第十四章 導數(shù)與微分ppt課件

1、l第一節(jié) 導數(shù)概念l第二節(jié) 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則l第三節(jié) 復合函數(shù)的求導法則l第四節(jié) 初等函數(shù)的求導法l第五節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導法l第六節(jié) 高階導數(shù)l第七節(jié) 函數(shù)的微分l第八節(jié) 數(shù)學實驗四 用Mathematica求一元函數(shù)的導數(shù)1.變速運動的速度200.12.stvsgttv以自由落體為例,落體下落的路程 隨時間 的增加越來越大,其速度 每時每刻都在變化現(xiàn)在的問題是運動規(guī)律 要確定某一時刻 落體的速度一、變化率問題舉例,.:距離 對于勻速運動來說,速度=而自由落體是變速運動上時間式不適用基本想法是 雖然整體來說速度是變的,但局部來說可以近似地看成不變,就是說,在很短

2、的時間間隔內(nèi),速度來不及有很大的變化,可以近似地看成勻速運動,于是可用上述公式來確定該段時間內(nèi)的速度,叫做平均速度.200222000001()2112212tttsg ttgtgttg tt ttsvgt + g tt 顯然,從時刻 到時刻所經(jīng)過的路程則在時間間隔 , +內(nèi)的平均速度為為00000,.0,limtttvstvgtt 越小這個平均速度就越接近于時刻 的瞬時速度 自然令取極限于量得到000000()( )( ),limlimtts tts tsss ttvtt 這個方法對于一般變速運動也是適用的.設質(zhì)點運動規(guī)律為:則任一時刻 的速度2.切線問題000000( ).( , ),Cy

3、f xM x yCMM TxM T 設 是坐標平面內(nèi)的一條光滑曲線(所謂的光滑是指曲線上每一點都存在切線),其由方程給出是曲線上一點過點的切線是其與 軸正向夾角為問題是如何確定切線的斜率.00000000(,),tan,M MMM xx yyM MykMCMxxMM M 在點附近任取一點作割線其斜率當沿曲線 接近點時割線就接近切線,從而割線的斜率就接近切線的斜率.換句話說,越小其接近程度就愈高,于是自然定義點的切線為割線的極限位置所以有000000000()( )limlimlim,tan ;14M TxxM MMMM Tf xxf xykkxxkM T 式中是切線的傾斜角(見圖 -1) 上面

4、兩個例子分別屬于不同領域,一為運動問題，一為幾何問題,但都要求計算函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比, 在當后者無限趨于零時的極限.此外,很多理論或?qū)嶋H問題,也要求計算這種類型的極限,這些量的具體意義，抓住它們在數(shù)量關系上的共性,便得出函數(shù)導數(shù)的概念.14圖 -1 切線問題0 x0 xx x0MMTyOxy0000000000( )(0),()( )( ),limlim,( ),( )xxyf xxxxxxyyf xf xxf xyxf xxxyf xxyf xx 義 設函數(shù)在點 的某一鄰域內(nèi)有定義,當自變量在點 處取得增量時相應的函數(shù) 取得增量若極限存在則稱函數(shù)在點 處可導并稱這個極限值為函

5、數(shù)在點 處的導數(shù)記作 定00000000( )|,(),()()()limxxxxxxxdydf xyfxdxdxf xxf xfxx 或即二、導數(shù)的定義000000000000()( )lim,( )()( ),(0)( ),lim,(0)( ),xxf xxf xyf xxf xxf xxf xfxxxf xfx 若極限存在則稱該極限值叫作函數(shù)在點 處的左導數(shù) 記作或若極限存在該極限值叫作函數(shù)在點 處的右導數(shù) 記作或兩者統(tǒng)稱單側(cè)導數(shù)于時,可導的充要條件是左右導數(shù)存在且相等.0000000000()( ),( ),;()( )( ) lim.xf xxf xyxxxxxxyf xf xxf

6、xf xxxx 比值反映的是自變量 從 改變到時函數(shù)的平均變化速度稱為函數(shù)的平均變化率而導數(shù)反映的是函數(shù)在點 處的變化速度,即函數(shù)在點 處的變化率導數(shù)的定義也可以取不同的形式,常見的有00000000()( )( )( )( ) lim( )limhf xhf xf xf xf xf xx xxxh和( ),( ),( )( ),yf xIf xIx If xxIyf x 函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)每一點處都可導 就稱函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)可導這時對于任一都對應著的一個確定的導數(shù)值,當 遍取 內(nèi)一切值時,這樣就構成一個新函數(shù),這個函數(shù)叫作原來函數(shù)的導函數(shù) 簡稱導數(shù).記作00000,( )( )( )( )(

