公共基礎(chǔ)知識

1、數(shù)量關(guān)系1算數(shù)知識奇偶(1) 整數(shù)：正整數(shù)、0和負整數(shù)。(2) 自然數(shù)：0和正整數(shù)。(3) 偶數(shù)和奇數(shù)：能夠被 2整除的為偶數(shù)，2n；否則為奇數(shù)，2n+1 ( n為整數(shù))。又稱單數(shù)和雙數(shù)。(4) 0: 0是特殊的偶數(shù)。(5) 加減：同奇同偶則為偶，一奇一偶則為奇。(6) 乘法：乘數(shù)有偶則為偶，乘數(shù)無偶則為奇。質(zhì)合(1) 質(zhì)數(shù)：自然數(shù)中除了 1和本身外，無法被其他自然數(shù)整除稱為質(zhì)數(shù)，又稱素數(shù)。最小質(zhì)數(shù)為2。(2) 合數(shù)：自然數(shù)中除了能被 1和本身整除外，還能被其他的自然數(shù)整除稱為合數(shù)。最小合數(shù)為4。(3) 0和1： 0和1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。(4) 質(zhì)因數(shù)分解：任何合數(shù)都能分解成若干質(zhì)數(shù)的乘積

2、。(5) 短除法：從最小的質(zhì)數(shù)除起，一直除到結(jié)果為質(zhì)數(shù)。整除(1) 整除：整數(shù)a除以非0的整數(shù)b沒有余數(shù)，我們就說 a能被b整除或說b整除a。(2) 傳遞：如果b | a能整除，c | b能整除，則數(shù)a也能被c整除。(3) 加減：如果a與b都能被c整除，則a+b與a-b也能被c整除。(4) 乘法：如果a能被b整除，c是任意整數(shù)，則積 ac也能被b整除。(5) 除法：如果a能同時被b、c整除，且b與c互質(zhì)，那么a一定能被積bc整除，反之也成立。(6) 2整除：個位上是 0、2、4、6、8的。(7) 3整除：各位數(shù)字之和是 3的倍數(shù)。(8) 4整除：末兩位能被 4整除。(9) 5整除：個位是0或5

3、的。(10) 6整除：能同時被 2和3整除。(11) 7整除：個位數(shù)截去，余下的數(shù)減去個位數(shù)的2倍，差是7的倍數(shù)。(12) 8整除：末三位能被 8整除。(13) 9整除：各位數(shù)字之和是 9的倍數(shù)。最大公約兩個整數(shù)共有約數(shù)中最大的整數(shù)為最大公約數(shù)。方法為質(zhì)因數(shù)分解，共有質(zhì)數(shù)的乘積即為最大公約數(shù)。最小公倍兩個整中共有倍數(shù)中最小的整數(shù)為最小公倍數(shù)。方法為質(zhì)因數(shù)分解，兩數(shù)所有公約數(shù)與非公約數(shù)的乘積即為最小公倍數(shù)。倍數(shù)右a、b是整數(shù)，a/b-m/n,且m/n是最簡分數(shù)，則 a是n的倍數(shù)，b是m的倍數(shù)。連比幾個比例中，每一個比值的后項是下一個比值的前項。方法為找出中間量統(tǒng)一比例關(guān)系，一般為最小公倍數(shù)。平均

4、數(shù)(1) 算數(shù)平均數(shù)：X-X1+X2+X3+X n/n 。注：算術(shù)平均數(shù)與各數(shù)之差的平方和等于最小數(shù)。(2) 幾何平均數(shù)：Mg-xi* x2*x3* xn。注：n個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)。(3) 加權(quán)平均數(shù)： X-M1X1+M2X2+M3X3+M nXn/M1+M2+M3+M n(4) 加權(quán)權(quán)重：一部分平均值為a, 部分平均值為 b,加權(quán)平均數(shù)為 c,那么a與b權(quán)重x/y-c-b/a-c。2、代數(shù)知識不定方程ax+by-c , a,b,c 均為整數(shù)。(1) 奇偶：同奇同偶則為偶，一奇一偶則為奇。(2) 尾數(shù)：兩數(shù)和、差、積的尾數(shù)等于兩數(shù)尾數(shù)和、差、積的尾數(shù)。尤其注意5x的尾數(shù)為0或5

