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1、基于改進(jìn)基追蹤方法的信號(hào)去噪 摘要:提出了一種新的基追蹤求解算法。依據(jù)信號(hào)特性自適應(yīng)地選取字典;通過l1范數(shù)的近似表示,將有約束的極值問題轉(zhuǎn)化為無約束問題,并利用一種新的迭代算法進(jìn)行快速求解;幾類典型信號(hào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本方法具有良好的去噪效果。 關(guān)鍵詞:基追蹤 字典 去噪 基追蹤方法是信號(hào)稀疏表示領(lǐng)域的
2、一種新方法。它尋求從完備的(過完備)函數(shù)(基)集合中得到信號(hào)的最稀疏的表示,即用盡可能少的基精確地表示原信號(hào),從而獲得信號(hào)的內(nèi)在本質(zhì)特性?;粉櫡椒ú捎帽硎鞠到y(tǒng)的范數(shù)作為信號(hào)稀疏性的度量,通過最小化l1范數(shù)將信號(hào)稀疏表示問題定義為一類有約束的極值問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。 目前,基追蹤方法在一維信號(hào)處理領(lǐng)域有很好的應(yīng)用。以David L.Donoho為代表的斯需求量福大學(xué)統(tǒng)計(jì)系工作組利用基追蹤方法在一維實(shí)信號(hào)去噪和超分辨方面取得取了很多很好的應(yīng)用結(jié)果。盡管使用了一種新的線性規(guī)劃算法內(nèi)點(diǎn)算法
3、,基追蹤方法由于要在所有的字典向量中極小化一個(gè)全局目標(biāo)函數(shù),其計(jì)算量仍然是很大的。正因?yàn)榍蠼獯蟪叨染€性規(guī)劃問題的困難,目前的基追蹤方法局限于一維的信號(hào)去噪和超分辨處理。本文提出一種新的思路來求解上述有約束的極值問題。首先依據(jù)信號(hào)特性自適應(yīng)地選取字典;通過l1范數(shù)的近似表示,將有約束的極值問題轉(zhuǎn)化為無約束問題,并利用一種迭代算法進(jìn)行快速求解;最后通過幾類典型信號(hào)去噪實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證本方法的應(yīng)用效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,改進(jìn)的基追蹤方法能夠快速穩(wěn)定實(shí)現(xiàn),。同時(shí)具有良好的去噪效果。1 字典的構(gòu)造 對(duì)于觀測(cè)到的離散信號(hào)s
4、H,H為Hilbert空間,給定H中的字典=,其中為指標(biāo)集,為H中的基函數(shù),也稱為原子?;粉櫡椒▽⑿盘?hào)稀疏表示問題定義為以下有結(jié)束的極值問題,即其中,()為表示系數(shù)。如果將字典中的向量表示成矩陣的例,系數(shù)表示成一個(gè)列向量,則(1)式可表示成min|1 subject to s= (2)在含噪觀測(cè)的情況下,考慮如下模型:y=s+z其中s為真實(shí)信號(hào),y為觀測(cè)信號(hào),z為標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲,為噪聲根方差?;粉櫡椒ㄈピ霘w結(jié)為求解以下優(yōu)化問題: 以上最優(yōu)化問題致力于最小化信號(hào)重建誤差,同時(shí)使得信號(hào)的表示最稀疏。正
5、則化參數(shù)控制著允許誤差與稀疏性之間的平衡。 由(3)式可見,基追蹤方法去噪的核心問題涉及到原子的選取、字典的構(gòu)造、求解算法設(shè)計(jì)等三個(gè)方面。其中,字典的構(gòu)造是基追蹤方法的重要環(huán)節(jié)。為了盡可能精確地表示信號(hào),字典與信號(hào)應(yīng)用是自適應(yīng)的,或者說字節(jié)是從信號(hào)的學(xué)習(xí)中得到的。通常,基追蹤方法所使用的字典有完備的、過完備的、欠完備的等??梢愿鶕?jù)信號(hào)的先驗(yàn)信息及實(shí)際需要設(shè)計(jì)字典。一般設(shè)計(jì)的字典是完備或過完備的。對(duì)于簡(jiǎn)單信號(hào)去噪,一般只需要構(gòu)造完備的字典。對(duì)于復(fù)合信號(hào)對(duì)噪問題,通常需要構(gòu)造過完備的字典。對(duì)于完備字典,同
