十、排列、組合和二項式定理

1、十、排列、組合和二項式定理1.排列數(shù) A?1 中 n _m _1,n、m N、組合數(shù) C：中 n _ m,n _ 1,m _ 0,n、m N .(1)排列數(shù)公式n !nAm = n(n -1)(n -2) (n - m 1)(m _ n) ； An = n! =n(n 1)(n2) 2 1。如(n _m)!(1) 1 ! +2 ! +3 ! + +n ! ( n >4,n乏 N )的個位數(shù)字為(答：3) ； (2)滿足 a8 <6A8的X =(答：8)(2)組合數(shù)公式mm Ann (n -1)(n - m 1) n!oA?m （m -1）2 1cn° cm 1 Am =6

2、，求 n, m 的值（答:（3）排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：Cn齊(m _n)；規(guī)定0! 1 , G = 1.如已知m!(n _m )1m = n = 2) Cnm=GnJm ， cn" =C陽弋需： kC：= nC：:c； c；1 c；2 C d；n 11（n 1）!':分類相加（每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨種方法就能完成這件事），分步相乘（ n n !=(n 1)!- n! '(n +1)! n!2. 解排列組合問題的依據(jù)是立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這

3、件事，各步是關(guān)聯(lián)的），有序排列，無序組合.如（1）將5封信投入3個5郵筒，不同的投法共有種 （答：3 ）； （ 2 ）從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有種 （答：70）; （3 ）從集合1,2,3和1,4,5,6 中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中能確定不同點的個數(shù)是（答：23 ） ; （4 ） 72的正約數(shù)（包括1和72 ）共有個（答：12 ）; （5 ） Z A的一邊 AB上有4個點，另一邊AC上有5個點，連同 A的頂點共10個點，以這些點為頂 點，可以構(gòu)成 三角形（答：90 ）; （6 ）用六種不同顏色把右圖中 A、B、

4、C、D四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有種 不同涂法（答：480 ）; （ 7）同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，貝U 4張賀年卡不同的分配方式有種（答：9） （ 8） f是集合M =a,b,cf到集合N1,0,1?的映射，且f（a） f（b）二f（C），則不同的映射共有個（答：7） （9 ）滿足A B C二123,4的集合A、B、C4共有組（答：7 ）3. 解排列組合問題的方法有：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。

5、如（1）某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有 申（答：300 ）; （2 ）某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個位上的數(shù)字（如2816 ）的方法設(shè)計密碼，當積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選 0. 千位、百位上都能取 0. 這樣設(shè)計出來的密 碼共有 種（答： 100 ）；（3）用 0，1，2，3，4，5 這六個數(shù)字，可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù) 個（答： 156 ）；（4） 某班上午要上語、數(shù)、外和體育4 門課

6、，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為 （答： 6 ）；（5 ）四個不同的小球全部放入編號為1、2 、3 、4 的四個盒中。 恰有兩個空盒的放法有 種；甲球只能放入第2或3號盒，而乙球不能放入第4號盒的不同放法有 （答：84； 96 ）； （6 ）設(shè)有編號為 1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為 1、2、3、4、5的5個杯 蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上， 至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有 種（答：31）（2）間接法（對有限制條件的問題， 先從總體考慮， 再把不符合條件的所有情況去掉） ）。 如在平面直角坐標系中，由六個點 （0,0），（1,2），（2,4），

7、（6,3） ，（1,2），（2,1）可以確 定三角形的個數(shù)為 （答： 15 ）。（ 3）相鄰問題捆綁法 （把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其 余“普通元素”全排列，最后再“松綁” ，將特殊元素在這些位置上全排列） 。 如（ 1）把 4 名男生和 4 名女生排成一排， 女生要排在一起， 不同的排法種數(shù)為 （答： 2880 ）；（2）某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中中恰好有3槍連在一起的情況的不同種數(shù)為 （答:20）；（3）把一同排 6張座位編號為 1， 2， 3， 4， 5， 6的電影票全部分給 4個人，每人至 少分 1 張，至多分 2 張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同

8、的分法種數(shù)是 （答：144 ）（ 4） 不相鄰 （相間 ）問題插空法 （某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采 用插空法， 即先安排好沒有限制元條件的元素， 然后再把有限制條件的元素按要求插入排好 的元素之間）。如（ 1）3 人坐在一排八個座位上 ,若每人的左右兩邊都有空位 ,則不同的坐法 種數(shù)有 種（答： 24）；（2）某班新年聯(lián)歡晚會原定的 5 個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。 如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中， 那么不同的插法種數(shù)為 （_ 答：42 ）。（5） 多排問題單排法。如若2n個學(xué)生排成一排的排法數(shù)為 x,這2 n個學(xué)生排成前后 兩排，每排各n個學(xué)生的排法數(shù)為

9、y，則x,y的大小關(guān)系為 （答：相等）;（6）多元問題分類法 。如（ 1）某化工廠實驗生產(chǎn)中需依次投入 2 種化工原料,現(xiàn)有 5 種原料可用,但甲、乙兩種原料不能同時使用,且依次投料時,若使用甲原料,則甲必須先投放. 那么不同的實驗方案共有 種（答： 15）；（2） 某公司新招聘進 8 名員工,平均分給下屬的甲、乙兩個部門 .其中兩名英語翻譯人員不能同給一個部門；另三名電腦編程人 員也不能同給一個部門,則不同的分配方案有 種（答： 36）；（3） 9 名翻譯中, 6 個懂英語, 4 個懂日語, 從中選撥 5 人參加外事活動, 要求其中 3 人擔任英語翻譯,選撥的方 法有種_ （答： 90）；（

