高中數學2.3直線、平面垂直的判定及其性質　教案3人教版必修2

1、兩個平面垂直的判定和性質（三） 教學目標(一)教學知識點1兩個平面互相垂直的判定2兩個平面互相垂直的性質(二)能力訓練要求1通過本節(jié)教學，提高學生空間想象能力2通過問題解決，提高等價轉化思想滲透的意識3進一步提高學生分析問題、解決問題的能力(三)德育滲透目標多角度分析、思考問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神 教學重點兩個平面垂直的判定、性質 教學難點兩個平面垂直的判定定理、性質定理運用正確作出符合題意的空間圖形 教學方法從條件去分析其應具有的結論，從結論去探討其應具備的條件，誘導學生思考、分析問題 教具準備投影片兩張第一張：(記作§963 A)

2、第二張：(記作§963 B) 教學過程 復習回顧1二面角、二面角的平面角2求作二面角的平面角的途徑及依據 講授新課2兩個平面垂直的判定師兩個平面互相垂直是兩個平面相交的特殊情形教室的墻面與地面、一個正方體中每相鄰的兩個面、課桌的側面與地面都是互相垂直的兩個平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線互相垂直的概念類似，也是用它們所成的角為直角來定義的，上一節(jié)的學習告訴我們二面角的取值范圍是(0，p，即二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角請同學給兩個平面互相垂直下一定義：生兩個平面互相垂直的定義可表述為：如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角，

3、那么這兩個平面互相垂直師那么兩個互相垂直的平面畫其直觀圖時，應把直立平面的邊畫成和水平平面的橫邊垂直，如下圖師生共同動手，圖的畫是否直觀，直接影響問題解決平面a 和b 垂直，記作ab師還以教室的門為例，由于門框木柱與地面垂直，那么經過木柱的門無論轉到什么位置都有門面垂直于地面即ab ，請同學給出面面垂直的判定定理生兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直師請兩位同學給出分析，證明生已知：ABb，ABbB，ABa求證：ab分析：要證ab需證a 和b 構成的二面角是直二面角，而要證明一個二面角是直二面角，需找到其一個平面角，并證明這個二面角的平面角是直角

4、證明：設abCD，則由ABa知，AB、CD共面ABb，CDb，ABCD，垂足為點B在平面b內過點B作直線BECD則ABE是二面角a-CD-b的平面角又ABBE，即二面角a-CD-b是直二面角ab師建筑工人在砌墻時，常用一段系有鉛錘的線來檢查所砌墻面是否和水平面垂直，依據是什么？生依據是兩個平面垂直的判定定理，一面經過另一面的一條垂線師從轉化的角度來看，兩個平面垂直的判定定理可簡述為：線面垂直面面垂直3兩個平面垂直的性質師在所給正方體中，下式是否正確：平面ADD1A1平面ABCD；D1AAB；D1A面ABCD生AB面ADD1A1，AB面ABCD平面ABCD平面ADD1A1AB面ADD1A1，D1

5、A面ADD1A1ABD1AAA1面ABCD，AD1與平面ABCD不垂直師平面ADD1A1面ABCD，平面ADD1A1平面ABCDAD，A是平面ADD1A1內一點過點A可以在平面ADD1A1內作無數條直線，而這些直線滿足什么條件就可以使之與平面垂直？判定定理解決兩個平面如何垂直，性質定理可以解決上述線面垂直兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一平面師從轉化的角度可表述為：面面垂直，則線面垂直也給了我們以后證明問題的一種思想方法請同學予以證明生證明過程如下：已知：ab、aba，ABa，ABa于B求證：ABb證明：在平面b內作BEa垂足為B，則ABE

6、就是二面角a-a-b的平面角由ab可知，ABBE又ABa，BE與a是b內兩條相交直線，ABb師證明的難點在于“作BEa”為什么要做這一步？主要是由兩面垂直的關系，去找其二面角的平面角來決定的，構造二面角的平面角過程可以體現學生的創(chuàng)新精神、轉化能力例2也可做為性質定理用例2求證：如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內已知：ab，Pa，Pa，ab求證：aa(§963 A)師請同學分析題的條件及結果，結合投影思考證明思路，為了證aa先作出直線ba然后證a與b是同一條線，生先證，爾后教師給予評注生證明：設abc，過點P在平面a內作直線bc，ab

