第二章 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念

1、2導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生 導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家Fermat在研究極值問(wèn)題中提出微分學(xué)的創(chuàng)始人英國(guó)數(shù)學(xué)家 Newton （1642 1727） 德國(guó)數(shù)學(xué)家 Leibniz （1646 1716） (16011665)3一、引例一、引例1. 1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為)(tSS 221tgs so的平均速度：的平均速度：到到則從則從ttt00時(shí)刻的瞬時(shí)速度：時(shí)刻的瞬時(shí)速度：在在0t)(0tS)(0ttsttSttSv)()(00ttSttSvt)()(lim00042.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放5 T0

2、xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點(diǎn)在點(diǎn)M處的處的切線切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的斜率為的斜率為割線割線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲線沿曲線的斜率為的斜率為切線切線MT6.)()(limtan000 xxxfxfkxx xxx0記記xxfxxfx)()(lim000兩個(gè)問(wèn)題的共性兩個(gè)問(wèn)題的共性瞬時(shí)速度ttSttSvt)()(lim000切線斜率xxfxxfkx)()(lim000

3、所求量為函數(shù)增量函數(shù)增量與自變量增量自變量增量之比的極限 .類似問(wèn)題類似問(wèn)題加速度電流強(qiáng)度線密度等7二、導(dǎo)數(shù)的定義0000( ),()();yf xxxxxyyf xxf x 設(shè)在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 當(dāng)自變量在 處取得增量時(shí) 相應(yīng)地函數(shù) 取得增量如果0( )f xx存在，則稱在 可導(dǎo)，0( )yf xx此極限稱為在 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；0000()()limlimxxyf xxf xxx 8.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 2、導(dǎo)數(shù)的其它形式、導(dǎo)數(shù)的其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx,0 xxdxdy記作：記作：,0 xxy,)(0 xxxdxfd; )(0 x

4、f xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000即即說(shuō)明：說(shuō)明：點(diǎn)不可導(dǎo)；點(diǎn)不可導(dǎo)；在在不存在，則稱不存在，則稱、若、若00)(lim1xxfxyx)(0 xxx無(wú)窮。無(wú)窮。，不可導(dǎo)，也稱導(dǎo)數(shù)為，不可導(dǎo)，也稱導(dǎo)數(shù)為若若xyx0lim9.)(,.)()()(lim)(,dxxdfdxdyyxfxxfxxfxfbaxx或或也可記作也可記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)稱為稱為）（對(duì)于任一對(duì)于任一0 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或.),()(,),()(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在就稱函數(shù)就稱函數(shù)處都可導(dǎo)處都可導(dǎo)內(nèi)的每點(diǎn)內(nèi)的每點(diǎn)在在、如果函數(shù)、如果函數(shù)bax

5、fbaxfy 3.)()(004xxxfxf、10ttSttSvt)()(lim000 xxfxxfkx)()(lim000)(tSS ，、導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的變化率、導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的變化率51如引例如引例)(0tS2引例引例)(xfy )(0 xf 11三、由定義求導(dǎo)數(shù)三、由定義求導(dǎo)數(shù)例例1 1點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)。點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)。在在求求1532xxy解解xfxffx) 1 ()1 (lim) 1 (0 xxx535)1 (3lim20 xxxx20)(36lim6xxfxxfxfx)()(lim)(0 xxxxx535)(3lim20 x6也有也有66)() 1 (11xxxxff12求導(dǎo)的一般步驟：

6、求導(dǎo)的一般步驟：);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例2 2.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即)(xfy 13例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x 44cos)(sin xxxx.22 類似可得：類似可得：xxsin)(cos即即xxcos)(s

7、in14例例4 4.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121x.21x )(1 x11)1( x.12x )1(xx)(43x4743xxx21)(21)1(xx15例例5 5.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 16例例6 6.)1, 0(log的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求

8、函函數(shù)數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln)(logaxxa1即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 exalog1.lnax117.2)()(lim)(0000hhxfhxfxfh存存在在，求求極極限限設(shè)設(shè)7例例解解: 原式)()()()(limhxfhxfhxfhxfh0000021)()()()(limhxfhxfhxfhxfh0000021)()(2100 xfxf)(0 xf 18四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義oxy)(xfy T0 xM1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000

9、為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy )().()(010000 xfxxxfyy19例例8 8.,)2 ,21(1方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點(diǎn)處的切線并寫出在該點(diǎn)處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點(diǎn)在點(diǎn)求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即.