7、)|.x xf xxf xf xxxf xf x 顯然函數(shù)在點 處的導數(shù)就是導函數(shù)在點處的函數(shù)值,即( ),( ),dydf xy f xdxdx或,按照導數(shù)的定義 有0()( )( ) limxf xxf xf xx ().f(x) c c求函數(shù)為常數(shù) 的導數(shù)例1 解( )f xc即 就是說常數(shù)的導數(shù)為零.這一結果實際意義是顯然的,常函數(shù)的變化率為零;幾何意義也是顯然的,因為為一個水平直線,它上面每一點切線都是這條直線本身,斜率是零. 0()( )( ) limxf xxf xfxx 00limlim0 0 xxc cx 三、求導舉例( )().nf xx nx a求函數(shù)為正整數(shù) 在處的導數(shù)

8、例2 解111,( ).(),(),nnnaxfxnxxnxyx(x )x 把以上結果中的 換成得即更一般地 對于冪函數(shù)為常數(shù)有( )( )( ) limxaf xf af ax a1211limlim().nnnnnnxaxaxaxaxanax an項132222111()2;();2,1,()1,1.xxxxxxxx 如等特 別 地若則即 自 變 量的導 數(shù) 為 是 一 非 常 重 要 的 結 論( )sin.fxx求 函 數(shù)的 導 數(shù)例 3 解000cossin22()( )sin() sin( ) limlimlimcos .2hhhhhxf xhf xx hxf xxhhhc o s

9、s ins in xxc o s xx 即 ()用 類 同 的 方 法 可 求 得 ()()lo g.afxx求 函 數(shù)的 導 數(shù)例 4 解0000log () log()( )( )limlimlog1111limlimlog (1)loglnaaxxxaxaaxxxxxf xxf xfxxxxxxexxxxxa 1lo gln,1lnaxxaaexx即 ()特 別 地 若有 ()( ).xfxa求 函 數(shù)的 導 數(shù)例 5 解000100()( )1( ) limlimlim.1,log (1),0,0.11( ) limlimlnlog (1)loglog (1)xxxxxxxxxxxxt

10、tetaaf xxf xaaaf xaxxxatxtxtatxf xaaaaatta 令當時所以ln.,xxxxaaaaeee即 ()=這就是指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式特別地 若時 有 ()= 000000( )( )( )( ,)( )tanyf xxfxyf xMx yfx 由前面切線問題的討論及導數(shù)的定義可知,函數(shù)在點 處的導數(shù)在幾何上表示為曲線在點處切線的斜率即四、導數(shù)的幾何意義圖14-2 導數(shù)幾何意義O( )yf xT0Mxy0 x1,2yx1求雙曲線在點處的切線方程和法線方程.2例6 解2121,4,2xyyx1因為所以即為過點處切線的斜率.2124,4402yxxy 所求切線方程為即11

11、2,2815 042yxxy 所求法線方程為即32,(1)31y xyxx問曲線上哪一點處的切線與直線平行? (2)與 軸平行?例7 解1232(1)3,4,8(4,8)31;yxyxyyx因為令得所以過點處的切線與直線平行(2)0,0,0.,.yxyxx令得所以過(0,0)點的切線與 軸平行 這里 的切線就是 軸00( ),lim( ),( ),lim0.( ).xxyyf xxf xxxf xyf xxxy 設函數(shù)在點 處可導即存在由具有極限的函數(shù)與無窮小量的關系可知式中所以0 ,0.,( )( ),.xyyf xxyf xx 當時有這就是說函數(shù)在點 處是連續(xù)的.所以,如果函數(shù)在點 處可導

12、則函數(shù)在該點必連續(xù)五、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系00000000,0(,)14,00,( )(0)limlimlimlim 110( )(0)limlimlimlim1 10 xxxxxxxxxyxx xxxf xfxxxxxxf xfxxxx 函數(shù)在和處處連續(xù)(見圖-4),但 這個函數(shù)在處不可導事實上因為例8 ,0.xx故在 處 左右導數(shù)不相等,所以函數(shù)在處不可導該函數(shù)的圖形在原點處無切線14 4圖 例8示意圖Oxy|yx思考題?1.連續(xù)是可導的什么條件答案 00?2.請思考在點 處的導數(shù)的幾何意義f xxfx答案00fxf x3.等式 成立嗎?答案課堂練習題;1.用定義證明函數(shù)c c為常數(shù)

