基于改進(jìn)基追蹤方法的信號(hào)去噪

1、基于改進(jìn)基追蹤方法的信號(hào)去噪         摘要：提出了一種新的基追蹤求解算法。依據(jù)信號(hào)特性自適應(yīng)地選取字典；通過l1范數(shù)的近似表示，將有約束的極值問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，并利用一種新的迭代算法進(jìn)行快速求解；幾類典型信號(hào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本方法具有良好的去噪效果。         關(guān)鍵詞：基追蹤 字典 去噪        基追蹤方法是信號(hào)稀疏表示領(lǐng)域的

2、一種新方法。它尋求從完備的（過完備）函數(shù)（基）集合中得到信號(hào)的最稀疏的表示，即用盡可能少的基精確地表示原信號(hào)，從而獲得信號(hào)的內(nèi)在本質(zhì)特性?；粉櫡椒ú捎帽硎鞠到y(tǒng)的范數(shù)作為信號(hào)稀疏性的度量，通過最小化l1范數(shù)將信號(hào)稀疏表示問題定義為一類有約束的極值問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。        目前，基追蹤方法在一維信號(hào)處理領(lǐng)域有很好的應(yīng)用。以David L.Donoho為代表的斯需求量福大學(xué)統(tǒng)計(jì)系工作組利用基追蹤方法在一維實(shí)信號(hào)去噪和超分辨方面取得取了很多很好的應(yīng)用結(jié)果。盡管使用了一種新的線性規(guī)劃算法內(nèi)點(diǎn)算法

3、，基追蹤方法由于要在所有的字典向量中極小化一個(gè)全局目標(biāo)函數(shù)，其計(jì)算量仍然是很大的。正因?yàn)榍蠼獯蟪叨染€性規(guī)劃問題的困難，目前的基追蹤方法局限于一維的信號(hào)去噪和超分辨處理。本文提出一種新的思路來求解上述有約束的極值問題。首先依據(jù)信號(hào)特性自適應(yīng)地選取字典；通過l1范數(shù)的近似表示，將有約束的極值問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，并利用一種迭代算法進(jìn)行快速求解；最后通過幾類典型信號(hào)去噪實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證本方法的應(yīng)用效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的基追蹤方法能夠快速穩(wěn)定實(shí)現(xiàn)，。同時(shí)具有良好的去噪效果。1 字典的構(gòu)造        對(duì)于觀測(cè)到的離散信號(hào)s

4、H,H為Hilbert空間，給定H中的字典=，其中為指標(biāo)集，為H中的基函數(shù)，也稱為原子?；粉櫡椒▽⑿盘?hào)稀疏表示問題定義為以下有結(jié)束的極值問題，即其中，（）為表示系數(shù)。如果將字典中的向量表示成矩陣的例，系數(shù)表示成一個(gè)列向量，則（1）式可表示成min|1 subject to s= (2)在含噪觀測(cè)的情況下，考慮如下模型：y=s+z其中s為真實(shí)信號(hào)，y為觀測(cè)信號(hào)，z為標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲，為噪聲根方差?；粉櫡椒ㄈピ霘w結(jié)為求解以下優(yōu)化問題：        以上最優(yōu)化問題致力于最小化信號(hào)重建誤差，同時(shí)使得信號(hào)的表示最稀疏。正

5、則化參數(shù)控制著允許誤差與稀疏性之間的平衡。        由（3）式可見，基追蹤方法去噪的核心問題涉及到原子的選取、字典的構(gòu)造、求解算法設(shè)計(jì)等三個(gè)方面。其中，字典的構(gòu)造是基追蹤方法的重要環(huán)節(jié)。為了盡可能精確地表示信號(hào)，字典與信號(hào)應(yīng)用是自適應(yīng)的，或者說字節(jié)是從信號(hào)的學(xué)習(xí)中得到的。通常，基追蹤方法所使用的字典有完備的、過完備的、欠完備的等?？梢愿鶕?jù)信號(hào)的先驗(yàn)信息及實(shí)際需要設(shè)計(jì)字典。一般設(shè)計(jì)的字典是完備或過完備的。對(duì)于簡(jiǎn)單信號(hào)去噪，一般只需要構(gòu)造完備的字典。對(duì)于復(fù)合信號(hào)對(duì)噪問題，通常需要構(gòu)造過完備的字典。對(duì)于完備字典，同

