定積分內(nèi)容提要與釋疑解難補充

1、定積分內(nèi)容提要與釋疑解難  定積分的概念是由求曲邊梯形面積，變力作功，已知變速直線運動的速度求路程，密度不均質(zhì)線段的質(zhì)量所產(chǎn)生。定義  設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上有定義，在閉區(qū)間a,b內(nèi)任意插入n-1個分點將a,b分成n個小區(qū)間，記，作乘積（稱為積分元），把這些乘積相加得到和式（稱為積分和式）設(shè)，若極限存在唯一且該極限值與區(qū)是a,b的分法及分點的取法無關(guān)，則稱這個唯一的極限值為函數(shù)f(x)在a,b上的定積分，記作，即.否則稱f(x)在a,b上不可積.注1：由牛頓萊布尼茲公式知，計算定積分與原函數(shù)有關(guān)，故這里借助了不定積分的符號。注2：若存在，區(qū)間a,b進行特殊分割，分點

2、進行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等，但反之不成立，這種思想在考題中經(jīng)常出現(xiàn)，請讀者要真正理解。注3：定積分是否存在或者值是多少只與被積函數(shù)式和積分區(qū)間有關(guān)與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即定積分的幾何意義:  若f(x)在a,b上可積，且則表示曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積.同樣，變力所作的功（其中f(x)是變力）變速直線運動的路程（是瞬時速度），密度不均質(zhì)直線段 ,b的質(zhì)量（其中是線密度）。規(guī)定  定性  若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間,b上可積，則f(x)在,b上有界，反之不成立。    例    事實

3、上，因為不論把0，1分割得多么細，在每個小區(qū)間中，總能找到有理數(shù)，無理數(shù)，知 知不存在。定理  若f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上可積.定理  若f(x)在閉區(qū)間a,b上只有有限個間斷點且有界，則f(x)在a,b上可積.定理  若f(x)在閉區(qū)間a,b上單調(diào)，則f(x)在a,b上可積定積分的性質(zhì)性質(zhì)1    性質(zhì)2  （線性運算法則）設(shè)在a,b上可積，對任何常數(shù)則.該性質(zhì)用于定積分的計算與定積分的證明.性質(zhì)3  （區(qū)間的可加性），若f(x)在以a,b,c為端點構(gòu)成的最大區(qū)間上可積，則不論a,b,c

4、順序如何，有該性質(zhì)用于計算分段函數(shù)的定積分與定積分的證明.性質(zhì)4  若f(x)在a,b上可積且則.性質(zhì)5  若f(x),g(x)在a,b上可積且則性質(zhì)6  若f(x)在a,b上連續(xù)，且f(x) 0則性質(zhì)7  若f(x),g(x)在a,b上連續(xù)且但,則.性質(zhì)8  若f(x)在a,b上可積，則.性質(zhì)9  若f(x)在a,b上可積，m,M是f(x)在區(qū)間a,b上的最小值與最大值，則性質(zhì)4、5、6、7、8、9主要用于定積分不等式的證明及不通過定積分的計算，估計定積分值的范圍.性質(zhì)10  （積分中值定理）若f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)

5、，則至少存在一點，使而稱為f(x)在區(qū)間a,b上的平均值，即閉區(qū)間a,b上連續(xù)函數(shù)f(x)的平均值是    注：這里的與是不同的。性質(zhì)11  （推廣的積分中值定理），設(shè)在a,b上連續(xù)，且g(x)在a,b上不變號，則至少存在一點,使柯西-許瓦爾茲（Cauchyschwarz）性質(zhì)12  設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在a,b上連續(xù)，則（1）（2）性質(zhì)13  變上限積分求導(dǎo)定理  設(shè)f(x)連續(xù)，可導(dǎo)，則1.3  解題基本方法與技巧一、有關(guān)定積分命題的證明 利用積分中值理，定積分的13條性質(zhì)，規(guī)定尤其是變上限積分求