13、 的導數(shù)為零y=答案22.12,3求曲線在點處的切線方程和法線方程.yx答案 第一根據(jù)導數(shù)的定義求出一些簡單的導數(shù)，但對于比較復雜的函數(shù)，直接安定義來求它們的導數(shù)往往是很困難的.在本節(jié)和下節(jié)中將介紹求導的幾個基本法則和基本初等函數(shù)的求導公式.( ),( ),uu x vv xxc設都是 的可導函數(shù)以 為常數(shù). 解(1)();uvuv定理 (2)()uvu vuv2(3)uu vuvvv(2)( ) ( ),y u x v x以為例設 =則() ()( ) ( )yu xx v xxu x v x ()( )()( )()( )u xxu x v xxu xv xxv x=()( )yuvv x

14、xu xxxx所以00,lim()( )(),(),( ),().xxxxv xyuv uvuvuv uvv xccucu 令取極限并注意可導必連續(xù) 就得到 即特別地若時因為常數(shù)的導數(shù)為零.故有即常數(shù)可以寫到求導符號外面:(1),(2),u vwuvwuvwu vwuv wuvw說明 該法則中的可推廣到任意有限英的情形 如 ( +) ()323sinln3,.yxxxy已 知求例 1 解2331(2 )()(3sin )(ln3)23cos .3yxxxxx 2yxx求曲線在點(2,3)處的切線方程.例2 解22221( )1,(2,3)213(2),24 0.2xyxyxxyxxy 因為所以

15、為曲線在點處切線的斜率,所以所求切線方程為即sin 2 ,.yxy已 知求例 3 解222sin cos ,2 (sin )cossin (cos )2(cossin) 2cos2 .yxxyxxxxxxx 因為所以.xye求的 導 數(shù)例 4 解21,()xxxeyyeexe 因 為所 以ta n,.yxy已 知求例 5 解222222sincossin1,.coscoscos1tancos1cotsinxxxyyxxxxxxx因為所以即 ()這正是正切函數(shù)的求導公式.同法可求 ()思考題1.牢記函數(shù)的和、差、積、商的求導法則;答案?12. xx答案課堂練習題31.3ln3;求的導數(shù)xyxy答

16、案 22.1093,.設求-1f xxxf 答案( ),( ),( ), .xuxuxxyf uudydy duyfxxdxdu dxyy u設函數(shù)在點 處可導函數(shù)在對應點 處可導 則復合函數(shù)在點 處也可導 且有或?qū)懗?定理 上述定理又稱鏈鎖法則.即復合函數(shù)的導數(shù)等于復合函數(shù) 對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).該法則可推廣到有限次復合形成的復合函數(shù)上去.如( ),( ),( ) ( ).xuvxyf u uv vxyfxyy u v 若都有是可導函數(shù),則復合函數(shù)的導數(shù)為28(12).yx求的 導 數(shù)例 1 解2872712, 8432 (12)xuxuxyuyy uuxxx 令則所

17、以ln tan.yx求的 導 數(shù)例 2 解2tan ,ln .111 sincoscosxuxuxyuyy uuxxx令則所以 22sin.1xyx求的導數(shù)例3 解22222 22 221212cos22cos.11(1)(1)xxxxxxyxxxx 12sin2.xy 求的導數(shù)例4 解1122sin22111ln22sin2ln2 2sincossin2.xxyxxxxx22ln().yxxa求的導數(shù)例5 解2222221211.2xyxxaxaxa例6 證明導數(shù)公式:11(1)(ln);(2)(),0.xxxxx為任意實數(shù)證1(1)0,lnln .(ln),0,lnln(),11(ln)(

18、 1),ln;xxxxxxxxxxxxx 當時則當時1所以于是有公式-lnln1(2).,1.xxnyxy eyexx 在第一節(jié)中就 = 為正整數(shù)情況證明過這個公式表面上不是一個復合函數(shù) 但它可以寫成于是( ),:f x已 知可 導 求例 7 (1)(ln) ;(2)().nfxfxa解1(1)(ln )(ln )(ln )(ln );fxfxxfxx1(2)()()()()() .nnnnnfx afx ax an x afx a1.lntan3請寫出復合函數(shù)的復合過程;xy 答案22221.121?1 2.已知ln則求導的錯x誤在哪里xy =yxxx 答案3.,?兩個可以復合的函數(shù)都可導時

