11.3.2多邊形內(nèi)角和

1、羊山中學(xué)初一數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)課題多邊形內(nèi)角和課時(shí)安排課時(shí)1課型新授課1、知道四邊形、多邊形、正多邊形的定義，能夠在圖形中識(shí)別它知 識(shí)們的有關(guān)概念。目 標(biāo)2、解釋并會(huì)驗(yàn)證四邊形內(nèi)角和、n邊形的內(nèi)角和，會(huì)應(yīng)用它進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和說理。維 目匕匕hj厶冃1、通過多邊形定義及內(nèi)角和學(xué)習(xí)，增強(qiáng)類化推理和發(fā)散思維能力。2、通過將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題解決， 使學(xué)生體會(huì)化歸思標(biāo)目 標(biāo)想的應(yīng)用方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。情通過三角形和多邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別的分析研究，培養(yǎng)學(xué)生辯感 目 標(biāo)證唯物主義觀點(diǎn)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣。教學(xué)重多邊形內(nèi)角和。另外培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究新知識(shí)的方法也是本節(jié)課的一個(gè)占八、

2、重點(diǎn)。在四邊形定義中有“在平面內(nèi)”這個(gè)條件，學(xué)生對(duì)這一條件的理解是難教學(xué)難占八、點(diǎn)。教學(xué)方其中，以知識(shí)目標(biāo)為主線:能力、情感目標(biāo)滲透于知識(shí)目標(biāo)中來體現(xiàn)。法突出重點(diǎn)、化解難點(diǎn)的措施是：(1) 教師自制教具，操作演示；(2) 隨時(shí)總結(jié)學(xué)習(xí)幾何命題的一些規(guī)律，在得出結(jié)論前“引導(dǎo)分析”；(3) 本節(jié)課內(nèi)容較多，但各部分知識(shí)之間的聯(lián)系密切，為了便于學(xué)生學(xué) 習(xí)，教學(xué)中既注重各部分知識(shí)之間的聯(lián)系，又注意保持各部分知識(shí)之間相 對(duì)的獨(dú)立性。使其條理清楚，層次分明；(4) 利用表格使所學(xué)知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)；(5) 設(shè)計(jì)有目的、有梯度、循序漸進(jìn)的練習(xí)題組，強(qiáng)化訓(xùn)練。（一）創(chuàng)設(shè)情境出示章頭氣象觀測(cè)站平面圖（多媒體展示）。師

3、：在小學(xué)里，我們學(xué)過三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形。在圖中， 同學(xué)們能找出來嗎？學(xué)生觀察圖形，然后互相交流。生答：能。師指出：長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形都是四邊形。而且都是特殊的四邊 形。教學(xué) 過 程 設(shè) 計(jì)師導(dǎo)語(yǔ)：前面我們系統(tǒng)學(xué)習(xí)研究了三角形的有關(guān)知識(shí)。四邊形是怎樣定義的？有 哪些性質(zhì)？在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及日常生活中有著哪些應(yīng)用？本節(jié)課首先學(xué)習(xí)多邊形的內(nèi)角 和。點(diǎn)評(píng) 利用現(xiàn)代化的教學(xué)手段“創(chuàng)設(shè)問題情境”可以有效地激發(fā)學(xué)生的好奇心和求 知欲，使學(xué)生很快進(jìn)人角色。（二）自主探究1、四邊形及多邊形的定義師：請(qǐng)同學(xué)們回憶三角形的定義。生思考后答：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組

4、成的圖形叫做三 角形。師：請(qǐng)同學(xué)們類比三角形的定義嘗試總結(jié)四邊形的定義。生獨(dú)立思考，互相交流。生答：學(xué)生回答不完整、不準(zhǔn)確，同學(xué)之間可以給予提示，老師給予補(bǔ)充、指正。教師 板書定義、圖形。師強(qiáng)調(diào)：在平面內(nèi)，由不在同一條直線的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做 四邊形。師質(zhì)疑：在定義中，為什么要有“在平面內(nèi)”這一條件呢？學(xué)生思考，教師出示自制的空間四邊形模型。師：請(qǐng)同學(xué)們看老師這里的這個(gè)模型（空間四邊形模型）。這個(gè)圖形有幾條邊圍成 的？生答：4條。師追問：對(duì)！這4條邊在同一平面內(nèi)嗎？生答：不在。師指出：這是一個(gè)空間四邊形，即立體圖形，立體幾何我們將到高中系統(tǒng)學(xué)習(xí)。我們初中所說的四邊形都是平面圖形

