二項式定理知識點及跟蹤典型例題

1、二項式定理知識點及典例跟蹤練習(xí)（含答案）重點，難點解析1.熟練掌握二項式定理和通項公式，掌握楊輝三角的結(jié)構(gòu)規(guī)律二項式定理：5-3+?！边?即婚+W+c；火NE加，C；叫二項式系數(shù)（0Wrwn）.通項用Tr+1表示，為展開式的第r+1項，且Q1=,注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)另J.2.掌握二項式系數(shù)的兩條性質(zhì)和幾個常用的組合恒等式戶。_戶飛戶1_尸jf-1戶M對稱性：，：一；.，：1增減性和最大值：一一二先增后減.n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大，為；n為奇（-1料1數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大，為=2”】例題分析:一、與通項有關(guān)的一些問題例1.在（2十卷）的展開式中，指出1）第4項

2、的二項式系數(shù)2）第4項的系數(shù)3）求常數(shù)項解(7x+例2.若納的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項（IxI+;一2了例3.1）求I芥I的常數(shù)項；2）求（x2+3x+2）5的展開式中x的系數(shù).解：例4.(a+b+c)10的展開式中，含a5b3c2的系數(shù)為例5.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)100的展開式中x3的系數(shù)為,二、有關(guān)二項式系數(shù)c；的問題.例6.(2x+xlgx)8的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為1120,則x=尸例7.J兀的展開式中系數(shù)最大的項為第項.三、賦值法1)求a。，2)求a1+a2+a3+a4+a53)求(a0+a2+a4)2-(a1+a3

3、+a5)24)求a+a3+a55)|a0|+|a1|+|a5|例8.已知(1-=%+旬7+的/+%/例9已知Q+x)+Q+到+Q+才+(1+工)沌+5把工，其中bo+b1+b2+bn=62,則n=四、逆用公式例11.求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1例12.求值：3五、應(yīng)用問題例13.求證：32n+2-8n-9能被64整除.例14.9192除以100的余數(shù)為例10.求（2+份的展開式中有理項系數(shù)的和+2小例15.求0.9983的近似值（精確到0.001）1:展開式的通項產(chǎn)為展開式中的第r+1項.二項式系數(shù)為窗=2；2）由1）知項的系數(shù)為T丁=16；3)令6-

4、3r=0,.r=2,二.常數(shù)項為G?=2402.分析:通表i;如c。c1心（前三項的系數(shù)為*2,2,且成等差，1。-T)=,-9+8=0,即一14-r-C；(-)rx4(0rC2C；2,C；+12解得：3因而第8項系數(shù)最大.2)3)可以把(1-2x)5用二項式定理展開求解(1-0)5=a0,a0=1.令x=1,貝U(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5令x=1,得a0+a1+a2+因而,(a0+a2+a4)2-(ai+a3+a5)+a5=-1(*)2.從另一個角度看，ao為x=0時右式的結(jié)果，因而令x=0,3ao=1,-ai+a2+a3+a4+a5-2.令x=-1,得35=ao-ai

5、+a2-a3+a4-a5(*)=(口0+%+的+價)&+%-%)=lx35=-243.4)聯(lián)立(*),(*)兩方程，解得ai+a3+a5=-122.55.因而|a0|+|a1|+|a5|即為(1+2x)的展開式的所有系數(shù)和,|a0|+|a1|+|a5|=(1+2)5=35=243.小結(jié)：求展開式的系數(shù)和只需令x=1可解；賦值法也需合情合理的轉(zhuǎn)化人nr2+22+23+9.分析：令x=1,則L十心十由已知，2n+1-2=62,2n+1=64,+2=年+瓦+k+與10.分析：研究其通項顯然當(dāng)r=2k（kCZ）時為有理項.因而它的有理項系數(shù)和即為（2+t）n的奇數(shù)項的系數(shù)和.設(shè)(2+t)n=a

