結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)ch2-1課件

1、第二章第二章 單自由度體系的振動(dòng)單自由度體系的振動(dòng) Single-Degree-of-Freedom Systems2主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.12.1運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程的建立2.22.2無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)2.32.3有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)2.42.4對(duì)簡(jiǎn)諧荷載的響應(yīng)對(duì)簡(jiǎn)諧荷載的響應(yīng)2.52.5對(duì)周期荷載的響應(yīng)對(duì)周期荷載的響應(yīng)2.62.6對(duì)沖擊荷載的響應(yīng)對(duì)沖擊荷載的響應(yīng)2.72.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)2.82.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)阻尼理論與阻尼比的量測(cè)3第二章第二章 單自由度體系的振動(dòng)單自由度體系的振動(dòng) 單自由度體系動(dòng)力分析的重要性：?jiǎn)巫杂啥润w系動(dòng)力分析的

2、重要性：具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，或進(jìn)行初步的估算。 很多實(shí)際動(dòng)力問題可按單自由度體系計(jì)算。多自由度體系動(dòng)力分析的基礎(chǔ)。單自由度體系包括振動(dòng)分析中涉及到的所有物理量 和基本概念。2.12.1運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程的建立 1 1、水平振動(dòng)、水平振動(dòng) 作用在質(zhì)量塊上有三個(gè)真實(shí)力、一個(gè)虛擬的力：荷載、彈簧彈性力和阻尼力; 慣性力( )Dsfffp t根據(jù)力的平衡條件得:左邊的三個(gè)力都是位移左邊的三個(gè)力都是位移y(t)y(t)或或y(t)y(t)對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間t t導(dǎo)數(shù)的函導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，正向與位移數(shù)，正向與位移y(t)y(t)的負(fù)方向相對(duì)應(yīng)，與外荷的負(fù)方向相對(duì)應(yīng)，與外荷載載p(t)p(t)的方向相反。的方向相反。

3、坐標(biāo)坐標(biāo)y y的坐標(biāo)原點(diǎn)取在彈簧自然放松的位置。的坐標(biāo)原點(diǎn)取在彈簧自然放松的位置。5( )sfky t( )fmy t( )Dfcy t 2.12.1運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程的建立( )Dsfffp t)()()()(tptkytyctym 單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程彈性力等于彈簧剛度k與位移y(t)的乘積：慣性力是質(zhì)量與加速度的乘積：c)(ty 阻尼為粘滯阻尼，則阻尼力是阻尼系數(shù) 與速度 的乘積:6 2 2、豎向振動(dòng)、豎向振動(dòng) 質(zhì)量塊沿垂直方向上下振動(dòng)，建立振動(dòng)微分方程，考慮重力的影響。質(zhì)量塊沿垂直方向上下振動(dòng)，建立振動(dòng)微分方程，考慮重力的影響。2.12.1運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)

4、方程的建立7 根據(jù)平衡條件，體系的振動(dòng)方程： Wtptkytyctym)()()( ( )( )sty ty t 2.12.1運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程的建立 是由重力W產(chǎn)生的靜力位移，是不隨時(shí)間變化的，即： 是動(dòng)力位移，由靜力平衡位置開始計(jì)算。 ststWk)(ty)(ty質(zhì)量塊m的總位移 分解為兩部分：8彈簧力部分可寫成：)()(tykktkyfsts)()()()(tptyktyctym ( )( )sty ty t 2.12.1運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程的建立 相對(duì)于靜力平衡位置所寫出的振動(dòng)方程不受重力影響，即重力對(duì)動(dòng)力位移相對(duì)于靜力平衡位置所寫出的振動(dòng)方程不受重力影響，即重力對(duì)動(dòng)力位移無影響