10、 7） 有序問題組合法 。 如（ 1） 書架上有 3 本不同的書,如果保持這些書的相對順序 不便, 再放上 2 本不同的書, 有種不同的放法 （答： 20） ； （ 2）百米決賽有 6 名運動 A、B、 C、D、E、F參賽，每個運動員的速度都不同，則運動員A比運動員F先到終點的比賽結(jié)果共 有 種 （ 答 ： 360 ）；（ 3 ） 學(xué) 號 為 1 , 2 , 3 , 4 的 四 名 學(xué) 生 的 考 試 成 績X 89,90,91,92,93（i =1,2,3,4）且滿足捲：卷乞怡：X4，則這四位同學(xué)考試成績的所 有可能情況有 申（答：15）； （4）設(shè)集合A = 1,2,3,4,5,6,7,8

11、 ，對任意x運A，有fv f f （3），則映射f : At A的個數(shù)是 （答: C385）；（ 5）如果一個三位正整數(shù)形如“ a a2a3 ”滿足a! : a2且a3 : a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、363、374等），那么所有凸數(shù)個數(shù)為 （答：240）； （ 6）離心率等于logpq （其中1 Ep蘭9,1 Eq蘭9且p, qw N*）的不同形狀的的雙曲線的個數(shù)為 （答：26 ）。（8）選取問題先選后排法。如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是 （答：576

12、）。（9）至多至少問題間接法。如從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人，至少有2名女同學(xué)當選的選法有 申（答：596）（10）相同元素分組可采用隔板法 。如（1）10個相同的球各分給 3個人，每人至少一個，有多少種分發(fā)？每人至少兩個呢？（答：36 ； 15）； （2）某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車都多于 4輛且型號相同，要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運輸車隊， 每個 車隊至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？（答：84）4、 分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n !。如4名醫(yī)生和6名護士組成一個醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢，每所學(xué)校需要一名

13、醫(yī)生和至少一名護士的不同選派方法有 申（答：37440）；5、二項式定理：（a+b）n =C0an+cnanb+cnanbr+C；bn，其中組合數(shù) C 叫做第r+1項的二項式系數(shù)；展開式共有n+1嘰 其中第r+l項彳=Cnan_rbr（r = 0,1,2,n）稱為二項展開式的通項，二項展開式通項的主要用途是求指定的項特別提醒：（1）項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在（ax * b）n的展開式中，第r + l項的二項式系數(shù)為C，第r+l項的1r n _r rin系數(shù)為Cna b ；而（x ）的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)；（2）當n的

14、數(shù)值不大時x往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)；（3）審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？如（1 ） （2x3 -于）7的展開式中常數(shù)項是 （答：14 ）； （ 2 ） （1+x）3 +（1+x）4 + +（1 + x）10 的展開式中的 x3 的系數(shù)為 （答: 330 ）；（3 ）數(shù)11100-1的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是 _（答: 3 ）； （4） （J7x + 2）40展開后所得的 x的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有項（答：7 ）；（5）若1 -6x15x2 -20x3 15x4-6x5 X6（xN且x空21）的值能被5整除，則x的可取值的 個數(shù)有（答：5

15、 ）； （6）若xyvO,且x + y=1,二項式（x + y）9按x降幕展開后，其第二項不大于第三項，貝U x 的取值范圍是（答：（1：）；（7）函數(shù)f（x）=（1si nx）10+（1+s in x）10 的最大值是 （答：1024 ）.6、二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1 ）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即On"（2）增減性與最大值：當r空書1時，二項式系數(shù)cn的值逐漸增大，當r -寫時，C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當nn為偶數(shù)時，中間一項（第 -+ 1項）的二項式2n +1 n +1系數(shù)Cn2取得最大值。當 n為奇數(shù)時，中間兩項（第 和 +1項）的二項式系數(shù)

16、nJn 1Cn亍=Cn亍相等并同時取最大值。 如（1 ）在二項式（X-1）11的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為 （答：一426 ）; （2 ）在（1+x）n的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，則 n =（答：17,18 或 19 ）。（3）二項式系數(shù)的和：C；+C：+C： +十C： =2n ； V+C：+ =2n-。女口（ 1）如果 1+2C：+22c2+2nCn=2187，貝y C+Cn+C；十+C；= （答：128 ）； （2）化簡 C：+2C：+3C；十十（n+1）cn （答：（n +2） -2?A）7、賦值法：應(yīng)用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為f（1）、“奇數(shù)（偶次）項”

17、1 1系數(shù)和為 J鮒）一 f（"），以及“偶數(shù)（奇次）項”系數(shù)和為 'f（1） f（）。如（1） 已知（13x）9 =a° +ax + a2X2 + +agX9，則 a° +|印 + & |+& |等于（答:92004220044 ）； （2） （12x）=a°+ax+a2X+ +a2°°4X，則（a。+a） + （a°+a2）+（a。+氐04）=（答：2004 ）； （3）設(shè)（1 + x + x2）n =a° +®x + a2X2 + a2nX2n貝H a° a?亠.亠 a2n8、系數(shù)最大項的求法：設(shè)第r項的系數(shù)A最大，由不等式組A 一 A.1確定r。如求1 3 （、小-2 -、x）10的展開式