隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度ppt課件

1、第四章 隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度n 對(duì)隨機(jī)過程的頻域分析只能研究其功率譜密度,并在此意義下討論其頻率結(jié)構(gòu)、帶寬以及與系統(tǒng)的相互作用等問題。4.1 功率譜密度tts ),(dtts)(dtetsStj)()(dSdtts22)(21)( 若一個(gè)確定信號(hào) ，滿足狄氏條件，且絕對(duì)可積，即滿足： 則s(t)的傅立葉變換存在，為： S()與s(t)滿足Parseval定理： n 一個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)，盡管它的總能量是無限的，但其平均功率卻是有限值，即：TTTdttxTW2)(21limf (t)Otf T(t)tOT2T2圖：f(t)及其截?cái)嗪瘮?shù)2/02/)()(TtTttftfT2/2/)()()(TT

2、tjTtjTTdtetfdtetfFdeFtftjTT)()( fT(t)的傅立葉變換存在：W是樣本函數(shù)的平均功率dFTdFTddtetfFTdtdeFtfTdttfTWTTTTTTTTtjTTTTTtjTTTTTTT222),(21lim2121| ),(|21lim),(21),(21lim),(21),(21lim),(21lim將上式代入信號(hào)平均功率表達(dá)式中得: 所謂信號(hào)的功率譜密度函數(shù)是指這樣的函數(shù):1、當(dāng)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)對(duì)它進(jìn)行積分以后，得到信號(hào)的總功率；2、描述了信號(hào)功率在各個(gè)不同頻率上分布的情況；2),(21limTTFT 正具有了上述特性。它代表了隨機(jī)過程的某一個(gè)樣本函數(shù)f(

3、t,)在單位頻帶內(nèi)、消耗1電阻上的平均功率。稱它為樣本函數(shù)的功率譜密度函數(shù)。記為Gf(,)。2),(21lim),(TTfFTG),(21lim),(21lim),()(22TTTTffFETFTEGEGdGdXETdttfETdttfETWEWfTTTTTTTT)(21),(21lim21)(21lim),(21lim222對(duì)所有的（實(shí)驗(yàn)結(jié)果取統(tǒng)計(jì)平均得：dXETdttfETtfEWEWTTTTT),(21lim21)(21lim)(222dGRtfEWff)(21)0()(2或2),(21lim)(TTfFTG 功率譜密度Gf()是從頻率角度描述f(t)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的最主要的數(shù)字特征。 Gf(

4、)僅表示了f(t)的平均功率按頻率分布的情況，沒有包含過程f(t)的任何相位信息。若f(t)為各態(tài)歷經(jīng)過程,則有:4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系),(),(),(),(),(2TTTtjTTXXXdtetxX TTTTttjTTTTTtjTTTtjTTXdtdtetXtXETdtetxdtetxTEG21)(2122111221)()(21lim),(),(21lim)(),(21lim)(2TTfFETG由 得: TttTtXtXEttRTTXT),()()(),(212121dedtttRTddtettRTttttdtdtettRTGjTTXTtTtTTTjXTTTTTttjTX

5、 ),(21lim),(21lim,),(21lim)(12121)(2112TTXTXdtttRTR),(21lim)(deRGjXX)()(deRGjXX)()( 設(shè)X(t)為平穩(wěn)過程,則時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)等于集合平均自相關(guān)函數(shù),即:deRGjXX)()(deGRjXX)(21)(上式稱為維納辛欽定理。闡明：n1、以上討論的功率譜密度都屬于連續(xù)情況，即相應(yīng)的隨機(jī)過程不能含有直流成分或周期成分。n2、功率譜密度指單位帶寬上的平均功率；n3、任何直流分量和周期分量在頻域上都表現(xiàn)為頻率軸上某點(diǎn)的零帶寬內(nèi)的有限功率，都會(huì)在頻域的相應(yīng)位置上產(chǎn)生離散頻譜；而在零帶寬上的有限功率等效于無限的功率譜密度。