5、。無影響。 振動(dòng)方程：1、位移以靜力平衡位置作為基準(zhǔn)的，而這樣確定的位移即為動(dòng)力響應(yīng)。2、在求總撓度和總應(yīng)力時(shí)，要把動(dòng)力分析的結(jié)果與靜力分析結(jié)果相加。 9 3 3、支座運(yùn)動(dòng)、支座運(yùn)動(dòng)( (激勵(lì)）的影響激勵(lì)）的影響 結(jié)構(gòu)的動(dòng)位移和動(dòng)應(yīng)力既可以由結(jié)構(gòu)的動(dòng)位移和動(dòng)應(yīng)力既可以由動(dòng)荷載動(dòng)荷載引起，也可以由結(jié)引起，也可以由結(jié)構(gòu)構(gòu)支座的運(yùn)動(dòng)支座的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生。而產(chǎn)生。 2.12.1運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程的建立1）由地震引起建筑物基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)；2）由建筑物的振動(dòng)而引起安置在建筑物內(nèi)的設(shè)備基底的運(yùn)動(dòng)等等。10 1、地震動(dòng)問題的簡(jiǎn)化模型2.12.1運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程的建立 假定：假定： （1 1）剛架內(nèi)水平橫梁是

6、剛）剛架內(nèi)水平橫梁是剛性的，且包含了結(jié)構(gòu)所有性的，且包含了結(jié)構(gòu)所有的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量，的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量， （2 2）柱假定無重量且在軸）柱假定無重量且在軸向不能變形，抵抗剛架側(cè)向不能變形，抵抗剛架側(cè)向位移的恢復(fù)力由兩根柱向位移的恢復(fù)力由兩根柱的側(cè)向剛度來提供。的側(cè)向剛度來提供。 )(tyg地震導(dǎo)致的地面水平運(yùn)動(dòng)用相對(duì)于固定參考軸的結(jié)構(gòu)基底位移地震導(dǎo)致的地面水平運(yùn)動(dòng)用相對(duì)于固定參考軸的結(jié)構(gòu)基底位移 表示。表示。110SDIfff2.12.1運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程的建立一個(gè)自由度即可描述剛架的運(yùn)動(dòng)情況。 剛架體系的平衡方程可寫為：)(tymftI )(tyt表示質(zhì)量相對(duì)于參考軸的總位移，即：)()()(tyty

7、tygtsfDfIf彈性力 和阻尼力 與前相同，而慣性力 則由下式計(jì)算：12 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：0)()()()(tkytyctymtymg )()()()()(tPtymtkytyctymeffg 或： 2.12.1運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程的建立0SDIfff)(tPeff ：等效荷載等效荷載，即在地面加速度，即在地面加速度 影響下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)就和在外影響下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)就和在外荷載荷載 作用下的響應(yīng)一樣，只是外荷載作用下的響應(yīng)一樣，只是外荷載 等于質(zhì)量和地面加速等于質(zhì)量和地面加速度的乘積。度的乘積。 負(fù)號(hào)負(fù)號(hào)表示等效力的方向和地面加速度方向相反。表示等效力的方向和地面加速度方向相反。)(ty

8、g )(tp)(tp132.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng) 自由振動(dòng)自由振動(dòng)( (free vibrationfree vibration) ) ：無外界干擾的體系振動(dòng)形態(tài)稱為無外界干擾的體系振動(dòng)形態(tài)稱為自由振動(dòng)（自由振動(dòng)（free vibrationfree vibration）。振動(dòng)是由）。振動(dòng)是由初始位移初始位移或或初始速度初始速度或或兩者共同影響兩者共同影響下所引起的。下所引起的。無阻尼自由振動(dòng)：如果阻尼系數(shù)等于零，則這種自由振動(dòng)稱為無阻尼自由振動(dòng)（undamped free vibration）。假設(shè)由于外界干擾，質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置，干擾消失后，質(zhì)點(diǎn)將圍繞靜力平衡點(diǎn)作自由振動(dòng)

9、。14my.1）自由振動(dòng)微分方程的建立(依據(jù)原理：達(dá)朗伯原理)mky(t)y(t)a、剛度法(stiffness method)kmymky從力系平衡建立的自由振動(dòng)微分方程： ).(0akyym my.my.(DAlembers principle)2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)1、運(yùn)動(dòng)方程建立及其解的形式152.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)0myky令mk /20)()(2tyty tCtCtycossin)(21齊次微分方程，其通解為：系數(shù)C1和C2可由初始條件（initial condition）確定。00)0(,)0(vyyy0201,/yCvC設(shè)在初始時(shí)刻t