7、，bb，而ab，Pa因為經過一點只能有一條直線與平面b垂直所以直線a應與直線b重合那么aa師利用“同一法”證明問題，主要是在按一般途徑不易完成問題的情形下所采用的一種數學方法，這里要求做到兩點：一是作出符合題意的直線b，不易想到；二是證明直線b和直線a重合，相對容易些點P的位置由投影所給的圖及證明過程可知，可以在交線上，也可以不在交線上其結論可作性質定理用下面請同學閱讀例題3結合投影，試從不同角度證明例3如圖，AB是O的直徑，點C是圓O上的動點，過動點C的直線VC垂直于O所在平面，D、E分別是VA、VC的中點，直線DE與平面VBC有什么關系？試說明理由(§963 B)生可從多角度解決

8、該題解法一：VC面ABC，AC面ABC，BC面ABC，VCAC，VCBC則ACB就是面VBC-VC-面VAC的平面角因AB是O的直徑，故ACB90°面VBC面VAC又D、E分別是VA、VC的中點，則DEAC而ACVC即DEVC那么DE面VBC運用面面垂直的判定及面面垂直的性質轉化關系：二面角是直二面角面面垂直線面垂直解法二：因VC面ABC，AC面ABC，VCAC又AB是O的直徑，即有ACBC由此AC面VBC而D、E是VA、VC中點，DEAC，故DE面VBC此法比解法一簡單明了，走的彎路較少轉化關系：線垂直面線垂直面內線線垂直面與此線平行的線也垂直平面解法三：可找VB中點F，證DEF9

9、0°，進而證明ED面VBC(由ACVC，BCVC說明之) 課堂練習課本P38練習1，2，31畫互相垂直的兩個平面，兩兩垂直的三個平面畫圖略原則：直立平面的豎邊畫成和水平平面橫邊垂直此題可改為：在一個正方體中找出互相垂直的平面兩兩垂直的三個平面，觀察表示平面的邊與邊間關系2檢查工件相鄰兩個面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉動，觀察尺邊是否和這個面密合就可以了，這是為什么？此題說明數學源于實際生活，反過來為實際生活服務解答該題所用的知識就是面面垂直的判定定理，滿足一面經過另一面的一條垂線如果尺邊和這個面密合，則說明另一尺邊垂直于這個面

10、，那么工件的相鄰兩面互相垂直3如圖ab，abl，ABa，ABl，BCb，DEb，BCDE求證：ACDE要證線線垂直，依題創(chuàng)造條件運用三垂線定理需證線面垂直時想到面面垂直性質定理 課時小結(1)證明兩個平面垂直，關鍵在于找線，找到的直線在一個平面內而與另一個平面垂直(2)證明直線和平面垂直，若能說明該線在兩個垂直平面其中一個內而與交線垂直，則這條直線和另一平面垂直(3)判定定理、性質定理有時要和其他定理結合起來用(例3練習3) 課后作業(yè)(一)P4012，13，14(必做)P398，9，10，11(任選兩題)必做題目12下列命題是否正確？如果正確，請作出證明；如果不正確，請舉出

11、反例(畫出草圖)(1)ag，bgab(2)ab，bgag(3)aa1，bb1，aba1b1解：(1)不正確垂直于同一平面的兩面還可能是相交平面(2)不正確垂直于同一平面的兩面還可能是平行平面 （1）（2）(3)正確垂直于同一平面的兩面可以平行，也可以相交13如圖ab，abl，Aa，Bb，ABa，AB與a、b所成的角分別是q1和q2，求點A、B在l上的射影A、B間的距離解：A、B分別是A、B在棱l上的射影，則AAl，BBl而ab，故AAb，BBa，則ABAq2，BABq1因ABacosq1，AAasinq2，故ABa解RtAAB即可求解利用AB若a與b不垂直，那么需經B及A分別作AB及BB的平行

12、線交于點F，連AF，那么ABBF而AF的求解要求用到二面角的平面角14如圖，在立體圖形V-ABC中，VABVACABC90°，平面VAB和平面VBC有何種位置關系？請說明理由解：平面VAB和平面VBC垂直由VABVAC90°知VAAB，VAAC，即VA面ABC，BC面ABCVABC又ABC90°，BCAB，那么BC面VAB，又BC面VBC，故面VAB面VBC選做題8求證：(1)如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直；(2)如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直證明：(1)在平面a內任取一點Pla，PlP、l可確定一平面g設a

