第1章向量與矩陣ppt課件

1、第第1章章 向量與矩陣向量與矩陣 矩陣實(shí)際是線性代數(shù)中最重要的一個(gè)部分，向量與矩陣是數(shù)學(xué)中重要且運(yùn)用廣泛的工具。 本章引見(jiàn)向量及相關(guān)知識(shí)、引見(jiàn)矩陣及其相關(guān)的概念。研討矩陣的運(yùn)算，著重討論方陣的運(yùn)算，方陣的逆矩陣。第第1章章 目錄目錄 第 1.1 節(jié) 向量根本知識(shí) 第 1.2 節(jié) 矩陣及其運(yùn)算 第 1.3 節(jié) n階方陣 第 1.4 節(jié) 可逆矩陣第第 1.1 節(jié)節(jié) 向量根本知識(shí)向量根本知識(shí)1.二維向量和三維向量二維向量和三維向量二維向量平面向量二維向量平面向量三維向量空間向量三維向量空間向量2. n維向量維向量n維向量的概念維向量的概念n維向量的線性運(yùn)算維向量的線性運(yùn)算n維向量空間維向量空間 內(nèi)積

2、內(nèi)積 前往前往二維向量二維向量定義定義1 在平面直角坐標(biāo)系中，取一個(gè)固定點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，取一個(gè)固定點(diǎn)O為為始點(diǎn)普通稱為原點(diǎn)，取另一點(diǎn)始點(diǎn)普通稱為原點(diǎn)，取另一點(diǎn)A為終點(diǎn)作為終點(diǎn)作一線段一線段OA，該線段既有大小又有方向，這樣，該線段既有大小又有方向，這樣的線段稱為平面向量，記作的線段稱為平面向量，記作 或或. 假設(shè)向量的終點(diǎn)假設(shè)向量的終點(diǎn)A A與始點(diǎn)與始點(diǎn)O O重合，那么該向量稱重合，那么該向量稱為零向量，記作為零向量，記作，其大小為零，方向恣意，其大小為零，方向恣意. . OA1.二維向量和三維向量二維向量和三維向量OA 與向量大小相等，方向相反的向量稱為與向量大小相等，方向相反的向量稱

3、為 的的負(fù)向量，即負(fù)向量，即- -=- . =- . OA二維向量與三維向量表示二維向量與三維向量表示平面向量平面向量a aMNAB 空間向量A二維二維(平面平面)向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算 規(guī)定：當(dāng)兩個(gè)同起點(diǎn)向量的終點(diǎn)重合時(shí)，稱這兩個(gè)向量相等. 定義2平面向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算 .定義定義3(1)向量加法向量加法 設(shè)設(shè)，為兩個(gè)平面向量，稱為兩個(gè)平面向量，稱+為這兩個(gè)向量的和，為這兩個(gè)向量的和， -為兩個(gè)向量的差為兩個(gè)向量的差. (2)數(shù)乘向量數(shù)乘向量 稱稱k為數(shù)為數(shù)k與向量與向量的數(shù)乘的數(shù)乘. k是大小為是大小為的的k倍倍 的向量，當(dāng)?shù)南蛄浚?dāng)k0時(shí)方向與時(shí)方向與一樣；當(dāng)一樣；當(dāng)

4、k0)-ka(k0)二維平面向量及線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示二維平面向量及線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示平面解析幾何中，引進(jìn)了坐標(biāo)或分量的概念平面解析幾何中，引進(jìn)了坐標(biāo)或分量的概念.即在平即在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)平面向量獨(dú)一對(duì)應(yīng)著一個(gè)二維面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)平面向量獨(dú)一對(duì)應(yīng)著一個(gè)二維有序數(shù)組有序數(shù)組 a1，a2，稱，稱a1，a2為該向量的坐標(biāo)。為該向量的坐標(biāo)。線性運(yùn)算可以歸結(jié)為坐標(biāo)之間的運(yùn)算線性運(yùn)算可以歸結(jié)為坐標(biāo)之間的運(yùn)算 ),(),(),(22112121bababbaa Rkkakaaakk),(),(2121 ),(),(2121bbaa ).,(),(),(),(),(),(),/p>

5、524352 ；則則例例如如二維向量空間二維向量空間.,.)()()()()(,)()(.,.RlkRkkklklkkllkRRRRRRkRkRRR為為二二維維向向量量，其其中中為為二二維維向向量量空空間間則則稱稱）（）（）（的的負(fù)負(fù)元元素素），稱稱為為記記使使，對(duì)對(duì)）（的的零零元元素素）為為稱稱有有對(duì)對(duì)）（）（）（運(yùn)運(yùn)算算規(guī)規(guī)則則，兩兩種種運(yùn)運(yùn)算算滿滿足足如如下下八八條條對(duì)對(duì)這這兩兩種種運(yùn)運(yùn)算算封封閉閉，且且記記作作，規(guī)規(guī)定定一一種種數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算，又又對(duì)對(duì)；記記作作，規(guī)規(guī)定定一一種種加加法法運(yùn)運(yùn)算算，對(duì)對(duì)合合記記作作所所有有二二維維向向量量組組成成的的集集 222222222287615

6、04000321xyzoxayazaA圖示三維空間向量三維空間向量三維向量三維向量定義定義4 在空間直角坐標(biāo)系中，在空間直角坐標(biāo)系中，取一個(gè)固定點(diǎn)取一個(gè)固定點(diǎn)O為始點(diǎn)普通為始點(diǎn)普通稱為原點(diǎn)，取另一點(diǎn)稱為原點(diǎn)，取另一點(diǎn)A為終為終點(diǎn)作一線段點(diǎn)作一線段OA，該線段既有，該線段既有大小又有方向，這樣的線段稱大小又有方向，這樣的線段稱為空間向量，記作為空間向量，記作 或或 . OA).,(),(),(,),(zyxzyxzyxzyxaaaaaaaaaOAaaaAO 的的分分量量，記記為為稱稱為為向向量量；向向量量為為原原點(diǎn)點(diǎn)，空空間間點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)).,(),(),()(zzyyxxzyxzy

7、xbabababbbaaa 設(shè)設(shè)向向量量加加減減法法：1).,(),(2zyxzyxkakakaaaakk）數(shù)乘向量：（ 三維空間向量及線性運(yùn)算三維空間向量及線性運(yùn)算.),(模模的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示式式為為若若 222zyxzyxaaaaaa向量模的坐標(biāo)表示xyzo.|），（），（單單位位向向量量 zyxzyxaaaaaa10三維向量空間向量的模和單位向量三維向量空間向量的模和單位向量0).,(;),(313232331221220222 單單位位向向量量模模則則例例如如例題例題.,的的模模及及單單位位向向量量求求向向量量430 ).54,53, 0(54300222單位向量，的模向量解.,