19、,它們的復合函數(shù)一定可導該命題是否正確 為什么答案思考題課堂練習題211.cos 21;xyexy求函數(shù) 的導數(shù)答案222.,.求下列函數(shù)的導數(shù)(1) (2) f xxdyy= fey= edx答案一、反函數(shù)的導數(shù)為了求反三角函數(shù)的導數(shù)，先研究一般反函數(shù)的求導法.( ),( ) 0,1( )( ),( ).( )xyyxyyf xf xy如果為存在反函數(shù)的可微函數(shù)且則的反函數(shù)也可微且 定理 :( ),( )( ),11xyyf x yxyf xxy xydyydxdxxdy 注意 要正確理解定理的含義,左端是函數(shù)對的導數(shù),右端是的反函數(shù)對 求導的倒數(shù).為更明顯起見,定理結論或?qū)懗苫騛rcsin

20、 ,( 11).yxx 求反正弦函數(shù)的導函數(shù)例1 解2222arcsinsin,2 21arcsin11arccos11arctan11arccot1yxxyyxxxxxxxx 因為是的反函數(shù),即 ()同理可求得 () () ()例2 求下列函數(shù)的導數(shù)：3211(1)arccos;arctan;arcsin4.12xxy xyy xxxx (2) (3)解2331111(1)3arccos211yxxxxx2213arccos;21xxxx2221(1) (1)1(2);(1)1111xxyxxxx 二、初等函數(shù)求導問題1.求導法則2(1)();(2)();(3);(4),(),1,uuv u

21、vu vuvuvuv uvvvyy uyuxxu xyxxy 復合函數(shù)求導法則;(5)反函求導法則;22112(3)arcsinarcsin2222412xxxyxxx 2.基本初等函數(shù)求導公式122(1)( )0,();11(3)()ln ,( );,(ln );ln(5)(sin )cos ;cossin ;11(7)(tan );cot;cossin(9)(arcxxxxaccxxaaa eelog xxxxaxxxxxxxx為常數(shù) (2)() (4)() (6)() (8)()222211sin );arccos;1111(11)(arctan );cot.11xxxxxarcxxx

22、(10)() (12)()思考題1.初等函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)都可導嗎?答案2.單調(diào)函數(shù)的導數(shù)仍然單調(diào)嗎?請舉例說明.答案y=x3.理解反函數(shù)的導數(shù)定理,并試用其求反正切函數(shù)arctan 的導函數(shù).答案課堂練習題221.計算下列函數(shù)的導數(shù):(1)4- ; (2)arctan2xy=xy=答案 ln 1,.2.設求f xxyff xy答案一、隱函數(shù)的導數(shù)22( )( , ) 0,.1,0yxyxyf xxyF x yyxxyeexy 變量 已寫成自變量 的明顯表達式的那種函數(shù)叫作顯數(shù).如果 和 的依賴關系隱藏在某個方程那么叫作 的隱數(shù)如函函 有的隱函數(shù)可以顯化，有的則不能，不論隱函數(shù)是否能顯化，可以直

23、接由方程求出它所確定的隱函數(shù)的導數(shù).lncos2.xyeyxxyy求由方程所確定的隱函數(shù) 的導數(shù)例1 解()ln2sin22sin2lnxyxyxyyxyeyxyyxxxyxyexyxex方程兩端 對 求導有 所以 ( ),( )u u x v v x 這里均為可導函數(shù).注意其既不是冪函數(shù),也不是指數(shù)函數(shù),稱為冪指函數(shù),不能錯誤地按冪函數(shù)或按指數(shù)函數(shù)來求導.,lnln1,ln(ln)vyuyvuxyvuvuyuvvyuvuuu對 于 函 數(shù)先 兩 邊 取 自 然 對 數(shù) 1兩 邊 對求 導 所 以 二、冪指函數(shù) 的導數(shù)vy u0u sin(ln )(1).xyxx求的導數(shù)例2 解sinlnsi