6、樣存在信號(hào)的稀疏表示問題，因?yàn)樵肼暱偸翘幪幤娈惖?。本文所采用的字典主要有：?）Heaviside字典此字典中原子不是正交的，但是對(duì)于任意長(zhǎng)度為n的一維離散信號(hào)s=(s1s2sn)都有以下表示：        Heaviside字典具有上三角形式，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，善于捕捉分片常數(shù)信號(hào)中的突變特征。（2）時(shí)間-尺度字典（小波字典）以Haar小波字典為例：你小波基：=l0,1,母小波基：=11/2,1,1-10,1/2Haar小波字典中包含小波基的平移和伸縮變換以及小波基的平移變換。設(shè)=（a,b,v），其中（0，）為尺度變量

7、，b0，n表征位置，v0,1表征性別。Haar小波字典形式為：        包含n個(gè)原子，構(gòu)成一組正交基。當(dāng)然還有其它類型的小波字典，盡管有些小波基沒有類似Haar小波基這樣明確的小波函數(shù)表達(dá)式，但它們的字典都有與Haar小波字典類似的離散結(jié)構(gòu)。比較常用的主要用Daubechies、Coiflet、Symmlet等。小波字典應(yīng)用于表示分片光滑信號(hào)。（3）Heaviside字典+小波字典        對(duì)于比較復(fù)雜的復(fù)合信號(hào)，單一的字典

8、下無法得到信號(hào)的最稀疏表示，此時(shí)可將幾種字典合成，從而得到過完備的字典。例如Heaviside字典+小波字典。2 新的求解算法文獻(xiàn)1將（3）式等階于如下二次規(guī)劃問題：        文獻(xiàn)1采用內(nèi)點(diǎn)算法求解以上二次規(guī)劃問題。這種算法收斂性能穩(wěn)定，但由于它是一種大尺度的線性規(guī)劃算法，復(fù)雜度高，所耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間非常長(zhǎng)，不便于實(shí)際應(yīng)用，為此，針對(duì)（3）式，采用一種新的迭代算法來求解以上最優(yōu)化問題。        首先，給出l1范數(shù)的平滑近似&#

9、160;       其中，N為向量z的長(zhǎng)度，為非常小的常數(shù)（>0），本文取=10 -6)。        其中，為迭代步長(zhǎng)，0<1,迭代初值可取（0）=HY。迭代的終止條件由控制（本文取cG=10 -3），這樣即可得到優(yōu)化問題的解。在得到表示系數(shù)的估計(jì)后，可由s=得到的重構(gòu)的信號(hào)。3 正則化參數(shù)的選取        在所考慮的噪聲為高斯白噪聲以及對(duì)字典進(jìn)

10、行規(guī)范化（|2=1）的情況下，文獻(xiàn)1中的經(jīng)驗(yàn)值取為，其中，P為字典的勢(shì)。此經(jīng)驗(yàn)值實(shí)際對(duì)應(yīng)于正交基下小波小噪方法的中閾值。因此這種參數(shù)的選取方法依賴于對(duì)信號(hào)中的噪聲方差的精確估計(jì)。而對(duì)噪聲方差的精確估計(jì)通常是比較困難的。因此該經(jīng)驗(yàn)值是一種次優(yōu)值?？蓮牧硪粋€(gè)角度來考慮正則化參數(shù)的選取方法。容易證明，在對(duì)字典進(jìn)行正交化后，目標(biāo)函數(shù)具有單峰性質(zhì)（目標(biāo)函數(shù)為函數(shù)），因此可通過最小化目標(biāo)函數(shù)，在迭代算法中用線性搜索的方法尋求最優(yōu)。4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果        為了驗(yàn)證本方法的去噪效果，將其應(yīng)用于一維信號(hào)去噪實(shí)驗(yàn)，并與小波軟、硬閾

11、值去噪方法以及Wiener濾波方法進(jìn)行了比較。設(shè)計(jì)二組一維實(shí)信號(hào)，即分片常數(shù)信號(hào)和分片光滑信號(hào)。其中分片光滑信號(hào)“Heavisine”是由下式產(chǎn)生的一種信號(hào)：        對(duì)二組信號(hào)附加高斯白噪聲。其中第一組噪聲根方差=0.2，第二組噪聲根方差為=0.5。去噪結(jié)果如圖1和圖2所示。分片常數(shù)信號(hào)實(shí)驗(yàn)中的小波方法所采用的小波基為Haar小波基，分片光滑信號(hào)實(shí)驗(yàn)中的小波方法所采用的小波基為Sym8小波基。依據(jù)信號(hào)的特性，分片常數(shù)信號(hào)實(shí)驗(yàn)中基追蹤方法采用Heaviside完備字典，分片光滑信號(hào)實(shí)驗(yàn)中基追蹤方法采用Heaviside+Sym8小波字典合成的過完備字典。表1對(duì)各種方法的信噪比改善程度進(jìn)行了比較。在配置為奔4 Celeron(1.8G)微機(jī)上運(yùn)動(dòng)未經(jīng)優(yōu)