6、n4、借助函數(shù)，維納辛欽定理可推廣至含有直流或周期性成分的平穩(wěn)過程中。4.3 功率譜密度的性質(zhì)n性質(zhì)一：非負(fù)性,GX()0;n性質(zhì)二： GX()是實(shí)函數(shù)；n性質(zhì)三： GX()是偶函數(shù)；n性質(zhì)四：n性質(zhì)五：有理譜密度是實(shí)際應(yīng)用中最常見的一類功率譜密度；)()(2XXGG4.4 互譜密度及其性質(zhì)),(),(),(),()()()()(),(ttRttRttRttRtYtXtYtXEttRYXXYYXZ)()()()()(YXXYYXZRRRRR 兩個(gè)隨機(jī)過程之和構(gòu)成新的隨機(jī)過程，即：Z(t)=X(t)+Y(t)的自相關(guān)函數(shù)： 若兩個(gè)隨機(jī)過程X(t)、Y(t)單獨(dú)平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，那么：deRdeRG

7、GGjYXjXYYZZ)()()()()( Z(t)的譜密度GZ():deRGdeRGjYXYXjXYXY)()()()(其中：稱為互功率譜密度。TXYEGTYXEGTTTYXTTTXY2),(),(lim)(2),(),(lim)(一、互譜密度： 設(shè)兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)的隨機(jī)過程X(t)和Y(t)，若x(t,)和y(t,)分別為X(t)和Y(t)的某一個(gè)樣本函數(shù)，相應(yīng)的截短函數(shù)分別為xT(t,)和yT(t,)，傅立葉變換分別為： ，則互功率譜：),(),(TTYX、二、互譜密度的性質(zhì))()()(*YXYXXYGGG)(ReXYG)(ReYXG)(ImXYG)(ImYXG0)(XYG性質(zhì)一：性質(zhì)二：

8、和 是的偶函數(shù)； 和 是的奇函數(shù)；性質(zhì)三：若平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)相互正交，則有：)(2)()(YXYXXYmmGG性質(zhì)四：若X(t)和Y(t)是兩個(gè)不相關(guān)的平穩(wěn)過程，分別有均值mX和mY，那么：性質(zhì)五：若X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，RXY()絕對(duì)可積，則互譜密度GXY()、 GYX()分別和互相關(guān)函數(shù)RXY()、 RYX()構(gòu)成傅立葉變換對(duì)。三、相干函數(shù)21)()()()(YXXYXYGGG4.5 白噪聲與白序列,2)(0NGN一 白噪聲的定義及特性： 一個(gè)均值為零，功率譜密度在整個(gè)頻率軸上有非零常數(shù)，即：的平穩(wěn)過程N(yùn)(t)，被稱為白噪聲過程或簡稱白噪聲。式中，N0是正實(shí)常數(shù)。白噪聲的自

9、相關(guān)函數(shù)：)(2221)(00NdeNRjN)0()()()0()()()0()()(NNNNNNNNNRRRRRRCC0, 00, 1)(N)(N 白噪聲的相關(guān)系數(shù) 為:二、熱噪聲n 熱噪聲指的是電路中由于各電阻內(nèi)電子熱騷動(dòng)布朗運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的隨機(jī)起伏電壓和電流。n 其功率譜密度為：kTRffNEfGUNU22)()(2三、噪聲系數(shù)和溫度)/()/(ooiiNSNSF 噪聲系數(shù)指數(shù)定義為系統(tǒng)輸入端信噪比與輸出端信噪比之比。即：四、白序列RND偽隨機(jī)序列）0, 00,)(2kkkRZZ)()(2kkRZZ,)(2ZZG 設(shè)隨機(jī)序列Zn的自相關(guān)函數(shù)滿足：或?qū)τ诎仔蛄衅涔β首V：五、限帶白噪聲other

