大學物理例題

1、例1 路燈離地面高度為H，一個身高為h 的人，在燈下水平路面上以勻速度步行。如圖3-4所示。求當人與燈的水平距離為時，他的頭頂在地面上的影子移動的速度的大小。解: 建立如右下圖所示的坐標， 時刻頭頂影子的坐標為，設(shè)頭頂影子的坐標為，則由圖中看出有則有所以有;例2 如右圖所示，跨過滑輪C 的繩子，一端掛有重物B，另一端A被人拉著沿水平方向勻速運動，其速率 。A離地高度保持為h，h =1.5m。運動開始時，重物放在地面B0處，此時繩C在鉛直位置繃緊，滑輪離地高度H = 10m，滑輪半徑忽略不計，求：   (1) 重物B上升的運動方程；   (2) 重物B在時

2、刻的速率和加速度；   (3) 重物B到達C處所需的時間。 解：(1)物體在B0處時，滑輪左邊繩長為l0 = H-h，當重物的位移為y時，右邊繩長為因繩長為 由上式可得重物的運動方程為(SI)  (2)重物B的速度和加速度為   (3)由知 當時，。此題解題思路是先求運動方程，即位移與時間的函數(shù)關(guān)系，再通過微分求質(zhì)點運動的速度和加速度。例3 一質(zhì)點在xy平面上運動，運動函數(shù)為x = 2t, y = 4t2-8(SI)。          

3、0;(1) 求質(zhì)點運動的軌道方程并畫出軌道曲線；           (2) 求t1=1s和t2=2s時，質(zhì)點的位置、速度和加速度。 解：(1) 在運動方程中消去t，可得軌道方程為，軌道曲線為一拋物線如右圖所示。        (2) 由 可得: 在 t1=1s 時，      在 t2=2s 時, 例4 質(zhì)點由靜止開始作直線運動，初始加速度為a0，以后加速

4、度均勻增加，每經(jīng)過 秒增加a0，求經(jīng)過 t 秒后質(zhì)點的速度和位移。 解：本題可以通過積分法由質(zhì)點運動加速度和初始條件，求解質(zhì)點的速度和位移。 由題意可知，加速度和時間的關(guān)系為:根據(jù)直線運動加速度的定義因為t = 0 時，v0=0，故 根據(jù)直線運動速度的定義有因為t = 0 時，x0=0 ，則位移為例5 (1) 對于作勻速圓周運動的質(zhì)點，試求直角坐標和單位矢量 i 和 j 表示其位置矢量r, 并由此導(dǎo)出速度v 和加速度a 的矢量表達式。          (2) 試證明加速度a的方向指向軌道圓周的中心。 解

5、:(1)由右圖可知 式中，且根據(jù)題意是常數(shù)，所以，有又因 所以  (2)  由上式可見，a與r方向相反，即a指向軌道圓周中心。 6 一張致密光盤(CD)音軌區(qū)域的內(nèi)半徑 R = 2.2cm，外半徑為R = 5.6cm, 如右圖所示，徑向音軌密度N = 650條/mm。在CD唱機內(nèi)，光盤每轉(zhuǎn)一圈，激光頭沿徑向向外移動一條音軌，激光束相對光盤是以的恒定速度運動的。這張光盤的全部放音時間是多少？激光束到達離盤心 r = 5.0cm 處時，光盤轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度各是多少？解: (1) 以r表示激光束打到音軌上的點對光盤中心的徑矢，則在dr寬度內(nèi)的音軌長度為2rNdr

6、。激光束劃過這樣長的音軌所用的時間為 dt = 2rNdr/v 。由此得光盤的全部放音時間為     (2) 所求角速度為      所求角加速度為例3 兩個質(zhì)量均為m 的質(zhì)點，用一根長為 2a、質(zhì)量可忽略不計的輕桿相聯(lián)，構(gòu)成一個簡單的質(zhì)點組。如圖5-4所示，兩質(zhì)點繞固定軸 OZ以勻角速度 轉(zhuǎn)動，軸線通過桿的中點O與桿的夾角為 ，求質(zhì)點組對O點的角動量大小及方向。解: 設(shè)兩質(zhì)點A、B在圖示的位置，它們對O點的角動量的大小相等、方向相同（與OA和 mv 組成的平面垂直）。角動量的大小為例

