北京西城長安中學(xué)17-18點(diǎn)到平面距離的若干典型求法

1、點(diǎn)到平面距離的若干典型求法目錄1. 引言 12. 預(yù)備知識 13. 求點(diǎn)到平面距離的若干求法 33.1 定義法求點(diǎn)到平面距離 33.2 轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到平面距離 53.3 等體積法求點(diǎn)到平面距離 73.4 利用二面角求點(diǎn)到平面距離 83.5 向量法求點(diǎn)到平面距離 93.6 最值法求點(diǎn)到平面距離 113.7 公式法求點(diǎn)到平面距離 131 .引言求點(diǎn)到平面的距離是高考立體幾何部分必考的熱點(diǎn)題型之一，也是學(xué)生較難準(zhǔn)確把握難 點(diǎn)問題之一。點(diǎn)到平面的距離的求解方法是多種多樣的， 本講將著重介紹了幾何方法（如體 積法，二面角法）、代數(shù)方法（如向量法、公式法）及常用數(shù)學(xué)思維方法（如轉(zhuǎn)化法、最值 法）等角度等七種

2、較為典型的求解方法，以達(dá)到秒殺得分之功效。2.預(yù)備知識（1）正射影的定義：（如圖1所示）從平面外一點(diǎn)P向平面引垂線，垂足為P，則點(diǎn)P叫 做點(diǎn)P在平面上的正射影，簡稱為射影。同時(shí)把線段 PP叫作點(diǎn)P與平面的垂線段。 點(diǎn)到平面距離定義：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面上的正射影的距離叫作這點(diǎn)到這個(gè)平面的距離， 也即點(diǎn)與平面間垂線段的長度。(3) 四面體的體積公式1V Sh3其中V表示四面體體積，S、h分別表示四面體的一個(gè)底面的面積及該底面所對應(yīng)的高。(4) 直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此 平面垂直。(5) 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線

3、的射影垂直，那么它和這條斜線也垂直。(6) 二面角及二面角大小：平面內(nèi)的一條直線I把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。圖2所示為平面與平面1所成的二面角，記作二面角:，其中I為二面角的棱。如圖在棱I上任取一點(diǎn)0，過點(diǎn)0分別在平面及 平面1上作I的垂線0A、0B，則把平面角 AOB叫作二面角:-的平面角，.AOB的 大小稱為二面角:- 一：的大小。在很多時(shí)候?yàn)榱撕啽銛⑹觯舶?AOB稱作與平面1所 成的二面角?？臻g向量內(nèi)積：、，、呻屮代數(shù)定義：設(shè)兩個(gè)向量3=(為，,習(xí))，b=(x2,y

4、2,Z2)，則將兩個(gè)向量對應(yīng)分量的乘積之和 定義為向量a與b的內(nèi)積，記作a|_b，依定義有Ojb =x1x2 y1y2 z1z2幾何定義：在歐幾里得空間中，將向量a與b的內(nèi)積直觀地定義為0_b =| a |b | cos ： a, b .,向量內(nèi)積的這里兇、簡分別表示向量a、b的長度，：a,b.表示兩個(gè)向量之間的夾角。幾何意義為一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量正方向上投影向量模的乘積。當(dāng):&b =90°，即 a_b 時(shí)，0_b =| ；|b | cos ： a,b =| a |b |cos900 = 0。由余弦定理2OQ, C =PQ如圖3所示，設(shè)0、P、| c |2 =|

5、 a |2| b |2 -2 | a | b | cos ： a, bF面說明這兩種定義是等價(jià)的。再設(shè) a=（為，yi,zj， b=（X2,y2,z2），貝U c =（« -冷，y? - 如，互一乙） 從而有(X2 -Xi)2(y2-yj2(Z2-zj2 = x2y；z2X；yfz2-2| a |b |cos ： a,b -即経 丫2 征=| a |b | cos ： a, b這就證得了兩個(gè)定義是等價(jià)的。3求點(diǎn)到平面距離的若干求法3.1定義法求點(diǎn)到平面距離（直接法）定義法求點(diǎn)到平面距離是根據(jù)點(diǎn)到平面的定義直接作出或者尋找出點(diǎn)與平面間的垂線段，進(jìn)而根據(jù)平面幾何的知識計(jì)算垂線段長度而求得

