排列組合習(xí)題含詳細(xì)答案

1、至少一個，有多少種分配方案?圓夢教育中心答案36排列組合專項訓(xùn)練1 .題1 （方法對比，二星）題面：（1）有5個插班生要分配給3所學(xué) 校，每校至少分到一個，有多少種不同的 分配方法？（2）有5個數(shù)學(xué)競賽名額要分配給3所學(xué) 校，每校至少分到一個名額，有多少種不 同的名額分配方法？解析：“名額無差別”一一相同元素問題（法1）每所學(xué)校各分一個名額后，還有 2個名額待分配，可將名額分給 2所學(xué)校、 1所學(xué)校，共兩類：C2 C3（種）（法2擋板法）相鄰名額間共4個空隙，插入2個擋板，共：C42 6（種）注意：“擋板法”可用于解決待分配的元 素?zé)o差別，且每個位置至少分配一個元素 的問題.（位置有差別，元素

2、無差別） 同類題一題面：有10個運動員名額，分給7個班，每班 詳解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個 空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分 成7份，對應(yīng)地分給7個班級，每一種插 板方法對應(yīng)一種分法共有C；種分法。 同類題二 題面：求方程X+Y+Z=10勺正整數(shù)解的個數(shù)。答案：36.詳解：將10個球排成一排，球與球之間形成 9個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規(guī)定由隔板分成的左、中、右三部分的球數(shù)分別為 x、V、z之值，故解的個數(shù)為C92=36 （個）。2.題2 （插空法，三星）題面：某展室有9個展臺，現(xiàn)有3件展品 需要展出，要求每件

3、展品獨自占用1個展 臺，并且3件展品所選用的展臺既不在兩 端又不相鄰，則不同的展出方法有 種；如果進(jìn)一步要求3件展品所選用的展 臺之間間隔不超過兩個展位，則不同的展 出方法有種.答案：60, 48同類題一題面：6男4女站成一排，任何2名女生都不相 鄰有多少種排法？答案:A a7種.詳解：任彳2名女生都不相鄰，則把女 生插空，所以先排男生再讓女生插到男生 的空中，共有A6 6種不同排法.同類題二題面：有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則 恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有（）A. 36 種 B. 48 種 C. 72種 D. 96種答案：C.詳解：恰有兩個空座位相鄰，相當(dāng)于兩個 空位與第三個空位不相

4、鄰，先排三個人， 然后插空，從而共A 3A 4 =72種排法，故 選C.3 .題3 （插空法，三星）題面：5個男生到一排12個座位上就座， 兩個之間至少隔一個空位.1沒有坐人的7個位子先擺好，2（法1插空）每個男生占一個位子，插入7個位子所成的8個空當(dāng)中，有：篦=6720種排法.（法2）15個男生先排好：a5;2每個男生加上相鄰的一個座位，共去掉9個位置，當(dāng)作5個排好的元素，共有6個空，剩下的3個元素往里插空，每個空可以插1個、2個、3個元素，共有：C； 2C62 C6 種，綜上：有 A55（C3 2C2 C6 ）=6720 種.同類題一題面：文藝團(tuán)體下基層宣傳演出，準(zhǔn)備的 節(jié)目表中原有4個歌

5、舞節(jié)目，如果保持這 些節(jié)目的相對順序不變，擬再添兩個小品節(jié)目，則不同的排列方法有多少種？答案：30。詳解：記兩個小品節(jié)目分別為 A B。先排A節(jié)目。根據(jù)A節(jié)目前后的歌舞節(jié)目數(shù)目考慮方法數(shù)，相當(dāng)于把4個球分成兩堆， 有乙種方法。這一步完成后就有5個節(jié)目了。再考慮需加入的B節(jié)目前后的節(jié)目數(shù)，同 理知有心種方法。故由分步計數(shù) 原理知，方法共有可，心=%(種)。同類題二題面：(2013年開封模擬)2位男生和3位女生共5 位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同 排法的種數(shù)是()A. 60B. 48C. 42D. 36答案：B.詳解：第一步選2女相鄰排列C2 A2,第二

6、 步與男一女排列AL第三步男生甲插在中 間，1種插法，第四步男一男生插空C4, 故有C2 A2 A2 C=48種不同排法.4 .題4 (隔板法變形，三星)題面：15個西回的球，按下列要求放入4 個寫上了 1、2、3、4編號的盒子，各有 多少種不同的放法？(1)將15個球放入盒子內(nèi)，使得每個盒子都不空；C； 364(2)將15個球放入盒子內(nèi)，每個盒子的球 數(shù)不小于盒子的編號數(shù)；(3)將15個球放入盒子內(nèi)，每個盒子不必 非空；(4)任取5個球，寫上1-5編號，再放入 盒內(nèi)，使每個盒子都至少有一個球；任取10個球，寫上1-10編號，奇數(shù) 編號的球放入奇數(shù)編號的盒子，偶數(shù)編號 的球放入偶數(shù)編號的盒子.