6、導(dǎo)定理及微分中值定理，可證明涉及到定積分的有關(guān)命題，包括方程根的存在性，適合某種條件的存在性及定積分的不等式等，證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類似。 1方程根的存在性例1  設(shè)函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且證明在（0。1）內(nèi)存在一點，使.證由積分中值定理知，在上存在一點c，使 且，由f(x)在(0，c)上連續(xù)，在0，c內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=f(c)，由羅爾定理知至少存在一點使例2  設(shè)函數(shù)f(x)在上連續(xù)，且，試證：在內(nèi)至少存在兩個不同的，使    證法一  令則有，又因,所以存在，使因為若不然

7、，則在內(nèi)或F（x）sinx恒為正或F(x)sinx恒為負，均與矛盾. 但當(dāng)時，知再對F(x)在區(qū)間上分別應(yīng)用羅爾定理，知至少存在，使  即證法二  由知，存在，使，因若不然，則在內(nèi)或f(x)恒為正，或f(x)恒為負，均于矛盾.若在內(nèi)f(x)=0僅有一個實根，則由知，f(x)在內(nèi)與內(nèi) 異號，不妨設(shè)在內(nèi)f(x)>0，在內(nèi)f(x)<0，于是再由與及cosx在上單調(diào)性知，得出矛盾，從而知，在內(nèi)除處，至少還有另一實根.故知存在，    例3  設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且對于任意的連續(xù)函數(shù)。都有證明在a,b上  

8、  證  用反證法，假設(shè)，則至少存在一點使不妨設(shè)由f(x)在x0處連續(xù)，知根據(jù)保號性知，存在由于可取任意的連續(xù)函數(shù)，取顯然在a,b上連續(xù)，時，于是與題設(shè)條件相矛盾，故在例4  設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，證明時，證 用反證法，假設(shè)時，即存在時，不妨設(shè)，由f(x)在a,b上連續(xù)，則在x0處也連續(xù)，有由保號性存在，當(dāng)時，于是與題目條件矛盾，故假設(shè)不成立，所以   例5  設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且   證明  F(x)在(a,b)內(nèi)有且僅有一個根。    證 

9、 由且F（x）在a,b上連續(xù)，由根的存在定理知至少存在一點，使    由于，知F(x)在a,b上嚴格遞增，故F(x)在(a,b)內(nèi)僅有一根。    2適合某種條件的存在性例6  設(shè)在0,1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且滿足證明至少存在一點,使 證 由及積分中值定理，知至少存在一點，使得令由在c,1上連續(xù)，在（c,1）內(nèi)可導(dǎo)。由羅爾定理知，至少存在一點，使得，由得   即    例7  設(shè)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)且g(x)不變號，則至少存在一點，使（

10、推廣的積分中值定理）    證  （1）當(dāng)g(x)=0，有此時可以a,b上任何一個值，都有（2）當(dāng)，由g(x)不變號，必有對每一個，或者g(x)都大于零或者都小于零，不妨設(shè)時，g(x)>0，由f(x)在a,b上連續(xù)，必取到最小值m與最大值M，且R(f)=m,M，對于一切，都有由于得故至少存在一點，使，即 注：這題可作為結(jié)論記住例8  設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，g(x)在a,b上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)且不變號，試證至少存在一點，使.（第二積分中值定理）證  由分部積分、推廣的積分中值定理（例7）、區(qū)間可加性，有例9  設(shè)f(x),g

11、(x)在a,b上連續(xù)，證明至少存在一點,使證  要證原等式成立，只要證成立，只要證成立，只要證成立，設(shè)，只要證    （1）成立，由F(t)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(a)=F(b)=0，由羅爾定理知至少存在一點，使成立，即（1）式成立，由每一步可逆，故原等式成立。例10  設(shè)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，且，試證：至少存在一點，使證  設(shè)由在 a,b上滿足柯西定理的條件，知其中    例11  設(shè)f(x)是區(qū)間0，1上的任意一非負連續(xù)函數(shù),（1）  試證存在

12、，使在區(qū)間0，x0上以f(x0)為高的矩形面積，等于在區(qū)間x0,1上以y=f(x) 為曲邊的曲邊梯形面積。（2）  又設(shè)f(x)在區(qū)向（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明（1）中的x0是唯一的。    證法一  （1）要證原結(jié)論成立，只要證成立，只要證成立，只要證成立，只要證成立，設(shè)，只要證F'(x0)=0        （1）成立，由F(t)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)（0）=F（1）=0，由羅爾定理知至少存在一點，使成立，即（1）式成立，由每一步可逆，故