8、322530221，求求，已已知知向向量量 .,1113215904423244222122711530221，解解 例例1例例2.,cos,的的夾夾角角為為向向量量其其中中）為為向向量量的的數(shù)數(shù)量量積積（內(nèi)內(nèi)積積稱稱 ., 求求，已已知知向向量量530221 4523201530221)(,解解 三維空間向量的數(shù)量積三維空間向量的數(shù)量積定義5例3.,),(),(zzyyxxzyxzyxbabababbbaaa 則則有有設(shè)設(shè).,02cos,2,正交則稱向量時(shí)的夾角當(dāng)向量 .,.5, 3,0,4, 1, 1,3, 5, 1是否正交及判斷已知向量 不不正正交交；故故解解 ,)(,084315114

9、11351三維空間向量的正交三維空間向量的正交定義6例4 .,)(,正正交交故故 0533501530351.,.)()()()()(,)()(.,.RlkRkkklklkkllkRRRRRRkRkRRR為為三三維維向向量量，其其中中為為三三維維向向量量空空間間則則稱稱）（）（）（的的負(fù)負(fù)元元素素），稱稱為為記記使使，對(duì)對(duì)）（的的零零元元素素）為為稱稱有有對(duì)對(duì)）（）（）（運(yùn)運(yùn)算算規(guī)規(guī)則則，兩兩種種運(yùn)運(yùn)算算滿滿足足如如下下八八條條對(duì)對(duì)這這兩兩種種運(yùn)運(yùn)算算封封閉閉，且且記記作作，規(guī)規(guī)定定一一種種數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算，又又對(duì)對(duì)；記記作作，規(guī)規(guī)定定一一種種加加法法運(yùn)運(yùn)算算，對(duì)對(duì)合合記記作作所所有有三三維維

10、向向量量組組成成的的集集 33333333338761504000321三維向量空間三維向量空間其中第i個(gè)數(shù)ai稱為向量的第i個(gè)分量.向量普通用,等表示.2.n 維向量維向量定義6 n個(gè)數(shù)a1,a2,an組成的一個(gè)有序數(shù)組(a1, a2, , an) 稱為n維向量.留意: (1)本書(shū)中n維向量普通指實(shí)數(shù)域R上n維向量. (2)當(dāng)需求區(qū)分時(shí)，稱為列向量，稱T為行向量.定義定義7 零向量零向量: 0=(0, 0, , 0) 負(fù)向量負(fù)向量: -=(-a1, -a2, , -an) 向量相等向量相等: 設(shè)設(shè)=(a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn), 稱稱=, 假設(shè)假設(shè)ai=bi

11、 (i=1,2,n)定義定義8 (線性運(yùn)算線性運(yùn)算) 設(shè)設(shè)=(a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn), 向量加法向量加法 +=(a1+ b1, a2 +b2, , an+ bn) ; 向量減法向量減法 -=(a1- b1, a2 -b2, , an-bn) ; 向量數(shù)乘向量數(shù)乘 k= (ka1, ka2, , kan). n 維向量及其運(yùn)算維向量及其運(yùn)算設(shè)設(shè),0為為n維向量維向量, k,l為數(shù)域?yàn)閿?shù)域F中的數(shù)中的數(shù),那么那么1.+= + (加法交換律加法交換律)2.+(+)=(+)+(加法結(jié)合律加法結(jié)合律)3.+0=4.+(-)=05. k (+)= k+k(數(shù)乘分配律數(shù)

12、乘分配律)6. (k+l) =k+l(數(shù)乘分配律數(shù)乘分配律)7. (kl)=k(l)(數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律)8. 1=線性運(yùn)算性質(zhì)線性運(yùn)算性質(zhì).,.維維向向量量空空間間是是為為則則稱稱運(yùn)運(yùn)算算規(guī)規(guī)則則，兩兩種種運(yùn)運(yùn)算算滿滿足足如如上上八八條條對(duì)對(duì)這這兩兩種種運(yùn)運(yùn)算算封封閉閉，且且記記作作，規(guī)規(guī)定定一一種種數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算，又又對(duì)對(duì)；記記作作，規(guī)規(guī)定定一一種種加加法法運(yùn)運(yùn)算算，對(duì)對(duì)維維向向量量組組成成的的集集合合記記作作所所有有nRRkRkRRRnnnnnn n維向量空間定義維向量空間定義n=1一維空間一維空間直線空間直線空間n=2二維空間二維空間平面空間平面空間n=3三維空間三維空間立體空間立

13、體空間n4 n 維空間維空間無(wú)幾何表示無(wú)幾何表示例例1.1.3 1.1.3 某倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存某倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存4 4種貨物，種貨物，A A、B B、C C、D.D.存儲(chǔ)情況見(jiàn)下表存儲(chǔ)情況見(jiàn)下表. . 負(fù)號(hào)表示調(diào)出貨物.設(shè) ABCD第一次第一次調(diào)進(jìn)調(diào)進(jìn)100250500200第二次第二次調(diào)進(jìn)調(diào)進(jìn)200 1000250現(xiàn)存現(xiàn)存貨物量貨物量)200,500,250,100(1 )250, 0,100,200(2 那么現(xiàn)存貨物那么現(xiàn)存貨物量量 )450,500,150,300(21 300150500450例例1.1.5 知知n維向量維向量解稱向量組1, 2, ， n為根本單位向量組，稱向量為根本單位向量組1, 2

14、,， n的線性組合 .普通地，我們稱由線性運(yùn)算組合成的式子普通地，我們稱由線性運(yùn)算組合成的式子s ,21為為s個(gè)向量個(gè)向量1, 2 ,s的線性組合，的線性組合，i為為n維向量，維向量，ki ( i=1，2，, s)為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù). 例1.1.6 知向量 解注 這里行向量和列向量沒(méi)有嚴(yán)厲區(qū)分。).,(),(),(),(11111111111111114321 ；求線性組合43215)1 ( 求若),(2)()(2)2(4321)4, 4, 8, 4()0, 0, 2, 2()4, 4, 6, 6()0, 0, 2, 2() 1, 1, 1, 1 ()5, 5, 5, 5() 1 (），（由已知可得