7、6 如圖5-7所示，兩物體質(zhì)量分別為m1和m2，定滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，可視作均勻圓盤。已知m2與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為，求m1下落的加速度和兩段繩子中的張力各是多少？設(shè)繩子和滑輪間無相對滑動，滑動軸受的摩擦力忽略不計。 解： 對m1，由牛頓第二定律對m2，由牛頓第二定律 對滑輪，用轉(zhuǎn)動定律 又由運動學關(guān)系，設(shè)繩在滑輪上不打滑 聯(lián)立解以上諸方程，可得 例7 如圖5-8所示。兩個圓輪的半徑分別為R1和R2，質(zhì)量分別為M1和M2。二者都可視為均勻圓柱體而且同軸固結(jié)在一起，可以繞一水平固定軸自由轉(zhuǎn)動。今在兩輪上各繞以細繩，繩端分別掛上質(zhì)量是m1和m2的兩個物體。求在重力作用下，m2下落時輪的角加

8、速度。解： 如圖示，由牛頓第二定律 對m1： 對m2： 對整個輪，由轉(zhuǎn)動定律 又由運動學關(guān)系聯(lián)立解以上諸式，即可得 例8 固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸OO轉(zhuǎn)動，設(shè)大小圓柱體的半徑分別為 R 和 r，質(zhì)量分別為 M 和 m，繞在兩柱體上的細繩分別與物體 m1 和物體 m2 相連，m1 和 m2 分別掛在圓柱體的兩側(cè)，如圖5-9（a）所示。設(shè) R = 0.20m，r = 0.10m，m = 4kg，M = 10kg，m1= m2= 2kg，且開始時m1、m2離地均為h = 2m，求： （1）柱體轉(zhuǎn)動時的角加速度；（2）兩側(cè)細繩的張力；（3）m1經(jīng)多長時間著地？ （4）設(shè)m1

9、與地面作完全非彈性碰撞，m1著地后柱體的轉(zhuǎn)速如何變化？ 解： 設(shè)a1、a2分別為m1、m2的加速度，為柱體角加速度，方向如圖5-9(b)所示。 （1）m1、m2的平動方程和柱體的轉(zhuǎn)動方程如下：式中： ; ; ; ； 聯(lián)立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度為 代入數(shù)據(jù)后得 （2） 由(1)式得 由(2)式得 （3）設(shè)m1著地時間為t，則 （4）m1 著地后靜止，這一側(cè)繩子松開。柱體繼續(xù)轉(zhuǎn)動，因只受另一側(cè)繩子拉力的阻力矩，柱體轉(zhuǎn)速將減小，m2減速上升。 討論: 如果只求柱體轉(zhuǎn)動的角加速度，可將柱體、m1、m2選做一個系統(tǒng)，系統(tǒng)受的合外力矩 ，則加速度 本題第二問還要求兩側(cè)細繩的張力，故采用本解

10、法是必要的，即分別討論柱體的轉(zhuǎn)動、m1和 m2 的平動。 例9 一輕繩繞過一質(zhì)量可以不計且軸光滑的滑輪，質(zhì)量皆為m 的甲、乙二人分別抓住繩的兩端從同一高度靜止開始加速上爬，如圖5-10所示。 （1）二人是否同時達到頂點？以甲、乙二人為系統(tǒng)，在運動中系統(tǒng)的動量是否守恒？機械能是否守恒？系統(tǒng)對滑輪軸的角動量是否守恒？ （2）當甲相對繩的運動速度u是乙相對繩的速度2倍時，甲、乙二人的速度各是多少？ 解： （1）甲、乙二人受力情況相同，皆受繩的張力T，重力mg，二人的運動相同，因為 所以二人的加速度相同，二人的速度為因初速度v0 = 0，二人在任一時刻的速度相同，上升的高度相同，所以同時到達頂點。 以

11、二人為系統(tǒng)，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg) > 0，故系統(tǒng)的動量不守恒。以人和地球為系統(tǒng)，張力T對系統(tǒng)做功，因而系統(tǒng)的機械能不守恒。顯然人在上升中機械能在樣加。但甲、乙二人相對滑輪軸的合外力矩（M = TR -TR + mgR-mgR）等于零，系統(tǒng)對軸的角動量守恒。 （2）設(shè)甲的速度 、乙的速度為 ，從解（1）知二人的速度相等，即 ，這個結(jié)果也可用角動量守恒得到，因故 設(shè)繩子的牽連速度為v0，設(shè)滑輪左側(cè)繩子的v0向下，那么滑輪右側(cè)的v0一定向上，根據(jù)速度合成定理所以 則討論:由于人用力上爬時，人對繩子的拉力可能改變，因此繩對人的拉力也可能改變，但甲、乙二人受力情況總是相同，因

