高等數(shù)學(xué)第十章第4節(jié)對(duì)面積的曲面積分ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分求質(zhì)量 m .引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx采用“分割, 近似, 求和, 取極限” 的方法，kkkkS),( 可得nk 10 limm),(kkkzyxo一一. 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)定義定義:設(shè) 為光滑曲面, f (x, y, z) 是定義在 上的一個(gè)有界函數(shù), 若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域上任意取點(diǎn), “乘積和式極限乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對(duì)面積的曲面積分或第一類(lèi)曲面積分曲面積分或第

2、一類(lèi)曲面積分.dSzyxf),(記作記作其中 f (x, y, z) 叫做被積函數(shù), 叫做積分曲面. 據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為dSm ),(zyx曲面面積為dSSdSzyxf),(,記記為為閉閉曲曲面面若若 假如 f (x, y, z) 在光滑曲面 上連續(xù), 則對(duì)面積的曲面積分存在積分存在. 假如 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面,21則有dSzyxf),(1dSzyxf),(2dSzyxf),(對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分有類(lèi)似的性質(zhì)對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分有類(lèi)似的性質(zhì).dSzyxgzyxf),(),(（k 為常數(shù))dSzyxfkdSzyxfk),(),(dSzyxgS

3、dzyxf),(),(zyxoyxD定理定理: 設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面 由方程由方程 z = z (x, y) 在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)?yxDf (x, y, z) 在 上連續(xù) ,存在, 且有Sdzyxf),(yxDyxf),(Sdzyxf),(),(yxzydxdyxzyxzyx),(),(122二二. 對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法給出 ,則曲面積分證明證明: 由定義知由定義知Sdzyxf),(kkkkSf),(nk 10lim而kSdydxyxzyxzyxkyx)(22),(),(1),(kkkSdzyxf),(kSdydxyxzyxzyxkyx)(22),(),(

4、1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122ydxdyxzyxzyxfyxDyx),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfkkkkSf),(nk 10lim計(jì)算公式計(jì)算公式:;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面那么那么:類(lèi)似可得類(lèi)似可得;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(那么那么.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dS

5、zyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面那那么么。為閉曲面，可分塊求之為閉曲面，可分塊求之、若、若4),(:. 2zxyy 若若曲曲面面 計(jì)算計(jì)算 dszyx)(, 其中其中 為平面為平面5 zy被柱面被柱面2522 yx所截得的部分所截得的部分.例例1 1積分曲面積分曲面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例 2 2 計(jì)算計(jì)算dSxyz |,其中其中 為拋物面為拋

6、物面 22yxz （10 z）.解解依對(duì)稱(chēng)性知：依對(duì)稱(chēng)性知：被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關(guān)關(guān)于于xoz、yoz 坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，關(guān)關(guān)于于拋拋物物面面zyxz22 有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yxxyz 利利用用極極坐坐標(biāo)標(biāo) trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt210

7、50412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 計(jì)計(jì)算算 xdS, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表面面.例例3 3解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx顯然顯然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS討討論論3 時(shí)時(shí), 將將投投影影域域選選在在xoz上上.（注注意意：21xy 分分為為左左、右右兩兩片片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右兩片投影相同）（左右兩片投影相同） xzDzxdxd

8、zyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00. 計(jì)計(jì)算算dSzyx)(222 , 其其中中 為為內(nèi)內(nèi)接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面體體azyx |表表面面. 例例4 4被被積積函函數(shù)數(shù) ),(zyxf222zyx ,解解關(guān)關(guān)于于坐坐標(biāo)標(biāo)面面、原原點(diǎn)點(diǎn)均均對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng) , 積積分分曲曲面面 也也具具有有對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性 , 故故原原積積分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyy

9、xayxxyD 3)(8222.324a 例例5. 計(jì)算計(jì)算其中 是介于平面之間的圓柱面.222RyxozxyH解解:Hzz,0將 分成 、 前前后后dSzyx222122yRx ：前前22yRx ：后后dydzxxdSzy221dydzyRR22后后前前dSzyx2221dydzyRRzRyzD222212對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)dzyRRzRdyHRR2202212RHarctan 2zzd例例5. 計(jì)算計(jì)算,222zyxdSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222RyxozxyH另解另解: 取曲面面積元素取曲面面積元素dzRdS2那么HzRzdRI0222RHarctan2Hzz,0例例6. 計(jì)算計(jì)算,)

10、(22dSyxI其中 是球面)(2222zyxzyx解解: 利用對(duì)稱(chēng)性可知利用對(duì)稱(chēng)性可知dSzdSydSx222dSzdSydSxdSzyxI)(32222dSzyx)(34dSx4dSx448)3(4142ozyxdSdSxx利用重心公式球心：球心：)1 ,1 ,1(半徑：半徑：3四、小結(jié)2、對(duì)面積的曲面積分的解法是將其化為投影、對(duì)面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計(jì)算域上的二重積分計(jì)算.1、 對(duì)面積的曲面積分的概念對(duì)面積的曲面積分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情況分為三種）（按照曲面的不同情況分為三種）158410P習(xí)習(xí)題題8

11、7431625314,),)()(),(),)(思考題思考題 在對(duì)面積的曲面積分化為二重積分在對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 試說(shuō)明試說(shuō)明這個(gè)因子的幾何意義這個(gè)因子的幾何意義.221yxzz 思考題解答思考題解答是曲面元的面積是曲面元的面積,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法線(xiàn)與是曲面法線(xiàn)與 軸夾角的余弦軸夾角的余弦的倒數(shù)的倒數(shù).z一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a積積為為, , 則則 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 設(shè)設(shè) 為球面

12、為球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,則則 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 為拋物面為拋物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 及平面及平面1 z所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分二、計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 為平面為平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限部分 . .三、求拋物面殼三、求拋物面殼)10)(2122 zyxz的質(zhì)量的質(zhì)量, ,此殼此殼的面密度的大小為的面密度的大小為z