6、樣存在信號(hào)的稀疏表示問題,因?yàn)樵肼暱偸翘幪幤娈惖摹1疚乃捎玫淖值渲饕校海?)Heaviside字典此字典中原子不是正交的,但是對(duì)于任意長(zhǎng)度為n的一維離散信號(hào)s=(s1s2sn)都有以下表示: Heaviside字典具有上三角形式,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,善于捕捉分片常數(shù)信號(hào)中的突變特征。(2)時(shí)間-尺度字典(小波字典)以Haar小波字典為例:你小波基:=l0,1,母小波基:=11/2,1,1-10,1/2Haar小波字典中包含小波基的平移和伸縮變換以及小波基的平移變換。設(shè)=(a,b,v),其中(0,)為尺度變量
7、,b0,n表征位置,v0,1表征性別。Haar小波字典形式為: 包含n個(gè)原子,構(gòu)成一組正交基。當(dāng)然還有其它類型的小波字典,盡管有些小波基沒有類似Haar小波基這樣明確的小波函數(shù)表達(dá)式,但它們的字典都有與Haar小波字典類似的離散結(jié)構(gòu)。比較常用的主要用Daubechies、Coiflet、Symmlet等。小波字典應(yīng)用于表示分片光滑信號(hào)。(3)Heaviside字典+小波字典 對(duì)于比較復(fù)雜的復(fù)合信號(hào),單一的字典
8、下無法得到信號(hào)的最稀疏表示,此時(shí)可將幾種字典合成,從而得到過完備的字典。例如Heaviside字典+小波字典。2 新的求解算法文獻(xiàn)1將(3)式等階于如下二次規(guī)劃問題: 文獻(xiàn)1采用內(nèi)點(diǎn)算法求解以上二次規(guī)劃問題。這種算法收斂性能穩(wěn)定,但由于它是一種大尺度的線性規(guī)劃算法,復(fù)雜度高,所耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間非常長(zhǎng),不便于實(shí)際應(yīng)用,為此,針對(duì)(3)式,采用一種新的迭代算法來求解以上最優(yōu)化問題。 首先,給出l1范數(shù)的平滑近似
9、160; 其中,N為向量z的長(zhǎng)度,為非常小的常數(shù)(>0),本文取=10 -6)。 其中,為迭代步長(zhǎng),0<1,迭代初值可取(0)=HY。迭代的終止條件由控制(本文取cG=10 -3),這樣即可得到優(yōu)化問題的解。在得到表示系數(shù)的估計(jì)后,可由s=得到的重構(gòu)的信號(hào)。3 正則化參數(shù)的選取 在所考慮的噪聲為高斯白噪聲以及對(duì)字典進(jìn)
10、行規(guī)范化(|2=1)的情況下,文獻(xiàn)1中的經(jīng)驗(yàn)值取為,其中,P為字典的勢(shì)。此經(jīng)驗(yàn)值實(shí)際對(duì)應(yīng)于正交基下小波小噪方法的中閾值。因此這種參數(shù)的選取方法依賴于對(duì)信號(hào)中的噪聲方差的精確估計(jì)。而對(duì)噪聲方差的精確估計(jì)通常是比較困難的。因此該經(jīng)驗(yàn)值是一種次優(yōu)值??蓮牧硪粋€(gè)角度來考慮正則化參數(shù)的選取方法。容易證明,在對(duì)字典進(jìn)行正交化后,目標(biāo)函數(shù)具有單峰性質(zhì)(目標(biāo)函數(shù)為函數(shù)),因此可通過最小化目標(biāo)函數(shù),在迭代算法中用線性搜索的方法尋求最優(yōu)。4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 為了驗(yàn)證本方法的去噪效果,將其應(yīng)用于一維信號(hào)去噪實(shí)驗(yàn),并與小波軟、硬閾
11、值去噪方法以及Wiener濾波方法進(jìn)行了比較。設(shè)計(jì)二組一維實(shí)信號(hào),即分片常數(shù)信號(hào)和分片光滑信號(hào)。其中分片光滑信號(hào)“Heavisine”是由下式產(chǎn)生的一種信號(hào): 對(duì)二組信號(hào)附加高斯白噪聲。其中第一組噪聲根方差=0.2,第二組噪聲根方差為=0.5。去噪結(jié)果如圖1和圖2所示。分片常數(shù)信號(hào)實(shí)驗(yàn)中的小波方法所采用的小波基為Haar小波基,分片光滑信號(hào)實(shí)驗(yàn)中的小波方法所采用的小波基為Sym8小波基。依據(jù)信號(hào)的特性,分片常數(shù)信號(hào)實(shí)驗(yàn)中基追蹤方法采用Heaviside完備字典,分片光滑信號(hào)實(shí)驗(yàn)中基追蹤方法采用Heaviside+Sym8小波字典合成的過完備字典。表1對(duì)各種方法的信噪比改善程度進(jìn)行了比較。在配置為奔4 Celeron(1.8G)微機(jī)上運(yùn)動(dòng)未經(jīng)優(yōu)
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