高一函數(shù)知識點和注意點

1、函數(shù)一章基礎(chǔ)知識一、映射與函數(shù)：(1)映射的概念:(2) 一一映射：(3)函數(shù)的概念:如：若A = 1,2,3,4, 8 = a,dc：問：A到8的映射有 個，8到A的映射有 個：A到B的函數(shù)有 個，若A = 1,2,3),則A到8的一一映射有 個。函數(shù)y = e(x)的圖象與直線x = a交點的個數(shù)為 個。二、函數(shù)的三要素：，. 坦回凰教世冽一斷友達:：(兩點必須同時具備)(1)函數(shù)解析式的求法：去/挑凌達：技定基數(shù)法:2)通數(shù)定義域的求法三 y =" '),則： y = 2d f(x)(n e N*)則：'g(x)y = "(x)，則:如：y = bg/

2、mg(x)，則:含參問題的定義域要分類討論：如：已知函數(shù)y = /(x)的定義域是0，求玄幻=/ + 4)+ /。一。)的定義域。對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后：必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定。如：已知扇形的周長為20,半徑為r,扇形面積為S,則5 = /(r) =：定義域為。,設(shè)、困數(shù)值域幽求達二見方法:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),利用二次函數(shù)的特征來求值：常轉(zhuǎn)化為型如：/'(X)= ax2 +bx + c,x e (八)的形式：遵塞法工反求法2：通過反解，用y來表示x,再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍：常用來解，型如：y = aA lx ex + d按無法

3、;通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想：三角有界法:轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域：k基本不等式法:轉(zhuǎn)化成型如：y = x + -(k>0),利用平均值不等式公式來求值域： x單調(diào)性法:函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的小調(diào)性求值域。數(shù)匹績食:根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。求下列函數(shù)的值域：)，=色三生(a>0,Z?>0,a>,X£-lJ) (2種方法)： a-bx/ v + 3x2 v + 3>二:,xe(-oo,0) (2 種方法)：y = ,xe(-<x),0) (2 種方法)：XX- 1三、函數(shù)的性

4、質(zhì):函數(shù)的玳調(diào)性、奇偶性、周期性不調(diào)性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。 判定方法有：定義法(作差比較和作商比較) 導(dǎo)數(shù)法(適用于多項式函數(shù)) 更合函數(shù)法和圖像法。應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點對稱，比較f(x)與f(-x)的關(guān)系。f(x) -f(-x)=O<=> f(x) =f(-x) Of(x)為偶函數(shù)： f(x)+f(-x)=o<=> f(x) =-f(-x) <=>f(x)為奇函數(shù)。判別方法：定義法， 圖像法，且合函數(shù)法 應(yīng)用：把函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化求解。周期性:定義：若函數(shù)f (定對定義域內(nèi)的任意x滿足

5、：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。其他：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f("a)=f(x-a),則2a為函數(shù)f(x)的周期. 應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。理L旦形更換j函數(shù)圖像變換:(重點)要求掌握常見基木函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。常見圖像變化規(guī)律：(注意平移變化能夠用向量的語言解樣，和按向量平移聯(lián)系起來思考)平移變換 y=f (x)-產(chǎn)f (x+a), y=f(x)+b注意：(i)有系數(shù)，要先提取系數(shù),如：把函數(shù)y = f (2 x)經(jīng)過 平移得到函數(shù)y=f (2 x + 4)的圖象c(ii)會結(jié)合向量的平移，理解按照向量1 (m

6、, n)平移的意義。對稱變換 產(chǎn)f(x)-y=f(-x),關(guān)于y軸對稱ynf尸一f (x),關(guān)于X軸對稱y=f(x)一尸fix，把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱y=f(x)一尸f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對稱。(注意：它是一個偶函數(shù)) 伸縮變換：y=f (x) -*y=f (<ox),y=f(x)一尸Af(a工+巾)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。一個重要結(jié)論：若f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)尸f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱：如：y = /(x)的圖象如圖，作出下列函數(shù)圖象： y = /(-x)： (2) y = -/(x)：V .尸X)

7、y = /(l-rl)： (4) y=l 7(x)1：/) y = /(2x)：(6) y = /(x + l)：x z y = /(x) + l： y = -/(-x)：Z y = /7(x).五、反函數(shù):(1)定義：(2)函數(shù)存在反函數(shù)的條件: (3)互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系:(4)求反函數(shù)的步驟:將丁 = /(冷看成關(guān)于x的方程，解出x = /"(y),若有兩解，要注意解的選擇:將互換，得y = /7(x)：寫出反函數(shù)的定義域(即y = /(x)的值域)。(5)互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：(6)原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的玳調(diào)性：(7)原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)：原函

8、數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。如：求下列函數(shù)的反函數(shù)：/(# = /_2x + 3(%K0)： f(x)= J： /(x)= iog：_L.-2(x0)七、常用的初等函數(shù)：(1) 一元一次函數(shù)：y = ax + Z?(a，O),當(dāng)。0時，是增函數(shù)：當(dāng)avO時,是減函數(shù)：(2) 一元二次函數(shù)：一般式：y = ax2 +bx + c(aO)t對稱軸方程是：頂點為： 兩點式：y ci(x Xj )(x - x2):對稱軸方程是：與x軸的交點為：頂點式：y = a(x-k)2 +/?：對稱軸方程是：頂點為：一元二次函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)。0時：為增函數(shù)：為減函數(shù)：當(dāng)。0時：為增函數(shù)：為減函數(shù): 匚線函數(shù)求

