古埃及的建筑、測(cè)量和三角形

1、古埃及的建筑、測(cè)量和三角形非洲東北部有一條舉世聞名的大河尼羅河。它穿過(guò)非洲北部的撒哈拉大沙漠，流入地中海，兩岸狹長(zhǎng)地帶便成了肥沃的綠洲。河的下游流經(jīng)的地方，孕育了最古老文明之一的埃及。尼羅河三角洲一帶盛產(chǎn)一種水草，名叫紙草。古埃及人把紙草的莖一層一層地撕成薄片，再一張一張地粘起來(lái)，就成了寫(xiě)字用的紙。有不少古埃及紙草紙一直被保留到今天，成為我們考察埃及歷史文化的珍貴材料。埃及人大約在公元前三千五百年就已經(jīng)有了文字。保存下來(lái)的最早記錄數(shù)學(xué)知識(shí)的紙草紙現(xiàn)在珍藏在英國(guó)大英博物館。寫(xiě)這份紙草紙的，是生活在公元前一千六百年到一千八百年間的阿摩斯。據(jù)他說(shuō)，紙草紙上的內(nèi)容，又是他從公元前兩千二百年以前的舊卷子

2、上轉(zhuǎn)錄下來(lái)的。在這份紙草紙上，記載了一些分?jǐn)?shù)和算術(shù)四則運(yùn)算的說(shuō)明，還有關(guān)于測(cè)量的規(guī)則。古埃及的皇帝叫做“法老”，著名的金字塔就是法老的墳?zāi)?。今天，在尼羅河三角洲南面，散布著七十多座金字塔。齊阿普斯皇帝的金字塔是其中規(guī)模最大的一座：塔高一百四十六點(diǎn)五米； 塔基每面長(zhǎng)約二百四十米， 繞塔一周約一公里；塔內(nèi)有甬道、石階、墓室等。這座金字塔是在公元前兩千八百年建成的，在一八八九年巴黎埃菲爾鐵塔建成以前的四千六百多年間，它一直是世界上最高的建筑物。這確實(shí)是了不起的奇跡！古埃及人在建造這些巨大建筑物的過(guò)程中，積累 了豐富的幾何學(xué)知識(shí)。我們?cè)O(shè)想，在建造金字塔之前，一定得先畫(huà)出一張平面圖。估計(jì)這張圖是畫(huà)在粘土

3、板上的，它大概就是世界上的第一張平面圖了。分析起來(lái)，制圖人肯定知道，圖樣和竣工后的建筑物， 尺寸盡管可以不同， 形狀卻是一樣的。 由此可以判斷，當(dāng)時(shí)的埃及人已經(jīng)掌握了比例和相似形的知識(shí)。畫(huà)出平面圖后， 應(yīng)該平出一大片空地， 在地上放出實(shí)際尺寸，準(zhǔn)備動(dòng)工。建筑材料都是幾噸重的大石塊，一座金字塔要用許多這樣的石塊。那時(shí)候還沒(méi)有發(fā)明車輛，也沒(méi)有像樣的道路，只能用船沿著尼羅河把石頭運(yùn)到盡量靠近的地方，再用滾木把它們運(yùn)到工地。每塊石頭都得事先按一定的形狀鑿好、磨平。石塊的每個(gè)角，都要用丁字尺或者三角板反復(fù)校正成直角。接著，鋪設(shè)龐大的石頭層作地基。第二層要按一定的比例小一些，并且使每一層正好放在下面一層的

4、中間。這樣一層一層往上加，四面相等地縮小，最后準(zhǔn)確地在塔尖會(huì)合在一點(diǎn)。一座金字塔，要用幾十萬(wàn)人和幾百萬(wàn)塊巨石，在幾十年的時(shí)間內(nèi)才能建成， 能夠不出差錯(cuò)， 你看古埃及人在設(shè)計(jì)、 計(jì)算、測(cè)量和施工方面該有多么高明！怎樣準(zhǔn)確畫(huà)出直角，很可能是古埃及人要解決的最大難題。因?yàn)榻鹱炙牡鼗仨殗?yán)格地成為正方形，四個(gè)角就必須是嚴(yán)格的直角；不管是哪一個(gè)角有微小的偏差，都會(huì)使整個(gè)建筑物走形。那時(shí)候還沒(méi)有發(fā)明測(cè)量?jī)x器，要做出周長(zhǎng)一公里那么大的正方形，實(shí)在不簡(jiǎn)單!他們很可能是這樣來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題的：先在地上打進(jìn)兩個(gè)木樁，然后繃緊木樁間的繩子，這樣就畫(huà)出一條直線，成為金字塔的一條邊線。然后，在兩個(gè)木樁上各系上一條繩子，

