平面解析幾何知識點(diǎn)歸納

1、平面解析幾何知識點(diǎn)歸納知識點(diǎn)歸納直線與方程1. 直線的傾斜角規(guī)定：當(dāng)直線 l與 x軸平行或重合時，它的傾斜角為 0 范圍：直線的傾斜角 的取值范圍為 0, )2. 斜率： k tan (a ) ， k R2斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn) P1(x1,y1)，P2(x2,y2) (x1 x2 )的直線的斜率公式為 kP1P2 y2 y13. 直線方程的幾種形式名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)kxbk 是斜率b 是縱截距與 x 軸不垂直的直線點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)(x0, y0 )是直線上的已知點(diǎn)兩點(diǎn)式y(tǒng)y1xx1(x1,y1),(x2, y2)是直線上與兩坐標(biāo)軸均不垂直y2y1x2x1的兩個已知點(diǎn)的直線(x1

2、x2, y1y2)截距式xy1a 是直線的橫截距不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)abb 是直線的縱截距軸均不垂直的直線一般式AxByC0當(dāng) B 0 時，直線的橫截距(A2B20)為CA當(dāng) B 0 時，所有直線A C C, , 分別為直線BAB的斜率、橫截距，縱截距能力提升斜率應(yīng)用例1.已知函數(shù) f(x) log2(x 1)且a b c 0，則 f(a),f(b), f(c)的大小關(guān)系 abc例 2.已知實(shí)數(shù) x,y滿足 y x2 2x 2( 1 x 1)，試求 y 3 的最大值和最小值 x2兩直線位置關(guān)系 兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系l1 : y k1 x b1 l2 : y k2 x b2l1 : A1x

3、B1 y C1 0 l 2 : A2 x B2 y C 2 0平行k1 k 2，且 b1 b2A1B1C11 11 (A1B2-A2B1=0)A2 B2C2重合k1 k 2，且 b1 b2A1 B1 C1A2 B2 C2相交k1 k 2A1 B1A2 B2垂直k1 k21A1 A2 B1B 2 0設(shè)兩直線的方程分別為：l1:y k1x b1 或l1: A1x B1y l2 : y k2x b2 l2: A2x B2C0相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組yyk1xk2xb1 或 A1 x B1y b2 或 A2 x B2 yC1C2CC1 00；當(dāng) k1 k2或 A1B2 A2 B1時它們直線間的夾角：若為

4、l1到 l2的角，tank2 k11 k2k1或 tanA1 B2 A2 B1A1 A2 B1B2若為l1和 l2的夾角，則 tank2 k11 k 2k1或 tanA1 B2 A2 B1A1 A2 B1B2當(dāng) 1 k1k 20或 A1A2 B1B2 0時，90o ；直線 l1到l2的角 與l1和l2的夾角(2) ；距離問題1.平面上兩點(diǎn)間的距離公式 P1(x1, y1),P2(x2,y2) 則 P1P2(x2 x1) (y2 y1)2. 點(diǎn)到直線距離公式點(diǎn)到直線的距離為：3. 兩平行線間的距離公式已知兩條平行線直線和的一般式方程為： ，：，則與的距離為4. 直線系方程 : 若兩條直線： ，：

5、有交點(diǎn)，則過與交點(diǎn)的直線系方程為或+ ( 為常數(shù) )對稱問題y1 y221.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知點(diǎn) A( x1 , y1), B( x2 , y2)，則 A,B中點(diǎn) H (x, y)的坐標(biāo)公式為點(diǎn) P(x0, y0) 關(guān)于 A(a,b) 的對稱點(diǎn)為 Q(2a x0,2b y0) ，直線關(guān)于點(diǎn)對稱問題可以化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱問 題。2. 軸 對 稱 ： 點(diǎn) P(a,b) 關(guān) 于 直 線 Ax By c 0(B 0) 的 對 稱 點(diǎn) 為 P'(m,n) ， 則 有n-b m-a1Bambn，直線關(guān)于直線對稱問題可轉(zhuǎn)化0為點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題。1)中心對稱： 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱：該點(diǎn)是兩個對稱點(diǎn)的中點(diǎn)，

6、 用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解， 點(diǎn) A(a, b)關(guān)于 C(c,d) 的對稱點(diǎn) (2c a,2d b) 直線關(guān)于點(diǎn)的對稱：、在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；、求出一個對稱點(diǎn)，在利用 l1/ l 2由點(diǎn)斜式得出直線方程；、利用點(diǎn)到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與已知直線 l1 : 2x 3y 6 0關(guān)于點(diǎn) P(1, 1) 對稱的直線 l 2的方程。點(diǎn)關(guān)于直線對稱： 、點(diǎn)與對稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上，點(diǎn)與對稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)。 、求出過該點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點(diǎn)，在利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。如：求點(diǎn)

7、A( 3,5)關(guān)于直線 l :3x 4y 4 0對稱的坐標(biāo)。直線關(guān)于直線對稱： (設(shè) a,b關(guān)于 l對稱)、若 a,b相交，則 a到l的角等于 b到l的角；若 a/l，則 b / l ，且a, b與l的距離相等。 、求出 a上兩個點(diǎn) A,B關(guān)于 l的對稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程。、設(shè) P(x,y)為所求直線直線上的任意一點(diǎn)，則 P關(guān)于 l的對稱點(diǎn) P'的坐標(biāo)適合 a的方程。 如：求直線 a:2x y 4 0關(guān)于l :3x 4y 1 0對稱的直線 b的方程。 能力提升 例 1. 點(diǎn) P(2,1) 到直線 mx y 3 0(m R) 的最大距離為例 2. 已知點(diǎn) A(3,1) ，在直線