10、=0時(shí)，有初始位移y0和初始速度v0，即： 求得：tytvtycossin)(00162200()(/)ayv00arctanvy比較兩式得： tytvtycossin)(00( )sin()y tat2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)形式a：振幅， ：初相位角。Amplitude of vibrationinitial phase angletycos0（a）沒有初始速度，僅由初始位移引起的振動(dòng)按 的規(guī)律變化；tvsin0（b）沒有初始位移，僅由初始速度引起的振動(dòng)按 的規(guī)律變化：( )sin()y tat（c）既有初始位移，又有初始速度引起的振動(dòng)形態(tài)按方程 進(jìn)行。17

11、y(t)ty0y0y(t )tv0/v0/TtaaT/tytvtycossin)(00( )sin()y tat2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)18/2T)()/2()(tytyTty2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)當(dāng)時(shí)間t 增加一個(gè) 時(shí)，上式保持不變，即： /2T2、結(jié)構(gòu)的自振周期T:自由振動(dòng)的周期，單位為秒（s）。 :頻率，表示單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)，單位為1/秒（1/s），或稱為赫茲（Hz）。Tf/1f22 :圓頻率或角頻率，表示在 個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù),單位為rad/s 。 經(jīng)過一個(gè)周期T后，質(zhì)點(diǎn)又回到了原來的位置，因此周期T稱為自振周期或固有周期（natura

12、l periold）。 192.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)計(jì)算自振周期的幾種形式：（1）由周期和圓頻率的定義可知：kmT2（2）將 代入上式，得：k1mT2gWT2gTst2gWm/（3）將 代入上式，得：stW（4）令 ，得：20 圓頻率也僅與結(jié)構(gòu)參數(shù)k和m有關(guān)，即僅與結(jié)構(gòu)體系本身的固有性質(zhì)有關(guān)，而與初始干擾無關(guān)，故稱為固有頻率或自振頻率（natural frequency）。 stgWgmmk12.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)圓頻率計(jì)算公式的幾種形式：21 結(jié)構(gòu)自振動(dòng)周期重要性質(zhì)：結(jié)構(gòu)自振動(dòng)周期重要性質(zhì)：（1）自振動(dòng)周期與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，而且只與這兩者有關(guān)，

13、與外界的干擾因素?zé)o關(guān)。 干擾力的大小只能影響振幅A的大小，而對(duì)結(jié)構(gòu)自振周期T的大小沒影響。2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)（2）自振周期與質(zhì)量平方根成正比，質(zhì)量越大，則周期越大；自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，則周期越小。要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度。22（4）自振周期是結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)重要的數(shù)量標(biāo)志。 a、兩個(gè)外表相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差很大，則動(dòng)力性能相差很大； b、兩個(gè)外表看來并不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動(dòng)荷載作用下其動(dòng)力性能基本一致。地震中常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象。2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)（3）把集中質(zhì)點(diǎn)放在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生最大

14、位移的地方，則可以得到最低的自振頻率和最大的振動(dòng)周期。stkgm23 例2-1 懸臂梁長(zhǎng)度L=1米，其末端裝一重量Q=1221N的電動(dòng)機(jī)，梁為鋼梁，彈性模量E=2.11011N/m2，慣性矩I=7810-8m4，與電動(dòng)機(jī)重量相比梁的重量可以略去。求結(jié)構(gòu)的自振圓頻率及周期。 2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)解：懸臂梁在豎向力Q作用下，端部的豎向位移為:EIQLst331183333 2.1 1078 109.862.8(1/ )1221 1.0stgEIgsQL220.1( )62.8Ts自振周期：自振頻率：24例2-2 ：求剛架的自振頻率，不考慮橫梁的變形。2.2 2.2 無阻尼自

15、由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)解：使橫梁發(fā)生單位位移所需外力k為: 3122hEIk324mhEImk自振頻率： 25例2-3：圖示三根單跨梁，EI=常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量m，不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求EIl4831P=13l/165l/32P=1l/2EIlllllEIl7687)325216322(61321EIl768732EIl19233311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)26l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm311481mlEIm322776

16、81mlEIm3331921mlEIm據(jù)此可得：結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng)結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng), ,其剛度越大其剛度越大, ,剛度越大剛度越大, ,其自振動(dòng)頻率也越大。其自振動(dòng)頻率也越大。2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)123:1:1.512:227l/2l/2ml/2l/2k1ACB3396)2/(12lEIlEIQCB3396)2/(12lEIlEIQCAQCAQCB3192lEIQQkCBCA3192mlEImk2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)用剛度法：28例2-4:求圖示剛架的自振頻率。不計(jì)柱的質(zhì)量。EIEIEI1=mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/

