函數(shù)的單調(diào)性

1、 46775619713360周口市年生產(chǎn)總值統(tǒng)計(jì)表周口市年生產(chǎn)總值統(tǒng)計(jì)表1020年份生產(chǎn)總值（億元）30 某市高等學(xué)校某市高等學(xué)校在校學(xué)生數(shù)統(tǒng)計(jì)表在校學(xué)生數(shù)統(tǒng)計(jì)表年份 人數(shù)（萬人）423359209176 某市日平均某市日平均出生人數(shù)統(tǒng)計(jì)表出生人數(shù)統(tǒng)計(jì)表450150年份 人數(shù)（人）250350Oxy1xy11Oxy2x2y21Oxyx2xy221yOxx1y Oxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xyOx)x(f11xy2xy,

2、21xx在給定區(qū)間上任取21xx )f(x)f(x21 函數(shù)f (x)在給定區(qū)間上為增函數(shù)。Oxy) x( fy如何用如何用x與與 f(x)來描述上升的圖象？來描述上升的圖象？)x( f11x如何用如何用x與與 f(x)來描述下降的圖象？來描述下降的圖象？,21xx在給定區(qū)間上任取21xx 函數(shù)f (x)在給定區(qū)間上為減函數(shù)。)f(x)f(x21)x( f1)x ( f2) x ( fyOxy1x2x)x ( f22x函數(shù)單調(diào)性的概念：函數(shù)單調(diào)性的概念：1. 如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的自變量的如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的自變量的任意任意) ), ,f f( (x x) )都都有有f f( (x x時(shí)時(shí),

3、 ,x x當(dāng)當(dāng)x x, ,x x, ,兩兩個(gè)個(gè)值值x x2 21 12 21 12 21 1稱函數(shù)稱函數(shù) f(x)在在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。2. 如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的自變量的任意如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的自變量的任意),),f(xf(x) )都有f(x都有f(x時(shí),時(shí),x x當(dāng)x當(dāng)x, ,x x, ,兩個(gè)值x兩個(gè)值x2 21 12 21 12 21 1稱函數(shù)稱函數(shù) f(x)在在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。一般地，對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)一般地，對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)：-5Ox y12345-1-2-3-4123-1-2例例:下圖是定義在下圖是定義在5，5上的函數(shù)上

4、的函數(shù)yf（x）的圖象，根據(jù)圖的圖象，根據(jù)圖象說出象說出yf（x）的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上， yf（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).解：解：y yf f（x x）的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有 5，2），2，1）1，3），3，5.其中其中y yf f（x x）在在 5 5，2 2），）， 1 1，3 3）上）上是減函數(shù)，是減函數(shù)，在在 2 2，1 1），）， 3 3，5 5）上是增函數(shù)）上是增函數(shù). .作圖是發(fā)作圖是發(fā)現(xiàn)函數(shù)單現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的方調(diào)性的方法之一法之一.單調(diào)遞增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間：1 ,(), 1xx2x) x

5、( f2y21o的單調(diào)區(qū)間判斷函數(shù)xxxf2)(2）上是增函數(shù)。，（在區(qū)間證明函數(shù) 1x2)x(f 例例1 1 內(nèi)任意是區(qū)間設(shè)),(x,x 21)x2(x) 1x2() 1x2()x( f)x( f2121210 xx ,xx21210)x(f)x(f21)x(f)x(f21即),(1x2)x(f在區(qū)間則函數(shù)證明：證明：。兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 xx 21是增函數(shù)。 （條件）（條件）（論證結(jié)果）（論證結(jié)果）（結(jié)論）（結(jié)論） 圖象法、定義法圖象法、定義法判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：1.取值取值用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：即設(shè)x1,x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，x1x2 2.作差變

6、形作差變形 即作差f(x1)-f(x2)（或f(x2)-f(x1)），并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形。3.定號(hào)定號(hào) 確定差f(x1)-f(x2)（或f(x2)-f(x1)）的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以進(jìn)行分類討論。4.判斷判斷根據(jù)定義作出結(jié)論.23)(. 2上是增函數(shù)在證明函數(shù)例Rxxf設(shè)設(shè)x1，x2R，且且x1x2，則則f（x1） f（x2）f（x1）f（x2）0f（x1）3x12f（x2）3x22f（x1）f（x2）（）（3x12）（）（ 3x22） 3（x1x2）由由x1x2，得得 x1x20.23)(上是增函數(shù)在函數(shù)Rxxf設(shè)設(shè)x1，x2R，且且x1

7、x2，則則3 x13x2 3 x1+23x2+2即即f（x1） f（x2）.23)(上是增函數(shù)在函數(shù)Rxxf設(shè)設(shè)x1，x2是是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1x2，則則.), 0(1)(. 3減函數(shù)？證明你的結(jié)論上是增函數(shù)還是在函數(shù)例xxf設(shè)設(shè)x1，x2（0，+），），且且x1x2，則則22111)(,1)(xxfxxf212111)()(xxxfxf2112xxxx 0), 0(,2121xxxx01221xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf.), 0(1)(上是減函數(shù)在函數(shù)xxf111Ox y1f（x）在定義域在定義域上是減函數(shù)嗎？上是減函數(shù)嗎？減函數(shù)減函數(shù)f（

8、x）在定義域在定義域上是減函數(shù)嗎？上是減函數(shù)嗎？取取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）例例4.判斷函數(shù)判斷函數(shù)f（x）x21在（在（0，）上是增）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并給予證明。函數(shù)還是減函數(shù)？并給予證明。Ox y11解：解： 函數(shù)函數(shù)f（x）x21在在（0，）上是增函數(shù)）上是增函數(shù).下面給予證明：下面給予證明：設(shè)設(shè)x1，x2（0，），），且且x1x2)() 1() 1()()(21212221222121xxxxxxxxxfxf0), 0(,2121xxxx02121xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf函數(shù)函數(shù)f（x）x21在（在（0，）上是增函數(shù)）上是增函數(shù).（1）函數(shù)單調(diào)性的概念；）函數(shù)單調(diào)性的概念；（2）判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法；）判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法；（2）作業(yè)作業(yè)（1）(3) 用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性-小結(jié)小結(jié)（3） 增函數(shù)增函數(shù) 減函數(shù)減函數(shù)圖象圖象圖象圖象特征特征