12、此同一時刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人總是同時到達頂點。例12 一質(zhì)量為M，半徑為R，并以角速度旋轉(zhuǎn)著的飛輪，某瞬時有一質(zhì)量為 m 的碎片從飛輪飛出。假設(shè)碎片脫離圓盤時的瞬時速度方向正好豎直向上，如圖5-11所示。求余下圓盤的角速度、角動量。 解：破裂瞬間，系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，系統(tǒng)角動量守恒得余下圓盤角速度不變。 余下圓盤的角動量例13 赤道上有一高樓，樓高h（圖5-12）。由于地球自轉(zhuǎn)，樓頂和樓根對地心參考系都有線速度。 （1）證明：樓頂和樓根的線速度之差為 ，其中 為地球自轉(zhuǎn)角速度。 （2）證明：一物體由樓頂自由下落時，由于地球自轉(zhuǎn)的影響，著地點將在樓根東側(cè)約 處。這就是落體

13、偏東現(xiàn)象。計算 h = 30m 時，著地點偏東的距離。（此結(jié)果利用了物體下落時“水平”速度不變這一近似處理。實際上物體下落時應(yīng)該是地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的角動量保持不變。利用這一點，并取樓高對地球半徑之比的一級近似，則可得更有為準確的結(jié)果 。） 證：（1）樓頂?shù)木€速度為 樓根的線速度為 。二者之差 。 （2）將樓所在處的地面局部視為向東以速度 平移，則落體下落時間為 而著地時偏東的距離為 以 代入上式可得 例15 一個內(nèi)壁光滑的圓環(huán)型細管，正繞豎直光滑固定軸 OO自由轉(zhuǎn)動。管是剛性的，環(huán)半徑為R 。一質(zhì)量為 m 的小球靜止于管內(nèi)最高點A處，如圖5-14所示。由于微小擾動，小球向下滑動，試判決小球在管內(nèi)下

14、滑過程中，下列三種說法是否正確，并說明理由。 （a）地球、環(huán)管與小球系統(tǒng)的機械能不守恒。（b）小球的動量不守恒。 （c）小球?qū)O軸的角動量守恒。 辨析 （a）不正確。對小球、環(huán)管、地球系統(tǒng)，外力為零，外力的功當然為零，環(huán)管與小球間的正壓力 N 和 N是一對非保守內(nèi)力。在小球下滑過程中，小球受管壁的壓力N（與管壁垂直）始終與小球相對管壁的速度方向（與管壁相切）垂直，所以這一對內(nèi)力做功之和為零，而且與參考系的選擇無關(guān)。系統(tǒng)中只有保守內(nèi)力（重力）做功，系統(tǒng)的機械能守恒。 （b）正確。小球在下滑過程中始終受到管壁的壓力和重力，而此二力的方向不同，所以合力不為零，使得小球的動量不斷變化。 （c）不正確

15、。小球在下滑過程中受重力和管壁的壓力，重力和OO軸平行，重力的軸向力矩恒為零，但管壁對小球的壓力方向不通過OO軸，對OO軸有力矩，所以小球?qū)O的角動量在變化，角動量不守恒。例如小球在位置 A 對OO軸的角動量為零，在 B 處小球有垂直于環(huán)半徑的水平分速度，它對OO軸的角動量不再是零，到達最低點C 時，對OO軸的角動量又等于零。 例1 一條均勻鏈條，質(zhì)量為m，總長為l，成直線狀放在桌面上，如圖6-8所示，設(shè)桌面與鏈條之間的摩擦系數(shù)系數(shù)為 ?，F(xiàn)已知鏈條下垂長度為a時鏈條開始下滑，試計算鏈條剛好全部離開桌面時的速率。 解：運用動能定理計算此題，鏈條下落過程有重力、摩擦力做功，根據(jù)動能定理 

16、0;    當鏈條下垂y再繼續(xù)下垂 時，重力功 為      全過程重力的功      桌面摩擦力在鏈條下滑時做的功為       代入動能定理       解出 例2在質(zhì)量m、半徑R 的圓盤形定滑輪上跨一輕繩，在繩一端施一恒力 ，另一端系一質(zhì)量m，邊長為L的立方體，開始時立方體上端面正好與密度為 的液面重合，并在繩子拉動下由靜止開始上升，如圖6-9。 求：

17、(1) 當立方體一半露出液面時，滑輪與立方體間繩張力；      (2) 立方體剛離開液面時的速度。 解：(1) 立方體與滑輪受力分別如圖6-10、圖6-11所示。           當立方體露出一半時浮力           對立方體，由牛頓第二定律           對滑