17、h3315hEIk315mhEImk2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)解：29274l272l9l113lEIlllllEIl43745)9327432(613311311543741mlEIml/32l/3m例2-52.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)解：30l/2lm12lEIlllllllEI8)3222212322221(131131181mlEIm2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)解：例2-631h1例2-7解法1：求 k=1/hMBA=kh = MBCk1hmI=EIBAClhEIlEI33lmhEImk211323lhEIk1解法2：求 EIlhhlh

18、EI3322121121131mlhEIm2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)32例2-8lEImk1k11k11k33lEI解：求 k3113lEIkkmkmklEI33112.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)33對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)一般計(jì)算柔度系數(shù)方便。如果讓振動(dòng)體系沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，所有剛節(jié)點(diǎn)都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)（如橫梁剛度為無窮大的剛架)計(jì)算剛度系數(shù)方便。312lEI一端鉸結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：33lEI兩端剛結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：2.2 2.2 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)mky1) c不存在不存在0y(t)taamky=0c2) c存在存在阻尼是客觀存在的阻尼是客觀存在的振幅

19、隨時(shí)間減小，這表明在振動(dòng)過程振幅隨時(shí)間減小，這表明在振動(dòng)過程中要產(chǎn)生能量的損耗，稱為中要產(chǎn)生能量的損耗，稱為阻尼阻尼。 （1 1）產(chǎn)生阻尼的原因）產(chǎn)生阻尼的原因1)結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦2)材料之間的內(nèi)摩擦3)周圍介質(zhì)的阻力 （2 2）阻尼力的確定）阻尼力的確定1)與質(zhì)點(diǎn)速度成正比2)與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比3)與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān)粘滯阻尼粘滯阻尼( )Rtc y 2.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 352.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 0)()()(tkytyctym mc2mk /2如果體系內(nèi)存在阻尼，單自由度體系的自由振動(dòng)微分方程為 :令：則方程可改寫為：0)()(2

20、)(2tytyty ykykmP(t )ycy.( 阻尼比damping ratio ）36特征方程的解為：0)()(2)(2tytyty tCety)(0222)1(22, 12.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 設(shè)方程解的形式為：特征方程：(characteristic equation)37tteCeCty2121)(mccr20)()()(tkytyctym )1(22, 12.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)的通解為：1 所對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)c稱為臨界阻尼系數(shù)，記為ccr，其計(jì)算公式為： 12C1和C2為兩個(gè)積分常數(shù)，由初始條件確定。 有阻尼自由振動(dòng)的特性與根式（

21、 ）的符號(hào)有關(guān)。38crccmc22.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 阻尼比(damping ratio ） 稱為阻尼比（damping ratio）,反映了阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。一般材料的阻尼比都很小，例如鋼（0.0040.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。對(duì)一般建筑結(jié)構(gòu)，其阻尼比約在0.01-0.1之間。39 體系的阻尼系數(shù)小于臨界阻尼系數(shù)，稱為低阻尼體系（under damping）。式可寫為 :dii)1(22, 1)()(21tditditeAeAety)1(22, 12.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 0)()(2)(2ty

22、tyty 振動(dòng)微分方程:21d其中， 稱為阻尼固有頻率。（1）當(dāng) 1時(shí) 解為：40)sin()(tAetydt0)0(yy0)0(vy01yA dvyA0022.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 或：其中：A1及A2或A及 由初始條件確定。設(shè)當(dāng)t=0時(shí)，初始位移和初始速度分別為：將此初始條件代入方程解，可得：41 表示低阻尼下的自由振動(dòng)，不是一個(gè)嚴(yán)格的周期振動(dòng)，是一個(gè)減幅的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，可稱為準(zhǔn)周期振動(dòng)，其往復(fù)一次的周期時(shí)間為：220020)(dvyyA000vyytgd2122ddT)sin()(tAetydt衰減因子阻尼對(duì)周期影響？2.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)