5、。所以，在四邊形的定義中，“在平面內(nèi)”這一條件必備。師質(zhì)疑：同學(xué)們能給出五邊形的定義嗎？ n邊形（多邊形）呢？師指出：如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱它為正多邊形。 如正三角形（等邊三角形）、正四邊形（正方形）、正五邊形等等。點(diǎn)評(píng) 借助于自制的直觀教具，說明四邊形定義中“在平面內(nèi)”這一不可省略的條 件，易于學(xué)生理解，化解了本課時(shí)的難點(diǎn)。2、四邊形及多邊形的有關(guān)概念師質(zhì)疑：我們知道三角形有三條邊、三個(gè)角。那么四邊形、五邊形的有關(guān)概念有 哪些？生答：也有邊、角。師在黑板上四邊形的圖形中標(biāo)出邊、角。師指出：如圖的四邊形用表示它的各個(gè)頂點(diǎn)的字母來表示，可以按照頂點(diǎn)的順序， 記作“四邊形

6、ABCD".點(diǎn)評(píng) 對(duì)于邊、角這些能在圖形中識(shí)別，而不要求學(xué)生掌握的描述性定義，采取學(xué) 生類比 的邊、角表示方法來歸納，滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法。師：對(duì)角線的概念學(xué)生從字面即可理解。如圖，連接線段AC,線段AC是四邊形ABC 的對(duì)角線。即在四邊形中，連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做四邊形的對(duì)角線。師：如下表（多媒體展示），請(qǐng)同學(xué)們口答。生口答上面表中的空格內(nèi)容。師：同學(xué)們回答的非常好！師指出：如圖1的四邊形的任何一邊向兩方延長(zhǎng)，如果其他各邊都在延長(zhǎng)所得直 線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形。圖 2的四邊形不是凸四邊形。今后所說的四 邊形都是指凸四邊形。3、鞏固性應(yīng)用師：請(qǐng)同學(xué)們口答下面的選

7、擇題。（I ）四邊形的定義正確的是（）。A、由四條線段首尾順次相接組成的圖形B、在平面內(nèi)，由四條線段首尾順次相接組成的圖形C、平面內(nèi)，四個(gè)點(diǎn)所確定的圖形D在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形 下列命題中正確的是（）。A、五邊形中有兩條對(duì)角線B、如圖3的四邊形可以記作四邊形 ACBDC、n邊形有n條邊、n個(gè)角D只有長(zhǎng)方形和正方形是四邊形點(diǎn)評(píng) 此處設(shè)計(jì)一組口答練習(xí)題，可以及時(shí)鞏固四邊形的定義和有關(guān)的概念。（三）合作釋疑1、學(xué)生猜想四邊形內(nèi)角和是師質(zhì)疑：三角形的內(nèi)角和是 （出示教師用的教具三角板），四邊形的內(nèi)角和 是多少度？生思考師提示：長(zhǎng)方形的每個(gè)內(nèi)角都是多少度？正方形的每

8、個(gè)內(nèi)角呢？看看我們的書、 本、桌面。師：請(qǐng)同學(xué)們猜想一般四邊形內(nèi)角和的度數(shù)。生答：四邊形內(nèi)角和是（教師板書）師肯定：同學(xué)們回答的非常好！我們小學(xué)學(xué)過的長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是，正方形的內(nèi)角和也是，由此我們猜測(cè)一般四邊形內(nèi)角和也是 。師指出：這個(gè)結(jié)論是否正確呢？我們要從理論上加以驗(yàn)證。點(diǎn)評(píng) 以小學(xué)學(xué)過長(zhǎng)方形、正方形的每個(gè)內(nèi)角都是為依托，猜想一般四邊形內(nèi)角和的度數(shù)。向?qū)W生滲透由具體到抽象、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。2、探索研究解釋的方法，并交流不同方法 師質(zhì)疑：怎樣說明四邊形內(nèi)角和是 呢？師指出：處理復(fù)雜問題普遍實(shí)用的方法，就是把未知轉(zhuǎn)化為已知，用已有知識(shí)研 究新問題。所以，研究四邊形的問題可轉(zhuǎn)化為已學(xué)