18、輪，由轉(zhuǎn)動定律                      又由角量與線量關(guān)系               解得         (2) 取立方體、滑輪、繩、地球為系統(tǒng)   

19、0;      做功的外力有 ，          無非保守內(nèi)力做功         設(shè)立方體剛離開液面時速度為v，此時滑輪角速度為 ，有          由功能原理            

20、0;            解得： 例3在光滑水平桌面上放著一靜止的木塊，其質(zhì)量為M，質(zhì)量為m的子彈以水平速度 打擊木塊。設(shè)子彈在木塊中鉆行時受到恒定阻力 ，求子彈在木塊中鉆行的距離。 解：碰撞過程中，子彈在木塊中鉆行，因受阻力而減速，木塊則加速直至和子彈的速度相等為止。系統(tǒng)水平方向不受外力，動量守恒。取子彈前進方向為正，碰撞結(jié)束時子彈和木塊的共同速度為v，則有 對于木塊這個質(zhì)點系，在碰撞過程中，它受的外力為 ，根據(jù)質(zhì)心運動定理，質(zhì)心對地的加速度 相對于木塊這個非慣性系，研究子彈的運動時，必須添

21、加慣性力。在該系統(tǒng)中應(yīng)用動能定理，有 子彈在木塊中鉆行的距離為 例4在一輛小車上固定裝有光滑弧形軌道，軌道下湍水平，小車質(zhì)量為m，靜止放在光滑水平面上，今有一質(zhì)量也為m，速度為v的鐵球，沿軌道下端水平射入并沿弧形軌道上升某一高度，然后下降離開小車(如圖6-12所示)。 (1) 鐵球離開小車時相對地面的速度多大？ (2) 鐵球沿弧面上升的最大高度h是多少？ 解：(1) 選鐵球與車為系統(tǒng)，對鐵球以 水平射入這一過程進行考察，因系統(tǒng)水平方向不受外力，故水平方向動量守恒。設(shè)鐵球離開小車時對地面的速度為 ，小車的速度為 ，則有 (1) 在上述過程中，只有重力做功，如果把地球選進系統(tǒng)，系統(tǒng)的機械能守恒，取

22、軌道水平處為勢能零點                                                  

23、                 (2) 由式(1)、(2)可得 即鐵球離開小車時對地面速度為零。 (2) 當鐵球上升最大高度h時，它相對于小車的速度為零，因而它對地具有與小車相同的水平速度 ，上升過程中鐵球、小車與地球系統(tǒng)的機械能守恒，勢能零點取軌道水平處。 (3) 同一過程中鐵球與小車系統(tǒng)水平方向的動量守恒，于是 (4) 聯(lián)立(3)、(4)兩式可得 例5勁度系數(shù)為k的彈簧，一端固定于墻上，另一端與質(zhì)量為m1的木塊A相接，A

24、與質(zhì)量為m2的木塊B用輕繩相連，整個系統(tǒng)放在光滑水平面上，如圖6-13所示，然后以不變的力F向右拉m2，使m2自平衡位置由靜止開始運動。求木塊A、B系統(tǒng)所受合外力為零時的速度，以及此過程中繩的拉力T對m1所做的功，恒力F對m2做的功。 解：設(shè)A、B系統(tǒng)合外力為零時的速度為v，彈簧的伸長量為x，則外力 (f為彈簧對A的拉力)                 所以        &

25、#160;    對A、B組成的系統(tǒng)運用動能定理        A內(nèi)力表示連結(jié)A、B的繩張力做的功，因繩不變形，物體A、B的位移相同，故       將 代入上式得       恒力F做功       以A為對象，運用動能定理       解得拉力的功 例6如

26、圖6-14所示，質(zhì)量為M，長為l的均勻細桿，可繞A端的水平軸自由轉(zhuǎn)動，當桿自由下垂時，有一質(zhì)量為m的小球，在離桿下端的距離為a處垂直擊中細桿，并于碰撞后自由下落，而細桿在碰撞后的最大偏角 ，試小球擊中細桿前的速度。 解：球與桿碰撞瞬間，系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)碰撞前后角動量守恒 (1) 桿擺動過程機械能守恒 (2) (3) 聯(lián)立(1)、(2)、(3)式，解得小球碰前速率為 例7一質(zhì)量為M，半徑為R，并以角速度 旋轉(zhuǎn)著的飛輪，某瞬時有一質(zhì)量為 m 的碎片從飛輪飛出。假設(shè)碎片脫離圓盤時的瞬時速度方向正好豎直向上，如圖6-15所示。(1) 問碎片能上升多高？ (2) 求余下圓盤的角速度、角動量和轉(zhuǎn)