13、原等式成立。（2）設(shè)，則當(dāng)時，又條件知，知所以在0,1上嚴格遞減，故（1）中的x0是唯一的。證法二  （1）設(shè)在區(qū)間內(nèi)取x1，若在區(qū)間x1,1上，則在(x1,1)內(nèi)任一點都可作x0，否則可設(shè)為連續(xù)函數(shù)f(x)在x1,1上的最大值，在區(qū)間0,x2上，作輔助函數(shù)，則連續(xù)，且  ，因而由根的存在定理知至少存在一點，使（2）證法同證法一.    例12  設(shè)f(x)在a,b有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試證在a,b上至少存在一點c，使    證法一  令并在處展成泰勒公式，其中介于、之間，分別將代入得 &#

14、160;  （1）      （2）（2）（1）得，其中，而.由導(dǎo)數(shù)的達布定理知，存在，使，因此    證法二  由泰勒公式展開式知，其中介于，之間.設(shè)，則，由，知至少存在一點，使或所以     注1：證法2中的是介于之間，變，也變，故不能提到積分號的前面注2：若  連續(xù)改成存在，只能用證法一，不能用證法二。    例13  設(shè)f(x)在-a,a上存在連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，證明至少存在一點，使分析&

15、#160; 由于涉及二階導(dǎo)數(shù)且與函數(shù)f(x)有關(guān)，考慮用泰勒公式證  由泰勒公式知其中介于0,之間，于是   因為在-a,a上連續(xù)，設(shè)，知，得，由，知至少存在一點，使即因此有   3、證明不等例14 設(shè)f(x)，g(x)在a,b上連續(xù)，證明.（柯西許瓦爾茲（Cauchyschwarz）不等式）證法一  要證原不等式成立，只要證成立。設(shè)只要證                 &#

16、160; （1）成立，由F(t)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且      ，知F(t)在a,b上遞增，由b>a，知，即不 等式（1）成立，由每一步可逆，故原不等式成立。    證法二  由，即  .             （1）（i）若知即此時結(jié)論顯然成立，不等式中取等號。（ii）若知（1）式的左邊是t的一元二次函數(shù)，且該函數(shù)始終大于等于零，

17、故判別式 即     注：證法一需要f(x), g(x)連續(xù)，證法二只需f(x), g(x)可積.例15  證明（a    證  由例4可得  .    例16  設(shè)在0，1上連續(xù)，且f(0)=0，證明 （1）     （2）又若，則證（1）由f(x)在0，1上連續(xù)，故存在，使由柯西不等式知而故    （2）由柯西不等式知，由于。知例17  設(shè)f(x)在0,1上導(dǎo)數(shù)連

18、續(xù)，試證：，有證  由條件知|f(x)|在0,1上連續(xù)，必有最小值，即存在由，例18 設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且則。分析  由，知f(x)是凹的，利用凹的不等式性質(zhì)來證明。    證  令  ，于是利用例12的證法一結(jié)果  又知即或者用下面方法證設(shè)，得，于是    由由凹亽不等式知，從而即  例19設(shè)上導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，試證，證  由上連續(xù)，有最大值，設(shè)要證原不等式成立，只要證成立，由故原不等式成立.    例20 &

19、#160; 證明在0，1上連續(xù)遞減且01， 證  由積分中值定理知。由于即故.    例21  設(shè)上連續(xù)且遞減，證明當(dāng)01時，。證法一      其中0上遞減，知01，011，從而，即。    證法二  ，由01，知   遞減，知得.從而   .證法三  要證原不等式成立，只要證成立，令，由   （1）成立，由內(nèi)可導(dǎo)，且其中知上遞減，又01，有即（1）式成立，由每一步可遞，故原等式成立。 

20、;   例22  設(shè)上連續(xù)遞增，證明.    證法一  .要證原不等式成立，只要證  成立設(shè)     （1）成立，由內(nèi)可導(dǎo)，且其中從而F（t）在a,b遞增，由ba，得式成立，由每一步可逆，故原不等式成立.    證法二  要證原不等式成立，只要證成立，只要證         成立，由只要       