15、3353222)2(4321 .),(),(. 73 341280271求求設(shè)設(shè)練習(xí)練習(xí)).,(),(),(),(),(32813352128714240621341278027373 解解.43) 12213(,)42315(. 2 求且，設(shè)TT.)821773()1269315()488412()42315(3)12213(43443 TTTTT，由解n維向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度維向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度1.n維向量的內(nèi)積維向量的內(nèi)積定義定義.,),(),(201423324112344321 則則例例如如稱數(shù)設(shè)向量,2121nnnRbbbaaa為向量與內(nèi)積., 記nnbababa2211內(nèi)積的性質(zhì)內(nèi)積的

16、性質(zhì)2.長(zhǎng)度范數(shù)長(zhǎng)度范數(shù)()();, ()();, kk()();, ()(), 0, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)= 0時(shí)，時(shí)，,=0.稱之為向量稱之為向量的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度(范數(shù)范數(shù)).注：長(zhǎng)度為注：長(zhǎng)度為1的向量的向量,即為單位向量即為單位向量.定義定義,22221naaa 3.正交正交定義定義 假設(shè)假設(shè)，=0，稱向量，稱向量與與正交正交.1.判別以下向量組能否正交？判別以下向量組能否正交？(1) (2, 0),(1, 1);(2) (2, 0, 0), (0, 1, -1)；是否正交？是否正交？與與向量向量11111111221 .不正交不正交正交正交正交正交第第1.2節(jié)節(jié) 矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算 1

17、. 1.矩陣概念矩陣概念 2. 2.線性運(yùn)算線性運(yùn)算 3. 3.矩陣乘法矩陣乘法 4. 4.矩陣轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置 5. 5.矩陣的初等變換矩陣的初等變換前往前往1.矩陣概念注注 矩陣普通用大寫字母矩陣普通用大寫字母A、B， , 表示表示.mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.,(matrix)(矩陣簡(jiǎn)稱為的矩陣是型稱為維nmnm列列數(shù)數(shù)表表行行構(gòu)構(gòu)成成的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)由由nmanmij ., 2 , 1, 2 , 1. ),(,)(njjmiijiaaAAaAijijnmnmij稱為列標(biāo)，稱為行標(biāo)列元素行第為矩陣的第其中或記為由定義知，確定一個(gè)矩陣的兩個(gè)要素由定義知，確定一個(gè)矩陣的

18、兩個(gè)要素是維數(shù)是維數(shù)mn及元素及元素.,jiaAij254若若其其元元素素矩矩陣陣試試寫寫出出例例1.34567123451012332101:答答案案解解354202121112451211aaa,由由已已知知所所給給條條件件得得例例2 牛仔褲具有不同的品牌和型號(hào)，某專賣店現(xiàn)庫(kù)存牛仔褲具有不同的品牌和型號(hào)，某專賣店現(xiàn)庫(kù)存W牌牛仔褲牌牛仔褲23條：條： 腰圍英寸腰圍英寸 數(shù)量條數(shù)量條28 330 1132 634 3庫(kù)存的其它牌號(hào)可按照牛仔褲的型號(hào)從小到大陳列如下：庫(kù)存的其它牌號(hào)可按照牛仔褲的型號(hào)從小到大陳列如下：牌子牌子 數(shù)量條數(shù)量條L 5， 5，3，4CF 1， 7，0，0BO 6， 2，

19、2，2BA 3 ，0，0，3試經(jīng)過(guò)矩陣將上面的信息表示出來(lái)試經(jīng)過(guò)矩陣將上面的信息表示出來(lái).W L CF BO BA28 30 32 341a2a1b2b3b.32121如如圖圖所所示示的的交交通通連連接接情情況況城城市市省省三三個(gè)個(gè)和和省省兩兩個(gè)個(gè)城城市市bbbBaaA, 每條線上的數(shù)字表示銜接每條線上的數(shù)字表示銜接該兩城市的不同通路總數(shù)該兩城市的不同通路總數(shù).該圖該圖提供的通路信息提供的通路信息,試用矩陣方式試用矩陣方式表示表示(稱之為通路矩陣稱之為通路矩陣).41322220314C1a2a1b2b3b.,通通路路數(shù)數(shù)間間的的與與表表示示省省的的城城市市列列表表示示省省的的城城市市的的行行

20、表表示示這這里里通通路路矩矩陣陣jiijbacbaC例例3通路矩陣通路矩陣1a1b2b3.011101110:答案例4 試寫出游戲“石頭、剪子、布的二人零和對(duì)策中甲的得分矩陣，規(guī)定勝者得1分，敗者得-1分，平手各得零分.石頭剪子布石頭剪子布甲方乙方011 1011 10例例5 一個(gè)公司有一個(gè)公司有5 5家零售店，第一家有家零售店，第一家有1010臺(tái)電視臺(tái)電視t t，1515個(gè)立體電唱個(gè)立體電唱機(jī)機(jī)s s，9 9個(gè)磁帶架個(gè)磁帶架d d，1212個(gè)錄音機(jī)個(gè)錄音機(jī)r r；第二家有；第二家有20t20t，14s14s，8d8d，5r5r；第三家有第三家有16t16t，8s8s，15d15d，6r6r；

21、第四家有；第四家有25t25t，15s15s，7d7d，16r16r；第；第五家有五家有5t5t，12s12s，20d20d，18r.18r.試用矩陣表示各家零售店的存貨試用矩陣表示各家零售店的存貨. .用行表示商品用行表示商品,用列表示零售店用列表示零售店,那么下面矩陣表示那么下面矩陣表示各家零售店的存貨各家零售店的存貨. 這是一個(gè)這是一個(gè)5 54 4矩陣矩陣rdst18201251671525615816581420129151054321零售店2. 2. 矩陣的線性運(yùn)算矩陣的線性運(yùn)算 矩陣相等矩陣相等 矩陣加法矩陣加法 矩陣減法矩陣減法 數(shù)乘矩陣數(shù)乘矩陣那么稱矩陣A和B相等. 記作A=B