6、點(diǎn)與平面距離的一種常用方法。定義法求點(diǎn)到平面距離的關(guān)鍵在于找出或作出垂線段，而垂線段是由所給點(diǎn)及其在平面射影間線 段，應(yīng)而這種方法往往在很多時(shí)候需要找出或作出點(diǎn)在平面的射影。以下幾條結(jié)論常常作為尋找射影點(diǎn)的依據(jù)：兩平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們交線的 直線垂直于另一個(gè)平面。(2) 如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在該平面內(nèi)的射影在 這個(gè)角的角平分線所在的直線上。(3) 經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線。設(shè)斜線和已知兩邊的夾角為銳角且相等， 則這條斜線在這個(gè)平面的射影是這個(gè)角的角平分線。(4) 若三棱錐的三條棱長相等，則頂點(diǎn)在底

7、面上的射影是底面三角形的外心。例 如圖4所示，所示的正方體ABCD ABC» 棱長為a，求點(diǎn)A到平面AB D的距離。(注: 本文所有解法均使用本例)圖4解法一(定義法):如圖5所示，連結(jié)交BD 于點(diǎn)E，再連結(jié)AE，過點(diǎn)A作A H垂直于AE，垂足為H，下面證明 AH 平面AB D。AB圖5v AA 平面 A B C DBD _ AA又：在正方形ABC D 中，對角線BD_AC ，且AAflAC'A'AA 平面AAE, AC 平面AAE.由線面垂直的判定定理知道 B D 平面AAEv AH 平面AA EAH _ BD又由AH的作法知道AH _ AE，且有BD"

8、AE = E ,B D 平面ABD , AE 平面ABD.由線面垂直的判定定理知道 AH_平面ABD根據(jù)點(diǎn)到平面距離定義，A H的長度即為點(diǎn)A到平面AB D的距離，下面求AH的長度.AB D 中，容易得到AB'BDA =、.2a，從而.AB D為正三角形，.ABD = 6O0。進(jìn)而在 Rt AB E 中，AE = AB sin . AB D =2asin 6O01 1由 s aaE AA AE AE A H 得到aV21aa*a"e aaacAEAH 二 AA 2 AE3從而A到平面ABD '的距離為一 a。33.2轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到平面距離或者由直接法作出的射影有時(shí)候限于

9、幾何體的形狀，不易直接尋找出點(diǎn)在平面的射影, 線段在所給幾何體中不易計(jì)算其長度，此時(shí)轉(zhuǎn)化法不失為一種有效的方法。轉(zhuǎn)化法即是將點(diǎn) 到平面的距離轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面間的距離的方法。轉(zhuǎn)化法依據(jù)主要有以下兩點(diǎn):(1)若直線I /平面，則直線I上所有點(diǎn)到平面的距離均相等。 若直線AB與平面交于點(diǎn)M，則點(diǎn)A、B到平面的距離之比為AM : BM。特別地， 當(dāng)M為AB中點(diǎn)時(shí)，A、B到平面的距離相等。下面用轉(zhuǎn)化法重解上面例題解法二(轉(zhuǎn)化法)如圖6所示，連結(jié)AC、AC、AC、AB、AB，AC交BD于點(diǎn)E，連結(jié)AE交AC 于點(diǎn)H，延長A C至點(diǎn)G使得C G = 1 A C ，連結(jié)CG 。2DfAB圖6v CB _ 平

10、面 AAB B從而斜線AC在平面AABB的射影為ABv AB、AB 為正方形AABB對角線.AB _AB ,.由三垂線定理知道AB： AC同理可以得到AD 1AC又；AB "AD j，AB 平面 ABD，AD 平面 ABDA C _平面AB D AH _平面ABD，即點(diǎn)H為A在平面AB D的射影，AH的長度為所求11v AC/AC 即 AC/EG，且 EG =EC C G AC A C" = A C" = AC2 2四邊形ACGE為平行四邊形AE/CG在ACG由等比性質(zhì)有AH AE 1AC EG 3AH =-AC3而在正方體 ABCD -A BCD沖對角線AC A

