)四邊形

13、ABC虛平行四邊形，則aB=DC;(5)如果一個向量的方向不確定，則這個向量的模一定為0;(6)共線的向量，若起點不同，則終點一定不同?！?】給出下列命題：若a=b,b=c,則a=c;若a=b,則a/b;若a/b,則a=b。其中正確命題的序號是?！?0】判斷下列命題的真假：(1)作用力與反作用力是一對大小相等、方向相反的向量；(2)數軸是向量；(3)溫度是向量；(4)若a是單位向量，b也是單位向量，則a=b或a=-b?！?1如圖，已知四邊形ABC皿平行四邊形，。是對角線ACBD的交點，設點集M=A、BCD、O,向量集合T=pQ|P、QCM且P、Q不重合,求集合T元素的個數。平面向量(一)，第4

14、頁QQ# 碼：532265462【12如圖，。是正六邊形ABCDEF勺中心。(1)與OA的模相等的向量有多少個?(2)是否存在與OA長度相等，方向相反的向量?(3)與OA共線的向量有哪些?【13】判斷下列各命題的真假:平面向量(一)，第5頁QQt 碼：532265462（1）向量aB的長度與向量bA的長度相等；（2）向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反;（3）兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；（4）兩個有共同終點的向量，一定是共線向量；（5）有向線段就是向量，向量就是有向線段?！?4如圖（1）,某人想要從A點出發(fā)繞陰影部分走一圈，可按圖（2）中提供的向量行走，則這些向量的排列

15、順序為OEB(L)【15】下列命題中，真命題有若|a|二|b|,則24或2=-b；若AB=DC,則ABkC、D是一個平行四邊形的四個頂點?！?6】一架飛機向北飛行300km,然后改變航向向西飛行300km,求：（1）飛機飛行的路程；（2）兩次位移的和的方向及大小。平面向量（一），第7頁QQt 碼：532265462如圖，已知向量 a、b ,求作向量a + b【19】求向量 AB+DF+CD+BC+fa之和。18如圖，已知向量 a、b、c ,求作向量a+b+c?！?0】如圖，用a、b、c表示下列向量。(1) e- g ; (2) f - d ; (3) d - g。平面向量（一），第13頁QQt

16、 碼：532265462【21】已知任意四邊形ABCDE為AD的中點，F為BC的中點，求證：EF+EF=AB+DC?！镜谒牟糠只A訓練題】【1】若向量a、b滿足|a+b|=|a|+|b|,則a與b必須滿足的條件為【2】若AB=b,AC=C，則BC等于（）A、b-cBb+cD、-b-c【3】正六邊形ABCDE沖，BA+CD+EF=(A、 0 BBE CCD D 、 CF【4】已知O為坐標原點，A、B是圓x2+y2=1分別在第一、四象限的兩個點，C(5,0)滿足：OAOC=3,OB-OC=4,則OA+tOB+OC(tCR)的模的最小值為5在邊長為1的正方形ABCD43,則|AB-AD+AC|=【6

17、】在 ABC中,已知BC=3BD,貝U AD等于(1A、3 (AC+2AB)B-(AB+2AC)C、- ( AC+3AB)D、- ( AC+2AB)344【7】已知：向量a、b同向，且| a |=3 , | b|=7 ,則|2 a - b |=【8】若aB=3, cD=-53，且| AD|=| bC| ,則四邊形 ABC皿()A、平行四邊形B、菱形 C 、等腰梯形D、不等腰梯形【9】已知向量a=(-3,-4),則與a同向的單位向量是()A、(-3,-4)B、(3,4)C、(-3,-4)D、(3,4)5555【10】若三點P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共線，求X?！?1】已知A、B

18、、C三點在同一條直線上，且A (3, -6), B (-5 ,2),若點C的橫坐標為6,求點C分AB所成的比及點C的縱坐標。1-【12】已知O(0,0)和A(6,3)兩點，若點P在直線OA上，且OP=PA,又P是OB的中點，則點B的坐標2為?！?3】已知直線l與x軸，y軸分別交于點A、B,4AOB勺重心為(-1,3),則AB中點坐標為?！?4】已知三個點A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),點C在AB上，且2AC=CB,連結DC并延長至E,使CE=DE,4則E點的坐標為()A、（0,1）B、（-8,-5）C、（0,1）或（2,）D、（-9,U）3333【15】已知三點A（1,2）,B（

19、3,1）,C（-1,0）（1）若ABCM平行四邊形，求D點坐標；（2）若P在直線AB上，且|PA|=3PB,求P的坐標?！?6】設A、B、CD>O是平面上的任意五點，試化簡:AB+BC+CD,DB+AC+BD,-OA-OC+OB-CO?！?7】已知兩個非零a、b,設OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b,你能判斷A、BC三點之間的位置關系嗎？為什么？【18】已知向量與b的夾角為120°，且|3|二4,|b|二2。（1）求|3a+4bi；（2）若向量a+kb與5a+b垂直，求實數k的值?！镜谖宀糠职胃哂柧氼}】1 11如圖，平行四邊形ABCM,點M在AB的延長線上，且BM=1

20、AB;點N在BC上，且BN=1BG求證：MM2 3D三點共線?！?】在 ABC中，O為中線AM上的一個動點，若 AM=2求：OA - （ OB+OC）的最小值?！?】如圖是中國象棋的半個棋盤，“馬走日”是象棋中馬的走法。此圖中馬可以從A跳到A,也可跳到A2,用向量AA1、AA2表示馬走了 “一步”。試在圖中畫出B、C處走了 “一步”的所有情況。【4】已知非零向量ei和e2不共線，如果AB= e1 + e2 , BC=2 e1 +8e2 , CD=3 ( e1 - e2),求證:A、B、D三點共線?！?】下列命題中，正確的是（平面向量（一），第17頁QQt 碼：532265462A、|a|=|b|=a=bB、|a|>|b|=a>bC、a=b=a/bD、|a|=0=a=0【6】如圖，平行四邊形ABCD勺對角線交于。點，在以AB、C、DO這五點中任意兩點為始點和終點的所有向量中，與AB和AD都不共線的向量共有（A、4個B、6個C、8個D、12個【7】如圖，在等邊 ABC中,P、Q R分別是AR BC AC的中點，則與向量 PQ相等的向量是（A、PR和 QR B 、AR與 RCC