27、動動能。 解：(1) 碎片m的速率 ，碎片上升過程機械能守恒         解得             (2) 破裂瞬間，系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，系統(tǒng)角動量守恒         得             

28、;                        余下圓盤角速度不變。        余下圓盤的角動量                    

29、;余下圓盤的轉(zhuǎn)動動能          例8如圖6-16所示，從太陽系外飛入太陽系的一顆流星離太陽最近的距離為 ，這時它的速率為 。若不考慮其他行星的影響，試求這顆流星在進入太陽系之前的速率和它飛向太陽的瞄準距離。 解：對流星飛經(jīng)太陽附近的過程，由機械能守恒可得      由此得流星進入太陽系之前的速率為      流星受太陽的引力總指向太陽，流星對太陽的角動量守恒      

30、流星飛向太陽的瞄準距離為 例12mol氫氣在溫度為300K時體積為0.05m3。經(jīng)過(1)等溫膨脹；或(3)等壓膨脹，最后體積都變?yōu)?.25m3。試分別計算這三種過程中氫氣對外做的功并說明它們?yōu)槭裁床煌?？在同一p-V圖上畫出這三個過程的過程曲線。解：(1) 絕熱膨脹： (2) 等溫膨脹(3) 等壓膨脹由于各過程的壓強不同，所以在體積變化相同的情況下，氣體對外做的功也不同，這在p-V圖(圖20-6)上看得很清楚：各過程曲線下的面積不同。 例2使一定質(zhì)量的理想氣體的狀態(tài)按圖20-7中的曲線沿箭頭所示的方向發(fā)生變化，圖線的BC段是以軸和V軸為漸近線的雙曲線。(1) 已知氣體在狀態(tài)A時的溫度 ，求氣體

31、在B，C和D狀態(tài)時的溫度。(2) 從A到D氣體對外做的功總共是多少？解：(1) AB為等壓過程： ，        BC為等溫過程： ；        CD為等壓過程： 。(2) 例3分別通過下列準靜態(tài)過程把標準狀態(tài)下0.014kg氮氣壓縮為原體積的一半。(1)等溫過程；(2)絕熱過程；(3)等壓過程。求：在這些過程中，氣體內(nèi)能的改變，傳遞的熱量和外界對氣體所做的功。分析依題意氮氣可視為理想氣體，且 。等值、絕熱過程的功、熱量及內(nèi)能增量

32、的計算。解：已知, , (1) 等溫過程(放熱)(2) 絕熱過程    由     得 (3) 等壓過程     所以     所以 (放熱)例4汽缸內(nèi)有一種剛性雙原子分子的理想氣體，若使其絕熱膨脹后氣體的壓強減少一半，求變化前后氣體的內(nèi)能之比。解：理想氣體的狀態(tài)方程和內(nèi)能公式     可得     變化前     變

33、化后     由絕熱過程方程 ,   即     按題設(shè) ，有 ，或     對剛性雙原子分子     所以 例5圖20-9為一循環(huán)過程的T-V曲線。該循環(huán)的工質(zhì)為的理想氣體，其中 和 均已知且為常量。已知a點的溫度為 ，體積為V1，b點的體積為V2，ca為絕熱過程。求：(1) c點的溫度；(2) 循環(huán)的效率。解：(1) ca為絕熱過程，      (2)

34、ab為等溫過程，工質(zhì)吸熱                bc為等容過程，工質(zhì)放熱為  循環(huán)過程的效率 例7一臺冰箱工作時，其冷凍室中的溫度為-10，室溫為15。若按理想卡諾致冷循環(huán)計算，則此致冷機每消耗 的功，可以從冷凍室中吸出多少熱量？解：由于    所以J例1 人體一天大約向周圍環(huán)境散發(fā) 熱量，試估算由此產(chǎn)生的熵。設(shè)人體溫度為 ，忽略人進食時帶進體內(nèi)的熵，環(huán)境溫度取為237K。解：將

35、人和環(huán)境視為一個孤立系統(tǒng)，人體向周圍環(huán)境散熱可以設(shè)計為一個等溫過程，環(huán)境吸熱也可以設(shè)計為一個等溫過程，于是兩個過程的總熵為例2 已知在 時，1mol的冰溶解為1mol的水需要吸收6000J的熱量，求       (1) 在 時這些水化為冰的熵變；       (2) 在 時水的微觀狀態(tài)數(shù)與冰的微觀狀態(tài)數(shù)之比。解：(1) 的冰化為 的水為不可逆過程，為了計算其熵變，可設(shè)一可逆的等溫過程，于是熵變?yōu)?2) 由玻爾茲曼熵公式 可知，熵S與微觀狀態(tài)數(shù)有關(guān)，若已知兩