11、 A2 AB2 BC2二.3a3在本例中，未直接計(jì)算垂線段 AH的長度，而是找出了其與正方體 ABCD-ABCD，中 對角線A C的數(shù)量關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為求正方體 ABCD -ABCD，對角線A C長度，而AC長度是極易計(jì)算的，故用這種轉(zhuǎn)化方法降低了運(yùn)算量。本例運(yùn)用的轉(zhuǎn)化方法與依據(jù)(2)類似，都是尋求所要求的垂線段與某一已知或易求線段的數(shù)量關(guān)系，從而簡化計(jì)算。3.3等體積法求點(diǎn)到平面距離用等體積法求點(diǎn)到平面的距離主要是一個(gè)轉(zhuǎn)換的思想，即要將所要求的垂線段置于一 個(gè)四面體中，其中四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為所給點(diǎn)，另外三點(diǎn)位于所給點(diǎn)射影平面上，這里不 妨將射影平面上的三點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為底面三角形。先用簡單

12、的方法求出四面體的體積， 然后計(jì)算出底面三角形的面積，再根據(jù)四面體體積公式v=2sh求出點(diǎn)到平面的距離h。在3常規(guī)方法不能輕松獲得結(jié)果的情況下，如果能用到等體積法，則可以很大程度上提高解題效 率，達(dá)到事半功倍的效果。特別是遇到四面體的有一條棱垂直于其所相對的底面時(shí)，首選此方法。下面用等體積法求解上面例子.解法三(等體積法)：如圖7所示，作A H垂直于平面AB D 于點(diǎn)H，則AB D長度為所 求。對于四面體AABD ，易見底面ABD 的高為AH，底面ABD 的高為AA。對四面體 AABD 的體積而言有：Va »BD - Va<ab D '11即有：AA S aBd A H

13、 S abd 3 3也即：AH=AA SABDs心b D '由AB'BDA，從而 ABD 為正三角形，.AB D丄60°，進(jìn)而可求得Sabd =1aB AD sin ABD W（ 2a）2sin60° 二于a2又易計(jì)算得到Rt AB D 的面積為S .ABDa2所以 AH =AA s abdS AB1 2 _a a2丄3我們在使用等體積法求點(diǎn)到平面距離時(shí)使用的點(diǎn)與平面間的垂線段只是概念上的,不一定要知道點(diǎn)在平面射影的具體位置，從而也就不需要使用幾何方法尋找或者求作垂線 段，垂線段的長度在這種方法上只是作為幾何體高的意義而存在的。3.4利用二面角求點(diǎn)到平面距離

14、如圖8所示，I為二面角-1 - '的的棱，.AOB為二面角-1 - 1的一個(gè)平面角。下0A _ I、OB _ I又；0A“0B =0I -平面A0B又t BH 平面A0BBH _1又；BH _0A，0Ani=0，0A 二平面：，I-平面： BH _平面:-在RVQBH中，有BH =0Bsin B0H 這個(gè)公式就建立點(diǎn)到平面距離與二面角的一個(gè)數(shù)量關(guān)系。 從而如果能將點(diǎn)與平面置于一個(gè)二 面角中，則可利用通過所給點(diǎn)關(guān)于平面的一條斜線及二面角計(jì)算點(diǎn)與平面間的距離。下面利用二面角法求解上面例子。解法四（二面角法）：如圖9所示，連結(jié)A B、AB，A B與AB相交于點(diǎn)0 ,連結(jié)D Ov AB與AB

15、為正方形ABB A的對角線二AB丄ABH （即AO丄AB 0為ABH中點(diǎn)又 v ABD 中 AD '： = BDD 0 _ AB-AOD 為二面角A -AB -D 的平面角設(shè)A到平面AB D的距離為d，0A是過點(diǎn)A的關(guān)于平面AB D的一條斜線，又上面 得到的公式有d =OAsin AOD易見，DA 平面ABBA，從而DAlOA.在Rt AOD 中有tan NA "OD ' =-AD = f = 42oa42a2從而點(diǎn)A到平面ABD 的距離為d = OA sin _AOD 'asin（arctan、2）=3.5向量法求點(diǎn)到平面的距離向量法求點(diǎn)到平面的距離主要是依