21、;              （1）成立，由遞增，知同號，有從而（1）式成立，且每一步可逆，故原不等式成立.    證法三  由證法二知只要證成立，由  其中上遞增，知故不等式成立，因此原不等式成立。    例23  設(shè)在區(qū)間0，1上可導(dǎo)，且滿足證明.證  要證原不等式成立，只要證成立，設(shè)只要證     （1）成立，由

22、上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且由于令.知上遞增，當(dāng)因此遞增，由10，得即不等式（1）成立，且每一步可逆，故原不等式成立。例24  設(shè)在區(qū)間0，1上正值連續(xù)且遞減，證明證  要證原不等式成立，只要證成立   設(shè)只要證         （1）成立，由F（t）在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且由f(x)在0，1上遞減且為正值，知(t-x)與異號，所以，因此F(x)在0,1上遞減，又1>0，得,即不等式（1）成立，由每一步可逆，故原不等式成立。例25 

23、設(shè)處處二階可導(dǎo)，且設(shè)為任意連續(xù)函數(shù)，證明    （a>0常數(shù)）.證  設(shè)，由知是凹的，在曲線點處的切線方程為對任意一點，由凹的定義知，于是即例26  設(shè)上連續(xù)且為正值，證明證  由f(x)在a,b連續(xù)必可積，有把區(qū)間a,bn等分，則，有由不等式算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)知兩邊取對數(shù)有  令得         有例27  設(shè)在a,b連續(xù)，證明證  由在a,b上連續(xù)必可積，把區(qū)間a,b分成n等分，于是由于知f(x)上凹，由

24、凹的不等式知或令得         例28  設(shè)在區(qū)間上是嚴格遞增且導(dǎo)數(shù)連續(xù)，它的反函數(shù)試證          證  由y=f(x)，根據(jù)分部積分不妨設(shè)，于是=例29  設(shè)f(x)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，（1）；（2）證 .解（1）由積分中值定理和微分中值定理有證（2）  由f(x)的有界性及積分不等式性質(zhì)有，又故有 ，即  二、定積分的計算及定積分等式的證明1

25、定積分計算的方法（1）牛頓一萊布尼茲公式  若f(x)在a,b上連續(xù),則 .（2）湊微分  （3）變量替換   （4）分部積分  設(shè)在上導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則具體的用法是如果能夠計算出就可以計算出定積分的湊微分、變量替換、分部積分與不定積分中三種方法適合的被積函數(shù)相同，即不定積分用三種的哪一種方法，定積分也用三種方法的哪一種。（5）設(shè)f(x)在-a,a上連續(xù)，則事實上，      而故得證推論證 由于且為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)，于是（6）設(shè)f(x)為周期函數(shù)且連續(xù)，周期為T，則.事實上由于于是（7）設(shè)f(x)

26、在0,1上連續(xù)，則事實上移項兩邊同除以2得.（8）事實上記于是由于遞推公式每次降2次，要討論n為奇偶數(shù)的情形，由故例30  計算.解  原式例31  計算.解  原式.例32  計算.解 原式           。例33  計算.解法一 原式               .解法二 令則于是原式例3

27、4  計算  .解 令則時，時，。于是原式例35  設(shè)計算解法一 原式解法二 例36  計算解  由于即于是原式例37  計算.解  利用方法（7）得原式例38  計算.解 設(shè)則于是原式例39  計算.解  利用區(qū)間的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性得原式            （利用定積分幾何意義）.例40  計算.解  雖然在上即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，更不能直接求出原

28、函數(shù)，但我們可以利用得原式.例41  設(shè)f(x)在0，1上連續(xù)，計算解  設(shè)于是得例42  計算.解  原式由于所以原式例43  證明,并計算。證  由，知的周期為，當(dāng)然也是它的周期，利周期函數(shù)定積分的性質(zhì)，有而由于2n是偶數(shù)，故例44  設(shè)函數(shù)滿足，且求解法一 由，于是有，解得，因此原式解法二  同解法1，得例45  設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)滿足且，計算解法一  解法二 當(dāng)時，于是例46  設(shè)解 原式例47  設(shè)求.解  由于(i)當(dāng)時x 0 -1&

