高中物理競賽講座2

1、例：例：求線框求線框(ba)所受力和力矩；線框平衡時的所受力和力矩；線框平衡時的的值，的值，并判定平衡的穩(wěn)定性；線圈從平衡位置旋轉(zhuǎn)并判定平衡的穩(wěn)定性；線圈從平衡位置旋轉(zhuǎn)/2長直電長直電流對線圈做的功。流對線圈做的功。解：解：arIIaBIffMNMN222121021arIIaBIffOPOP22222102221221)cos2(abbar21222)cos2(abbarcos22122212fffff(1)(2)(3)(4)(5)專題五、安培力載流導(dǎo)體受安培運動專題五、安培力載流導(dǎo)體受安培運動21222212)2(cosrrarr(6)將將(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)、(4)(

2、4)、(6)(6)式代入式代入(5)(5)式得式得21cos4)(222222222210212210babaaIIrraIIf(7)F F 與與 x x 夾角為夾角為coscos12fffxsinsin12fffyxyffarctan(8)(9)(10)sinsin1ra1coscosrabsinsin2ra2coscosrab(11)(12)將式將式(11)(11)、(12)(12)代入式代入式(8)(8)、(9)(9)，再代入式，再代入式(10)(10)，經(jīng)化簡得，經(jīng)化簡得)tanarctan(2222baba(13)sin1bh sin2bh 力臂：力臂：或時00M時是穩(wěn)定平衡。0時是

3、不穩(wěn)定平衡。cos4)(sin)(2)11(sin)sinsin(22222222221022212210212102211babababaIIrrbaIIrrabIIhfhfM(14)ababaIIabbabaabbabaabbaIIdabbaabbabaIIMdAln2)()(ln2)()(ln21)cos2)(sincos2)(sin(210222222222210202222221020(15)例：勻質(zhì)金屬圓環(huán)（紅色）質(zhì)量為例：勻質(zhì)金屬圓環(huán)（紅色）質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r，當在環(huán)中通電流，當在環(huán)中通電流I時，時，環(huán)平衡在超導(dǎo)平板上方環(huán)平衡在超導(dǎo)平板上方z=h（rh)處。試求處。試求：

4、1、環(huán)中電流、環(huán)中電流I；2、讓環(huán)、讓環(huán)保持水平狀態(tài)從平衡位置向上或向保持水平狀態(tài)從平衡位置向上或向下稍偏移，試求振動周期；下稍偏移，試求振動周期；3、讓環(huán)讓環(huán)在平衡位置繞其與在平衡位置繞其與x軸平行的直徑軸平行的直徑pp轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一小角度一小角度，試求環(huán)的擺動周期。，試求環(huán)的擺動周期。解：解：1、環(huán)電流的磁場在超導(dǎo)板中、環(huán)電流的磁場在超導(dǎo)板中形成感應(yīng)電流。超導(dǎo)板內(nèi)無磁場，形成感應(yīng)電流。超導(dǎo)板內(nèi)無磁場，板外表面附近磁場沿板面切向。板外表面附近磁場沿板面切向。感應(yīng)電流用鏡像環(huán)電流等效。因感應(yīng)電流用鏡像環(huán)電流等效。因rh,故環(huán)電流受力故環(huán)電流受力mghrI220zhrIzrhIF22222020rmgh

5、I022、環(huán)上移、環(huán)上移Z Z，則環(huán)受力，則環(huán)受力zhmgmghzhrImgzhrIF)1 (2)(22020hgghT23、環(huán)上環(huán)元（、環(huán)上環(huán)元（rd)的坐標為的坐標為sinsinrhz環(huán)元環(huán)元受力為受力為sincosry )sinsin(4)(22200rhrdIIrdzIdFdhrhrI)sinsin1 (420環(huán)元對軸環(huán)元對軸pp受重力矩為零，受重力矩為零，受安培力矩為受安培力矩為dhrhrIydFdM)sinsin1 (sincos4220dhrhrIdMM)sinsin1 (sincos420220sincos4sinsincos423202202320hrIdhrI23204hr

6、I環(huán)對軸環(huán)對軸pp的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為221mrJ 環(huán)對軸環(huán)對軸pp轉(zhuǎn)動的運動方程為轉(zhuǎn)動的運動方程為MJ 0220mhrI 0220hgmhrI hg2ghT22專題九、洛侖茲力帶電粒子受電磁場力運動專題九、洛侖茲力帶電粒子受電磁場力運動例例: 如圖如圖1所示，分布在全空間均勻磁場所示，分布在全空間均勻磁場 B 的方向垂直于圖平面，一質(zhì)量的方向垂直于圖平面，一質(zhì)量為為 m 、電量為、電量為 q 0)的帶電粒子從的帶電粒子從x =x0處以平行于處以平行于z軸的初始軸的初始動量動量p0(p0qB0L)從磁極左側(cè)射入場區(qū)。試求：從磁極左側(cè)射入場區(qū)。試求：粒子通過場區(qū)后，在粒子通過場區(qū)后，在YZ平