7、解析：(2)先將2、3、4號盒子分別放入1、2、3 個球，剩下的9個球用擋板法，C3=56(3)借來4個球，轉(zhuǎn)化為19個球放入盒子 內(nèi)，每個盒子非空，C138 816(4)不能用“擋板法”，因為元素有差別.(法1)必有一個盒子有2個球，C2 A4 240 ;(法2)先選3個球，分別排到4個盒子中 的3個里，剩下的盒子自然放2個球.C53 A 240 ;（法3）a4c4 480,會重！需要除2!重復(fù)原因：1號盒子放1、5號球，先放1 后放5與先放5、后放1是一樣的！（5）（法1）每個球都有2種選擇，共有210種 方法；（法2）奇數(shù)號的球有1、3、5、7、9,共5 個，可以在1、3號兩個盒子中選一

8、個放 入，共有：C5 C54 C； C52 C5 C；25 種放法，同理放偶數(shù)號的球也有25種方法，綜上共 有210種方法.同類題一 題面：某車隊有7輛車，現(xiàn)要調(diào)出4輛按一定順 序出去執(zhí)行任務(wù).要求甲、乙兩車必須參 加，且甲車要先于乙車開出有種不同的調(diào)度方法（填數(shù)字）.答案：120.詳解：先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有C5種 選法，連同甲、乙共4輛車，排列在一起， 先從4個位置中選兩個位置安排甲、乙， 甲在乙前共有C4種，最后，安排其他兩輛車共有A2種方法，故不同的調(diào)度方法為C5 C4 A2=120 種.同類題二題面：我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架艦載機(jī)準(zhǔn)備著艦，

9、如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁兩 機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方 法有（）A. 12B. 18C. 24答案：C.詳解：分三步：把甲、乙捆綁為一個元素A, 有A2種方法；A與戊機(jī)形成三個“空”，把丙、丁兩機(jī)插入空中有A32種方法；考慮A與戊 機(jī)的排法有A2種方法.由乘法原理可知共 有A2A32A2 24種不同的著艦方法.故應(yīng)選 C.5 .題5（相同與不同，三星）題面：某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的 集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋 友每位朋友1本，則不同的贈送方法共有 （）A. 4 種 B .10 種 C .18 種 D .20 種 同類題一 題面：(2013北京高考)將序號分別為

10、 1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每 人至少1張，如果分給同一人的2張參觀 券連號，那么不同的分法種數(shù)是答案：96.詳解：按照要求要把序號分別為1,2,3,4,5的 5張參觀券分成4組，然后再分配給4人， 連號的，卜青況是1和2,2和3,3和4,4和5, 故其方法數(shù)是4A4= 96.同類題二題面：3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排， 若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是( )A.360B. 288C. 216D. 96答案：288種.詳解：分析排列組合的問題第一要遵循特殊元素優(yōu)先考慮的原則，先考慮女生的問 題，先從3個女生中選兩位，有C2種方法，

11、然后再考慮順序，即先選后排，有A2種方 法；這樣選出兩名女生后，再考慮男生的 問題，先把三個男生任意排列，有 A2中不 同的排法，然后把兩個女生看成一個整體，和另 一個女生看成兩個元素插入4個位置中。 有A2種不同的排法，共有A2C2A3A2種不 同的排法。然后再考慮把男生甲站兩端的 情況排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有C2 種不同的方法，然后其他兩個男生排列有 A2種排法，最后把女生在剩余的三個位置 中排列，有浦種不同的排法。共A2 C2 c2 A2 A2種不同的排法， 故總的排法 為 A2 c2 A3 A2 A2 C； C2 A2 A2=288 種不同 的方法。.題6(組合數(shù)的性質(zhì)，

12、二星)題面：5個男生3個女生，分別滿足下列 條件，各有多少種方法？(1)選出3人參加A活動； 選出5人參加B活動；(3)選出4人參加一項活動，女生甲必須參加；(4)選出4人參加一項活動，女生甲不能參加.答案：同類題一題面：從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有 ()A. 70 種 B. 80 種C. 100 種 D. 140 種答案：A.詳解：分為2男1女，和1男2女兩大類，共有c5 c4 c5 C2=70 種同類題二題面：男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動

13、員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)隊長中至少有1人參加；(4)既要有隊長，又要有女運動員.答案：(1) 120種(2) 246 種.詳解：(1)第一步：選3名男運動員，有C6種 選法.第二步：選2名女運動員，有C4種選法.共有C6 C4 =120種選法.(2)至少1名女運動員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1 男.由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為C4 c6+C2 c6+C34C2+C4 c6=246 種.題7 (選和排，二星)題面：從4名男生和3名女生中選出3人, 分別從事三項不同的工作，若這 3人中有 且只有1名女生，則選派方案共有多少 種？法一：先選

