概率論第4章習題參考解答

1、概率論第4章習題參考解答1. 若每次射擊中靶的概率為0.7, 求射擊10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中幾炮.解: 設(shè)為射擊10炮命中的炮數(shù), 則B(10,0.7), 命中3炮的概率為0.0090至少命中3炮的概率, 為1減去命中不到3炮的概率, 為0.9984因np+p=10×0.7+0.7=7.7不是整數(shù), 因此最可能命中7.7=7炮.2. 在一定條件下生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為0.01, 求生產(chǎn)10件產(chǎn)品中廢品數(shù)不超過2個的概率.解: 設(shè)為10件產(chǎn)品中的廢品數(shù), 則B(10,0.01), 則廢品數(shù)不超過2個的概率為0.99993. 某車間有20部同型號機床,

2、 每部機床開動的概率為0.8, 若假定各機床是否開動彼此獨立, 每部機床開動時所消耗的電能為15個單位, 求這個車間消耗電能不少于270個單位的概率.解: 設(shè)每時刻機床開動的數(shù)目為, 則B(20,0.8), 假設(shè)這個車間消耗的電能為個單位, 則=15, 因此4. 從一批廢品率為0.1的產(chǎn)品中, 重復抽取20個進行檢查, 求這20個產(chǎn)品中廢品率不大于0.15的概率.解: 設(shè)這20個產(chǎn)品中的廢品數(shù)為, 則B(20,0.1), 假設(shè)這20個產(chǎn)品中的廢品率為, 則=/20. 因此=0.8675. 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為0.1, 抽取20件產(chǎn)品, 初步檢查已發(fā)現(xiàn)有2件廢品, 問這20件中, 廢品不少于3

3、件的概率.解: 設(shè)為這20件產(chǎn)品中的廢品數(shù), 則B(20,0.1), 又通過檢查已經(jīng)知道定不少于2件的條件, 則要求的是條件概率因事件, 因此因此6. 拋擲4顆骰子, 為出現(xiàn)1點的骰子數(shù)目, 求的概率分布, 分布函數(shù), 以及出現(xiàn)1點的骰子數(shù)目的最可能值.解: 因擲一次骰子出現(xiàn)一點的概率為1/6, 則B(4,1/6), 因此有或者算出具體的值如下所示：01234P0.48230.38580.11570.01540.0008從分布表可以看出最可能值為0, 或者np+p=(4/6)+1/6=5/6小于1且不為整數(shù), 因此最可能值為5/6=0.7. 事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為0.3, 進行19次獨

4、立試驗, 求(1)出現(xiàn)次數(shù)的平均值和標準差; (2)最可能出現(xiàn)的次數(shù).解: 設(shè)19次試驗中事件A出現(xiàn)次數(shù)為, 則B(19,0.3), 因此(1)的數(shù)學期望為E=np=19×0.3=5.7方差為D=np(1-p)=19×0.3×0.7=3.99標準差為(2)因np+p=5.7+0.3=6為整數(shù), 因此最可能值為5和6.8. 已知隨機變量服從二項分布, E=12, D=8, 求p和n. 解: 由E=np=12(1)和D=np(1-p)=8(2)由(1)得n=12/p, 代入到(2)得12(1-p)=8, 解出p=(12-8)/12=1/3=0.3333代回到(1)式得

5、n=12/p=12×3=369. 某柜臺上有4個售貨員, 并預備了兩個臺秤, 若每個售貨員在一小時內(nèi)平均有15分鐘時間使用臺秤, 求一天10小時內(nèi), 平均有多少時間臺秤不夠用.解: 每個時刻構(gòu)成一n=4的貝努里試驗, 且p=15/60=0.25, 因此, 設(shè)為每個時刻要用秤的售貨員數(shù), 則B(4, 0.25), 當>2時, 臺秤不夠用. 因此每時刻臺秤不夠用的概率為0.0508因此10個小時內(nèi)平均有0.0508×10=0.508個小時臺秤不夠用.10. 已知試驗的成功率為p, 進行4重貝努里試驗, 計算在沒有全部失敗的情況下, 試驗成功不止一次的概率.解: 設(shè)為4次試

6、驗中的成功數(shù), 則B(4,p), 事件"沒有全部失敗"即事件>0, 而事件"試驗成功不止一次"即事件>1, 因此要求的是條件概率P>1|>0, 又因事件>1被事件>0包含, 因此這兩個事件的交仍然是>1, 因此其中q=1-p11. 服從參數(shù)為2,p的二項分布, 已知P(1)=5/9, 那么成功率為p的4重貝努里試驗中至少有一次成功的概率是多少?解: 因B(2,p), 則必有, 解得則假設(shè)為成功率為1/3的4重貝努里試驗的成功次數(shù), B(4,1/3), 則12. 一批產(chǎn)品20個中有5個廢品, 任意抽取4個, 求廢品

7、數(shù)不多于2個的概率解: 設(shè)為抽取4個中的廢品數(shù), 則服從超幾何分布, 且有0.96813. 如果產(chǎn)品是大批的, 從中抽取的數(shù)目不大時, 則廢品數(shù)的分布可以近似用二項分布公式計算. 試將下例用兩個公式計算, 并比較其結(jié)果. 產(chǎn)品的廢品率為0.1, 從1000個產(chǎn)品中任意抽取3個, 求廢品數(shù)為1的概率.解: 設(shè)任抽3個中的廢品數(shù)為, 則服從超幾何分布, 廢品數(shù)為0.1×1000=1000.2435而如果用二項分布近似計算, n=3, p=0.1, B(3,0.1)0.2430近似誤差為0.0005, 是非常準確的.14. 從一副樸克牌(52張)中發(fā)出5張, 求其中黑桃張數(shù)的概率分布.解:

8、 設(shè)為發(fā)出的5張中黑桃的張數(shù), 則服從超幾何分布, 則則按上式計算出概率分布如下表所示:012345P0.22150.41140.27430.08150.01070.000515. 從大批發(fā)芽率為0.8的種子中, 任取10粒, 求發(fā)芽粒數(shù)不小于8粒的概率.解: 設(shè)為10粒種子中發(fā)芽的粒數(shù), 則服從超幾何分布, 但可以用二項分布近似, 其中p=0.8, n=10, 則=0.677816. 一批產(chǎn)品的廢品率為0.001, 用普哇松分布公式求800件產(chǎn)品中廢品為2件的概率, 以及不超過2件的概率.解: 設(shè)為800件產(chǎn)品中的廢品數(shù), 則服從超幾何分布, 可以用二項分布近似, 則B(800, 0.001

9、), 而因為試驗次數(shù)很大廢品率則很小, 可以用普阿松分布近似, 參數(shù)為=np=800×0.001=0.817. 某種產(chǎn)品表面上的疵點數(shù)服從普哇松分布, 平均一件上有0.8個疵點, 若規(guī)定疵點數(shù)不超過1個為一等品, 價值10元, 疵點數(shù)大于1不多于4為二等品, 價值8元, 4個以上為廢品, 求產(chǎn)品為廢品的概率以及產(chǎn)品的平均價值.解: 設(shè)為產(chǎn)品表面上的疵點數(shù), 則服從普哇松分布, =0.8, 設(shè)為產(chǎn)品的價值, 是的函數(shù). 則產(chǎn)品為廢品的概率為0.80880.1898則產(chǎn)品的平均價值為E = 10×P=10+8×P=8=10×0.8088+8×0.1

10、898=9.6064(元)18. 一個合訂本共100頁, 平均每頁上有兩個印刷錯誤, 假定每頁上印刷錯誤的數(shù)目服從普哇松分布, 計算該合訂本中各頁的印刷錯誤都不超過4個的概率.解: 設(shè)為每頁上的印刷錯誤數(shù)目, 則服從普哇松分布, =2, 則1頁印刷錯誤都不超過4個的概率為0.9473而100頁上的印刷錯誤都不超過4個的概率為0.00445419. 某型號電子管的“壽命”服從指數(shù)分布, 如果它的平均壽命E=1000小時, 寫出的概率密度, 并計算P(1000<1200).解: 因E=1000=1/, 其概率密度為20. N(0,1), 0(x)是它的分布函數(shù), 0(x)是它的概率密度, 0

11、(0), 0(0), P(=0)各是什么值?解: 因有, , 因此0(x)為偶函數(shù), 由對稱性可知0(0)=0.5, 并有, 因為連續(xù)型隨機變量, 取任何值的概率都為0, 即P(=0)=0.21. 求出19題中的電子管在使用500小時沒壞的條件下, 還可以繼續(xù)使用100小時而不壞的概率?解: 要求的概率為P(>600|>500), 因此22. 若服從具有n個自由度的2-分布, 證明的概率密度為稱此分為為具有n個自由度的-分布證: 設(shè), 則因的概率密度函數(shù)為的分布函數(shù)為對兩邊求導得23. N(0,1), 求P0, P|<3, P0<5, P>3, P-1<&l

12、t;3解: 根據(jù)的對稱性質(zhì)及查表得:P0=1-0(0)=0.5P|<3=20(3)-1=2×0.99865-1=0.9973P0<5=0(5)-0.5=0.5P>3=1-0(3)=1-0.99865=0.00135P-1<<3=0(3)-0(-1)=0(3)+0(1)-1=0.99865+0.8413-1=0.8399524. N(,2), 為什么說事件"|-|<2"在一次試驗中幾乎必然出現(xiàn)?解: 因為因此在一次試驗中幾乎必然出現(xiàn).25. N(10,22), 求P(10<<13), P(>13), P(|-10

13、|<2).解: 因為26. 若上題中已知P|-10|<c=0.95, P<d=0.0668, 分別求c和d.解: 因為, 則有解得, 查表得 得c=3.92再由知 因此即,查表得, 解得27. 若N(,2), 對于P-k<<+k=0.90, 或0.95, 或0.99, 分別查表找出相應(yīng)的k值.解: 先求P-k<<+k=0.90對應(yīng)的k值. 因, 因此即, 查表得k=1.64同理, 由, 查表得k=1.96由, 查表得k=2.5728. 某批產(chǎn)品長度按N(50, 0.252)分布, 求產(chǎn)品長度在49.5cm和50.5cm之間的概率, 長度小于49.2cm的概率.解: 設(shè)為產(chǎn)品長度, 則N(50, 0.252), 且有, 則29. iN(0,1)(i=1,2,3), 并且1,2,3相互獨立, , 求解: 此題要用到, 兩個獨立的服從正態(tài)分布的隨機變量相加后得到的隨機變量仍然服從正態(tài)分布. 因此, 因為, 則因此也服從正態(tài)分布, 且有即與不相