5.3中心極限定理

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科性的學(xué)科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來進行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來. 也就是說，也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機現(xiàn)象量隨機現(xiàn)象. 研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究此導(dǎo)致對極限定理進行研究. . 極限定理的內(nèi)容很廣極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種泛，其中最重要的有兩種: :與與大數(shù)定律大數(shù)定律

2、中心極限定理中心極限定理 設(shè)設(shè)m是是n重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，則對任給的發(fā)生的概率，則對任給的 0，定理定理1（貝努利大數(shù)定律）（貝努利大數(shù)定律）或或1)|(|lim pnmPn0)|(|lim pnmPn 貝努利大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)貝努利大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)n充分充分大時，事件大時，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率m/n會靠近事件會靠近事件A的概率的概率p5.2 大數(shù)定律大數(shù)定律 設(shè)設(shè) X1,X2, 是獨立同分布的隨機變量序列，是獨立同分布的隨機變量序列，EXi =, DXi=2 ，i=1,2, ，定理定理2 （切比

3、雪夫大數(shù)定律）（切比雪夫大數(shù)定律） niinXnP11)|1(|lim 則對任意的則對任意的0， 定理定理2表明，獨立隨機變量序列表明，獨立隨機變量序列Xn, 如果方差如果方差存在，則存在，則與其數(shù)學(xué)期望與其數(shù)學(xué)期望 偏差很小的概率偏差很小的概率接近于接近于1. 取值非常接近于其數(shù)學(xué)期望取值非常接近于其數(shù)學(xué)期望.即當(dāng)即當(dāng)n充分大時，充分大時，差不多不再是隨機的了差不多不再是隨機的了, niiXn11 niiXn11 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響所產(chǎn)生總影響. 例如：炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏

4、差，就受例如：炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機因素的影響著許多隨機因素的影響.5.3 中心極限定理空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對我們來說重要的是這些對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.，設(shè)炮彈落點的偏差為設(shè)炮彈落點的偏差為 X總和，總和，它是許多隨機小誤差的它是許多隨機小誤差的 niiXX1即即.,相互獨立相互獨立而且而且iX隨機變量和的分布隨機變量和的分布的分布就是要討論獨立的分布就是要討論獨立因此要討論因此要討論X 由于無窮個隨機變量之和可能趨于由于無

5、窮個隨機變量之和可能趨于，故我們，故我們不研究不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的個隨機變量之和本身而考慮它的標(biāo)準化標(biāo)準化的隨的隨機變量機變量的分布函數(shù)的極限的分布函數(shù)的極限. niininiiinXDXEXY111)()( 可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準正態(tài)分布是標(biāo)準正態(tài)分布. 定理定理1（獨立同分布下的中心極限定理）（獨立同分布下的中心極限定理） 設(shè)設(shè)X1,X2, 是是獨立同分布獨立同分布的隨機變量序列，且的隨機變量序列，且EXi = ，DXi =2 ，i=1,2,，則，則)(lim)(lim1xnnXPxFniinnn )(x 滿足滿足

6、對對的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFnnXXDXEXYnniiniininiiin )()()(1111 雖然在一般情況下，我們很難求出雖然在一般情況下，我們很難求出X1+X2+ +Xn 的分布的確切形式，但當(dāng)?shù)姆植嫉拇_切形式，但當(dāng)n很大時，可以求出近似分很大時，可以求出近似分布布.即當(dāng)即當(dāng)n充分大時，充分大時，n個個獨立同分布獨立同分布的的r.v之和近似服從標(biāo)之和近似服從標(biāo)準正態(tài)分布準正態(tài)分布.)(x )(1xnnXPnnii 很大時，很大時，它表明，當(dāng)它表明，當(dāng))(x )(1xXPnii 則則)(nnx )(lim)(lim1xnnXPxFniinnn 例例1 根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服

7、從均值為根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布小時的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機地取現(xiàn)隨機地取16只，設(shè)它們的壽命只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的是相互獨立的. 求這求這16只元件的壽命的總和大于只元件的壽命的總和大于1920小小時的概率時的概率.由題給條件知，由題給條件知，Xi獨立同分布，獨立同分布，解解: 設(shè)第設(shè)第i只元件的壽命為只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16EXi=100, DXi=10000)(1xXPnii )(nnx =1- - (0.8)=1- -0.7881=0.2119)40016001920(1 )1920(1)1920(161161 iiiiXPX

8、P則則定理定理2( (棣莫弗拉普拉斯定理）棣莫弗拉普拉斯定理） 定理表明，當(dāng)定理表明，當(dāng)n很大，很大，0p1是一個定值時，是一個定值時，有有則對則對，設(shè)設(shè)xppnBZn , 10),()1(limxpnpnpZPnn )(x 下面介紹的下面介紹的棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理（二項分布收（二項分布收斂于正態(tài)分布）是上述定理的特殊情況斂于正態(tài)分布）是上述定理的特殊情況.即二項分布近似于正態(tài)分布即二項分布近似于正態(tài)分布)(xZPn 則則)1(pnpnpx knkbkaknnppCbZaP )1()()(xZPn )1(pnpnpx )1()1(pnpnpapnpnpb )(計算繁瑣！計算繁瑣

9、！)(查表即可！查表即可！)()(aZPbZPnn 例例2 某車間有某車間有100臺車床臺車床, 設(shè)開工率為設(shè)開工率為0.8, 并設(shè)每臺并設(shè)每臺車床的工作是獨立的，求在某時刻同時開工的臺數(shù)車床的工作是獨立的，求在某時刻同時開工的臺數(shù)在在70到到86之間的概率之間的概率.解解：用用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，表示在某時刻工作著的車床數(shù)， 則則 XB(100,0.8)由棣莫弗由棣莫弗- -拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理P(70X86)48070()48086( 這里這里 np=80, np(1- -p)=16)(bZaPn )1()1(pnpnpapnpnpb )5 . 2()5 . 1( 9

10、27. 0)5 . 2(1)5 . 1( 例例2 某車間有某車間有200臺車床臺車床, 設(shè)開工率為設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺并設(shè)每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少千瓦電力就能以問應(yīng)供應(yīng)多少千瓦電力就能以99.9%的概率保證該的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?用用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，表示在某時刻工作著的車床數(shù)，P(XN)0.999的最小的的最小的N.要求滿足要求滿足解解：設(shè)需：設(shè)需N千瓦電力，千瓦電力， 對每臺車床的觀察作為一次試驗，對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗觀每次試驗觀察該臺車床是否工作，察該臺車床是否工作， 工作的概率為工作的概率為0.6，共進行，共進行200次試驗次試驗. 則則 XB(200,0.6)由棣莫弗由棣莫弗- -拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理P(XN)48120( N這里這里 np=120, np(1- -p)=48查正態(tài)分布