22、矩陣相等必需滿足矩陣相等必需滿足:行列對(duì)應(yīng)相等且元素對(duì)應(yīng)相等行列對(duì)應(yīng)相等且元素對(duì)應(yīng)相等. 矩陣的相等矩陣的相等定義定義 設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè)mn矩陣矩陣mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA212222111211212222111211),2, 1;,2, 1(njmibaijij若稱為矩陣稱為矩陣A與與B的和的和. 記作記作.nmijijbaBAC注：只需同型的兩個(gè)矩陣才干進(jìn)展加法運(yùn)算注：只需同型的兩個(gè)矩陣才干進(jìn)展加法運(yùn)算. 矩陣的加法矩陣的加法mnmnmmmmnnnnbababababababababaC221122222221211112121111矩陣定義定義

23、設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè)mn矩陣矩陣mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA212222111211212222111211.)(,OAAAAAOA顯顯然然接例接例5 知公司的知公司的5 5家零售店關(guān)于商品電視家零售店關(guān)于商品電視t t，立體電唱機(jī)，立體電唱機(jī)s s，磁帶架磁帶架d d，錄音機(jī)，錄音機(jī)r r存貨用矩陣表示如下存貨用矩陣表示如下: :假設(shè)公司又給它的各個(gè)零售店發(fā)貨，數(shù)量為假設(shè)公司又給它的各個(gè)零售店發(fā)貨，數(shù)量為D D，新的，新的存貨量分別是多少？存貨量分別是多少？ rdst18201251671525615816581420129151054321零售店536984

24、212627516902534D那么現(xiàn)存貨量用矩陣表示為 假設(shè)該日各個(gè)零售店各個(gè)商品銷售數(shù)量為M, 182012516715256158165814201291510DS 536984212627516902534 232318142411173712171521614232014141814 12122300000041232101M 那么各個(gè)零售店當(dāng)天各種商那么各個(gè)零售店當(dāng)天各種商品品 剩余數(shù)量如何求出剩余數(shù)量如何求出?(思索思索)(i) A+B=B+A(ii) (A+B)+C=A+(B+C)(iii) A+O=O+A=A(iv) A-A=A+(-A)=O其中其中A、B、C和零矩陣和零矩陣

25、O是同型矩陣是同型矩陣.512211213102BA,設(shè)設(shè) .,BABA21求求例例1 5122112131021BA?.)()(AB321111521123211012 .7053135122112131025122112131022 BA矩陣的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)律解 數(shù)與矩陣的乘法數(shù)與矩陣的乘法定義定義 數(shù)數(shù)k與矩陣與矩陣A的乘積記作的乘積記作kA或或 A k，簡(jiǎn)稱數(shù)乘，簡(jiǎn)稱數(shù)乘，規(guī)定為規(guī)定為數(shù)乘矩陣運(yùn)算規(guī)律：數(shù)乘矩陣運(yùn)算規(guī)律：(i) k(A+B)=kA+kB(ii) (k+h)A=kA+h A(iii) k(h A)=(k h)A(iv) 1A=A其中其中A、B為為m n 矩陣；矩陣；k

26、、h為數(shù)為數(shù).AkkakakakakakakakakakakAmnmmnnnmij212222111211 (續(xù))假設(shè)公司要求各個(gè)零售店年底對(duì)現(xiàn)存四種商品打折10%處置，設(shè)打折前的存貨價(jià)值矩陣是V,打折后各個(gè)零售店四種商品的存貨價(jià)值是多少呢？ 利用數(shù)乘矩陣可得28754025450042003000192542501110015002975375063007502450575060001750245045004200V5258753622405037802700517323825999013505267733755670675220551755400157522054050378090. V5

27、12211213102BA,設(shè)設(shè) .,BABA3221求求例例2 2 51221122123212022221BA 1729735153663321310253132323131321310232BA134013512211426204解解例例3 3.,XBAXBAXX求求，其其中中，滿滿足足如如果果矩矩陣陣022021122BAXXBAX212由由已已知知0220212112X解解.222201102112引例引例 矩陣的乘法由知得 某服裝商店一天的銷售量如下表：且知某服裝商店一天的銷售量如下表：且知每條每條W牌牛仔褲的利潤(rùn)是牌牛仔褲的利潤(rùn)是15元；元；每條每條L 牌牛仔褲的利潤(rùn)是牌牛仔褲的

28、利潤(rùn)是17.5元；元；CF牌是牌是20元、元、 BO牌是牌是12.5元、元、 BA牌是牌是20元元. W L CF BO BA28 30 32 34利潤(rùn)矩陣205 .12205 .1715B4321 A這里問(wèn)題問(wèn)題 1. 在這一周之內(nèi)在這一周之內(nèi).，最小號(hào)牛仔褲的銷售利潤(rùn)總和是多少？，最小號(hào)牛仔褲的銷售利潤(rùn)總和是多少？ 問(wèn)題問(wèn)題 2. 30號(hào)牛仔褲的利潤(rùn)總和是多少？號(hào)牛仔褲的利潤(rùn)總和是多少？W L CF BO BA28 30 32 34問(wèn)題問(wèn)題 3. 一切牛仔褲的銷售利潤(rùn)總和是多少？一切牛仔褲的銷售利潤(rùn)總和是多少？利潤(rùn)矩陣205 .12205 .1715B設(shè)為設(shè)為A 120210312025.

29、1212005.173151.1205.12205.17151 B 5.387216852025.1212065.178155.2205.12205.17152B 59752575387120205122051715301100653221685210313.AB總利潤(rùn)總利潤(rùn)862.5元元問(wèn)題問(wèn)題 2. 30號(hào)牛仔褲的利潤(rùn)總和是多少？號(hào)牛仔褲的利潤(rùn)總和是多少？問(wèn)題問(wèn)題 3. 一切牛仔褲的銷售利潤(rùn)總和是多少？一切牛仔褲的銷售利潤(rùn)總和是多少？586259752575387120.由由.,nsijsmijbBaA設(shè)設(shè)矩矩陣陣矩陣矩陣A與與B的乘積是一個(gè)的乘積是一個(gè)mn矩陣矩陣,nmijcC矩陣乘法定

30、義矩陣乘法定義注注 只需當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣左矩陣的列數(shù)等于第二只需當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣左矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣右矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才干相乘個(gè)矩陣右矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才干相乘.其中其中記作記作C =AB.njmibabababacskkjiksjisjijiij,;,212112211注 按此定義，一個(gè)1 s矩陣與一個(gè)s 1矩陣的乘積是一個(gè)1階方陣，也就是一個(gè)數(shù).如前例中求得攜手銷售各個(gè)型號(hào)牛仔褲利潤(rùn)總和. 這闡明乘積矩陣AB=C的第i行第j列元素cij是A的第i行與B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和. sjisjijisjjjisiibabababbbaaa 22112121即即skijkjikcba1.