24、n lnln .111,cos lnlnsinlnsin(ln )(cos lnln)lnxyxxxyxxxyxxxyxxxxx方程兩端對 求導所以 在導數(shù)運算中,僅有和的導數(shù)等于導數(shù)的和最簡單,利用對數(shù)可以簡化乘積和商及乘方的導數(shù).如例323(1)(2).(3)(4)xxyxx求 函 數(shù)的 導 數(shù)例 3 解231lnln(1) 2ln(2) ln(3) ln(4),31121131234(1)(2)1121131234(3)(4)yxxxxxyyxxxxxxyxxxxxx 方程兩端對 求導1 所以 三、由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導法( ),( ).xxtyxtytyxy 參數(shù)方程確定了 是 的

25、函數(shù)一般情況下消去參變量 得到 和 的直接對應關系式是有困難的.因此,總希望有一種方法,直接由參數(shù)方程式求出它所確定的函數(shù)的導數(shù)11,( ),( ),( ) 0,( )( ),( ) .( ) ( )txxttxt ytttxttxyxyxytyy txt 為此 設函數(shù)關于 可導且存在反函數(shù)則 為 的復合函數(shù)由復合函數(shù)及反函數(shù)求導法則33cos( ).sinxatdyyf xyatdx求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)例4 解223sincostan ,.23cos( sin )txtyattnyx tnattx 為整數(shù)cos,.sin4xattybt求橢圓在處的切線方程例5 解coscot ,.

26、4sin222(),2022txtybtbbabytytxyxaatatxbbayxbx ayaba所以當時所以所求切線方程 即思考題 111., 已知則分析求解中錯誤.xxxxxyxyxx xxx xx答案2.隱函數(shù)求導結果中往往含有 ,這是為什么?y答案3.參數(shù)方程求導時應注意些什么?答案課堂練習題,1.求由方程所確定的隱函數(shù) 的導數(shù).x+yxeyy答案.4sin2.寫出曲線在處的切線方程cos2x=tty=t答案2222,( )( ),( ),( ),( )( ),( ),.yf xxydf xdyf xyf xxdxdxd f xd yyf xy fxdxdx 已經(jīng)知道 一個函數(shù)的導數(shù)

27、仍是 的一個函數(shù),記作或如果導數(shù)關于 仍是可導的它的導數(shù)叫作函數(shù)的二階導數(shù) 記作或3333,( )( )( ),( ),.yfxyf xd f xd yyfxdxdx 同理 二階導函數(shù)的導數(shù)叫作函數(shù)的階導數(shù) 記作或三( )( ),( ),( )( ),.nnnnnnyf xnyd f xd yfxdxdx 依次類推 就可以定義函數(shù)的 階導數(shù),并且記作或 二階和二階以上導數(shù)統(tǒng)稱稱高階導數(shù)，自然原來所說的導數(shù)就是一階導數(shù).由導數(shù)的定義，很容易寫出二階及二階以上導數(shù)定義.如00()( )( )lim()( )( )limxxfxxfxfxxfxxfxfxx 高階導數(shù)也有許多實際背景.例如，加速度是速

28、度的變化率，因而加速度是速度對時間的導數(shù)，但速度本身是路程對時間的導數(shù)，所以加速度是路程對時間的二階導數(shù)，并把此說成二階導數(shù)的一個物理模型.1011,(0).nnnnny a xaxa x aa求 次多項式函數(shù)的各階導數(shù)例1 解120121(1)2,nnnnyna xna xaxa23012(1)(1)(2)2,nnnyn na xnna xa( )0(1)(2)! ,0.(!.)nnnyn ayynn說明 次多項式, 階以上導數(shù)均為零;(2);(3).xxxyeyeyan求的 階導數(shù)例2 (1)解( )(1),;nxxxxyeyeyeye ( )2(2),;nxxxxnyeyeyeye (

29、)2lnlnln(3),;nxxxxnaaayayayaya sin.yxn求 正 弦 函 數(shù)的 階 導 數(shù)例 3 解cossin,2cossin2,22cos2sin3,22sin2nyxx xyxxyxxyx n ln(1).yxn求函數(shù)的 階導數(shù)例4 解2341112!3!(4),1(1)(1)(1)(1)!( )( 1).(1)nnyyyyxxxxnnyx 思考題1.請說明求函數(shù)的高階導數(shù)的運算本質(zhì).答案nn2.證明 次多項式 階以上導數(shù)為零.答案課堂練習題 3,.fxyfx1.已知二階導數(shù)存在 求的二階導數(shù)答案 62.2,1?.f xxf 設 求答案一、微分的概念0,0.( )lim