6、+a1t+a2t2+antn令t=1,即3n=a0+a1+a2+即1=a0-a1+a2-+(-1)an+an令t=-i,臉+，0y=4082925(1+X)32-(1+X)5*_(1+X)101-(1+X)3要求X3項只要求分子的X4項，因而它的系數(shù)為6.分析：二項式系數(shù)最大的為第5項,4=4(2以a為4=1120二1解得:x=1或10.7.分析：展開式中項的系數(shù)不同于二項式系數(shù)，只能用數(shù)列的分析方法設(shè)第r+1項的系數(shù)最大，（法二） 不妨先化簡多項式， 由等比數(shù)列求和公式：原式=1一。 +工）3*+1上兩式相加，解得奇數(shù)項系數(shù)和_.11解：S=C：a-l）4+C；（廣暝+C；GTy+C：（Ll

7、）+C；=Q-D+ir=/-(C?-2：L+2a+CJ2s+12 .原式=21111-1=G2+C；2，C；2、+C；2,7=洲+2)=亍乙乙乙,13.證明：3舞-8-9=產(chǎn)-8-9=(8+1/-8”9=髀+41+*8修+霽慟+48+窗-的-9=可789+C；+g+優(yōu)咨+8(+1)+1-&7-9=以濟+以/，+婚能被64整除.14.分析:9192=(90+1)92=Cj,90w+490久+嘯907%90+%二(490公+490?！?902)+92x90+1二9049091+啰902)+8281.被9192100除的余數(shù)為81.15 .小結(jié)：若將9192整理成(100-9)92=C10(

8、f2+/10叩(一9)】+黨104一鏟+第100(-9產(chǎn)+第(一9產(chǎn)=Cl城+410記(-9)1+,+*0g9)+9*=10%+/隨之而來又引出一新問題，即992被100除的余數(shù)是多少，所以運算量較大.16.解S99(W0Q瞑=l-3x0.002+3x0.0023-41-3乂0002=0.994+C；2m選擇題1 .（a+b+i）10的展開式中含ab的項的系數(shù)是（1B、品C2品2 .在（1-xi）（1+x）10的展開式中，x）的系數(shù)是（）AA-297,B、-252C、297D2073 .如果展開式（1+x）2（1-x+x2）k中，x3的系數(shù)是0,那么自然數(shù)k的值是（）ccrcA2B3C、4D.

9、5o+4廣4.若工展開式中第6項系數(shù)最大，則不含x的項是（）AA2100B、120C、4610D、416（您x-&如5 .在V2的展開式中，系數(shù)是有理數(shù)的項共有（）項rrrrA4B、5C、6D76 .f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10的展開式中各項系數(shù)之和等于()AA211-2B、211-11C211D211+1答案與解析答案：1.C2.D3.C4.A5.A6.A解析:1 .答案：C.解法:&=m+曠，,s，含ab的項為r=8的項，即第9項，系數(shù)為端2”=2C；.2 .答案D.3 .答案：C解法：(1+x)2-(1-x+x2)k=(1+2x+x2)

10、1+(x2-x)k,其中x2系數(shù)必與1+(x2-x)卜中x。，XI,x2系數(shù)有關(guān).又(i-x+x2)k的通項是：7,+1。七(工一1)即有1-上+C；=3,k2-3k-4=0k1=4,k2=-1(舍).4 .答案：A解法：n=10,x3(10-x)-x-2r=1,r=64+11121。為不含x的項.T2 2r+lr+l5 .答案：A解法：6.答案：A.解法：取x=1,/(x)=2+2a+23+-+2w如 T 二-2*12口為有理數(shù)，即4015r6為整數(shù)，則r為2,8,14,20,故有4項.，故X0的系數(shù)為5,x的系數(shù)為2-11.在S-Jyw展開式中常數(shù)項是（）.A.28B.-7C,7D.282

11、.（小包七-1），展開式中 d 的系數(shù)為（A.-40B.10C.40D.45律3全國,理，文）3.在（1-/）（1+工產(chǎn)的展開式中,口的系數(shù)是（）.A.-297B.-252C.297D.207195全國現(xiàn)JU4.在（9+3/+2）$的展開式中了的系數(shù)為（）.A.60B,240C.360D.800”工全國，里5.由十/2）牌展開所得的工的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有（）.A.50項B.17項C16項D.15（93全國理文）6 .（1一1）按的降界排列系數(shù)最大的孽是）.A.第四項和第五項B.第五項C.第五項和第六項D.第六項193上加7,若（21+/3-=%+勾T+u力/+叱1*則（供+4-Q+%