31、ABBA的的乘乘積積與與求求矩矩陣陣4311023110142012130143110231101420121301ABC例例4 4 421031023200111212201142411330013103101111231041.1199129解解.BAABBA與與的的乘乘積積與與求求矩矩陣陣63422142;168321663422142AB由該例可知，在普由該例可知，在普通情況下，矩陣的通情況下，矩陣的乘法不滿足交換律，乘法不滿足交換律，即即 ABBA.且兩個(gè)非零矩陣的且兩個(gè)非零矩陣的乘積能夠是零矩陣乘積能夠是零矩陣.000021426342BA例例5 5解解(AB)C=A(BC);A(

32、B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA;(iii) k(AB)=(kA)B=A(k B), (其中其中k為為數(shù)數(shù)).矩陣的乘法不滿足交換律，矩陣的乘法不滿足交換律，.BAAB 假設(shè)假設(shè)AB = BA 時(shí)時(shí), 稱稱 A, B為可交換矩陣為可交換矩陣.矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)律矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)律 假設(shè)運(yùn)算都是可行的假設(shè)運(yùn)算都是可行的留意留意328021382201T矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置定義定義 把矩陣把矩陣A的行列互換得到一個(gè)的行列互換得到一個(gè)nm矩陣，稱為矩陣，稱為A 的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置, 記作記作AT .,42314321T例如例如.931931T,212222111211mnmmnnaaaaaa

33、aaaA設(shè).212221212111mnnnmmTaaaaaaaaaA則(i) (AT)T=A (ii) (A+B)T=AT+BT 證明證明 (iv),nsijsmijbBaA記記,nmijcCAB由矩陣的乘法定義，由矩陣的乘法定義， (AB)T的的 普通項(xiàng)為普通項(xiàng)為運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律 假設(shè)運(yùn)算都是可行的假設(shè)運(yùn)算都是可行的(iii) (kA)T=k AT (iv) (AB)T=BTAT 設(shè)設(shè),skkijksijsijijjibabababac12211對(duì)于多個(gè)矩陣相乘，有對(duì)于多個(gè)矩陣相乘，有TTTtTtAAAAAA1221.,TABBA求求已已知知102324171231102,10131731

34、40102324171231102AB因1031314170213012131027241TTTABAB.1031314170TAB故解法1解法2例例6 6 1121123123443212320531112301421.,.,.XXABBABABA，求求已已知知求求設(shè)設(shè)求求.49911111:答答案案綜合練習(xí)綜合練習(xí).).(113202X?,.1edecbdba)1yx5.( AB;1231211111111114yxfBA求求設(shè)設(shè).0222644:答答案案.feydxcybxyax222522綜合練習(xí)綜合練習(xí) 矩陣的初等變換矩陣的初等變換定義定義 對(duì)對(duì)mn矩陣施以以下變換均稱為矩陣的初等變

35、換：矩陣施以以下變換均稱為矩陣的初等變換：(ii)以非零數(shù)以非零數(shù)k乘某行的一切元素；乘某行的一切元素；(iii)把某一行的一切元素的把某一行的一切元素的k倍加倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去.)(jirr 記記作作)(kri記記作作)(jikrr 記記作作初等行變換：初等行變換：注注將上述定義中將上述定義中 “行改為行改為“列即為初等列變換定義列即為初等列變換定義.(i)對(duì)調(diào)兩行；對(duì)調(diào)兩行；(i)對(duì)調(diào)兩列；對(duì)調(diào)兩列；(ii)以非零數(shù)以非零數(shù)k乘某列的一切元素；乘某列的一切元素；(iii)把某一列的一切元素的把某一列的一切元素的k倍倍加到另一列對(duì)應(yīng)的元素上去加到另一列對(duì)應(yīng)的元素

36、上去.)(jicc 記作)(kci記作)(jikcc 記作初等列變換初等列變換注 初等行列變換統(tǒng)稱初等變換.教材重點(diǎn)討論初等行變換.32154060060054032131rrA例如例如600108032160054032121rA6005400216005403213121rrA)()(jirr )(kri)(jikrr 等價(jià)矩陣等價(jià)矩陣 (i)反身性，反身性，AA； (ii)對(duì)稱性，假設(shè)對(duì)稱性，假設(shè)AB那么那么BA； (iii)傳送性，假設(shè)傳送性，假設(shè)AB，BC那么那么AC.定義定義 假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，稱，稱矩陣矩陣A、B等價(jià)等價(jià). 注注

37、 1等價(jià)作為一種關(guān)系滿足以上三個(gè)性質(zhì)等價(jià)作為一種關(guān)系滿足以上三個(gè)性質(zhì). 2等價(jià)也可以運(yùn)用于線性方程組或向量組，等價(jià)也可以運(yùn)用于線性方程組或向量組，例如線性方程組與其同解方程等價(jià)等等例如線性方程組與其同解方程等價(jià)等等.矩陣等價(jià)關(guān)系滿足以下性質(zhì)：矩陣等價(jià)關(guān)系滿足以下性質(zhì)：行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣）（400000310000111041211B)(000003100030110401015B)(00000001000001000001FnmrOOOEF經(jīng)列初等變換經(jīng)列初等變換普通地普通地繼續(xù)行初等變換繼續(xù)行初等變換稱為行階梯形矩陣稱為行階梯形矩陣特點(diǎn)：特點(diǎn)：橫線下方全是橫

38、線下方全是0；每階只需一行，階數(shù)即非零每階只需一行，階數(shù)即非零行行數(shù)；行行數(shù)；豎線后面第一個(gè)元素為非零豎線后面第一個(gè)元素為非零元元.也稱為行最簡(jiǎn)形矩陣也稱為行最簡(jiǎn)形矩陣特點(diǎn)：特點(diǎn)：各階第一個(gè)非零元都是各階第一個(gè)非零元都是1，所在列其他元素均為所在列其他元素均為0.稱為規(guī)范形矩陣稱為規(guī)范形矩陣特點(diǎn)：特點(diǎn)：左上角是一個(gè)單位矩左上角是一個(gè)單位矩陣，其他元素均為陣，其他元素均為0.普通規(guī)范形矩陣普通規(guī)范形矩陣矩陣矩陣A經(jīng)過(guò)初等變換經(jīng)過(guò)初等變換總可以化為這種規(guī)范總可以化為這種規(guī)范形；形；該規(guī)范形由該規(guī)范形由 m、n、r 完全確定完全確定.用例闡明：用例闡明：rrrE100010001矩陣的高斯消元法矩陣