36、狀態(tài)的熵變，就可求得微觀狀態(tài)數(shù)之比。    由于      所以  1. 對于一個系統(tǒng)的熵變，有下面兩種說法，判斷其正誤。    (1) 任一絕熱過程，熵變 ；    (2) 任一可逆過程，熵變 。解答：(1) 說法錯誤。由克勞修斯熵公式可知，對可逆絕熱過程，熵變 ，但對不可逆絕熱過程 ，即 ，熵增加。(2) 說法同樣不正確?？赡娴慕^熱過程系統(tǒng)熵不變。但對非絕熱的可逆過程，吸熱時 ，放熱時 。2. 一杯熱水放在空氣中

37、，最終杯中水的溫度與空氣完全相同，結(jié)果杯中水的熵減少，這是否與熵增加原理矛盾？解答：不矛盾。熵增加原理只對孤立絕熱系統(tǒng)成立。而杯中的水不是孤立的，也不是絕熱系統(tǒng)，因而其熵是可以減少的。若將杯中的水可、和空氣作為一個孤立系統(tǒng)，則系統(tǒng)達到平衡態(tài)時，總熵一定是增加的。3. 若一系統(tǒng)從某一初態(tài)分別沿可逆過程和不可逆過程到達同一終態(tài)，則不可逆過程的熵變大于可逆過程的熵變。解答：這種說法不對。因為熵是態(tài)函數(shù)，只要初、末狀態(tài)一定，熵的增量就一定，與過程無關(guān)。難點辨析1. 怎樣理解熵是態(tài)函數(shù)從可逆卡諾循環(huán)出發(fā)，對圖21-1所示的任一可逆循環(huán)過程有所以必有 仿照保守力做功與路徑無關(guān)引入了一個態(tài)函數(shù)那樣，可以引入

38、一個態(tài)函數(shù) ，即熵S是熱力學系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)。2. 熵與內(nèi)能的比較熵和內(nèi)能雖然都是態(tài)函數(shù)，卻是兩個不同的概念，它們描述系統(tǒng)的不同性質(zhì)，具有不同的物理意義。例如，理想氣體向真空膨脹的過程中，系統(tǒng)的內(nèi)能不變，但熵卻要增加，我們還是根據(jù)熵的變化來判斷過程自發(fā)進行的方向的。另一方面，內(nèi)能的變化是從量的方面顯示過程中的能量轉(zhuǎn)換，而熵的變化則是從質(zhì)的方面顯示能量轉(zhuǎn)換的不可逆行。3. 怎樣計算不可逆過程的熵變對可逆過程，可以利用克勞修斯熵公式計算熵變，即對不可逆過程如何計算熵變呢？由于熵是態(tài)函數(shù)，因此，我們總可以在系統(tǒng)初、末態(tài)之間設(shè)計一個或幾個假想的可逆過程，并利用上述可逆過程熵變的計算方法來估算出對應(yīng)的不可

39、逆過程的總熵變。 例1 一段半徑為 a 的細圓弧，對圓心的張角為 ，其上均勻分布有正電荷 q ，如圖 8-10 所示，試以 a 、 q 、 表示出圓心 O 處的電場強度。 解：為了能正確描述 O 處的電場，應(yīng)首先建立合適的坐標系 XOY ；然后正確地選擇電荷元 dq ，畫出 dq 在 O 點的電場 ，的大小 由圖找出相對于 Y 軸對稱的另一電荷元 ，其電場 如圖所示，由對稱性可知，圓弧在 O 處的電場的 X 分量一定相互抵消，合場強沿 -Y方向，大小為 由于 所以， 寫成矢量式為 例2 一個玻璃棒被彎成半徑為 R 的半圓形，沿其上半部分均勻分有電量 +Q ，沿其下半部分有電量 -Q ，如圖 8

40、-11 所示，試求圓心 O 處的電場強度。 解一： 建立如圖 8-11所示坐標系，先把電荷均當作 +Q 考慮，取如圖所示電荷元 dq 它在 O 處產(chǎn)生的場強大小為 所以                       積分時，考慮到下半部分為 -Q ，于是 所以，寫成矢量式 解二： 如圖 8-12 以 X 軸為對稱軸選兩個電荷元 dq 和 dq ，則由對稱性可知 例3 如圖 8-13 所示，

