利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值理

1、§3.3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值知識(shí)要點(diǎn)梳理一.函數(shù)的極值1.函數(shù)極值定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0)，就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點(diǎn)。如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0).就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點(diǎn)。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值2. 判別f(x0)是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正

2、”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值.3. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x) (2)求方程f(x)=0的根(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值二. 函數(shù)的最大值與最小值1. 函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間上圖像連續(xù)不斷的函數(shù)在上必有最大值與最小值2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 設(shè)函數(shù)在在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間上圖像連續(xù)不斷，求函數(shù)在上的最大

3、值與最小值的步驟如下：求在內(nèi)的極值；將的各極值與、比較，得出函數(shù)在上的最值，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。疑難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)剖析1由極值的定義可知，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。此外請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：（）極值是一個(gè)局部概念。由定義可知，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最?。ǎ┖瘮?shù)的極值不是唯一的。即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)（）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，而> （）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出

4、現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)。（V）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如函數(shù)y=x3在x=0處導(dǎo)數(shù)為0，但x=0不是極值點(diǎn)。（Vi）函數(shù)在一點(diǎn)x0處有極值，不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。如函數(shù)y=|x| 在x=0有極小值，但在x=0處不可導(dǎo)即導(dǎo)數(shù)不存在。2.對(duì)于函數(shù)的最值問(wèn)題，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）在閉區(qū)間上圖像連續(xù)不斷的函數(shù)在上必有最大值與最小值（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)圖像連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒(méi)有最大值與最小值；（3）函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；而函數(shù)的極值是比

5、較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的（4）函數(shù)在閉區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件如函數(shù)在上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其圖像卻不是連續(xù)不斷的（如右圖）。(5)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有一個(gè)。（6）若函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值，則必為最值。若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上遞增，則，；若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上遞減，則，。直擊考點(diǎn)考點(diǎn)一 求含字母參數(shù)的函數(shù)的極值考例1.（06安徽卷）設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（）求、的值。（）求的單調(diào)區(qū)間與極值。思路分析：先求出,再利用奇函數(shù)定義即可求出b,c

6、的值，再利用導(dǎo)數(shù)這一工具，可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值解析：（），。從而是一個(gè)奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；（）由（）知，從而，令=0，解得，由，由此可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是；進(jìn)而得在時(shí)，取得極大值，極大值為，在時(shí)，取得極小值，極小值為。錦囊妙計(jì)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)這一有效工具求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，力求解答思路順暢，思維嚴(yán)謹(jǐn)，書(shū)寫(xiě)規(guī)范。舉一反三：(2005年全國(guó)高考題)設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù) ()求的極值.()當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí),曲線軸僅有一個(gè)交點(diǎn).解：(I)=321若=0，則=，=1當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：(，)(，1)1(1，+)+00+極大值極小值的極大值是，極

7、小值是(II)函數(shù)由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有>0，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有<0，所以曲線=與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合的單調(diào)性可知：當(dāng)?shù)臉O大值<0，即時(shí)，它的極小值也小于0，因此曲線=與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在(1，+)上。當(dāng)?shù)臉O小值1>0即(1，+)時(shí)，它的極大值也大于0，因此曲線=與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在(，)上。當(dāng)(1，+)時(shí)，曲線=與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)?？键c(diǎn)二 求函數(shù)的最值考例2.已知a為實(shí)數(shù)，（1）若，求在2，2 上的最大值和最小值；（2）若在（，2和2，+）上都是遞增的，求a的取值范圍.思路分析：（1）按照利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟去求解。（2）當(dāng)函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間上遞

8、增時(shí)，則在該區(qū)間上恒有,從而得到關(guān)于a的不等式。解: ()由原式得 由 得,此時(shí)有.由得或x=1 ,當(dāng)變化時(shí)，的變化如下表-遞增極大值遞減極小值遞增 所以f(x)在2,2上的最大值為最小值為 (2)解法一: 的圖象為開(kāi)口向上且過(guò)點(diǎn)(0,4)的拋物線,由條件得 即 2a2. 所以a的取值范圍為2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非負(fù). 由題意可知,當(dāng)x2或x2時(shí), 0, 從而x12, x22, 即 解不等式組得: 2a2. a的取值范圍是2,2.錦囊妙計(jì)：（1）極大值，極小值是否就是最大值，最小值，要與區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，才能下結(jié)論。（2）在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)（或減函

9、數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去，若f(x)不恒為0，則由，x恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定。舉一反三：1.（06浙江卷）在區(qū)間上的最大值是(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：，令可得x0或2（2舍去），當(dāng)1£x<0時(shí)，>0，當(dāng)0<x£1時(shí)，<0，所以當(dāng)x0時(shí)，f（x）取得最大值為2。選C2. (06全國(guó)卷)已知a 0 ，函數(shù)f(x) = （ -2ax） (1) 當(dāng)x為何值時(shí)，f(x)取得最小值？證明你的結(jié)論； （2）設(shè) f(x)在 -1，1上