13、gl則llab該題目難在構造既符合題，又能使問題得證的立體圖形(2)設ab，bg過b 內一點P作直線l，使la則lbl與g內任一點Q確定平面d，設dgl，則llla，因此ga題目較抽象，構造圖形，創(chuàng)造條件，使問題轉化為可利用已有定理來解決9已知ag，bg，abl，求證：lg用文字表述就是：如果兩相交面同時垂直于第三面，則交線也垂直于該面證明：過l上任一點P作直線l，使lg，由Pa，ag知la同理可證lb因此，labl，lg問題的證明，實質上采取的是同一法，作出直線l，使之符合條件，使l與l重合10求證：(1)如果三條共點直線兩兩互相垂直，那么它們中每兩條直線確定的平面也兩兩互相垂直；(2)三個

14、兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直證明：(1)a、b可確定平面a，a、c可確定平面b因ca，cb，a、b是a內兩相交線，ca而cb故有ab同理可證ag，bg題目難在：創(chuàng)造性地利用有關定理解決問題，這要求心中有定理、圍繞定理想思路(2)第9題告訴我們垂直于同一面的兩相交面，交線也垂直于該面11求證：如果平面a 和不在這個平面內的直線l都垂直于平面b，那么la證明：ab，a內有b 的垂線l，而l、l都垂直于b知ll又l在平面a外，因此la巧妙地利用線線平行線面平行，而找到l使之在a 內而與b 垂直是關鍵，注意總結規(guī)律(二)預習內容及提綱1如何解決尋找二面角的平面角問題？2無棱二面角問題怎樣求解？

15、0;板書設計§963兩個平面垂直的判定和性質(三)2兩個平面垂直的判定判定定理3兩個平面垂直的性質性質定理，例2例3練習小結作業(yè) 備課資料 一、異面直線上兩點間距離已知兩條異面直線a、b所成角為q ，其公垂線段AA1d，在a、b上分別取點E、F，設A1Em，AFn，則EF_解析：設經b而與a平行的平面為a，線AA1及線a確定的平面為b，abcaa，ac那么b、c所成角就是異面直線a、b成角AA1b，AA1c，則AA1a，故ab經E作EGc于G，則EGa連GF，EGGF，EGAA1d，那么在GAF中，FG2m2n2-2mncosq在EGF中，EF2EG2FG2d2F

16、G2故EF2d2m2n2-2mncosq當F在另一側(AA1另一側)，EF2d2m2n2-2mncos(180°-q)d2m2n22mncosq故EF答案：評述：在該題解決過程中，從平面的性質到面面垂直、線面垂直，涉及多個知識點，求解過程體現等價轉化思想，將空間兩異面直線上任意兩點距離問題，通過平面a、平面b 轉化為平面問題公式說明兩異面直線公垂線的存在性，且公垂線段長是異面直線上任兩點連線最短的公式應用1求異面直線上任意兩點距離2求二面角的平面角例1二面角a-l-b為60°，Aa，Bb，ACl于C，BDl于D，AC5 cm，BD7 cm，CD，求AB解：將AC、BD看成兩

17、異面直線經D作DEAC，則DECD，又BDCD，則EDB就是a-l-b的平面角BDE60°而BDE也是AC、BD成角又CD是AC、BD的公垂線，那么EF7 (cm)評述：在二面角內構造圖形，找角的大小，確定公垂線是關鍵，這是利用公式求距離的問題例2在空間四邊形ABCD中，DBDC1，BC，CAAB2，AD，求二面角A-BD-C的大小解：因DBDC1，BC，DC2DB2BC2即DBC是直角三角形BDCD又BA2BD241AD2，即ABD是直角三角形，ABBD那么AB與DC兩線所成角的大小等于所求二面角的大小，設角為q，則有cosqq 60°評述：該題說明一個二面角的大小可以用異面直線所成角來度量，但要注意此時存在角的范圍變化，二面角可以是鈍角，但異面直線決不能是鈍角，運用公式時注意這一點不