41、一半徑為 R ，長度為 L 的均勻帶電圓柱面，總電量為 Q ，試求端面處軸線上 P 點的電場強度。解： 這個問題的關(guān)鍵是選擇合適的電荷元，電荷元的選取可充分利用已知的典型電荷分布的電場。對該問題，顯然選擇一個圓環(huán)做為電荷元最為恰當，如圖 8-14 所示，建立坐標系，圓環(huán) dq 在 P 點的電場強度沿 X 軸正向。 特別注意利用帶電圓環(huán)軸線上的公式時，其中的 x 表示環(huán)心到場點的距離，對該問題，由于坐標原點不在所選的環(huán)心處，因此，要根據(jù)實際情況 來寫不心到場點的距離。顯然由圖可知， dq 環(huán)心到 P 點的距離為 ，由于圓柱面可看成許多同軸圓環(huán)組成每一圓軸在 P 點的電場均沿 x 軸正向，因此，

42、P 點的總場 E 可直接對 dE 積分方向沿 x 軸正向。 例4 如圖 8-15 所示為一均勻帶電的球?qū)?，其電荷體密度為 ，球?qū)觾?nèi)表面半徑為 ，外表面半徑為 ，設(shè)無窮遠處為電勢零點，求球?qū)又邪霃綖?r 處的電勢。 解： r 處的電勢等于以 r 為半徑的球面以內(nèi)的電荷在該處產(chǎn)生的電勢 和球面以外的電荷產(chǎn)生的電勢 之和，即 為計算以 r 為半徑的球面外電荷產(chǎn)生的電勢。在球面外取一 的薄層，其電量為 它對該薄層內(nèi)任一點產(chǎn)生的電勢為 則               

43、0;       于是全部電荷在半徑為 r 處產(chǎn)生的電勢為 例5 如圖 8-16 所示，一內(nèi)半徑為 a ，外半徑為 b 的金屬球殼，帶有電量 Q ，在球殼空腔內(nèi)距離球心 r 處有一點電荷 q ，設(shè)無限遠處為電勢零點，試求： (1) 球殼內(nèi)外表面上的電荷； (2) 球心 O 處，由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢； (3) 球心 O 點處的總電勢。 解：(1) 由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感應(yīng)電荷 ，外表面帶電荷 。 (2) 不論球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷是如何分布的，因為任一電荷元離 O 點的距離都是 a ，所以由這些電荷在 O 點產(chǎn)生的電

44、勢為 (3) 球心 O 點處的總電勢為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點電荷 q 在 O 點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和 例6 如圖 8-17 所示，一空氣平行板電容器，兩極板面積均為 S 。板間距離為 d (d 遠小于極板限度 ) ，在兩極板間平行地插入一面積也是 S ，厚度為 t (< d) 的金屬片，試求： (1) 電容 C 等于多少 ? (2) 金屬片放在兩極板間的位置對 C 值有無影響 ? 解： 如圖 8-18 所示，設(shè)極板上分別帶電量 和 ；金屬片與 A 板距離為 ，與 B 板距離為 ，金屬片與 A 板間場強為 金屬板與 B 板間場強為 金屬片內(nèi)部場強為 則兩極板間的電勢差為 由此得 因

45、C 值僅與 d 、 t 有關(guān)，與 無關(guān)，故金屬片的安放位置對電容值無影響。 例7 現(xiàn)有一根單的電纜，電纜芯的半徑為 ，鉛包皮的內(nèi)半徑為 ，其間充以相對電容率 的各向同性均勻電介質(zhì)。求當電纜芯與鉛包皮間的電壓為 時，長為 的電纜中貯存的靜電能是多少? 解： 由高斯定理可求得 又電場能量密度 靜電能例8 一電容為 C 的空氣平行板電容器，接上端電壓 V 為定值的電源充電。在電源保持連接的情況下，試求把兩個極板間距離增大至 n 倍時，外力所作的功。 解：因保持與電源連接，兩極板間電勢差保持不變，而電容值由 電容器儲存的電場能量由 在兩極板間距增大過程中，電容器上帶電量由 Q 減至 ，電源作功： 設(shè)在

46、拉開極板過程中，外力作功為 A2 ，據(jù)功能原理 在拉開極板過程中，外力作正功。 第二篇 實物的運動規(guī)律第三章 運動的描述3.1 如圖所示，質(zhì)點沿曲線路徑由a運動到b ，所經(jīng)路程為sab，a、b位矢分別為 和 。討論下面三個積分的量值及意義。     ；     ；      3.2 質(zhì)點在平面內(nèi)運動。矢徑 ，速度 ，分別指出下列四種情況中質(zhì)點作何種特征的運動。          