10、wiseWGN, 0,)(sin)(WRN 若噪聲在一個(gè)有限頻帶上有非零的常數(shù)功率譜，而在頻帶之外為零，則被稱做限帶白噪聲。 自相關(guān)函數(shù)：otherwiseWGN, 0|,)(000cossin)(WRN4.6 功率譜估值的經(jīng)典法,121012Nxxxxxx) 10(Nnxn 譜估值的基本問題是已知隨機(jī)過程X(t)或Xj某個(gè)實(shí)現(xiàn)：中的有限長序列段 ，或者說N個(gè)數(shù)，如何由它盡可能準(zhǔn)確地得到X(t)或Xj的功率譜密度GX() 。 譜估值的主要目的：揭示其周期性。 一、兩種經(jīng)典譜估值的方法2)(1)(NXXNG) 10(NnxN1、周期圖法 本質(zhì)是從各態(tài)歷經(jīng)過程功率譜定義式得到的估計(jì)量，對(duì)于有限N，

11、有：式中，XN()是 的N點(diǎn)DFT。2、Blackman-Tukey(BT法)kkTjXXsekRG)()(NNkkTjXXsekRG)()( 由維納辛欽定理的離散形式： 對(duì)有限個(gè)數(shù)據(jù)，譜估值為：二、經(jīng)典譜估值的改進(jìn)LiLijjNiGLG)(121)(1、平均法：2、平滑法： 將全部數(shù)據(jù)用來計(jì)算出一個(gè)周期圖，然后在頻域?qū)⑵淦交?，即：三、譜估值的一些實(shí)際問題csccsffft221或nscscnnttnttXtX)()(sin)(1、數(shù)據(jù)采樣率： 隨機(jī)信號(hào)采樣定理：設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(t)的功率譜的最高頻率為fc，則取采樣間隔：采樣值為Xn，則有采樣展開式：0)()(2tXtXE)(tX且 在均方

12、意義下逼近于X(t)，即：2、每段數(shù)據(jù)的長度L 應(yīng)滿足頻率分辨力的要求。3、數(shù)據(jù)總長度 數(shù)據(jù)總長度N=分段數(shù)K*每段點(diǎn)數(shù)L；4、數(shù)據(jù)預(yù)處理4.7 復(fù)隨機(jī)過程的功率譜密度deRGjZZ)()(deGRjZZ)(21)( 若過程Z(t)是平穩(wěn)的，則復(fù)過程Z(t)的功率譜密度：由傅立葉反變換可得：n 若復(fù)過程Zi(t)和Zk(t)聯(lián)合平穩(wěn)，則復(fù)過程Zi(t)和Zk(t)的互譜密度為：deRGjZZZZkiki)()(deGRjZZZZkiki)(21)(4.8 功率譜密度的計(jì)算舉例n教材P102P106：n 例4.8例4.104.9 隨機(jī)過程的高階統(tǒng)計(jì)量簡介n 二階統(tǒng)計(jì)量丟失了隨機(jī)信號(hào)重要的相位信息

13、，而高階統(tǒng)計(jì)量則保持了相位信息，高階統(tǒng)計(jì)量在所謂盲信號(hào)處理盲系統(tǒng)辯識(shí)、盲信道均衡信號(hào)分離等有重要的應(yīng)用，高階統(tǒng)計(jì)量還有一些特性使得近年來人們對(duì)它開展了廣泛的研究。),(),(3213212121XXXEXXXCumXXEXXCum),(32414231432143214321XXEXXEXXEXXEXXEXXEXXXXEXXXXCum 對(duì)于零均值實(shí)隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4，其相應(yīng)的二階、三階、四階累量分別定義為：)()()(),()()()(2121, 3, 2tXtXtXECumtXtXECumXX)()()()()()()()()()(),(21, 23, 213, 22, 232, 21, 2321321, 4XXXXXXXCumCumCumCumCumCumtXtXtXtXECum 對(duì)于零均值隨機(jī)過程X(t)，其相應(yīng)的二階、三階、四階累量分別定義為：4.10 譜相關(guān)的基本理論簡介),(),(00TTtRtRXXmXtjRtRX)2exp()(),(0/Tm)(XR 若對(duì)某個(gè)T0,滿足如下關(guān)系：則稱