浙江省寧波市高中數(shù)學教學論文高等數(shù)學與初等數(shù)學的聯(lián)系及一些應用

1、高等數(shù)學與初等數(shù)學的聯(lián)系及一些應用摘 要： 眾所周知，初等數(shù)學是高等數(shù)學的基礎，高等數(shù)學是初等數(shù)學的延伸和發(fā)展。由于現(xiàn)階段數(shù)學數(shù)字化時代的發(fā)展，中學教師要是掌握一定的高等數(shù)學的知識與方法，并在教學中與初等數(shù)學的知識有機結(jié)合起來，那么將能提高學生的思維，開闊學生的思路，培養(yǎng)學生的數(shù)學修養(yǎng)并提高其解決問題的能力。因而，本文著重把高等數(shù)學與初等數(shù)學聯(lián)系起來，通過幾個例子來闡述高等數(shù)學在初等數(shù)學中的一些重要的應用。關鍵詞： 高等數(shù)學；初等數(shù)學 ；應用1. 引言數(shù)學是一門概括性、邏輯性很強的學科，將它從自然科學中分離出來而成為一門獨立的學科與自然科學、社會科學并駕齊驅(qū)，在修完高等數(shù)學課程之后才能體會到這

2、個主張是非?？茖W的。因此有人把它叫做思維的體操，也有人把它稱作其他自然科學必備的基礎工具。這些都是基于這種認識和理解，是有一定的道理的。中小學的數(shù)學，即使是高中數(shù)學的教學，它所要承擔的教學任務和培養(yǎng)的目標只能是學會基本的運算和簡單的推理，由于學生的接受能力有限，更深一層次的研究只能在大學進行。只有通過大學高等數(shù)學各門必修課程和選修課程的學習和理解，才能深切感受到數(shù)學這門充滿生機、古老的學科的龐大的體系和深邃的理論，才能認識到數(shù)學區(qū)別于其他學科的三種特性：抽象性、嚴謹性和高度的概括性。2. 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀大學課程學習的思維單向性很強。大學的學習給學生的感覺是用中學知識去學習大學課程中的內(nèi)容，學生

3、幾乎感覺不到能用大學知識解決中學數(shù)學中的問題或?qū)庵袑W數(shù)學問題有什么幫助。 “用”的觀念淡薄了， “學”的熱情自然而然的就少了。抓住高等數(shù)學與初等數(shù)學之間的聯(lián)系，加強高等數(shù)學對初等數(shù)學的指導作用及高等數(shù)學在初等數(shù)學中的一些應用是本課題研究的重點和關鍵問題。中學數(shù)學教材中的教學難點經(jīng)常讓新教師費勁口舌，但學生仍然暈頭轉(zhuǎn)向，不知其意。比如極限定義、集合和函數(shù)等。一位新數(shù)學教師在解釋從非空數(shù)集 A到數(shù)集 B 的映射是函數(shù)時常常講不清楚函數(shù)的值域到底是不是B。 如果他的數(shù)學分析中的映射掌握得好，完全可以既講得輕松而學生又聽得明白。法國數(shù)學家F 克萊因曾經(jīng)說過：“教師應具備較高的數(shù)學觀點，理由是，觀點越

4、高，事物就顯得越簡單。 ”數(shù)學教育專業(yè)的學生絕不可以輕視高等數(shù)學對中學數(shù)學的指導作用。要使高等數(shù)學課程學有所用，必須要盡可能了解中學數(shù)學教材內(nèi)容，明確教材改革方向和趨勢，這樣才能在教學中將兩者有機結(jié)合起來，從而提高學生的思維，居高臨下地解決問題。3. 高等數(shù)學與初等數(shù)學的聯(lián)系高等數(shù)學是初等數(shù)學的延伸和發(fā)展，而初等數(shù)學卻是高等數(shù)學的基礎。作為學習和研究數(shù)學的步驟，無疑應該是先學習和掌握初等數(shù)學，然后才能學習和應用高等數(shù)學。反之，學習高等數(shù)學能加深對初等數(shù)學的理解和掌握，可以開闊思路、提高數(shù)學修養(yǎng)和解決問題的能 力。但由于中學數(shù)學知識幾乎很難和高等數(shù)學知識直接銜接，使不少大一新生一接觸到“數(shù) 學分