5、繩子的長(zhǎng)度要超過(guò)兩個(gè)木樁距離的一半。拉緊繩子的末端，以木樁為原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，畫(huà)出兩條相交的圓弧來(lái)。過(guò)這兩條圓弧的交點(diǎn)，畫(huà)出另一條直線，和頭一條直線相交，夾角就是準(zhǔn)確的直角。這后一條直線，就是地基的另一條邊線。那么，要檢查墻壁或者巨石的一面是否直立，怎樣在空中做出直角來(lái)呢？古埃及人巧妙地使用了錘準(zhǔn)線。這個(gè)方法直到今天還在使用著。錘準(zhǔn)線自由擺動(dòng)，在空中畫(huà)出圓弧，當(dāng)它停下來(lái)的時(shí)候就與地面成直角。要是墻壁能和錘準(zhǔn)線平行，它就和地面垂直?，F(xiàn)在，我們都知道畫(huà)直角的簡(jiǎn)便方法是使用直角三角板。但是，這必須首先做出一個(gè)直角三角形來(lái)。古埃及人使用繩子丈量土地。職業(yè)結(jié)繩者的工作就是在測(cè)量用的繩子上打出等間隔的繩結(jié)?？赡芫?/p>

6、是他們最先發(fā)現(xiàn)了某些長(zhǎng)度一定的三條繩子所組成的三角形，其最長(zhǎng)邊所對(duì)應(yīng)的那個(gè)角是直角。其中一種是由 3 個(gè)、 4 個(gè)、 5 個(gè)等間隔的繩結(jié)長(zhǎng)度組成的；另一種取5 個(gè)、 12 個(gè)、 13 個(gè)等間隔的繩結(jié)長(zhǎng)度。把窄木條鋸成這樣的長(zhǎng)度，首尾相接，就做成一個(gè)直角三角板。有了這種三角板，以后的測(cè)量和畫(huà)圖就方便了。農(nóng)民在蓋自己住的小屋的時(shí)候可以說(shuō)：“我這個(gè)屋子六步長(zhǎng)，四步寬，屋頂比我腦袋高一柞”。設(shè)計(jì)大型建筑金字塔可不能這樣。 因?yàn)楣と顺汕先f(wàn)， 每個(gè)人的步和柞都不一樣。于是，他們就規(guī)定出以某一個(gè)人據(jù)說(shuō)是當(dāng)時(shí)國(guó)王身體的某一部分的長(zhǎng)短，作為標(biāo)準(zhǔn)單位；再按這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位，制作一定長(zhǎng)度的木頭條或者金屬條，作為大家通

7、用的度量工具。這就是最早的尺子。在埃及， 主要的長(zhǎng)度單位是腕尺， 它是自肘到中指尖的長(zhǎng)度。小一些的單位有：掌尺，它等于七分之一腕尺；指尺，它等于四分之一掌尺。因?yàn)槟菚r(shí)候的埃及人理解分?jǐn)?shù)的意義非常費(fèi)勁，所以這些小單位很有用。今天，人們熟悉分?jǐn)?shù)了，但是在習(xí)慣上，大家一樣喜歡用小單位。比如英國(guó)人和美國(guó)人總是說(shuō)七英寸，不肯說(shuō)十二分之七英尺。在我國(guó)，有說(shuō)半尺的，但是誰(shuí)也不說(shuō)十分之五尺。每年收獲季節(jié)，埃及的僧侶都要向農(nóng)民征收賦稅。農(nóng)民主要是上交自己的農(nóng)產(chǎn)品，這就需要標(biāo)準(zhǔn)重量單位來(lái)稱量谷子、油、酒等；而捐稅的多少，又是按土地的多少來(lái)定的，這又需要丈量和計(jì)算土地面積了。求面積的方法，最初很可能是工匠在鋪設(shè)方磚