7、面平面 上的小偏轉(zhuǎn)角上的小偏轉(zhuǎn)角y；(1)試證明粒子通過場區(qū)后，在試證明粒子通過場區(qū)后，在XZ平面上的小偏轉(zhuǎn)平面上的小偏轉(zhuǎn)角近似為角近似為 （3）在）在X軸上取一段直線軸上取一段直線Lxyx2000 xxx初始動量均為初始動量均為P0）從此段直線上各點出發(fā)射向場區(qū)。忽略粒子間的相互作）從此段直線上各點出發(fā)射向場區(qū)。忽略粒子間的相互作用。試證明這些粒子將會聚在用。試證明這些粒子將會聚在Z軸的某點處，該點與磁極右側(cè)面的間距稱為軸的某點處，該點與磁極右側(cè)面的間距稱為焦距焦距f，試導(dǎo)出，試導(dǎo)出f的表達式。的表達式。 ，設(shè)有一束粒子（電量均為，設(shè)有一束粒子（電量均為q、；00mvp LqBp00解解（1

8、 1）設(shè)粒子的質(zhì)量為）設(shè)粒子的質(zhì)量為m m，初速度為，初速度為v v0 0，則，則因為因為0000qBPqBmvR故粒子的動量在磁場中變化很小，偏轉(zhuǎn)很小，粒子故粒子的動量在磁場中變化很小，偏轉(zhuǎn)很小，粒子在磁場中的運動可視為速率為在磁場中的運動可視為速率為v v0 0的園弧運動，圓半的園弧運動，圓半徑為徑為不計邊緣效應(yīng)，則不計邊緣效應(yīng)，則LRysin00sinpLqBRLyy00pLqBRLy 即即 很小，故近似有很小，故近似有（2） 粒子到達磁極右側(cè)面時，粒子到達磁極右側(cè)面時，y 正方向的速度分量為正方向的速度分量為mLqBpLvqBvvyy00000ZB0 xZB0 xZB因磁場彎曲，邊緣磁

9、場有因磁場彎曲，邊緣磁場有分量，則粒子受分量，則粒子受X X方向的洛倫茲力，方向的洛倫茲力，為負；為負；為負時，為負時，為正。洛倫茲力的大小為為正。洛倫茲力的大小為: :mLBBqBqvFZZyX02ZXXBmLBqmFa202粒子在粒子在X X方向的加速度為方向的加速度為: : dtadvXXdtvdtvdzZ0粒子在粒子在dt dt 時間內(nèi)，在時間內(nèi)，在X X方向的分速度增量為方向的分速度增量為: :粒子在粒子在Z Z方向的位移是方向的位移是: :為正時為正時代入代入dzBvmLBqvdzadvZXX02020設(shè)磁極右側(cè)面的設(shè)磁極右側(cè)面的Z Z坐標為坐標為Z Z0 0，則，則00202zZ

10、XdzBvmLBqv 為計算這一積分，取一足夠長的矩形回路為計算這一積分，取一足夠長的矩形回路L（abcda)，則由環(huán)路定律得，則由環(huán)路定律得LxLxpLqBxvmLBqvvyXX20020002022020)()(0000; ;dzBxBBdzzZL000 xBdzBxZ求得求得負號表示速度負負號表示速度負X方向方向002202)(xvmLBqvX00 x0X00 x0XLBqPxxzXX2022000tanzLBqPzf20220（3 3） 由上式知：由上式知：，則，則，粒子向下偏轉(zhuǎn)；，粒子向下偏轉(zhuǎn)；，則，則，粒子向上偏轉(zhuǎn)，粒子會聚。粒子會聚點與電極右側(cè)面的距離為，粒子向上偏轉(zhuǎn)，粒子會聚。

11、粒子會聚點與電極右側(cè)面的距離為即焦路，所以即焦路，所以 例例: 如圖如圖1所示，分布在全空間均勻電場所示，分布在全空間均勻電場E的方向與的方向與+y軸平行，分布在軸平行，分布在0yL區(qū)間的均勻磁場區(qū)間的均勻磁場B的方向與的方向與+Z軸平行。今有一質(zhì)量為軸平行。今有一質(zhì)量為m，電量為，電量為q(q0)的質(zhì)點在的質(zhì)點在x=0、y=-h、z=0的的p點靜止釋放。設(shè)點靜止釋放。設(shè)h00。（1）為使帶電質(zhì)點的運動規(guī)道恰好與）為使帶電質(zhì)點的運動規(guī)道恰好與y=L的平面相切，求的平面相切，求h應(yīng)滿足的條件。應(yīng)滿足的條件。（2）若）若h=0，且?guī)щ娏Ｗ拥倪\動不走出磁場區(qū)，試寫出質(zhì)點，且?guī)щ娏Ｗ拥倪\動不走出磁場區(qū)

