人教A版利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系學(xué)案

1、第七節(jié)立體幾何中的向量方法第一課時(shí)利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系是知識體系通必備知識1 .直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.平面的法向量：直線l， ,取直線l的方圓向量a,則向量a叫做平面口的法向量.確定平面的法向量直接法：觀察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接確定.待定系數(shù)法：取平面的兩條相交向量a,b,設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z),由錯(cuò)誤！未找到引用源。解方程組求得.(4)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一.2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表不直線li,L的li/l2n

2、i/n2?n1=入nni,02直線1的方1/%nn?nm=0向向量為n,平面a1nnIIn?n=入m的法向量為m平面%,BnIInn/n?n=入m的法向量a3nn?nm=0分別為n,m微點(diǎn)提醒1 .易錯(cuò)點(diǎn)：(1)直線方向向量的求法一般利用直線(線段)所在的向量作為方向向量，但是直線上的任意線段、與直線平行的線段都可以作為方向向量.平面法向量的求法先選取平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量，再利用法向量與這兩個(gè)向量垂直,數(shù)量積為零，構(gòu)造方程組，賦值法求法向量.選取平面內(nèi)的向量時(shí)，應(yīng)盡量選取“簡單”“特殊”的向量，例如與坐標(biāo)軸平行的向量、二面角的軸所在的向量，可以簡化求法向量的運(yùn)算過程.2.注意點(diǎn)：直線的方向

3、向量、平面的法向量與線線、線面、面面位置關(guān)系方向向量分別為li12ni02?nin2=0(1)方向向量和法向量平行、垂直？線線和面面的平行、垂直.(2)方向向量和法向量平行？線面垂直.(3)方向向量和法向量垂直？線面平行.徒基礎(chǔ)小題1.給出下列說法：一條直線的單位方向向量是唯一的；一個(gè)平面的單位法向量是唯一的； 已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(2,2,0),則平面ABC的一個(gè)單位法向量是(1,1,1)；已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則平面ABC的一個(gè)單位法向量是錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中正確的說法有(只填序號).【解析】一條直線的單位方向向量與一個(gè)平面的

4、單位法向量有2個(gè)，它們是相反向量，故，錯(cuò)誤；對于，平面ABC勺單位法向量是(0,0,1)或(0,0,-1),故錯(cuò)誤；對于，Ab=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),設(shè)平面ABC勺一個(gè)法向量為n=(x,y,z),nAB=OT則.,寂=G,即錯(cuò)誤！未找到引用源。取n=(1,1,1),則平面ABC的一個(gè)單位法向量為錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。，故正確.答案：2.已知平面0c內(nèi)有一點(diǎn)M(1,-1,2),平面0c的一個(gè)法向量為n=(6,-3,6),則下列點(diǎn)P中，在平面0c內(nèi)的是()A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)【解析】選A.逐一

5、驗(yàn)證法，對于選項(xiàng)A,血=(1,4,1),所以疝、n=6-12+6=0,所以說n,所以點(diǎn)P在平面口內(nèi)，同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面口內(nèi).3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC!向量的是()A.(-1,1,1)B.(1,-1,1)C.錯(cuò)誤！未找到引用源D.錯(cuò)誤！未找到引用源【解析】選C.設(shè)n=(x,y,z)為平面ABC勺法向量，n*AH0T一通=孰化簡得錯(cuò)誤！未找到引用源。所以x=y=z.結(jié)合選項(xiàng)知選C.4 .(教材改編)已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD)f在的平面外一點(diǎn)， 如果踵=(2,-1,-4),京=(4,2,0),烈=(-1,2,-1).對于結(jié)論：

6、APIAB;AP!AD;然是平面ABCD勺法向量；癡/而.其中正確的是.(填序號)【解析】 由獲而=22+4=0,所以前， 而， 所以ABAP,所以正確； 由雅芯=-4+4+0=0,所以烈，痛，所以APIAD,所以正確；由烈，嘉,AP，AD,ABHAD=A知前是平面ABCD勺法向量，故正確；由=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以與前不平行,故錯(cuò)誤.答案:5.直線l的方向向量s=(-1,1,1),平面0c的法向量為n=(2,x2+x,-x),若直線l/平面,則x=.【解析】由已知得s,n=0,故-1x2+1x(x2+x)+1x(-x)=0,解得x=士錯(cuò)誤!未找到引用源。.答案：士錯(cuò)誤！未找到引用源。6.如圖所示， 在正方體ABCD-A1GD中,0是底面正方形ABCD勺中心,M是DD的中點(diǎn),N是AB的中點(diǎn)，則直線ON,AM勺位置關(guān)系是.【解析】以A為原點(diǎn)，分別以部,AB,AXi所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