14、后排，C3C42A31 12法二：邊選邊排，（C3A3） A4 同類題一 題面：將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每 所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案 共有（）A. 12 種B. 24 種 C. 36 種D. 48 種答案：C. 詳解：先分組再排列：將4名教師分成3組 有C4種分法，再將這三組分配到三所學(xué)校 有A3種分法，由分步乘法計數(shù)原理，知一 共有C2 A3= 36種不同分配方案. 同類題二 題面：甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階 上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階 上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種 數(shù)是（）A. 258 B. 306 C. 336 D.296答案：C.詳解：根據(jù)題意

15、，每級臺階最多站2人，所 以，分兩類：第一類，有2人站在同一級 臺階，共有C2A7種不同的站法；第二類，一級臺階站1人，共有A3種不同的站法.根 據(jù)分類加法計數(shù)原理，得共有C2A2 + A7= 336（種）不同的站法.3.題一（合理分類，二星）題面：若從1, 2, 3,，9這9個整數(shù) 中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則 不同的取法共有（）A. 60種 B. 63種 C. 65種 D. 66 種同類題一題面：只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī) 定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不 能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）A. 6個B. 9 個 C. 18個 D. 36個答案：C.詳解：注意題中條件

16、的要求，一是三個數(shù)字必須 全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選 四個數(shù)字共有C1=3（種）選法，即 1231,1232,1233,而每種選擇有 A2>C3= 6（種）排法,所以共有3X6 =18（種）情況, 即這樣的四位數(shù)有18個.同類題二 題面：由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字 且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù) 是（）A. 72B. 96 C. 108D. 144答案：C.詳解：分兩類：若1與3相鄰,有A2 c3A2A2 =72（個），若1與3不相鄰有A3 A3=36（個）故共有72 + 36 = 108個.題8題面：5個男生3個女生，分別滿足下列條件，各有多少種方法？（1

17、）選出4人參加一項活動，女生甲必須參加；（2）選3人參加數(shù)學(xué)競賽，至少有一名男生.（法1）分類：1名、2名、3名男生：c5c32 C沁 C5355;（法 2）間接法C3 C3 C3 1 55.（法3）1先取1名男生；2再在剩下的7 人中取 3 人；c5c； 5 7-6 105?2同類題一題面：將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，則不同分 法的種數(shù)為答案：C.詳解：用間接法解答：四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分 在一個班白種數(shù)是C：,順序有A3種，而甲 乙被分在同一個班的有A3種，所以種數(shù)是 c海 A 30同類題二題面：甲、乙兩人從4門課程中

18、各選修2門，則 甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的 選法共有（ ）A. 6 B. 12 C. 30D. 36答案：C.詳解：可以先讓甲、乙任意選擇兩門，有c2 C42種 選擇方法，然后再把兩個人全不相同的情 況去掉，兩個人全不相同，可以讓甲選兩 門有C42種選法，然后乙從剩余的兩門選， 有C2種不同的選法，全不相同的選法是c：c；種方法，所以至少有一門不相同的選 法為C2 ciC：C；=30種不同的選法。題9 （組合數(shù)性質(zhì)，三星）某班分成五個小 組，分別有5,6,7,8,9名同學(xué)，現(xiàn)從該班 挑選2名同學(xué)參加比賽，且這兩名同學(xué)必 須來自同一小組，共有多少種不同的方 案？同類題一題面：將甲、乙、

19、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同 的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、 乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，則不同分 法的總數(shù)為（）A. 18 B. 24 C. 30D. 30答案：C.詳解：將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分成三組，則 共有C：種不同的分法，然后三組進(jìn)行全排 列共"種不同的方法；然后再把甲、乙分 到一個班的情況排除掉，共A3種不同的排 法。所以總的排法為C2A3 A3=30種不同的 排法。同類題二 題面：將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班 實習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同 的分配方案有（A） 30 種（B） 90種（C）180 種（D） 270 種答案：B.詳解：將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班 實習(xí)，每班至少1名，最多2名，則將5 名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有CU： 15種方法，再將3組分到A23個班，共有15 A3 90種不同的分配方案，選B.題10 （組合的識別，四星）題面：（1） “漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比它 左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如1458）,則四位“漸升數(shù)”共有多少個？（2）5個男生3個女生排成一排，自左至右， 男、女生分別都從高到矮排（任意兩人身高不同），有多少種不同排法？（法1）8個位置中選5個排男生，剩下3 個位置排女生，C5 C；,注意：男生位置選定以后，女生順序一定, 只對應(yīng)一種排法.（法2除序)焉Ct(3)3,3,3,4,