39、的高斯消元法 任何一個(gè)任何一個(gè)m mn n矩陣矩陣A A都可以經(jīng)過(guò)行初等變換化為行階梯都可以經(jīng)過(guò)行初等變換化為行階梯形形. .對(duì)行階梯形繼續(xù)行初等變換可以化為行最簡(jiǎn)形對(duì)行階梯形繼續(xù)行初等變換可以化為行最簡(jiǎn)形. .化化簡(jiǎn)時(shí)運(yùn)用以下矩陣的高斯消元法簡(jiǎn)時(shí)運(yùn)用以下矩陣的高斯消元法. . 矩陣高斯消元法的步驟：矩陣高斯消元法的步驟：3對(duì)除去第一行以外的行反復(fù)以上作法，那么將矩陣對(duì)除去第一行以外的行反復(fù)以上作法，那么將矩陣化為行階梯形；化為行階梯形；4將最后一個(gè)非零行中的首個(gè)非零元，經(jīng)過(guò)乘以某常將最后一個(gè)非零行中的首個(gè)非零元，經(jīng)過(guò)乘以某常數(shù)化為數(shù)化為1，并將其所在列該非零元上面的元素都消為零，并將其所在列

40、該非零元上面的元素都消為零，依此，由下向上遞推，最后將依此，由下向上遞推，最后將A化為行最簡(jiǎn)形化為行最簡(jiǎn)形. 1取矩陣中元素取矩陣中元素a110為主元，假設(shè)為主元，假設(shè)a11=0為零，經(jīng)過(guò)為零，經(jīng)過(guò)行交換將第一列上元素不為零的某行換到第一行；行交換將第一列上元素不為零的某行換到第一行；2用主元用主元a11將第一列中將第一列中a11以下的其他元素消為零；以下的其他元素消為零；5500334241219621412133422132rrrrA解.為為最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形利利用用初初等等變變換換化化矩矩陣陣962141213342A0000110030211100550041215151) 1(51)2(2

41、1223312rrrrrrrr.的最簡(jiǎn)形最后一個(gè)矩陣為 A例例1.343431312252321 AA其其中中形形化化為為行行階階梯梯形形和和行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)利利用用高高斯斯消消元元法法將將矩矩陣陣施施以以初初等等行行變變換換：對(duì)對(duì)A解解1226209152052321343431312252321231323rrrrA31915210052032123rr例例2.的的行行階階梯梯形形最最后后一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣為為 A繼續(xù)行初等變換，繼續(xù)行初等變換，31914110052020121rr316423100020001313225rrrr3132231000100012123)()(rr.的的行行最最

42、簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形最最后后一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣為為 A.為為行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形化化34312232133ijaA.100010001100020001100520201100520321620520321A.最簡(jiǎn)形也是標(biāo)準(zhǔn)形最簡(jiǎn)形也是標(biāo)準(zhǔn)形由最后化成的矩陣是行由最后化成的矩陣是行規(guī)范形例例3此題建議學(xué)生完成此題建議學(xué)生完成.解解第第1.3節(jié)節(jié) n階方陣階方陣 1.1.方陣概念方陣概念 2.2.幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣( (方陣方陣) ) 3.3.線性變換線性變換 4.4.方陣的運(yùn)算方陣的運(yùn)算 方陣的其他運(yùn)算方陣的其他運(yùn)算 5.5.初等矩陣初等矩陣前往前往定義定義1.3.1 由由n2個(gè)數(shù)排成的個(gè)數(shù)排成的nn

43、矩陣矩陣稱為稱為n階方陣階方陣.記作記作A=定義定義1.3.2 由方陣左上角元素到右下角元素表示由方陣左上角元素到右下角元素表示的位置稱為方陣的主對(duì)角線，主對(duì)角線元素的的位置稱為方陣的主對(duì)角線，主對(duì)角線元素的和即稱為方陣的跡，記作和即稱為方陣的跡，記作:nnija)(i，j=1，2，nnnA或或簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記作作)(Atr1.方陣概念方陣概念nnaaa2211一切一切n2n2個(gè)元素全為零的矩陣稱為個(gè)元素全為零的矩陣稱為n n階零陣，記作階零陣，記作000000000O(1)零陣零陣 2.幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣(方陣方陣)在方陣運(yùn)算中起數(shù)字在方陣運(yùn)算中起數(shù)字“0作用，零陣的跡等于作用，零陣的跡等

44、于0.AAO432143210000OAO000043210000例如例如(1)對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣定義定義 一切非主對(duì)角線元素全等于零的一切非主對(duì)角線元素全等于零的n階矩陣稱為階矩陣稱為 對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣.3000050000900001是一個(gè)四階對(duì)角矩陣是一個(gè)四階對(duì)角矩陣.2.幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣(方陣方陣)當(dāng)對(duì)角線元素都相等時(shí)有：當(dāng)對(duì)角線元素都相等時(shí)有：定義定義 假設(shè)假設(shè)n階對(duì)角矩陣一切主對(duì)角線元素都相等，階對(duì)角矩陣一切主對(duì)角線元素都相等， 那么稱此矩陣為那么稱此矩陣為n階數(shù)量矩陣階數(shù)量矩陣,或標(biāo)量矩陣或標(biāo)量矩陣.當(dāng)當(dāng)a=1時(shí)時(shí), 對(duì)角元全為對(duì)角元全為 1，其他元素都是零其他元素都是

45、零 的的對(duì)角陣稱為單位矩陣對(duì)角陣稱為單位矩陣. (2)數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣視作數(shù)乘單視作數(shù)乘單位陣位陣.000000aEaaa記作.100010001nE記作定義定義 假設(shè)假設(shè)n階矩陣主對(duì)角線下方的元素都等于零，階矩陣主對(duì)角線下方的元素都等于零， 那么稱此矩陣為上三角矩陣那么稱此矩陣為上三角矩陣.假設(shè)假設(shè)n階矩陣主對(duì)角線上方的元素都等于零，階矩陣主對(duì)角線上方的元素都等于零， 那么稱此矩陣為下三角矩陣那么稱此矩陣為下三角矩陣.A為為n階上三角矩陣；階上三角矩陣；B為為n階下三角矩陣階下三角矩陣.(3)三角形矩陣三角形矩陣nnnnnnnnbbbbbbBaaaaaaA212221112221121100