29、#160;x 原式圖5-3 (ii)當(dāng)時原式注：由于|t|實際上是分段函數(shù)，故需要討論x的范圍，從而可把被積函數(shù)中的|t|換成相應(yīng)的表達式。例48  設(shè)的表達式。解   與上題解法類似，當(dāng)時當(dāng)時例49  計算 。解 原式由于知b-a=1，設(shè)由令得知在0，1上可積，而此和式是把0，1n等分，取每個小區(qū)間的右端點得到的和式，故原式例50  設(shè)表示距離x最近整數(shù)的距離，計算解   由且為周期函數(shù)，周期為1，于是例51  計算.解  原式     

30、60; .例52  設(shè)在0，2上連續(xù)，且求解  原式2定積分等式的證明例53  證明   .證 例54  證明.證  例55  設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，試證：.證 由是為周期的函數(shù)，當(dāng)然也是以為周期的函數(shù)，知也是以為周期的函數(shù)，于是例56  證明.證 例57  證明.證 例58  設(shè)f(x)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明.證  而      故.   3. 利用定積分及其性質(zhì)研究函數(shù)的有關(guān)問題例59 

31、; 設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且解 設(shè)得例60  已知f(x)滿足方程解 設(shè)    得兩邊平方后再積分有整理得  ，解得，所以例61  設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足   .解  令，有從而得到     ，令x=1有     例62  求連續(xù)函數(shù)f(x)，使?jié)M足解  代入等式并化簡有，等式兩邊同時對x求導(dǎo)有    ，得      .于是 &

32、#160;  .例63  設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x) 滿足.解 設(shè)由于得.例64  求連續(xù)函數(shù)f(x)，使解 令則代入原式左邊得    等式兩邊對x求導(dǎo)有   ，化簡得     兩邊不定積分得    .令，代入上式有  ，又代入上式得，故例65  設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，且，試證（1）若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)；（2）若f(x)遞減，則F(x)遞增。證（1）由，所以.   

33、0; （2）其中介于0,x之間，又f(x)遞減，當(dāng)x>0時，當(dāng)，綜上所述知，即F(x)遞增。例66  證明：（1）f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則偶函數(shù)；（2）偶函數(shù)的原函數(shù)僅有一個為奇函數(shù)。證（1）設(shè)為奇函數(shù)，知，于是故F(x)為偶函數(shù).（2）由f(t)是偶函數(shù)，知設(shè)F（x）=僅當(dāng)是奇函數(shù)。例67  求函數(shù)在區(qū)間e,e2上的最大值.解 上單調(diào)增加，故例68  設(shè)函數(shù)f(x)在上連續(xù)，單調(diào)不減且試證函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)不減（其中n>0）。證  當(dāng)x>0時，F(xiàn)(x)連續(xù)，由洛必達法則，得在F(x)在上連續(xù)又當(dāng)x>0時，其中，且f(x)為單調(diào)

34、不減，有從而故F(x)在上單調(diào)不減.例69  設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且解 令于是例70  設(shè)證明（1），并由此計算In；（2）證（1）當(dāng)n=2k時，；當(dāng)n=2k+1時，其中（2）由時，有于是例71  設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，設(shè)（1）證明(x)遞增；（2）當(dāng)x為何值時，F(xiàn)(x)取最小值；（3）若F(x)的最小值為.由f(x)為偶函數(shù)，知xf(x)為奇函數(shù)，有于是   （1）由，令, 解得x=0，而遞增。（2）由是唯一的極值且為極小值也是最小值，且（3）若，則有  .兩邊對a求導(dǎo)，得  .由，于是，由f(0)=1,代入得例72&

35、#160; 證明：若上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式，則f(x)必為周期函數(shù).證 設(shè)則.因而，又   ，即  所以f(x)是以1為周期的周期函數(shù).三、定積分的應(yīng)用微元法教材中討論的曲邊梯形面積、變力作功、變速直線運動路程、立體的體積等具有總量等于部分量之和的具體問題，可以將定積分解決實際問題的方法與步驟歸結(jié)為如下四步：第一步:分割.通過在區(qū)間a,b內(nèi)插入n 個分點，將a,b任意分為n個小區(qū)間，相應(yīng)地把所求的量Q（如面積、功、路程、體積等）分為n個部分量且第二步:近似（求積分元）.在每個小區(qū)間上求出部分量的具有下面形式的近似值   