16、據(jù)如下結(jié)論：點(diǎn)到平面的距離等于這個(gè)與平面上任 一點(diǎn)所連接的向量與該平面法向量方向上的單位向量數(shù)量積的絕對值。證明：如圖10所示，P為平面：外一點(diǎn)，Q為平面上任意一點(diǎn)，P0 平面于點(diǎn)0,n為平面：.的單位法向量PQn斗 pqn cos <：PQ,n >=iPQicos <Q, n >"pQ_n.|PO|=| PQfcos. QPO =|PO 冃 PQn |這個(gè)公式將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為了過所給點(diǎn)的任意斜線上的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別在所給 點(diǎn)及所給平面上一點(diǎn)的向量與平面法單位法向量的內(nèi)積。F面用向量法從新求解上面例子解法五(向量法)如圖11所示以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA，DC，D

17、D所在的正方向分別x, y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系圖11由所給條件知道坐標(biāo)點(diǎn) A(a,0,0)、A(a,0,a)，B (a,a,a)，D (0,0, a)，從而有 AB(0,a,a)，AD(-a,0,a)，AA：(0,0, a)。設(shè)平面ABD的任意一個(gè)法向量為n0=(x,y,z),則有n0 _ AB，n0 _ AD ,即代入已知得到ay az = 0-ax az = 0這是一個(gè)關(guān)于x, y, z的不定方程，為了方便起見，不妨設(shè) z=1，這樣上式變?yōu)閍y a = 0-ax a = 0解該式得到x =1,y - 一1這樣就得到平面ABD 的一個(gè)法向量為，將其單位化得到平面 AB D的一4個(gè)

18、單位法向量為；二！，_）。設(shè)點(diǎn)A到平面ABD的距離為d，結(jié)合式所給 m | V3 V3 V3出的結(jié)論有d =| 人人£|=|010a -t |3V3v3v3 3即點(diǎn)A到平面ABD的距離為山。3用向量法求解點(diǎn)到平面的距離比之前面提供的幾種幾何方法而言，這種方法不需要大量的幾何證明，而主要是較為機(jī)械地進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。因而在實(shí)際使用這種方法時(shí)，第一步建立 空間直角坐標(biāo)系常常成為最為關(guān)鍵的步驟，如果所建立的坐標(biāo)系不能確定所給幾何圖形中關(guān) 鍵點(diǎn)（所給平面外點(diǎn)及所給平面上不共線的任意三個(gè)點(diǎn)）在建立的坐標(biāo)系的坐標(biāo)，則無法進(jìn) 行后續(xù)步驟；如果所建立的坐標(biāo)系雖然能夠表示的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，但在所建立的坐標(biāo)系

19、中得 到關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算過程復(fù)雜，或者得到的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式復(fù)雜， 都將會導(dǎo)致繁瑣的的計(jì) 算。因此，選擇恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系對于使用本方法及簡化計(jì)算都是相當(dāng)重要的。3.6利用最值求點(diǎn)到平面距離在介紹最值法之前，先介紹一個(gè)簡單的知識，即點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)與平面上任意點(diǎn)連 線的最小值。以下對這點(diǎn)做簡要說明。如圖12所示，平面外一點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)P , Q為平面上任意一點(diǎn)若Q不與P重合，則PQ = 0 , PPQ構(gòu)成三角形。因PP1平面:,P Q 平面PPI PQ ,三角形PPQ為直角三角形，從而由勾股定理有PQ PP2 PQ2 PP這樣就證得了結(jié)論有了上面這個(gè)結(jié)論，那么只要找到平面外一點(diǎn)到平面上任