46、0000在以下矩陣中在以下矩陣中,指出三角陣、對(duì)角陣、數(shù)量陣、單位陣：指出三角陣、對(duì)角陣、數(shù)量陣、單位陣：.,1000100013000300035000100011400320014025EDCBA練習(xí)練習(xí)定義定義 假設(shè)假設(shè)n階矩陣階矩陣A滿足滿足A=AT，那么稱矩陣，那么稱矩陣A為為 對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣.nnnnnnaaaaaaaaaA212221211211形如對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣A=aI j中的元素滿足中的元素滿足aij=aji，i，j=1，2，n即即A中元素關(guān)于主對(duì)角線為對(duì)稱中元素關(guān)于主對(duì)角線為對(duì)稱.性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣A與與B的和也是對(duì)稱矩陣的和也是對(duì)稱矩陣 2數(shù)乘對(duì)稱矩陣仍為對(duì)稱

47、矩陣數(shù)乘對(duì)稱矩陣仍為對(duì)稱矩陣.6542533143202101B例例：(4)對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣定義定義 假設(shè)假設(shè)n階矩陣階矩陣A滿足滿足AAT ATAE ，那么稱矩陣，那么稱矩陣A為為 正交矩陣正交矩陣.;1001100110011001AAAAATT例例如如性質(zhì)性質(zhì)1假設(shè)假設(shè)A為正交矩陣為正交矩陣,那么那么AT也是正交矩陣也是正交矩陣; 2正交矩陣正交矩陣A與與B的乘積也是正交矩陣的乘積也是正交矩陣.1001ttttttttBBBBttttBTTcossinsincoscossinsincoscossinsincos例例如如(5)正交矩陣3.線性變換線性變換構(gòu)構(gòu)成成矩矩陣陣系系數(shù)數(shù)ija 稱此

48、矩陣為線性變換的系數(shù)矩陣稱此矩陣為線性變換的系數(shù)矩陣.線性變換與矩陣線性變換與矩陣存在著一一對(duì)應(yīng)存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系關(guān)系. .212222111211mnmmnnnmijaaaaaaaaaaA例如例如.cossinsincostytxytytxxt角角的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變變換換為為：以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為中中心心旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) .cossinsincostttt的的矩矩陣陣為為：那那么么這這個(gè)個(gè)線線性性變變換換對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)稱此矩陣為上述線性變換的系數(shù)矩陣稱此矩陣為上述線性變換的系數(shù)矩陣. .顯然該矩陣即為前面提及正交矩陣顯然該矩陣即為前面提及正交矩陣. .其它三種常見(jiàn)的線性變換其它三種常見(jiàn)的線性變換恒等變換恒等變換n

49、nxyxyxy,2211單位陣單位陣線性變換線性變換nnnxyxyxy,222111對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣100010001nEn00000021三角矩陣三角矩陣對(duì)應(yīng)下對(duì)應(yīng)下(上上)三角矩陣的線性變換三角矩陣的線性變換nnnnaaaaaaA21222111000例例2101143212121CCzxzCYyCx，其其中中的的線線性性變變換換到到求求和和已已知知線線性性變變換換.解解2121212110114321zzyyyyxx,這這里里，即即有有,212110114321zzxx73311011432121CCC.7331Czx的的線線性性變變換換矩矩陣陣為為到到故故3.方陣的運(yùn)算方陣的運(yùn)算 方陣

50、作為行數(shù)與列數(shù)相等的一類矩陣，同樣方陣作為行數(shù)與列數(shù)相等的一類矩陣，同樣可以進(jìn)展第可以進(jìn)展第1.2節(jié)中定義的各種運(yùn)算，并滿足節(jié)中定義的各種運(yùn)算，并滿足相應(yīng)的運(yùn)算律，方陣的和，差，數(shù)乘，乘積相應(yīng)的運(yùn)算律，方陣的和，差，數(shù)乘，乘積及轉(zhuǎn)置矩陣仍為方陣及轉(zhuǎn)置矩陣仍為方陣.例例1.,TTBABABA，求求已已知知43214025，解解834643214025BA.843642314205TTBA例題例題例例2？求求：，已已知知DFEFFDE987654321300030003100010001,:；解解987654321987654321100010001EF.272421181512963987654

51、3213987654321300030003DF.BAABBA與與的的乘乘積積與與求求矩矩陣陣63422142;168321663422142AB注注 普通情況下，兩個(gè)普通情況下，兩個(gè)n階方陣相乘不滿足交換律，階方陣相乘不滿足交換律，ABBA。但是。但是 其乘積仍為其乘積仍為n階方陣。階方陣。.000021426342BA例例3 3解解定義定義 設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè)n階方陣，階方陣，k為正整數(shù)為正整數(shù), 個(gè)kkAAAA稱為稱為A的的k次冪次冪.注注 A k就是就是k個(gè)個(gè)A連乘連乘.顯然只需方陣的冪才有意義顯然只需方陣的冪才有意義. 規(guī)定規(guī)定:A0=E.(i) A k Al=A k+1 (ii)

52、(A k)l=A k l其中其中k、l為正整數(shù)為正整數(shù).1 n階方陣的冪階方陣的冪運(yùn)算律運(yùn)算律.000000001111111133632AA例如例如方陣的其他運(yùn)算方陣的其他運(yùn)算 由于矩陣乘法普通不滿足交換律，所以對(duì)于兩個(gè)由于矩陣乘法普通不滿足交換律，所以對(duì)于兩個(gè)n 階方階方陣陣A與與B， (AB)k 普通不等于普通不等于A k B k.即即假設(shè)假設(shè)Ak=O，不一定有，不一定有A=O. 例如取例如取01111A0000111111112A.,321101AAA求求設(shè)設(shè)注例1,1201110111012A.1301110112011101110123A解解?kA例例2 2.nAA，求，求設(shè)設(shè)10

53、0110011n n為自然數(shù)為自然數(shù) 解解;1002101211001100111001100112A;10031033110011001110021012123AAA100110112211nnAnnn)(設(shè)設(shè)10010110011001110011011212121nnnnAAAnnnnnn)(2矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式定義定義1.3.3 設(shè)設(shè)*為為x的多項(xiàng)式，的多項(xiàng)式，A為為n階矩陣，階矩陣，E為為n階階單位陣，稱單位陣，稱 *為關(guān)于為關(guān)于A的矩陣多項(xiàng)式的矩陣多項(xiàng)式.(*)(0111axaxaxaxfmmmm(*)(EaAaAaAaAfmmmm0111).()(AfAxxxf，求求，已已知知