30、xyxxyf xx 前幾節(jié)研究了導數(shù) 所謂的導數(shù)就是函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比值當時的極限即 導數(shù)表示函數(shù)相對于自變量變化快慢的程度(導數(shù)絕對值大,函數(shù)y相對于自變量x變化的速度快;小則慢,導數(shù)值為零,幾乎無改變),而不是改變量本身,然而在許多情形下,需要考察和估計函數(shù)的改變量. 計算函數(shù)的改變量一般沒有什么好竅門,只需兩個函數(shù)值相減即可.一般來講,一些復雜函數(shù)這樣運算較麻煩,并且又不實際,因為世界上絕對精確的東西是沒有的.所以當自變量的改變量 很小時,要對函數(shù)的改變量 進行估計.xy先看一個實例.2:,SxSxx 正方形金屬薄片的面積 是邊長 的函數(shù)受熱冷的影響邊長有一改變量面積相應地

31、有一改變量222()2()Sxxxxxx (14 7),.S見圖陰影部分包含以下兩部分14 7圖 金屬薄片面積改變量xx2() x2(1)2,2 ()(2)().x xxxSxx是線性部分 且以為線性部分系數(shù)是關于的高階無窮小部分,(1),(2),.(1),(1).xSSx xxS 因此當很小時為的主部換句話說,可以用2來近似代替,所產(chǎn)生的誤差關于的高階無窮小在實際問題中影響不在可忽略不計并且很便于計算是很有用的所以稱為的主要部分,( )( ).xxyf xyyf x 現(xiàn)在轉(zhuǎn)到一般情形當自變量 有一改變量時函數(shù)的相應改變量是否可以分成類似于實例中的兩部分呢?結論是,只要可導這一定是可能的理由是

32、( ),f xx函數(shù)改變量的主要部分給它另起一個名字,叫作函數(shù)的微分.0lim( )xyfxx 因為 ( ),(0)yfxxxx 所以其中0,當.( )( ),0,0,fxxfxxa xxx 果然函數(shù)的改變量分成兩部分 第一部分的線性部分因為中不含第二部分由于隨時所以其關于為高階無窮小.( ),( ).:( ),(0 ,0)yf xf xxdydyf xxy dyxx 義 設函數(shù)可導稱為函數(shù)的微分,記作即 根據(jù)前面的討論,有 時 定(1),;yxdyyx 它是函數(shù)改變量的主要部分因此當很小時用微分近似代替改變量誤差關于為高階無窮小(2),x 它是自變量的改變量的線性函數(shù)且以導數(shù)為系數(shù),是較容易

33、計算的.1(14 19)1,0,0.dyyxyyxydydyy 改寫有當時令兩端取極限,便得與為等價無窮小其進一步說明了近似代替理由所在.211,0.01yxxx 求函數(shù)在處時的增量與微分.例1 解22111(1.01)(1) (1.011) (11) 0.0201,22;0.02.0.0001.xxxyffyxdyyxydy 與誤差為32,yx yx yx由微分的定義 很容易寫出函數(shù)等的微分.322()3; ()2;1.d xxx d xxx dxxx 即,( )(14 20)( ),( ).xdxxxdyf x dxdyf xf xdxdydx 最后一式說明自變量 的微分就是自變量 的改變

34、量于是習慣把函數(shù)的微分寫成 (2-20)由式得可知函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)的微分除以自變量的微分于是習慣上稱導數(shù)為微商.二、微分的運算 按照定義，一個函數(shù)的微分就等于它的導數(shù)乘以自變量的微分，所以由導數(shù)便可立刻寫出微分公式，sin,cos ,cos;1ln,.yxyxdyxdxyxydydxxx 所 以1 =, 所 以 , u vx 導數(shù)的四則運算法則,對微分也是成立的.即設為 的可微函數(shù),則2(1)();(2)();(3),(0).d uvd ud vd u vvd uu d vuvd uu d vdvvv( )( );,( ),( )( ),( )( ).,( ),uyf udyf x duuu