36、60;                （1）其中是上任一點，第三步:求和.然后將各部分量的近似值相加，得到所求量Q的近似值第四步:取極限.在上式中令，得             （2）從上面過程可以看出，在上述四步中，關(guān)鍵是在第二步中寫出區(qū)間上的部分量它一旦確定后，被積表達式也就確定了.問題是之間存在什么關(guān)系（因為近似是一個模糊

37、的量），它們之間近似的程度應(yīng)滿足什么要求.我們把（2）式寫成列一般形式，設(shè)中的任何值都可以，自然也可以取它的左端點，即，這樣（2）式就變成了區(qū)間上的部分量                        （3）如何正確地寫出這個近似表達式，使得積分恰好就是所求的量Q呢？我們采取由結(jié)果找原因的方法設(shè)（2）式中的f(x)在a,b上連續(xù)，如果所求的量Q可表示為 &#

38、160;                     （4）那么（4）式實際上就是函數(shù)（區(qū)間a,x上的量的值）在處的值，即由于在a,b上連續(xù)，且區(qū)間很小，所以有，從而這里再次看到與相差很小，即近似相等，但兩者近似到什么程度仍然不知道.實際上，由于由微分定義知因此（4）式中的應(yīng)是的線性主部，所以是區(qū)間的部分量的線性主部.即所求的近似值應(yīng)滿足當(dāng)時，的高階無窮小，或者說若.在具體問題中，要檢驗所求的近似值是

39、否為的線性主部或者說要檢驗當(dāng)時是否是的高階無窮小，往往不是一件容易事.因此，在求的近似值時要特別小心謹慎，要利用已知的實事，如直線段的長代替曲線段的長.f(x)連續(xù)時兩點距離很近時，函數(shù)值近似相等，要盡可能的精確，由于我們求的是的線性主部，故在計算近似值的過程若出現(xiàn)的高階無窮小可略去，剩下的式子仍是線性主部.有時，我們可以用實踐檢驗結(jié)論的正確性。這樣，我們把用定積分解決實際問題的步驟在認清實質(zhì)的情況下，得到求的方法如下：根據(jù)所給條件，畫圖，適當(dāng)建立坐標系，在圖中把所需曲線的方程表示出來，確定要求量Q所分布的區(qū)間a,b且區(qū)間a,b的總量Q具有等于各小區(qū)間上部分量之和的特點.（1）取近似求微元.選

40、取區(qū)間。寫出部分量的近似值即要求是的線性主部即計算的過程中，可以略的高階無窮小。這一步是關(guān)鍵、本質(zhì)的一步，所以稱為微元分析法或簡稱微元法.（2）得微分.         （3）計算積分.   注：第一步一定要把表示成x的函數(shù)與的乘積形式.如果在計算的近似值的過程中，不會產(chǎn)生的高階無窮小，這時也可寫成二步，即（1）選取求的線性主部，,（2）讀者根據(jù)實際情況靈活選用.1求平面圖形的面積（i）曲線圍成的曲邊梯形面積是.事實上，由所求平面圖形面積S分布在區(qū)間a,b上.（1）選取，.（2）.注：計算時，需

41、去絕對值進行定積分計算.（ii）特別地圍成的平面圖形面積S為.（iii）同理 所圍成的平面圖形面積S為.（iv）特別地所圍成的平面圖形面積S為.如果所求平面圖形是屬于上述情形之一，就不需畫圖，直接用上述公式，否則就需畫圖選用相應(yīng)公式.求平面圖形的步驟：（1）求出邊界曲線交點，畫出經(jīng)過交點的邊界曲線，得所求平面圖形（若邊界曲線簡，可在畫圖的過程中求交點）。2根據(jù)具體情形選擇x或y作為自變量，選擇上述相應(yīng)的公式計算或把所求平面形分成幾塊，每一塊可選用上述相應(yīng)公式計算，然后大塊面積等于小塊面積之和。例72  計算由拋物線及直線所圍成的平面圖形的面積。解  由即交點為（2，-2），

42、（8，4）. 故所求的曲邊形是由直線，曲線及直線所圍成（圖5-7），其面積.本題如用公式（4.3）來計算，就需要將整個面積分成兩部分S1及S2，分別計算S1，S2，相加才得讀者可以計算一下，這樣做就復(fù)雜多了。例73  計算曲線及直線所圍成的平面圖形面積。解  曲邊形如圖5-8所示，故有注：曲線較簡單時，可在畫曲線的過程中求交點。圖5-8                    &