9、坡篁回述:首先要采用配方法，化為y = *一)2+的形式，I、若頂點的橫坐標在給定的區(qū)間上，則。0時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得：0時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得：II、若頂點的橫坐標不在給定的區(qū)間上，則40時：最小值在距離對稱軸較近的端點處取得，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得：。0時：最大值在距離對稱軸較近的端點處取得，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得： 有三個類型題型：(1)頂點固定，區(qū)間也固定。如：y = x2 +x + Lxe-lJ(2)頂點含參數(shù)(即頂點變動)，區(qū)間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外c

10、(3)頂點固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù).y = x2 +x + l,xea,a + 二次方程實數(shù)根的分布問題:設(shè)實系數(shù)一元二次方程/ (a) = ax2 + " +。= 0的兩根為玉，工2：則：根的情況x >x2>kxx< x2 <kxx <k <x2等價命題在區(qū)間(,+S)上有兩根在區(qū)間(一8, %)上有兩根在區(qū)間(攵,+s)或(- S,k)上有一根充要條件3注意：若在閉區(qū)間討論方程/(X)=0有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間(?,)上實根分布的情況，得出結(jié)果，在令工=和工=檢查端點的情況。(3)反比例函數(shù):y = '(x 工

11、0) => y =。h- xx-b世教理數(shù):y = a x(a > 0,。工1)指數(shù)運算法則： ： 0指數(shù)函數(shù)：y=Cl' (a>o,aWD,圖象恒過點(0, 1),轉(zhuǎn)調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>l和0<a<l兩種情況進行討論,要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。C對數(shù)圖數(shù):y = log。x(a > 0,4 工 1)指數(shù)運算法則： ： ：對數(shù)函數(shù)：y=logv (a>o,al)圖象恒過點(1, 0),單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>l和01<1兩種情況進行討論,要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖c注意：(1) &#

12、39; ="'與丁 = 108X的圖象關(guān)系是：(2)比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指 數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較。(3)已知函數(shù)/(x) = log(x2+kx+2)的定義域為R,求攵的取值范圍。 2已知函數(shù)/*) = log I(X2 + kx+ 2)的值域為R,求k的取值范圍。六、y =工+七(&>0)的圖象： X定義域：:值域：:奇偶性：:單調(diào)性：是熠函數(shù):是減函數(shù)。七、補充內(nèi)容：抽象函數(shù)的性質(zhì)所對應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：/(玉+/)= /(玉)+ /(占)n正比例函數(shù)fM = k次k

13、 w 0)/(%) +X2) = f(xi )- f(x2 ) ; f(Xl -X2) = /(XI)-i- f(x2 ) =>:Y/(* M) = /U1)+ f(x.) ： /() = /(X) - /(X2) => ： /(A-1) + /(x2)= 2 *產(chǎn))n=函數(shù)一章要注意的問1 .函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：如果函數(shù)y = /(x)對于一切不£K，都有/M + x) = /(a x),那么函數(shù)y = /(力的圖 象關(guān)于直線x =。對稱.函數(shù))，=/(X)與函數(shù))，=/(x)的圖象關(guān)于直線x = 0對稱：函數(shù)y = /(X)與函數(shù)y = /(X)的圖象關(guān)于直線y =

14、0對稱；函數(shù)y = 力與函數(shù)y = /(X)的圖象關(guān)于坐標原點對稱.函數(shù)> = /( +X)與函數(shù))，=/(。一6的圖象關(guān)于直線入=0對稱.若奇函數(shù)y = /(x)在區(qū)間(0,一)上是遞增函數(shù)，則,，=/(%)在區(qū)間(8,0)上也是遞增 函數(shù).若偶函數(shù)y = /G)在區(qū)間(0,)上是遞增函數(shù)，則丁 = /(X)在區(qū)間(s,0)上是遞減函 數(shù).函數(shù)y = f(x + a) a> 0)的圖象是把函數(shù)y =的圖象沿x軸向左平移a個單位得到的；函數(shù)y = /(x + a)(a0)的圖象是把函數(shù)¥ = /(x)的圖象沿x軸向右平移 向個單位 得到的：函數(shù)>'=/(x)

15、+aS > 0)的圖象是把函數(shù)>-=/(X)助圖象沿y軸向上平移a個單位得到 的；函數(shù)y = /(x)+aQvO)的圖象是把函數(shù)> =/(X)助圖象沿y軸向下平移卜|個單位得到 的.函數(shù)y = f(ax) (a > 0)的圖象是把函數(shù)y = /(x)的圖象沿x軸伸縮為原來的,得到的： a(ID函數(shù)>-=af(x) (a > 0)的圖象是把函數(shù)y =的圖象沿y軸伸縮為原來的a倍得到的.2 .求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，你標注了該函數(shù)的定義域了嗎？3 .函數(shù)與其反函數(shù)之間的一個有用的結(jié)論：/"(“)= bof(b) = ".4 .原函數(shù)y = /(x)在區(qū)間,，上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù))，=廣心)也單 調(diào)遞增：但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào).5 .判斷一個函數(shù)的奇偶性時，你注意到函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱這個必要非充分條件了 嗎？6 .根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范格式是什么？(取值，作差，判正負.)10 .你知道函數(shù)y =+(00/>0)的單調(diào)區(qū)間嗎？(該函數(shù)在(一口,一而|或卜加什)上單調(diào)遞增；在-氏0）或（0,乂萬上單調(diào)遞減）這可是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)！11 .解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到其數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？（