35、xdyydxfxx dxdux dxdyf u duuyf u 應該著重指出一點,當 為自變量時,函數(shù)的微分為當 不是自變量而是別一個變量的函數(shù)時按照微分的定義及復合函數(shù)求導法則有但故這表明不論 是自變量還是中間變量,函數(shù)的微分式都是一樣的這叫作一階微分形式的不變性.sin.xye求 函 數(shù)的 微 分例 2 解sinsinsinsinsin,sincos,sincosuuxxxxxudydee duedxedxdyedxedx把看成中間變量則 復合函數(shù)微分時 可以不明顯寫出中間變量,如上題 1 3cos.xyex求函數(shù)的微分例3 解1 31 31 31 31 31 3(cos )coscos(

36、 3)cos( sin )(3cossin ).xxxxxxdyd exdxeedxedxex dxexx dx = =-在括號內(nèi)填入適當?shù)暮瘮?shù).例4 (1) ();()cos.dxdxdwtdt (2) 解2,;(2)sin,().xcwtccw1直 觀 觀 察 不 難 看 出 (1)應 填21應 填其 中 為 常 數(shù)tan.yexyxy求由方程所確定的函數(shù) 的微分例5 解2sec1,.2cosyyx ye dy ydx xdydxdydxexx方程兩端分得所以(ln ).xyxdy求函數(shù)的微分例6 解lnln(ln ).111lnln,(ln ) lnln.lnlnxyxxdyxdxdxd

37、yxxdxyxx兩端微分得所以1,;.yxxydyyydytdttyyxxdxdxxxttdt 順便指出利用微商可以方便驗證反函數(shù)求導法則參數(shù)方程求導法則的正確性如三、近似計算000000000000( )( ) 0,( ),()( )( )()( )( ),( )( )( )(yf xxf xxy dyf xxf xxf xf xxf xxf xf xxxxxf xf xf xx 如果在點 處的導數(shù)且很小時有 或?qū)懗?所以便有近似公式 若令上式可以寫 0)x30sin利用微分計算30的近似值.例7 解30 30.6360把寫成弧度為( )sin ,( )cos ,06360f xx fxxx

38、x 設取sin30 30sinsincos636066360所以130.5076223600,0,( )( )(0)0,.xf xf xfxxx在近似公中 取有 注意到這里的 與 點很接近 即數(shù)值較小時1;(2)(1)1;(3)sin;(4)tan;(5)ln(1);xexxxx xx xxx 由上式可以推了工程上幾個常用的近似公式.(1)思考題1.,? 從本質(zhì)上可微即可導 從形式上兩者有何區(qū)別 在應用方面呢答案2. 自變量的導數(shù)和自變量的微分一樣嗎?答案 xy=dy3.對于形如x的函數(shù)求的關鍵是什么?答案課堂練習題cossin1.利用微分性質(zhì)將適當函數(shù)填入下列括號內(nèi)使等式成立.(1) (2)

39、 dtdtdxdx答案2.sin, , , 是常數(shù)求SAtAds 答案求一元函數(shù)的導數(shù)一.學習Mathemmatica命令Mathematica的求導數(shù)命令調(diào)用格式為( ) , , , nD f x xf xD f xx nfx 求 ( ) 求( )二.導數(shù)概念根據(jù)導數(shù)的定義，利用Mathematica的求極限命令可以求出函數(shù)在任何一點處的導數(shù).Limit(fx+h-fx)/h,h-0( ),(0).xf xef設用定義計算例5 解 定義函數(shù)001: 1( )()()00lim,xxInf xExp xoutefxxfxxfxxhx 在 某 一 點的 導 數(shù) 定 義 為 極 限 記輸 入 命

40、令 Limit(fh-f0)/h,h-0得 結 果 為 1.三.求一元函數(shù)的導數(shù)例6 求下列函數(shù)的導數(shù)；212sin342(1)25;(2)cos2cos2 ;(3)4lnln .xyxxyxxyyx (4)解2In1:=DSqrtx2-2x+5,x-2+2xOut1=2 5-2x+x2In2:=DCosx2+2Cos2x,xOut2=-4Sin2x-2xSinx In3:=D4Sinx,xsinxOut3=4CosxLog4In4:=DLogLogx,x1Out4= xLogx(20)22( ),( ).xf xx efx設求例7 解2x2x2xIn5:=Dx2*E(2x),x,202xOut5=99614720e +20971502e +1048576e 1.由可導必連續(xù)可知,連續(xù)是可導的必要條件.返回 00,.02.的幾何意義表示曲線在點處切線的斜率fxyfxxy返回3.,.00不一定.因為是先求導后代值,而是先代值后求導 后者