5、析”、“高等代數(shù)”等這些數(shù)學課程，就對數(shù)學專業(yè)課產(chǎn)生了畏難、抵觸情緒。而且高等 數(shù)學理論與中學教學需要嚴重脫節(jié)，許多大學師范畢業(yè)生對如何運用高等數(shù)學理論指導中學 數(shù)學感到迷茫。毫無頭緒。為了解決上述長期存在的問題，筆者認為研究高等數(shù)學與中學數(shù) 學的聯(lián)系是一項有效的措施。4. 高等數(shù)學在初等數(shù)學中的一些應用(1).柯西 施瓦茲不等式應用柯西一一施瓦茲不等式是高等代數(shù)的一個重要不等式，它在中學數(shù)學中有廣泛的應用。設歐式空間Rn,令a1,a2,bi,b2,bnRn,則，）2號當且僅當線性相關時成立)在標準內(nèi)積下，即a1blanbn 22a222an b1bn ，若biaa2an2n a12an例18

6、設a,b,c都是正數(shù),求證:證明:R3中,使用標準內(nèi)積。,則由柯西不等式,(等號當且僅當 ，線性相關時成立)使用柯西a b c施瓦茲不等式重要的是構(gòu)造一個合適的歐式空間，特別是構(gòu)造內(nèi)積運算,并找到兩個適當?shù)南蛄?。做到這一點是有困難的，但是只要完成這個構(gòu)造，余下的問題便很容易解決。構(gòu)造法就是在解決某個問題時，先構(gòu)造一種數(shù)學對象，這種構(gòu)造物有時看來與題意無關，但實際上恰與問題有內(nèi)在的聯(lián)系，而且在某種條件下正是題目所求，或者使我們可 以用另一種方法求解問題，這時構(gòu)造物就成了一種橋梁。(2).矩陣的應用要在問題中用上矩陣也必須構(gòu)造出與問題有某種關系的矩陣，然后才能使用矩陣的性質(zhì)和定理。例2網(wǎng).已知Uo

7、 1,51,Ui 1 Ui Ui 1(1)。能不能用一個顯式表達Un呢?解：首先把1)式用矩陣來表示Ui 1UiUi Ui 11 1 Ui(2)Ui1 0 Ui 1設UiUi 11 1,A則(2)式為 Ui AUi 1,且 U0Ui1 0U1U0于是U1AU0, U2 AU1A2Uo, Un AnUo問題轉(zhuǎn)為求 An。先求A的特征值與特征向量，并將 A對角化得1. 5A P 2廠P 1。其中P1.521 .5 1 ,.522, P111、51,51 、, 52 51屈 '25于是AnP 2p 115-n 2152一n 11 .52n 215所以 UnUn1AnUo 12 n1Un515

8、2n 1115所以Un52在此例中引入矩陣作為工具使用了矩陣的性質(zhì)，得以求出通項。而用初等數(shù)學的方法解的話, 則要經(jīng)過復雜的迭代才能解出此題，不如用矩陣的知識解題一目了然。(3) .微積分的應用例39.證明：當 0 a b 時 b-a lnb bab a a證明：設y lnx,它在區(qū)間a,b滿足拉格朗日中值定理的條件，有b，lnb lnalnb lna b a即3 inb 3。b a a若用初等數(shù)學的知識解題便會發(fā)現(xiàn)此題幾乎無從下手，將不等號兩邊相減或相除來證都 是比較困難的，因為有個對數(shù)函數(shù)在，而只要用拉格朗日中值定理，則此題便迎刃而解。例44 .設y f x是定義在區(qū)間1,1上的函數(shù)，且滿

9、足條件：(i ) f 1 f 10;(ii)對任意的u,v 1,1都有f u f v u v .(1) 證明：對任意的x 1,1 ,都有x 1 f x 1 x；(2) 證明：對任意的u,v 1,1 ,都有f uf v1 ；(3) 在區(qū)間 1,1上是否存在滿足題設條件奇函數(shù) yf x ,使得、“1.一 一當 u,v0, 一 時，f u f v u v ,2一 1. 一 一當 u,v ,1 時，f u f v u v. 2若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由。這是03年北京高考理科數(shù)學最后一道大題(第 20題)，是有關抽象函數(shù)不等式的證明題，認真分析研究該題中的(2),發(fā)現(xiàn)這是一道具有高等數(shù)學知