5、。(3) 互質(zhì)：ax-by, a與b互質(zhì)，那么x/y必然為非整數(shù)。不等式(1) 性質(zhì)：若 a>b>0,則 1/a<1/b。(2) 不等式求解：設(shè)未知數(shù)，根據(jù)不等式確定范圍，最終確定答案。分段函數(shù)如商場滿200減50,滿500八折。Y- x-50 , 200 W x<500;Y-0.8x , x = 500。等差數(shù)列一個數(shù)列首項為 A1，公差為d，項數(shù)為n,和為Sn。(1) 通項：An-A1+ (n-1) d (n> 1);(2) 對稱：Am+An-Ap+Aq ( m+n-p+q );(3) 公差：d- (An-Am ) / (n-m);(4) 求和:Sn-n (A

6、1+An ) /2-nA1+1/2n (n-1) d; 或者 Sn-pn+qn (p、q 為常數(shù))，d-2p, A仁p+q;等比數(shù)列一個數(shù)列首項 A1，公比q,和為Sn。(1)通項An=A1*q n-1 ;(2)對稱Am*An=Ap*Aq( m+n=p+q );(3)公比q=an/an-1 (n± 2);(4)求和Sn=A1 (1-qn) /1-q ( qz 1);Sn=nA1 (q=1);特殊數(shù)列(1) 平方數(shù)列求和：Sn=12+22+32+n2=1/6n (n+1)(2n+1 )；(2) 立方數(shù)列求和：Sn=13+23+33+n3= 1/2 n(n+1) 2(3) 斐波拉契數(shù)列：

7、F0=0, F1=1, Fn=Fn-1+Fn-2 (n±, n N)3、幾何知識相似全等(1)相似對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例。(2)全等兩邊及其夾角相等；兩角及其夾邊相等；三邊對應(yīng)相等。(3)面積相似平面圖形面積比為相似比的平方；相似立體圖形體積比是相似比的立方。三角不等式任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。勾股定理(1) 直角三角形：勾 2+股2=弦2(2) 勾股數(shù)：(3,4,5) ( 5,12,13) ( 7,24,25) (8,15,17) ( 9,40,41 ) (11,60,61)平面公式(1)三角形：SnXahn/absi nC(2)梯形S='2(a+b

8、)h(3)平行四邊形：S=ah(4)圓形c=2 n r= n d, S=n2=4 n d2(5)扇形S=3；0 n丿 ir凸多邊形內(nèi)角和：S=(n-2) X 1800直線切割平面n(n 1)區(qū)域數(shù)：an=1+2等周(1) 平面：周長一定，越趨近于圓，面積越大；面積一定，越趨近于圓，周長越小。(2) 立體：表面積 疋，越趨近于球，體積越大；體積 疋，越趨近于球，表面積越小。立體公式(1) 球：S=4nr2, V=人 nr3(2) 圓柱：S=2n r2+2 n rh,V=SH= n r2h(3) 錐體：S=nrUh2 r2 + nr2, V=nr2h正多面體(1) 定義：每個面都是全等的正多邊形，

9、且每個頂點所接面數(shù)均等。(2) 模型：正四、正五、正八、正十二和正二十。三視圖主視圖、俯視圖和左視圖，反映物體的長、寬、高尺寸。解析幾何(1) 圓:(x-x0)2+(y-y0)2=r2(2) 圓內(nèi)點：x2+y2<r2正方形分割一個正方形可以分割成除 2、3、5外任意數(shù)量的小正方形。蜂窩覆蓋小圓對一定區(qū)域進行無縫隙覆蓋，蜂窩狀排列時用的小圓最少。立方體染色將一個立方體表面染色并切割成邊長為原來/n的小立方體，則：(1) 三面被染色的是 8個在頂角的小立方體；(2) 兩面被染色的是12( n-2)個在棱上的小立方體；(3) 一面被染色的是 6(n-2)2個在外表面中央的小立方體；(4) 未被

10、染色的是(n-2)3個不在表面的小立方體。4、行程問題行程問題(1)比例：S與vt成正比，v與t成反比。SS1 S2 Sn（2）平均速度：V= t1 t2 tn = s/v1 v2 vn相遇問題(1) 相遇：S=S1+S2=(v1+v2)t(2) 直線多次相遇：S總=(2 n-1)S(3) 環(huán)線多次相遇：5總=門5追及問題(1) 追及：S1-S2=(v1-v2)t(2) 環(huán)線多次追及：S1-S2=nS青蛙爬井a(chǎn) b天數(shù)=廠b c n +1流水問題船速=(順速+逆速)/2,水速=(順速逆速)/2火車問題(1) 過橋：S-橋長+車長(2) 錯車：S-L1+L2-(v1+v2)t(3) 相對運動：相