23、或：422.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) tyty低阻尼y- t曲線tA e )sin()(tAetydt 其衰減簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)如圖所示。在有阻尼自由振動(dòng)中，由于阻尼不斷消耗能量又沒有外界能量補(bǔ)充，因此結(jié)構(gòu)系統(tǒng)總能量不斷減少，振幅不斷衰減。4321d2.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) （a a）、）、阻尼對(duì)固有頻率的影響阻尼對(duì)固有頻率的影響d 有阻尼和無阻尼的固有頻率 和 間的關(guān)系式 :dd在 1的低阻尼情況下， 恒小于 ，而且 隨 的增大而減小。d但一般材料的阻尼比都很小，例如鋼（0.0040.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。對(duì)一般建筑結(jié)構(gòu)，

24、其阻尼比約在0.01-0.1之間。如果 0.2則0.96 1，即 與 的值很接近。所以說阻尼對(duì)固有頻率的影響很小.一般可認(rèn)為:d阻尼對(duì)固有頻率基本無影響！44 TktTktkkeeeyy)(1)sin()(tAetydt2.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 值愈大，振幅衰減速度愈快。ky1ky經(jīng)過一個(gè)周期T后，相鄰兩個(gè)振幅 與 比值為：（b b）、）、阻尼對(duì)振幅的影響阻尼對(duì)振幅的影響tAe振幅為 ，阻尼比出現(xiàn)在指數(shù)項(xiàng)，對(duì)振幅有較大影響。45兩邊進(jìn)行對(duì)數(shù)變換后可得：兩邊進(jìn)行對(duì)數(shù)變換后可得：dkkTyy2)ln(1)ln(211kkdyy)ln(211kkyyTktTktkkeeeyy

25、)(12.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) d如果 0.2，則 ，46212ln21kkyy2.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 對(duì)數(shù)衰減率與阻尼比只差一個(gè)常數(shù)倍。)ln(211kkyy1lnkkyy 稱為對(duì)數(shù)衰減率（logarithmic decrement），表征系統(tǒng)的阻尼情況，用 表示，定義為兩個(gè)相鄰的同號(hào)位移值之比的自然對(duì)數(shù)，即:47 kynky)ln(21nkkdyyn)ln(21nkkyyn2.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 對(duì)于阻尼較小的體系，取相隔幾周的響應(yīng)峰值來計(jì)算阻尼比，可以獲得更高的精度。d當(dāng) 0.2時(shí)，即 時(shí)，用 和 表示兩個(gè)相隔n

26、個(gè)周期的振幅，可得：48tetAAty)()(210)()(2)(2tytyty 2.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) （2）當(dāng) =1時(shí)體系阻尼等于臨界阻尼（critical damping）。臨界阻尼是在自由振動(dòng)響應(yīng)中不出現(xiàn)振動(dòng)所需的最小阻尼值在自由振動(dòng)響應(yīng)中不出現(xiàn)振動(dòng)所需的最小阻尼值。方程的特解為: 2(1) 01yA 002yvA0v0y設(shè)初始條件： t=0時(shí)初始位移為 ，初始速度為 ，則：49 運(yùn)動(dòng)不呈振動(dòng)形式，按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間t的增大而逐漸衰減以至消失。tetyvyty)()(0002.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 因此：tyy0000vtg這條曲線仍具有

27、衰減性，但不具有波動(dòng)性。50d2, 10)()(2)(2tytyty 2.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 相應(yīng)的通解為:)()(21tdtdteAeAety（3）當(dāng) 1時(shí)體系的阻尼大于臨界阻尼時(shí)，稱為超阻尼體系（over damping）。這時(shí)方程的特征根為:51 0y)(210001dyvyA)(2100002yvyA)sinhcosh()(000tyvtyetydddt2.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 故：)()(21tdtdteAeAety0v設(shè)t=0時(shí)，初始位移稱為 ，初始速度為 ，待定系數(shù)為 :52)sinhcosh()(000tyvtyetydddt2.3 2.3 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 運(yùn)動(dòng)也不再呈振動(dòng)形式，而是按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間t的增大而逐漸衰減以至消失。1)(ty1 圖表示 時(shí) 的時(shí)程曲線。從該圖可以看到，系統(tǒng)不出現(xiàn)振動(dòng)現(xiàn)象，同時(shí)以 時(shí)衰減得最快。 532.3 2.3