10、識背景的試題，可以將這個問題推廣:推廣1.函數(shù)f x定義在a,b上。f a,且對任意的x1，x2a,b ,都有f x1f x2x1證明：(i )當x1(ii )當 x1 x2x2 ,則必有 f xf x2.2b a , , . rx2 -時，由 f x1 f x2x1b a ,，、時，不妨設x1 x2 ,則x1 x22b ax22一知，結(jié)論成立。b a,從而有2f x1f x2f x1f a f b f x2f xf a f b f x2x1a b x2x1a b x2b axiX2綜合可知，總有f x1f x2由試題中函數(shù)f x滿足的條件(ii )可聯(lián)想到高等數(shù)學中的R.Lipschitz

11、條件:對于a,b上定義的函數(shù) f x和正數(shù) 01 ,若存在正常數(shù) M使不等式fx1fx2Mx1x2對x1,x2a,b都成立，則稱函數(shù) f x在a,b上滿足 階的R.Lipschitz 條件。顯然試題中的函數(shù)f x滿足1階的R.Lipschitz 條件。下面進一步將其推廣到f x滿足階的R.Lipschitz 條件。推廣2. 函數(shù)f x定義在a,b上，f a fb,且fx滿足 階的R.Lipschitz 條件，即存在正常數(shù) M ,使得對于任意的 x1,x2a,b ,都有f x1f x2Mx1 x201 ,則必有-12 - -fx1fx22Mb a.b a證明：（i）當x1 x2 時，若x1 x2

12、,則不等式顯然成立。下設 xx2。由于201得 0 11, 1 212。于是f x1f x2M x1x22121 2 M b abab a(ii) 當 x1 x2時，不妨設 x1x2 ,則 x1 x222由01知函數(shù)y x在區(qū)間0,上是凸函數(shù)，于是顯然當x1 aXix121綜上可知,b x2X2xx2x21時，不等式也成立。于x f x2總有f x1f x2若把試題中的不等號“(4).概率論的應用21例 52.若 0 a 1,0f x2XiXixi21 2 Mx2x2x2改為嚴格不等式“,其推廣也成立。b 1,試證：0ab 1。證明：令A, B是兩個相互獨立的事件,且使P A a, P B b

13、由 PA B P A P BP ABa b ab由概率的性質(zhì)知， 0 P A B 1 , 從而 0 a b ab 1。5. 總結(jié)由以上五個例子可以看出，如果用初等數(shù)學的知識解題的話，不免會繁瑣無比，但只要巧妙得把高等數(shù)學中的思想和方法應用到初等數(shù)學中就會產(chǎn)生奇妙的結(jié)果，一些題目的本來繁雜的思考計算步驟就可以省略掉，變得既簡單又明了。比如例 1，原本要經(jīng)過復雜的代數(shù)運算才有可能證得的結(jié)果，但只要運用歐氏空間這一個高等數(shù)學的知識點，這一道證明題就變得簡單多了。同樣，其他幾道例子都從不同的角度將高等數(shù)學應用到了初等數(shù)學上，而且都在一定程度上減輕了題目的難度。本文最遺憾的一點就是，作為中學教師很少能將

14、高等數(shù)學應用到中學數(shù)學中去，最重要的原因便是大多數(shù)學生的接受能力有限，但若從另外一個角度去看，便會有趣地發(fā)現(xiàn)目前大學生抱怨學數(shù)學無用的話立不住腳了，因為我們可以用它來解決初等數(shù)學的題目，而且是用更簡單的方法去解。另外更重要的一點是，數(shù)學是一門學問，一門有著龐大的體系而各體系之間又有著千絲萬縷地聯(lián)系的學問。從初等數(shù)學到高等數(shù)學，再從高等數(shù)學回歸到初等數(shù)學，這樣便形成了一個“圓” 。這樣的一個“圓”讓學生體會到了數(shù)學的奇妙性，也增加了學生學習數(shù)學的興趣，只要指引得當，也會減少大學生學習高等數(shù)學的抵觸情緒，所以筆者認為本課題的研究是很有意義的。參考文獻1黃艷敏.中學數(shù)學與高等數(shù)學的和諧接軌J.中學教研，2020, 11: 29312金茂明.高等數(shù)學在解中學數(shù)學題中的應用J.涪陵師專學報，1999,15(3):61643 趙金蘭 . 用高等數(shù)學方法解決初等數(shù)學中的某些問題 J. 雁北師范學院學報， 2020， 19(5) ：72 734李興無.一道高觀點下的數(shù)學高考壓軸題J.高中數(shù)學教與學，2020, 34355謝芳.高等數(shù)學與