實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第三版)-----第三章_復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1、 主要內(nèi)容本章介紹了勒貝格可測集和勒貝格測度的性質(zhì).    外測度和內(nèi)測度是比較直觀的兩個(gè)概念，內(nèi)外測度一致的有界集就是勒貝格可測集. 但是，這樣引入的可測概念不便于進(jìn)一步討論. 我們通過外測度和卡拉皆屋鐸利條件來等價(jià)地定義可測集（即定義3.2.3），為此，首先討論了外測度的性質(zhì)（定理3.1.1）. 注意到外測度僅滿足次可列可加（而非可列可加）性，這是它和測度最根本的區(qū)別.我們設(shè)想某個(gè)點(diǎn)集上可以定義測度，該測度自然應(yīng)該等于這個(gè)集合的外測度，即測度應(yīng)是外測度在某集類上的限制. 這就容易理解卡拉皆屋鐸利條件由來，因?yàn)檫@個(gè)條件無非是一種可加性的要求. 本章詳細(xì)地討論了勒

2、貝格測度的性質(zhì). 其中，最基本的是測度滿足在空集上取值為零，非負(fù)，可列可加這三條性質(zhì). 由此出發(fā)，可以導(dǎo)出測度具有的一系列其它性質(zhì)，如有限可加，單調(diào)，次可列可加以及關(guān)于單調(diào)集列極限的測度等有關(guān)結(jié)論. 本章還詳細(xì)地討論了勒貝格可測集類. 這是一個(gè)對集合的代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算封閉的集類. 我們看到勒貝格可測集可以分別用開集、閉集、 型集和 型集逼近. 正是由于勒貝格可測集，勒貝格可測集類，勒貝格測度具有一系列良好而又非常重要的性質(zhì)，才使得它們能夠在勒貝格積分理論中起著基本的、有效的作用. 本章中，我們沒有介紹勒貝格不可測集的例子. 因?yàn)闃?gòu)造這樣的例子要借助于策墨羅選擇公理，其不可測性的證明還依賴于勒

3、貝格測度的平移不變性. 限于本書的篇幅而把它略去. 讀者只須知道：任何具有正測度的集合一定含有不可測子集. 復(fù)習(xí)題一、判斷題1、對任意，都存在。（ ）2、對任意，都存在。（× ）3、設(shè)，則可能小于零。（× ）4、設(shè)，則。（ ）5、設(shè)，則。（× ）6、。（× ）7、。（ ）8、設(shè)為中的可數(shù)集，則。（ ）9、設(shè)為有理數(shù)集，則。（ ）10、設(shè)為中的區(qū)間，則。（ ）11、設(shè)為中的無窮區(qū)間，則。（ ）12、設(shè)為中的有界集，則。（ ）13、設(shè)為中的無界集，則。（× ）14、是可測集是可測集。（ ）15、設(shè)是可測集列，則，都是可測集。（ ）16、零測集、區(qū)間

4、、開集、閉集和Borel集都是可測集。（ ）17、任何可測集總可表示成某個(gè)Borel集與零測集的差集。（ ）18、任何可測集總可表示成某個(gè)Borel集與零測集的并集。（ ）19、若，則。（× ）20、若是無限集，且，則是可數(shù)集。（× ）21、若，則必為無界集。（ ）22、在中必存在測度為零的無界集。（ ）23、若，都是可測集，且，則。（× ）24、和都是可測集，且，。（ ）25、設(shè)為可測集，則。（× ）26、設(shè)為可測集，且，則。（× ）二、填空題1、若是可數(shù)集，則 0 ；為 可測 集； 0 。2、若為可測集，則 小于或等于 ；若為兩兩不相交的可

5、測集，則 等于 。3、設(shè)為可測集，則 大于或等于 ；若還有，則 大于或等于 。4、設(shè)為可測集，且，則 等于 。5、設(shè)為的內(nèi)點(diǎn)，則 大于 。6、設(shè)為康托三分集，則為 可測 集，且 0 。7、 0 ， + 。8、敘述可測集與型集的關(guān)系 可測集必可表示成一個(gè)型集與零測集的差集 。9、敘述可測集與型集的關(guān)系 可測集必可表示成一個(gè)型集與零測集的并集 。三、證明題1、證明：若有界，則。證明：因?yàn)橛薪纾?，存在一個(gè)有限區(qū)間，使得，從而。2、證明：若，則為可測集。證明：對任意，因?yàn)?，可得，所以，從而，所以，為可測集。3.設(shè)為0，1中的全體有理數(shù)，則.（10分）證明 因?yàn)闉榭蓴?shù)集， 記為 ，對任意，取，顯然,

6、 ,讓0得 ，從而是可測集且.證畢.4、證明：有理數(shù)集為可測集，且。證明：因?yàn)橛欣頂?shù)集可數(shù)集，從而，所以，為可測集，且。5、證明：若，都是可測集，且，則；若，則上面的結(jié)論還是否成立。證明：因?yàn)椋?，所以，。又，所以，。若，則上面的結(jié)論不一定成立。6、若中的區(qū)間為可測集，則中的開集為可測集。證明：由中開集的結(jié)構(gòu)得，中的開集或?yàn)榭占@然是可測集；或?yàn)橹炼嗫蓴?shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并集，而區(qū)間是可測集，至多可數(shù)個(gè)可測集的并集還是可測集，所以，它還是可測集。綜上所述，結(jié)論成立。7.證明對任意可測集合A和B都有 證：因，又，所以又，故 于是得.移項(xiàng)即證畢.8.證明Cantor集合的測度為零.證：設(shè)cantor集合C，并設(shè)A是0,1中被挖去的點(diǎn)的集合.A=則,由于A為互不相交的開區(qū)間的并，故為可測集，于是