54、3021122解解.)(1401221001604290811001302123021222EAAAf例例1ACABCBACBA)(:,1213,4012,1342.1試檢驗(yàn)若.(,.)101232為為正正整整數(shù)數(shù)求求設(shè)設(shè)kAAAhAk222222?3BABABABABABABA)()(,.等式能成立等式能成立試問(wèn)在什么條件下以下試問(wèn)在什么條件下以下是兩個(gè)同階方陣是兩個(gè)同階方陣設(shè)設(shè).101:khAk答案課堂練習(xí)課堂練習(xí)).()(,.AfxxxfA求求設(shè)設(shè)2101142BAAB:. 3 答答案案.2012)(. 4 Af定義定義 由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣，由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得

55、到的矩陣， 稱為稱為 初等矩陣初等方陣初等矩陣初等方陣. .三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣，以三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣，以3 3階單位陣為例予以闡明階單位陣為例予以闡明. . (i)互換互換E的的i、j 兩行或兩行或i、j兩列兩列),記記E i,j 0101000013,2E)(jirr 5.初等矩陣初等矩陣)(32rr 例如例如 10111101,jiE(ii)E的第的第i行或第行或第i列乘以不等于零的數(shù)列乘以不等于零的數(shù)k，得，得)(irk (iii)(iii)把把E E的第的第j j行的行的k k倍加到第倍加到第i i行上行上( (或第或第i i列的列的k k倍加到第倍加到第j j

56、列上列上) )，得得)(jikrr 10003000132)(E100010031312)(E例如例如例如例如1111kkiE1111kkijE矩陣的初等變換與初等矩陣有著非常親密的關(guān)系矩陣的初等變換與初等矩陣有著非常親密的關(guān)系. .初等矩陣性質(zhì)和有關(guān)定理初等矩陣性質(zhì)和有關(guān)定理性質(zhì)性質(zhì) 初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍是初等矩陣初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍是初等矩陣. .定理定理1.3.2 設(shè)設(shè)A是是m行行n列矩陣，那么列矩陣，那么(1)對(duì)對(duì)A施以一次初等行變換所得到的矩陣，等于用同種施以一次初等行變換所得到的矩陣，等于用同種m階初等階初等 矩陣左乘矩陣左乘A.(2)對(duì)對(duì)A施以一次初等列變換所得到的矩陣，等于用同

57、種施以一次初等列變換所得到的矩陣，等于用同種n階初等階初等 矩陣右乘矩陣右乘A.98718151232198765432110003000132AE)(9247615436110003000198765432132)(AE例如例如.為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形僅僅應(yīng)應(yīng)用用行行初初等等變變換換化化 300621301A 3000200013009203013006213013231123rrrrrrA EAEEEEE )1(21)1(13)3(23)21(2)31(3程程，即即：用用初初等等矩矩陣陣表表示示上上述述過(guò)過(guò)例例1注注 該矩陣僅經(jīng)過(guò)一系列行變換，即該矩陣僅經(jīng)過(guò)一系列行變換，即 可化為規(guī)范形矩陣；可

58、化為規(guī)范形矩陣；該化簡(jiǎn)過(guò)程可以用延續(xù)左乘初等矩陣進(jìn)展表示；該化簡(jiǎn)過(guò)程可以用延續(xù)左乘初等矩陣進(jìn)展表示；該化簡(jiǎn)結(jié)果闡明方陣該化簡(jiǎn)結(jié)果闡明方陣A 與單位陣等價(jià)與單位陣等價(jià).解解 100010001300010001312132rr.為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形僅僅應(yīng)應(yīng)用用行行初初等等變變換換化化323513123A10001000110001000320001002320041012332351312387654321PPPPPPPPA,EAPPPPPPPP12345678程程，即即：用用初初等等矩矩陣陣表表示示上上述述過(guò)過(guò)例例2注注 化簡(jiǎn)過(guò)程闡明，某些矩陣僅經(jīng)過(guò)一系列行變換，即化簡(jiǎn)過(guò)程闡明，某些矩陣僅經(jīng)過(guò)一系

59、列行變換，即 可化為規(guī)范形矩陣；可化為規(guī)范形矩陣；假設(shè)設(shè)假設(shè)設(shè)P8P7P6P5P4P3P2P1=P，那么，那么PA=E.由等價(jià)矩陣定義知：由等價(jià)矩陣定義知：A與單位陣與單位陣E等價(jià)等價(jià),即即AE.解解 這里這里Pi代表施行的代表施行的初等變換初等變換,也代表對(duì)也代表對(duì)應(yīng)的初等矩陣應(yīng)的初等矩陣.第1.4節(jié) 可逆矩陣 1. 逆矩陣概念逆矩陣概念 2. 逆矩陣性質(zhì)逆矩陣性質(zhì) 3. 求逆矩陣方法求逆矩陣方法 4. 逆矩陣運(yùn)用逆矩陣運(yùn)用前往前往1.逆矩陣概念逆矩陣概念定義定義 對(duì)于對(duì)于n階方陣階方陣A，假設(shè)有一個(gè)，假設(shè)有一個(gè)n階方陣階方陣B，使得，使得 AB=BA=E， 那么方陣那么方陣A稱為可逆矩陣，

60、簡(jiǎn)稱稱為可逆矩陣，簡(jiǎn)稱A可可 逆逆. 方陣方陣B稱為稱為A的逆矩陣的逆矩陣.記為記為A-1.證證 (2)設(shè)設(shè)B、C都是都是A的逆矩陣，那么有的逆矩陣，那么有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.獨(dú)一性得證獨(dú)一性得證.結(jié)論結(jié)論 (1) 這時(shí)矩陣這時(shí)矩陣B亦可逆亦可逆,B的逆陣為的逆陣為A.即即B-1=A.注注 可逆矩陣也稱為非退化陣可逆矩陣也稱為非退化陣,也常被稱為非奇特陣也常被稱為非奇特陣; 不可逆矩陣稱為退化陣不可逆矩陣稱為退化陣,也常被稱為奇特陣也常被稱為奇特陣. (2) 假設(shè)方陣假設(shè)方陣A可逆，那么可逆，那么A的逆矩陣是獨(dú)一的逆矩陣是獨(dú)一的的. 先給出一個(gè)例子先給出一個(gè)例子.例例