9、過的知識(shí)去解決。生答：三角形。師：對(duì)！同學(xué)們回答的非常好！把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形知識(shí)解決。師追問：轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵？生答：作輔助線。點(diǎn)評(píng) 研究四邊形的問題可轉(zhuǎn)化為三角形知識(shí)去解決，向?qū)W生滲透“化歸”的數(shù)學(xué) 思想方法。師：請(qǐng)同學(xué)們考慮說明的方法。生獨(dú)立思考一一生生交流討論（教師個(gè)別輔導(dǎo)）一一生再獨(dú)立思考。師：請(qǐng)同學(xué)們說說各自的思路。眾生：如圖4,連接AC如圖5,在BC邊上任取一點(diǎn)P （也可在AB或CD或AD 邊上任取一點(diǎn)P）,連接AP, DP如圖6,在四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)0,連接AQ BQ CQ DQ如圖7,在四邊形ABCE外卜任取一點(diǎn)P,連接AP, BP, CP DP如圖8,過 D點(diǎn)作AB平行

10、DP交BC于 P點(diǎn)師：同學(xué)們的思路都非常的好！你想到的是哪一種方法呢？生：比較而言，應(yīng)該說連接 AC時(shí)說明的過程最好。點(diǎn)評(píng) 四邊形內(nèi)角和這一結(jié)論的解釋說明是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)，添加輔助線是關(guān) 鍵。本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)中，探索了多種的說明方法，活躍了學(xué)生的思維。在教學(xué)過程中，應(yīng) 鼓勵(lì)學(xué)生通過獨(dú)立思考，不拘一格，創(chuàng)造性地解決問題，使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)成為再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng) 造的過程。3、歸納概括所得結(jié)論師指出：經(jīng)過分析，同學(xué)們猜想得到的結(jié)論“四邊形的內(nèi)角和等于”是正確的。這是這節(jié)課我們學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容一一四邊形的內(nèi)角和等于師強(qiáng)調(diào)：同學(xué)們要熟記這個(gè)內(nèi)容，并能運(yùn)用它解決有關(guān)的問題。師指出：同學(xué)們還要體會(huì)得到“四邊形內(nèi)角和是”

11、的方法。即通過作輔助線將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形知識(shí)解決。這種解決問題的方法在今后的解題中經(jīng)常會(huì)用到。師繼續(xù)指出：從分析思路看，同學(xué)們得到了多種方法，各種方法都非常好。那么， 當(dāng)一個(gè)題目有多種方法時(shí)，特別是幾何冋題，往往都有多種方法，通常我們選擇最簡(jiǎn)單 的方法。點(diǎn)評(píng)（1）從特殊四邊形（長(zhǎng)方形、矩形）中觀察、分析、猜測(cè)、驗(yàn)證獲取新知（內(nèi) 角和是）。（2）從已有知識(shí)結(jié)構(gòu)中討論分析歸納獲得新的創(chuàng)新。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)人一種研究 狀態(tài)，獲得的新知對(duì)學(xué)生來說，就是一種創(chuàng)新。4、鞏固性應(yīng)用師：請(qǐng)同學(xué)們解答下面的判斷題（1）四邊形的各內(nèi)角可以都是銳角。（）變式1:將“銳角”改為“直角”。變式2:將“銳角”改為“鈍角”