47、0;                  3.3 設(shè)質(zhì)點的運動方程為 ， 。在計算質(zhì)點的速度和加速度時，有人先求出 ，然后根據(jù) 及 從而求出結(jié)果，又有人先計算出速度和加速度的分量，再合成求出結(jié)果，即： 及 。你認為這兩種方法中哪一種方法正確？兩者的差別何在？3.4 質(zhì)點沿圓周運動且速率隨時間均勻增大， 三者的大小是否隨時間改變？總加速度 與速度 之間的夾角如何隨時間改變？3.5 一質(zhì)點作直線運動，其速度與時間的關(guān)系曲線如圖所示。圖中過A點的切線AC

48、的斜率表示什么？割線AB的斜率表示什么？曲線下面積 表示什么？3.6 行星軌道為橢圓，已知任一時刻行星的加速度方向都指向橢圓的一個焦點（太陽所在處）。分析行星通過圖中M、N兩位置時，它的速率分別是正在增大還是減??？3.7 一斜拋物體初速度為 ，拋射角為 ，它的軌跡在拋出點和最高點的曲率半徑各是多大？3.8 已知質(zhì)點沿螺旋線自內(nèi)向外運動，質(zhì)點位置的自然坐標與時間的一次方成正比。試問質(zhì)點的切向加速度和法向加速度的大小是否變化？3.9 如圖所示，一輛汽車以 在雨中行駛，車后的一捆行李伸出車外的長度為 ，距車頂?shù)木嚯x為 。若雨滴下落的速度 與豎直方向成 角，什么條件下行李才不會被淋濕？3.10 一架飛

49、機從A處向北飛到B處，然后又向南飛回A。已知飛機相對于空氣的速度為 ，且速率 常量，空氣相對于地面的速度為 ，設(shè)AB的距離為L。試證明： 若 ，則來回飛行的時間為： 若 的方向由南向北，則來回飛行的時間為： 若 的方向為由東向西，則來回飛行的時間為： 第四章 動量 動量守恒定律4.1 為什么有了 、 這兩個物理量還要引入 這個物理量？4.2 沖量的方向是否與沖力的方向相同？4.3 有人說，因為內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動量，所以無論系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點有無內(nèi)力的作用，只要外力相同，各質(zhì)點的運動情況就相同，這話對嗎？4.4 忽略其它所有外力，考慮一個物體和地球組成的系統(tǒng)，當物體自由下落時，這一系統(tǒng)動量守恒嗎？這

50、時還能把地球作為參考系來計算系統(tǒng)的總動量嗎？4.5 兩個質(zhì)量相同的物體從同一高度自由下落，與水平地面相碰，一個反彈回來，另一個卻貼在地上，問哪一個物體給地面的沖量大？4.6 一人躺在地上，身上壓一塊重石板，另一個人用重錘猛擊石板，但見石板碎裂，而下面的人毫無損傷，這是為什么？4.7 用一根細線吊一個質(zhì)量為5kg的重物，重物下系一根同樣的細線。設(shè)細線最多能經(jīng)受70N拉力?，F(xiàn)在突然用力向下拉一下下面的線，并設(shè)此力最大值為50N，則重物上、下所系的線是否會斷？4.8 在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車，向東南方向斜上方發(fā)射一枚炮彈，如果忽略冰面的摩擦和空氣阻力，在此過程中，對于炮車和炮彈系統(tǒng)，下列

51、哪種說法是正確的？   總動量守恒;   總動量在炮身前進方向上的分量守恒，其它方向分量不守恒；   總動量在水平面上任意方向的分量守恒，豎直方向分量不守恒；   總動量在任意方向的分量均不守恒。第五章 角動量 角動量守恒定律5.1 平行于軸的力對軸的力矩一定是零，垂直于軸的力對軸的力矩一定不是零，這兩種說法都對嗎？5.2 一個有固定軸的剛體，受有兩個力作用，當這兩個力的矢量和為零時，它們對軸的合力矩也一定是零嗎？當這兩個力的合力矩為零時，它們的矢量和也一定為零嗎？舉例說明之。5.3 一個系統(tǒng)動量守恒和角動量守恒的條件有何不同？5.4 兩個半徑相同的輪子，質(zhì)量相同，但一個輪子的質(zhì)量聚集在邊緣附近，另一個輪子的質(zhì)量分布比較均勻。試問：      如果它們的角動量相同,哪個輪子轉(zhuǎn)得快?      如果它們的角速度相同,哪