12、）*的值為（）.A*-1B.1C.0D.2ta文）8若（27+/T）=A,+討產(chǎn)+牝則（4+即+0,）*出+可尸的值為f）.A.1B.7COD,2（加全國答案：I.答案：選 C 本小孩考查二項式定理的概念及應(yīng)用.（MlMlTr4i=GvJ=G77 （一F 工一葉令 8-8-，-5=0.-5=0.孵得，=6=6. .丁產(chǎn)。,）（）（-1-1 尸=7.7.故選 C.JC.J2 22 注：選 D.D.本小修考玄二項式定理.KJKJ（/T+lVCr-lP=（丁+4 4丁+山+ +I I10/-10/-1010，+51+51I I）由多事式索法知工的系敷是 I I （-10-10）+6+6 10+10+

13、1 1* *（- -5 5）= =4545.故選 D.D.說明本總總度系數(shù)是。 ,5656.通過率較低看來僵多考生處理方法不 M.M.用二*式定理屋開，再作家法是最基本的作法.不要特別技巧，印是量蜉.最可嘉的作法.3,答法必本小 U U 考森二事式定是的有關(guān)知識.【H H】欲求（I I-，）（1+1+工嚴的展升式中 V V 的系數(shù)，只甯求出（1+1+工廠展開式中 9 9和/的系數(shù)*而。+工）”=（】+0+0。/+ct+ct1 1y y+ +），故什一?。┲?.史展開式申*/的系數(shù)是盤一 CiCi1 1H H207.207.所以逸 D.D.說明本題與上一題（9393 迷題）類似,得分率力 0 0

14、 85,85,有大 IIII 提高.某一年的某類抗翻答的不好以后重復(fù)再號,也是高考命墨的特點.4、4Ft34Ft3B4*小號*二項式定理的知識及運算懂力.）解法 I I3+3+沙+2 2）5+15+1 汽+2 2 戶= =+ +Sr+Sr+1 1”=+=+5+51 1r r 2*+22*+2“* *工的系數(shù)是 5 5 2 2 +i+i 5 5 2,2,= =240.240.故選 R.R.解法 2 2（，+山+2 2）0505 寸 3 3）+2+2 了=?=?（*+2y+*+2y+O+O+3 3） T+CT+C； 2上式中只有 CUGCUG+3+3 卜 2,2,中專含 r r 的項,上的是故是

15、C C 3 3 21-2121-21（L L說購關(guān)于二次三項式展懺式的問題,或如解拉 1,1,將二次三頊式分網(wǎng)因式每個因式展開，然后求極.或如解法 2 2,用姆括號的方法,再用項式定押概5.答：選B.嘛小肱考有二項式定理的知識和推理運算的能力N N7,+產(chǎn) Gm 3 年一 2 彳33T2i*J1*履開式系數(shù)為有理數(shù),只要 r 是 6 的倍數(shù)，且 QMrS】。.取 1X6,2X6.16X6系數(shù)為有理數(shù)的現(xiàn)有 17 項故選 B.6,答：選B.本小考查二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)，【解】（一 1）,的展開式共有 10 項.中間兩項第五項第六項的二項式系數(shù)相等并且最大.G1 了的及開式的備項系數(shù)的絕對值等于它二項式的系技， 同俄開式的奇數(shù)項系數(shù)為正，偶數(shù)項系數(shù)為負,所以第五項二項式系數(shù)大7,答微A.軍小胭考森二項式定理的知 1R.【解】解法】（2J+GV=3+12/T/+18I+3/T，所以小誨 3/T,山二】8 由=12/T。產(chǎn)丸:.Q*十由）*一（臼+小產(chǎn)=9+24J7 +72/+32/3.r+16