10、 01582 yx即即20例例9. 9. 問(wèn)曲線3xy 哪一點(diǎn)有垂直切線? 在哪一點(diǎn)處的切線與直線131xy平行? 并寫出切線方程 .解解: :)(3xy3231x32131x,0 xy故在原點(diǎn)( 0 , 0 )有垂直切線0 x令,3113132x得,1x對(duì)應(yīng),1y所以在點(diǎn)(1,1) , (1,1)的切線與直線131xy平行,切線方程分別為) 1(131xy即023 yx1111) 1(311xy212.物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時(shí)變化率非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.變速直線運(yùn)動(dòng)變速直線運(yùn)動(dòng): :路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度.lim)(0dtdststvt

11、 交流電路交流電路: :電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.lim)(0dtdqtqtit 非均勻的物體非均勻的物體: :質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積面積,體積體積)的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)為物體的線數(shù)為物體的線(面面,體體)密度密度.22xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000導(dǎo)數(shù)定義的其它形式導(dǎo)數(shù)定義的其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)的定義：232.2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù): :五、左右導(dǎo)數(shù)五、左右導(dǎo)數(shù)1.1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù): :00000 xxxfxfxfxx)()(lim)(00000

12、xxxfxfxfxx)()(lim)()(0 xf存存在在 )(0 xf =)(0 xf xyxyxyxxx00000limlimlim存在存在結(jié)結(jié)論論：如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(af 及及)(bf 都存在，就說(shuō)都存在，就說(shuō))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上可導(dǎo)上可導(dǎo).;)()(limxxfxxfx0000;)()(limxxfxxfx000024例例1010.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh000000lim)()(lim, 1 hhhfhfhh000000lim)()(

13、lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy)0(f)0(f25六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 26注意注意: :、連續(xù)不一定可導(dǎo)。、連續(xù)不一定可導(dǎo)。1xxf)(如如xy xyo點(diǎn)連續(xù)，點(diǎn)連續(xù)，在在0)(xxf1)0(f但但1)0(f.0)(點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy導(dǎo)。導(dǎo)。點(diǎn)不連續(xù)，則一定不可

14、點(diǎn)不連續(xù)，則一定不可在在、如果、如果0)(2xxxf可用左、右導(dǎo)?？捎米?、右導(dǎo)。點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題、討論分段函數(shù)在分段、討論分段函數(shù)在分段327例例1111.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處有處有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyx.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx2812例例,0,0,11)(xbxa

15、xxxxf已知已知點(diǎn)可導(dǎo)？點(diǎn)可導(dǎo)？在在為何值時(shí)為何值時(shí)問(wèn)問(wèn)0)(,xxfba解：解：可導(dǎo)一定連續(xù)，可導(dǎo)一定連續(xù)，),0()00()00(fff由由,11lim)(lim0000axxbxaxxxxax11lim00)11 (lim00 xxxx21),0()0(0)(ffxxf點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)在在29xfxffx)0()(lim)0(00而而xbxx2121lim00, bxfxffx)0()(lim)0(00 xxxx2111lim00200121limxxxx)121 (4lim2200 xxxxx81),0()0(ff由由,81b點(diǎn)可導(dǎo)。點(diǎn)可導(dǎo)。在在時(shí)，時(shí)，即當(dāng)即當(dāng)0)(8121xxfba3

16、0六、小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.318512P習(xí)題.18,17,15),2(14,13,11, 8),7 , 6 , 4 , 2(7 , 6 , 432思考題思考題