10、是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.解：（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得令得+2(1)2=0從而+2(1)2=0 解得 當(dāng) 變化時(shí)，、的變化如下表 + 0 0 +遞增極大值遞減 極小值 遞增在=處取得極大值，在=處取得極小值。當(dāng)0時(shí)，<1,在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)而當(dāng)時(shí)=，當(dāng)x=0時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值（II）當(dāng)0時(shí)，在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是 即，解得于是在-1，1上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是即的取值范圍是考點(diǎn)三 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的綜合問(wèn)題考例3.(06年深圳市模擬)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切,記.（）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的極值；（）若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.思路分析:首先由是的

11、切線,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出b,再由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性,極值的關(guān)系作出函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.解：(1)依題意，令函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)為,將切點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)可得 .或:依題意得方程，即有唯一實(shí)數(shù)解, 故，即,故,令,解得,或. 列表如下 : -遞增極大值遞減極小值0遞增從上表可知在處取得極大值,在處取得極小值. （）由（）可知函數(shù)大致圖象如下圖所示.作函數(shù)的圖象,當(dāng)?shù)膱D象與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí), 關(guān)于的方程恰有三個(gè)不 等的實(shí)數(shù)根.結(jié)合圖形可知：. 錦囊妙計(jì):讀題,審題,發(fā)現(xiàn)”是的切線”是解題的關(guān)鍵, 數(shù)形結(jié)合的思想在該題中再一次得到運(yùn)用.本題綜合了導(dǎo)數(shù),單調(diào)性 ,極值 ,方程的

12、解等知識(shí)與數(shù)形結(jié)合的思想方法.綜合考察了學(xué)生的計(jì)算,推理,閱讀理解的數(shù)學(xué)能力.舉一反三: (07中山市模擬.) 已知函數(shù)的圖象為曲線E.() 若曲線E上存在點(diǎn)P，使曲線E在P點(diǎn)處的切線與x軸平行，求a,b的關(guān)系；() 說(shuō)明函數(shù)可以在和時(shí)取得極值，并求此時(shí)a,b的值；() 在滿足(2)的條件下，在恒成立，求c的取值范圍.解：(1) ,設(shè)切點(diǎn)為,則曲線在點(diǎn)P的切線的斜率,由題意知有解，即. (2)若函數(shù)可以在和時(shí)取得極值，則有兩個(gè)解和，且滿足. 易得. (3)由(2)，得. 根據(jù)題意，()恒成立. 函數(shù)（）在時(shí)有極大值（用求導(dǎo)的方法），且在端點(diǎn)處的值為. 函數(shù)（）的最大值為. 所以. 誤區(qū)警示：例

13、.設(shè)函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的極值；（2）若當(dāng)時(shí)，恒有，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.常見(jiàn)錯(cuò)誤：（1）忽略0<a<1導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）解帶參數(shù)的絕對(duì)值不等式出錯(cuò)。正解：（1），得，.，. 列表如下：a0+0極小值極大值極小值=；極大值=（2），. 即在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí). 從而：.恒成立，故.緊扣考綱大演練一.單項(xiàng)選擇題1.2（06江西卷）對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x1）³0，則必有（ C ）A f（0）f（2）<2f（1） B. f（0）f（2）£2f（1）C. f（0）f（2）³2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）解：依題

14、意，當(dāng)x³1時(shí)，f¢（x）³0，函數(shù)f（x）在（1，¥）上是增函數(shù)；當(dāng)x<1時(shí)，f¢（x）£0，f（x）在（¥，1）上是減函數(shù)，故f（x）當(dāng)x1時(shí)取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1），故選C3函數(shù)有極值的充要條件是（ ）ABCD答案：B【思路分析】：有兩個(gè)不等實(shí)根. 即或，故選B.4.（06天津卷）函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D 4個(gè)解析：函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小

15、值的點(diǎn)即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值為由負(fù)到正的點(diǎn)，只有1個(gè)，選A.xy0-1-2-3123456.如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如右圖所示，給出下列判斷：(1) 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（3，5）內(nèi)單調(diào)遞增；(2) 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（-1/2，3）內(nèi)單調(diào)遞減；(3) 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（-2，2）內(nèi)單調(diào)遞增；(4) 當(dāng)x= -1/2時(shí)，函數(shù)y=f(x)有極大值;(5) 當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=f(x)有極大值;則上述判斷中正確的是 .A B C D 答案:B二.填空題7.若f(x)=x33ax23(a2)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍是_ _。答案: a>2或a&

16、lt;-1。提示： f(x) 既有極大值又有極小值 , 有兩個(gè)不同的解。8. 已知為常數(shù)）在2，2上有最大值3，那么此函數(shù)在2，2上的最小值為 .答案: -37.9（改編題）設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且則不等式的解集是答案：10f（x）= 1+3sin x + 4cos x取得最大值時(shí)，tan x = 解答：f（X）=3cosx4sinx=0 tanx=，f(X)在tanx=時(shí)取得最大值，即填。三.解答題11.設(shè)函數(shù)（1） 若f(x)在上是增函數(shù)，求a的取值范圍；（2） 求在上的最大值解: 在0,1上恒成立，.（1） 當(dāng)時(shí),在(0,1)上為增函數(shù)，在上的最大值為,當(dāng)時(shí), 當(dāng) .12已知函數(shù)（1）若在1，上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若x3是的極值點(diǎn)，求在1，a上的最小值和最大值解析：（1）x1， （當(dāng)x=1時(shí)，取最小值）a3（a3時(shí)也符合題意）a3 （2），即27-6a+30