20、意一點(diǎn)的距離的函數(shù)表示，再求出該函數(shù)的最小值，則由上面結(jié)論即可知該最小值即為點(diǎn)到平面的距離。一般構(gòu)造函數(shù)沒有確定的方法，不同的角度構(gòu)造出的函數(shù)表示很可能是不一樣的， 不過這并不影響最終結(jié)果。 下面用常用的向量構(gòu)造方法構(gòu)造函數(shù)求解上面例子中點(diǎn)到平面的距離.解法六(最值法)如圖13所示，E為平面ABD上任意一點(diǎn)，以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA，DC， -HDD所在的正方向分別x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。圖13由所給條件知道A(a,0,0)、A(a,0,a)，B(a,a, a)，D (0,0, a)從而有 AB =(0,a,a)AD 十a(chǎn),0, a)，AA = (0,0,設(shè)點(diǎn)E在所建立的坐標(biāo)系下的坐

21、標(biāo)為E(x,y,z)，因E在平面ABD 上，從而向量AE =（x -a, y,z）可由相交向量AB、AD 線性表示,不妨設(shè)AE二 AB AD則因此AE = AA AE 二 AB AD（a ）2 （a，aa）2二 a. 2-2 22 2- 2 ' -211 2 , 1 2 1, ,1 1f2（ ' 一3）2（一 3）2（ W）3-3a1（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）33R從而A到平面ABD 上點(diǎn)的距離最小值為 a，也即點(diǎn)A到平面AB D的距離為 a。33最值方法提供了求解點(diǎn)到平面距離的一種較為新穎的方法，同時(shí)這種方法是建立在對點(diǎn)到平面距離的深入理解的基礎(chǔ)上的，也有助于加深理解點(diǎn)到平面距離的

22、概念。不過這種方 法對使用者的代數(shù)知識素養(yǎng)要求較高，要將幾何圖形中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，構(gòu)造 出平面外點(diǎn)到平面上點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系，而且對函數(shù)最值的求法也需要較高的變形技巧，否則 即使構(gòu)造出平面外點(diǎn)到平面上點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系也難求出函數(shù)最值，故一般這種方法對水平較 高的讀者比較適用。3.7利用點(diǎn)到平面的距離公式求點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離公式主要是利用解析幾何的知識，將所給點(diǎn)及平面均給予代數(shù)表式，從 而用代數(shù)方法得到的點(diǎn)與平面距離的統(tǒng)一的代數(shù)表示。 點(diǎn)到平面的距離公式的推導(dǎo)方法有相 當(dāng)多，如直接用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)、利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何性質(zhì)推導(dǎo)、 利用球的 切平面性質(zhì)推導(dǎo)、利用極值法推導(dǎo)等等

23、。公式法的實(shí)質(zhì)是幾何量代數(shù)化的結(jié)果，因此絕大多 數(shù)求解點(diǎn)到平面距離的幾何方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言都可以得到一般意義上的點(diǎn)到平面的距離 公式。限于本文篇幅，就不對這些方法一一介紹了，下面僅從利用兩點(diǎn)間距離公式的角度給 出點(diǎn)到平面的距離公式一種推導(dǎo)。如圖14所示，平面外一點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)P在某空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)平面 :的代數(shù)方程為：Ax By Cz 0P(xo, yo,zo)0將平面的方程改寫為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為A(x -X。) B(y y°) C(z - Zo) = -(Ax。 By。 Cz° D)又由PP _平面及直線PP過點(diǎn)P(x), y0,z0)知道直線PP的方程為X - Xoy - yo Z - ZoF面不妨設(shè)x 一 x°y - y°4=t將代入中得到 Ax. Byo Czo D2 2 2ABC顯然P 的坐標(biāo)P (x, y, z)在直線PP 上，從而滿足，即有x -x0 = AtA(AXo By。Czo D)A2 B2 C2y 一 yo = BtB(Axo Byo Czo D)A2 B2 C2C(Ax。 Byo Czo D)A2 B2 C2進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式d =|PP F .,(x-xo)2 (y-y。)2 (y-y。)2(A2 B2 C2)(Axo Byo Cz° D)2(A2 B2 C2)2| Axo By。Cz