17、函函數(shù)數(shù))(xf在在某某點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 與與導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf 有有什什么么區(qū)區(qū)別別與與聯(lián)聯(lián)系系？33思考題解答思考題解答 由導(dǎo)數(shù)的定義知，由導(dǎo)數(shù)的定義知，)(0 xf 是一個(gè)具體的是一個(gè)具體的數(shù)值，數(shù)值，)(xf 是由于是由于)(xf在某區(qū)間在某區(qū)間I上每一上每一點(diǎn)都可導(dǎo)而定義在點(diǎn)都可導(dǎo)而定義在I上的一個(gè)新函數(shù)，即上的一個(gè)新函數(shù)，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 與之對(duì)應(yīng)，所以兩與之對(duì)應(yīng)，所以兩者的者的區(qū)別區(qū)別是：一個(gè)是數(shù)值，另一個(gè)是函數(shù)兩是：一個(gè)是數(shù)值，另一個(gè)是函數(shù)兩者的者的聯(lián)系聯(lián)系是：在某點(diǎn)是：在某點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(0 xf 即是導(dǎo)即是導(dǎo)函數(shù)函數(shù))

18、(xf 在在0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值34一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè))(xf在在0 xx 處可導(dǎo)，即處可導(dǎo)，即)(0 xf 存在，則存在，則 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為2ts ( (米米) )，則該物體在，則該物體在 2 t秒時(shí)的速度為秒時(shí)的速度為_ ._ .3 3、 設(shè)設(shè)321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 則則它們的導(dǎo)數(shù)分別為它們的導(dǎo)數(shù)分別為dxdy1=_ =_ ，dxdy2=_ =_ ，dxdy3=_ .=_ .練

19、習(xí)題練習(xí)題354 4、 設(shè)設(shè)2)(xxf , ,則則 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 線曲 線xey 在 點(diǎn)在 點(diǎn))1,0(處 的 切 線 方 程 為處 的 切 線 方 程 為_._.二、二、 在下列各題中均假定在下列各題中均假定)(0 xf 存在，按照導(dǎo)數(shù)的定存在，按照導(dǎo)數(shù)的定義觀察下列極限，分析并指出義觀察下列極限，分析并指出A表示什么？表示什么？ 1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、Ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； 3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000. .三、證明：若三、證明：若)(xf為偶

20、函數(shù)且為偶函數(shù)且)0(f 存在，則存在，則0)0( f. .36四、四、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 0,00,1sin)(xxxxxfk問(wèn)問(wèn)k k滿足什么條滿足什么條件，件，)(xf在在0 x處處 (1)(1)連續(xù)；連續(xù)； （2 2）可導(dǎo)；）可導(dǎo)；（3 3）導(dǎo)數(shù)連續(xù)）導(dǎo)數(shù)連續(xù). .五、五、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 1,1,)(2xbaxxxxf, ,為了使函數(shù)為了使函數(shù))(xf在在1 x處連續(xù)且可導(dǎo)，處連續(xù)且可導(dǎo)，ba ,應(yīng)取什么值應(yīng)取什么值. .六、六、 已知已知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七、七、 證明：雙曲線證明：雙曲線2axy 上任一點(diǎn)處的切線與兩上任一點(diǎn)處的切線與兩 坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于22a. .37八八、 設(shè)設(shè)有有一一根根細(xì)細(xì)棒棒，取取棒棒的的一一端端作作為為原原點(diǎn)點(diǎn)，棒棒上上任任意意點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為x，于于是是分分布布在在區(qū)區(qū)間間1,0上上細(xì)細(xì)棒棒的的質(zhì)質(zhì)量量m是是x的的函函數(shù)數(shù))(xmm 應(yīng)應(yīng)怎怎樣樣確確定定細(xì)細(xì)棒棒在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的線線密密度度（對(duì)對(duì)于于均均勻勻細(xì)細(xì)棒棒來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)，單單