12、。生口答：（I ）錯(cuò)誤。變式1正確。變式2錯(cuò)誤。（2）在一個(gè)四邊形中，如果有兩個(gè)角都是直角，那么其余的兩個(gè)角的關(guān)系一定是互 為補(bǔ)角。（）生口答：正確。（3 ）如圖9,四邊形ABCD中的大小不能確定。（）生口答：錯(cuò)誤。 的大小能確定。變式：此題中 的大小若能確定，試求 的度數(shù)；若不能確定，請(qǐng)說明理由。生口答：對(duì)于學(xué)生的回答教師及時(shí)給予肯定表?yè)P(yáng)。點(diǎn)評(píng) 設(shè)計(jì)此組練習(xí)的目的一是使學(xué)生進(jìn)一步理解四邊形的內(nèi)角和是的內(nèi)涵和外延。二是教師可了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況，以便及時(shí)的調(diào)整和改進(jìn)教學(xué)。四）變式訓(xùn)練師：請(qǐng)同學(xué)們看下面的題目。已知：如圖10,直線，垂足為B,直線，垂足為C,問 與 之間會(huì)有怎樣的 關(guān)系？對(duì)你的結(jié)論請(qǐng)

13、給予說明。生思考一一交流一一說明問題的答案一一互評(píng)。師：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，圖中有與 相等的角嗎？若有請(qǐng)指出，并給出說明；若沒 有請(qǐng)說明理由。學(xué)生繼續(xù)交流、探討。師追問：我們將此題目增加條件，又構(gòu)成了一道新的探索型問題。請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù) 思考解答。已知：如圖11,在四邊形ABO（中,，AE平分，OF平分，請(qǐng)問AE與OF平行嗎？為什么？學(xué)生交流、探討。點(diǎn)評(píng) 這是一組系列探索題。這個(gè)題目知識(shí)覆蓋面大，綜合性強(qiáng)，題意構(gòu)思精巧。 這迫使學(xué)生要用“動(dòng)”的觀點(diǎn)去分析已知條件和面臨結(jié)論之間的關(guān)系，在矛盾沖突中建 立新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。在這個(gè)過程中，不同層次的學(xué)生都得到不同程度的發(fā)展與提高，學(xué)生 的思維又上了一個(gè)新層次。

14、（五）引申思考師：在得到四邊形內(nèi)角和是 的基礎(chǔ)上，你能探求五邊形、六邊形和一般 n邊形的 內(nèi)角和是多少度嗎？請(qǐng)同學(xué)們思考研究。師生共同回答：n邊形的內(nèi)角和為：師：看誰(shuí)回答的最快。（l ）六邊形的內(nèi)角和是；12邊形的內(nèi)角和是。（2 ）邊形的內(nèi)角和是 ；一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是。（3）正六邊形的一個(gè)內(nèi)角是。（六）歸納小結(jié)（教師引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)）1、研究問題的一般思維方法：觀察、分析、猜想、類比、解釋、說明、應(yīng)用。2、研究幾何概念及性質(zhì)的一般思維方向：定義、定義的內(nèi)涵和外延。就四邊形而言有：邊、角、對(duì)角線、內(nèi)角和（教師提示：以及后面學(xué)習(xí)的外角和）。3、四邊形內(nèi)角和是的

15、得出及應(yīng)用中所用到的思想方法。四邊形問題轉(zhuǎn)化構(gòu)造成三角形問題解決。4、感悟數(shù)學(xué)中普遍存在的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化、相互制約的辯證關(guān)系；以及數(shù)學(xué) 來源于實(shí)踐，又反過來作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)。點(diǎn)評(píng) 課堂小結(jié)是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，教師再次給學(xué)生提供展示自己的機(jī)會(huì)， 充分體現(xiàn)以學(xué)生的發(fā)展為本的素質(zhì)教育觀念。四總評(píng)：本文著重談“多邊形的內(nèi)角和”一堂課的教材處理和教學(xué)法運(yùn)用意見。課堂教學(xué)是教師、學(xué)生和教學(xué)媒體（教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)器具等）之間在教學(xué)目標(biāo)指 導(dǎo)下所發(fā)生的動(dòng)態(tài)變化的過程，其中教材處理和教法運(yùn)用體現(xiàn)著教師、學(xué)生和教學(xué)媒體 三者之間的相互作用，是影響課堂教學(xué)這一動(dòng)態(tài)變化過程效率的主要變量。另外，教材