12、，試寫出質(zhì)點x、y分量的運分量的運 動方程。動方程。圖圖1解：解： （1）求質(zhì)點到達）求質(zhì)點到達o點的速度點的速度2021mvqEh mqEhv20（沿（沿+y方向）方向）設(shè)粒子在電場、磁場區(qū)任一點的速度分量為設(shè)粒子在電場、磁場區(qū)任一點的速度分量為),(yxvv則則yxqBvma tyqBtvmx即即0tqBymvx在坐標原點在坐標原點o：0 xv0y常量 qBymvx0)( qBLvmx切則則在在y=L點點o：切)(xxvv Ly 0)(原點qBymvx2)(21)(切xvmLhqEmLhqEvx)(2)(切LmELqBh222兩式聯(lián)列得：兩式聯(lián)列得：例例 如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為R

13、的光滑絕緣圓環(huán)固定在水平面上，環(huán)所在的與的光滑絕緣圓環(huán)固定在水平面上，環(huán)所在的與水平面垂直的長直圓柱體空間有均勻磁場，圓柱體外無磁場，磁感應(yīng)水平面垂直的長直圓柱體空間有均勻磁場，圓柱體外無磁場，磁感應(yīng)強度的方向如圖所示。圓環(huán)內(nèi)有一質(zhì)量為強度的方向如圖所示。圓環(huán)內(nèi)有一質(zhì)量為m 的絕緣剛性細桿的絕緣剛性細桿ab，其上，其上均勻分布電量為均勻分布電量為Q的正電荷。桿中心與環(huán)心的距離為的正電荷。桿中心與環(huán)心的距離為R/2，桿兩端被約，桿兩端被約束在圓環(huán)上并可在環(huán)內(nèi)作無摩擦運動。初始時刻桿靜止，爾后，磁場束在圓環(huán)上并可在環(huán)內(nèi)作無摩擦運動。初始時刻桿靜止，爾后，磁場B的大小按的大小按B=B0sin0t變化

14、。桿在環(huán)內(nèi)先逆時針轉(zhuǎn)過變化。桿在環(huán)內(nèi)先逆時針轉(zhuǎn)過2角角,再順時針轉(zhuǎn)再順時針轉(zhuǎn)回回2角，并如此不斷交替。設(shè)桿的運動不改變桿上的電荷分布，桿的角，并如此不斷交替。設(shè)桿的運動不改變桿上的電荷分布，桿的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為I=mR2/2=2mD2。試求。試求t時刻桿的旋轉(zhuǎn)角頻率；時刻桿的旋轉(zhuǎn)角頻率； 確定確定0與與m、Q、B0之間的關(guān)系；之間的關(guān)系；求環(huán)對桿兩端所施的作用力求環(huán)對桿兩端所施的作用力Na、Nb。解 (1) 桿運動中受的力有：渦旋電場力；洛倫茲力；環(huán)對桿端的作用力。tBrtBrE000cos222RD DRbOaO2DObOa3dxDQdQ32設(shè)，則在x 軸 (細桿)上取dx 一段，其上電

15、荷為DQdxtBrEdQdF32cos2000DQdxtBrrdFdM32cos20002dDtdxQBDxDrdFM300002230cos34222xDr2000costDQBIM tmQBtDQBIIMdtd0002000cos2cos1mQBtdtmQBdttt2cos200000定軸轉(zhuǎn)動定理 tttdtBmQdt0000sin2)cos1 (2000tmQBt 時刻桿轉(zhuǎn)過的角度 00mQB000mQB00200mQB200mQBmQB200在0 和 之間變化。當t從0增至時，從0 逆時針增為 ，t從增至時從 順時針減為0 。由題給條件，應(yīng)有 cos2dFdFxrDcostdxQBdFx000cos32DxtdxQBF30000cos32DtQB)cos21(000（2）渦旋電場力Y分量相消，X分量為 rBdxdQvBdFL洛倫茲力：dx 的速度為r，其洛倫茲力指向O。 其X分量相消，Y分量為dxrBdFLYcos2rDcosBDQBDdxFDLY302mQB2mQB2心FDmBDQFLY222因 ，即 ，則 (桿的質(zhì)