8、 y x 和 y 0 上各找一點(diǎn) M 和 N ，使 AMN 的周長最短，并求出周長。線性規(guī)劃問題：(1)設(shè)點(diǎn) P(x0,y0)和直線 l: Ax By C 0，若點(diǎn) P在直線 l上，則 Ax0 By0 C 0；若點(diǎn) P在直線 l的上方，則 B(Ax0 By0 C) 0；若點(diǎn) P在直線 l 的下方，則 B(Ax0 By0 C) 0；(2)二元一次不等式表示平面區(qū)域：對于任意的二元一次不等式 Ax By C 0( 0) ，當(dāng) B 0時，則 Ax By C 0表示直線 l : Ax By C 0 上方的區(qū)域；Ax By C 0 表示直線 l : Ax By C 0 下方的區(qū)域；當(dāng) B 0時，則 Ax

9、 By C 0表示直線 l : Ax By C 0 下方的區(qū)域；Ax By C 0表示直線 l : Ax By C 0上方的區(qū)域；注意：通常情況下將原點(diǎn) (0,0)代入直線 Ax By C 中，根據(jù) 0或 0來表示二元次不等式表示平面區(qū)域。3)線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解 (x, y )叫做可行解， 由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當(dāng) B 0 時，將直線 AxBy 0 向上平移，則 z Ax By 的值越來越大；直線AxBy 0 向下平移，則Ax By 的值越來越小

10、；當(dāng)0 時，將直線 Ax By0 向上平移，則 z Ax By 的值越來越??；直線AxBy 0 向下平移，則Ax By 的值越來越大；如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括周界)z x ay 取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a為1)設(shè)點(diǎn) P(x0,y0)和直線 l: Ax By C0，目標(biāo)函數(shù)若點(diǎn) P在直線 l 上，則 Ax0 By0 C0 ；若點(diǎn) P 在直線 l 的上方，則 B(Ax0 By0 C) 0 ；若點(diǎn) P在直線 l 的下方，則 B(Ax0 By0 C) 0；(2)二元一次不等式表示平面區(qū)域：對于任意的二元一次不等式 Ax By C 0( 0) ，當(dāng) B 0時，則 Ax B

11、y C 0表示直線 l : Ax By C 0 上方的區(qū)域；Ax By C 0 表示直線 l : Ax By C 0 下方的區(qū)域；當(dāng) B 0時，則 Ax By C 0表示直線 l : Ax By C 0 下方的區(qū)域；Ax By C 0 表示直線 l : Ax By C 0 上方的區(qū)域； 注意：通常情況下將原點(diǎn) (0,0)代入直線 Ax By C 中，根據(jù) 0或 0來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。(3)線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解 (x, y )叫做可行解， 由所有可行解組成的集合叫做可行域。 生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可

12、以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當(dāng) B0時，將直線AxBy0 向上平移，則 zAx By 的值越來越大；直線AxBy0 向下平移，則zAxBy 的值越來越?。划?dāng)B0時，將直線 AxBy0 向上平移，則 z AxBy 的值越來越小；直線AxBy0 向下平移，則zAxBy 的值越來越大；如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括周界)z x ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則 a 為圓與方程2 2 2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (x a)2 (y b)2 r2圓心 C(a,b)，半徑 r2 2 2 特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為 r的圓的方程是： x2 y2 r2 .點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1. 設(shè)點(diǎn)到圓心的距離

13、為 d，圓半徑為 r ：(1) 點(diǎn)在圓上 d=r ；(2) 點(diǎn)在圓外 d >r；(3) 點(diǎn)在圓內(nèi) d<r2. 給定點(diǎn) M(x0,y0)及圓 C:(x a)2 (y b)2 r2.M在圓 C內(nèi)(x0a)2(y0b)2r2M在圓 C上(x0a)2(y0b)2r2 M在圓 C外 (x0 a)2 (y0 b)2 r2圓的一般方程：x2y2 Dx Ey F 0D2E24F0時，方程表示一個圓，其中圓心C D2 , E2 ，半徑 rD 2 E 2 4F2D2E24F0時，方程表示一個點(diǎn)DE2 , 2D2E24F0時，方程無圖形（稱虛圓）注：（1）方程Ax22Bxy Cy 2 Dx Ey F 0

14、 表示圓的充要條件是：220且 A C 0且 D2 E2 4AF 0.圓的直徑系方程：已知 AB 是圓的直徑A(x1,y1)B(x2,y2) (x x1)(x x2) (y y1)(yy2) 0直線與圓的位置關(guān)系：直線 Ax By C0 與圓 (x a) 2 (yb)2r 2 的位置關(guān)系有三種， d 是圓心到直線的距離，(dAa Bb CA2 B21) d r相離0 ； (2) d r相切0；3) d r相交兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r 1，r 2， O1O2d。1）r1外離4條公切線 ；（2） dr1r2外切3條公切線 ；3）r1r2r1r2相交2條公切線 ；（ 4）r1r2內(nèi)切 1條公切線 ；5）r1r2內(nèi)含無公切線外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含1. 直線與圓相切：（1） 圓心到直線距離等于半徑 r ；（ 2）圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直（斜率互為負(fù)倒數(shù)）圓的切線方程2.圓 x2 y2 r 2的斜率為 k 的切線方程是 y kx 1 k2r 過圓 x2 y2 Dx Ey F 0上一點(diǎn) P(x0,y0)的切線方 程為： x0x y0y D x x0 E y y0 F 0 .22般方程若點(diǎn) (x0 , y0)在圓上，則 (x a)( x0 a)+( y b)(