11、對運動距離 -車長，相對速度-速度和或速度差。5、工程問題工程問題(1) 比例：工作量與效率、時間成正比，效率與時間成反比。(2) 輪流：效率和乘以時間。工作總量可以設(shè)為每個人單獨完成用時的最小公倍數(shù)。(3) 合作：求效率和。水管問題進/排水量-(進速排速)X時間牛吃草問題吃早速1*時間1吃早速2*時間2(1) 草生長速-時間1 時間2(2) 初始草量-(吃草速一草生長速)X時間6、禾U潤問題收支利潤-收入支出利潤率售價利潤率=成本1折扣率售價(1) 折扣率=原價X 10_X c b(2) 部分折扣：y = a c7、容斥原理二集容斥A U B=A+B A A B三集容斥A U B U C=A

12、+B+C A A B B A C CA A+A A B A C文氏圖集合抽象為大小一致的圓，集合大小作為數(shù)字標注于圖。8、排列組合排列n!Pmn = (n m)! (n = m> 1)組合n!Cmn = m!(n m)! (n± m > 1)環(huán)線排列n個人圍成一圈，排列方式有Hn-1 n-1- (n-1) !傳球n 1 n 11n個人經(jīng)過m次傳球，球回到發(fā)球人手中，傳球方式有Qmn-(n-1)k/n 土 n ( n 2 )錯位重排n封信裝入n個信封，要求信和信封編號不冋，則：(1) 排列方式:Xn- (n-1) ( Xn-2+Xn-1 ) (n2)(2) 性質(zhì)：n個數(shù)的錯

13、位重排數(shù) Xn是(n-1)的倍數(shù)。(3) 數(shù)值：X仁0, X2-1 , X3-2 , X4-9 , X5-449、概率問題等可能概率m事件空間分為n個等可能情形，事件 A包含其中m個情形，A事件發(fā)生概率為：G(A)= n條件概率G(AB)在事件B已經(jīng)發(fā)生的前提下，A事件發(fā)生的概率為 G(A丄B)= G(B)獨立重復(fù)概率將某實驗重復(fù)進行 n次，在一次實驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)實驗中該事件正好發(fā)生m次的概率是：Gmn= Cmn pm(1 P) n-m分類分步概率先計算每一類或每一步的概率，再計算整個事件概率。10、抽屜原理抽屜原理(1) 原理一：把多于 n個的物體放到n個抽屜里

14、，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件；(2) 原理一：把多于 mn個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于m+1的物體；(3) 原理二：把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里有無窮個物體。(4) 原理四：把 mn 1個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有(m 1)個物體。11、數(shù)據(jù)分配數(shù)據(jù)分配(1) 若數(shù)據(jù)可以相同，則各數(shù)相等離散性最差；(2) 若數(shù)據(jù)不能相同，則公差為1的等差數(shù)列離散性最差。12、運籌問題時間分配將在邏輯上不沖突的事件同時進行。黑夜過橋(1)盡量讓時間相近的兩個人一起過橋； (2 )讓對岸過橋時間最短的人把燈送回?？掌繐Q酒B若A個空瓶可換一瓶酒，有

15、B個空瓶，最多可以喝到 C瓶酒：C= A 1 (取整)任務(wù)分配讓相對效率高的人去做他擅長的事才能確保整體效率最高。物質(zhì)集中路兩側(cè)物資總重量小的流向總重量大的。線性規(guī)劃(1) 目 標函數(shù)： M=c1x+c2y(2) 約束條件：a1x+a2y < a3, b1x+b2y < b313、其他題型濃度問題(1)溶液=溶質(zhì)+溶劑溶質(zhì)(2) 濃度=溶質(zhì)溶劑X 100%(3) 飽和度：溶質(zhì)溶解于溶劑的上限為飽和濃度。時鐘問題(1) 鐘面問題：角度差=時間(分鐘)X 5.5°60m(2) 壞鐘冋題：壞鐘每小時比標準鐘快n分鐘，當壞鐘走過 m分鐘時，標準鐘走過 60 n分鐘。日期問題(1) 閏年：每個世紀前 99年，能被4整除的為閏年；每個世紀的最后一年，能被400整除的為閏年。(2) 星期：平年每過一年，星期數(shù)的變化+1