16、處理和教法運(yùn)用是教師主導(dǎo)作用的集中表現(xiàn)，而教師主導(dǎo)作用發(fā)揮的方向、方式和力度 決定著學(xué)生的主體地位能否得到保障，主體作用能否得到較好的發(fā)揮。因而課堂教學(xué)評(píng) 價(jià)應(yīng)當(dāng)把教材處理和教學(xué)法運(yùn)用作為主要內(nèi)容?！岸噙呅蔚膬?nèi)角和”一堂課的教材處理和教學(xué)法的運(yùn)用有許多優(yōu)點(diǎn)：（一）本堂課確定的主要教學(xué)目標(biāo)是恰當(dāng)?shù)?。比如?duì)多邊形的有關(guān)概念不作過高要求，只要求能夠在圖形中識(shí)別，但對(duì)四邊形 內(nèi)角和是 要求較高，除了會(huì)解釋說明外還要會(huì)進(jìn)行應(yīng)用。另外還特別強(qiáng)調(diào)研究四邊形 的問題時(shí)常通過作輔助線的方法轉(zhuǎn)化為三角形知識(shí)解決，并以此為載體強(qiáng)化數(shù)學(xué)化歸的 思想方法。（二）導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)過程1、對(duì)于多邊形定義及有關(guān)概念，這不是本堂課的重

17、點(diǎn)內(nèi)容，而且學(xué)生對(duì)四邊形、 五邊形、n邊形的形狀并不陌生，因而教師采用讓學(xué)生類比三角形的知識(shí)學(xué)習(xí)，方法是 可取的。之后又讓學(xué)生自己概括并敘述它們的定義，這可培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和文字表 達(dá)能力。2、對(duì)于四邊形內(nèi)角和是，這是本堂課的重點(diǎn)。課堂教學(xué)緊緊圍繞結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、 解釋說明、應(yīng)用三個(gè)階段展開，從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和教材特點(diǎn)出發(fā)分別采取不同方法。（I ）結(jié)論的發(fā)現(xiàn)考慮到學(xué)生已學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理，而且知道長(zhǎng)方形、正方形的每一個(gè)角都 是，所以教師對(duì)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)采取猜想的方法。教師直接提出問題：“四邊形的內(nèi)角和是多少度”？學(xué)生很容易猜想得出 的結(jié)論，這個(gè)問題雖然不難回答，但可以培養(yǎng)學(xué)生探 究問題的意識(shí)和學(xué)

18、習(xí)習(xí)慣。（2）探求結(jié)論的推導(dǎo)思路在此之前，學(xué)生已經(jīng)積累了不少說明幾何問題的事實(shí)、方法和經(jīng)驗(yàn)，為了幫助學(xué) 生迅速找到新舊知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，教師提出問題：“處理復(fù)雜問題普遍實(shí)用的方法，就是把未知轉(zhuǎn)化為已知，用已有知識(shí)研究新問題。所以，研究四邊形的問題可轉(zhuǎn)化為已學(xué) 過？ 知識(shí)去解決?！边@可引起學(xué)生的聯(lián)想，有利于學(xué)生梳理知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散 思維能力。接下去教師繼續(xù)提問：“怎樣轉(zhuǎn)化？轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵？ ”教師沒做更多的引導(dǎo)， 只是提出問題。這樣，教師不僅為解決問題創(chuàng)造了一個(gè)好的情境，而且指導(dǎo)學(xué)生通過自 己的努力按既定方向?qū)⒁延兄R(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法進(jìn)行重組從而解決了問題。從課堂教學(xué)實(shí) 際效果看，這個(gè)引導(dǎo)是符合多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)的，既沒有超越學(xué)生的認(rèn)知能力，又能 促進(jìn)學(xué)生積極探索。在探求結(jié)論的推導(dǎo)過程中，集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化歸思想的應(yīng)用。在這里，教師有意 識(shí)地做了強(qiáng)化，這可以使學(xué)生更加深刻地體會(huì)到這種思想方法對(duì)解決問