8、地面的時(shí)候?qū)W會(huì)的。他們發(fā)現(xiàn)：一塊地面，如果是三磚長(zhǎng)、三磚寬，需要鋪九塊磚 (33) ；另一塊地面，三磚長(zhǎng)、五磚寬，就需要鋪十五塊磚 (35) 。這樣，計(jì)算正方形和長(zhǎng)方形的面積，只消用長(zhǎng)乘以寬就行了。但是問(wèn)題在于，不是所有的土地都是正方形或者長(zhǎng)方形。有些土地，好像那兒都是邊，那兒也有角，形狀很不規(guī)則，把它們分成若干個(gè)三角形倒是方便的。怎樣才能求出三角形的面積呢？其實(shí)，一旦掌握了長(zhǎng)方形和正方形面積的求法，三角形面積也就不難求了。一塊正方形的麻布，可以折疊成兩個(gè)大小相等的三角形，每個(gè)三角形的面積，恰好是正方形面積的一半。估計(jì)古埃及人正是從這類簡(jiǎn)單的線索中，學(xué)會(huì)了求三角形面積的方法：長(zhǎng)乘寬，再除以二。

9、測(cè)量土地的工作，想來(lái)是十分繁重的。因?yàn)榘＜暗耐恋刂饕植荚谀崃_河沿岸，每年七月中旬，河水開(kāi)始泛濫，淹沒(méi)大量土地，一直到十一月才開(kāi)始退落。洪水退去后，田野里留下一層肥沃的淤泥，幫助農(nóng)民獲得好收成；可是洪水把地界沖掉了，年年都得重新測(cè)量土地。因此，人們常把幾何學(xué)起源于埃及的原因，歸功于尼羅河水的泛濫。在大量的測(cè)量工作中，埃及人當(dāng)然會(huì)碰到“圓”這類難辦的圖形。 他們感到難辦的地方， 是無(wú)法把圓分成許多塊三角形，而每一塊都是由三條直線組成的標(biāo)準(zhǔn)三角形。因此，古埃及人認(rèn)為圓是天賜予人們的神圣圖形。 今天， 我們都很熟悉圓，天天和圓打交道，可是要認(rèn)識(shí)和掌握好圓的性質(zhì)也不容易。實(shí)踐出真知。早期的埃及人，一定

10、是用繩子繞木樁的方法來(lái)畫(huà)圓。他們從長(zhǎng)繩子畫(huà)出來(lái)的圓大，短繩子畫(huà)出來(lái)的圓小，知道了圓面積的大小，是由圓周到圓心的距離來(lái)決定的。這就是我們常說(shuō)的半徑。到了三千五百年前左右，當(dāng)金字塔已成為古跡的時(shí)候，一個(gè)叫阿赫美斯的埃及文書(shū)， 寫(xiě)出了一條這樣的法則： 圓的面積，非常接近于半徑為邊的正方形面積的三又七分之一倍。這在當(dāng)時(shí)是很了不起的發(fā)現(xiàn)！阿赫美斯是怎樣得到這個(gè)求圓面積的方法的，我們恐怕永遠(yuǎn)弄不清楚，只能猜想他大概還是用劃三角形的方法?，F(xiàn)在，他的紙草紙手稿裝在精致的鏡框里，懸掛在倫敦大英博物館里。分散在世界各地博物館中的紙草紙手稿，雖然能幫助我們了解古埃及的數(shù)學(xué)，不過(guò)現(xiàn)有的大部分資料，還是從考察尼羅河畔的古建筑得來(lái)的。有的金字塔，四面準(zhǔn)確地對(duì)著東西南北，可見(jiàn)古埃及人確定方向的本領(lǐng)很高明。他們可能是根據(jù)一個(gè)高大的石柱陰影，來(lái)確定東西南北的。有一座大廟的遺址，至今屹立著一排柱子。在一年三百六十五天中，只有夏至這一天早晨的陽(yáng)光，能沿著這一排柱子照射進(jìn)去。數(shù)一數(shù)太陽(yáng)光兩次正好沿著這行柱子照進(jìn)廟堂的天數(shù)，這就是一年的長(zhǎng)短。在測(cè)定時(shí)間方面，埃及人也是根據(jù)日月星辰的位置和物影來(lái)確定的。 不過(guò)， 他們