43、#160;                                 圖5-9 例74  計算橢圓所圍成的平面圖形面積。解  由于橢圓關(guān)于Ox軸及Oy軸對稱，所以只需計算位于第一象限部分的面積，然后乘以4就得到所求平面圖形面積S（圖5-9）. 由，解得，

44、故上半橢圓的方程是從而特別地，當(dāng)時，得圓的面積注：計算平面圖形面積時，盡可能利用圖形的對稱性，以簡化計算。例75  求曲線 所圍成平面圖形的面積.解  解此方程，得當(dāng)即時，y1及y2才有實數(shù)值。設(shè)則所求的面積為注：利用幾何意義知表示半個圓面的面積。例76  在第一象限內(nèi)求曲線上的一點，使該點處的切線與所給曲線及兩坐標軸所圍成的平面圖形面積為最小，并求此最小面積。解  設(shè)所求之點為，于是，過的切線方程為.令得切線的y軸截距，令得切線的x軸截距于是，所求面積為令，得又，即點為所求，此時例77  設(shè)，問（1）t取何值時，圖中陰影面積S1與S2之和S=

45、S1+S2最??？（2）t取何值時，面積S=S1+S2最大.解  令，得（舍去），由在上連續(xù)，且由此可見，當(dāng)時，S=S1+S2最小；當(dāng)時，S=S1+S2最大。例78  求參數(shù)方程（擺線）及圍成平面圖形的面積。解  2求曲邊扇形的面積曲線與射線圍成的曲邊扇形的面積，證  所求的面積分布在區(qū)間上。（1）?。ò裠S看成扇形面積）（2）例79  由下列極坐標方程式所表曲線圍成的面積S，方程中的（1）（雙紐線）；（2）（心臟形線）；（3）（三葉線）；解（1）由圖形關(guān)于x軸與y軸對稱，只需計算第一象限面積S1，再乘以4即可，由在第一象限時，知，即S1看成與所

46、圍成，故（2）由圖形關(guān)于x軸對稱，在第一，二象限，當(dāng)時，需求，知，故所求面積為.（3）由圖形知，所求面積S為第一象內(nèi)面積S1的3倍，由時，要求，由于，知，即時，于是例80  變?yōu)闃O坐標，求曲線（笛卡爾葉形線）（a>0）圍成的面積。解  由代入方程有當(dāng)時，且當(dāng)時，所以曲線位于第一象限圍成的面積，即為所求的面積。例81  求內(nèi)擺線所圍成的面積.解  由曲線既關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱，只須計算第一象限內(nèi)的面積S1，再乘以4即可，令于是3立體的體積（a）設(shè)為一空間立體，它夾在垂直于Ox軸的兩平面x=a與x=b之間（a），在區(qū)間a,b上任意一點x處，作垂

47、直于Ox軸的平面，它截得立體的截面面積，顯然是x的函數(shù)，記為A（x）連續(xù)，則立體的體積V為證  所求的立體V分布在a,b上（1）取區(qū)間（2）（b）曲線（連續(xù)），Ox軸及直線x=a, x=b所圍成的曲邊梯形繞Ox軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積Vx為  證  把旋轉(zhuǎn)體看成夾在兩平行平面x=a, x=b之間，那么在a,b上任意一點x處作平行兩底面的平面與立體相截，截面積為 因此同理，曲線，Oy軸及直線y=c, y=d所圍成的曲邊梯形繞Oy軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積Vy為（c）曲線（連續(xù)）Ox軸及直線x=a, x=b所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積Vy為證  所

48、求的立體Vy分布在區(qū)間a,b上（1）取，由  是的高階無窮小，知是的線性主部，即（2）（3）例82  求下列平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)一周所得的體積（1）繞Ox軸       （2）繞Oy軸解  （1）（2）另一解法注：從上面的兩種解法中可看出，知道的公式越多，解決問題越方便，但要理解公式，記住公式。例83  設(shè)一個底面半徑為a的圓柱體，被一個與圓柱的底面相交為，且過底面直徑AB的平面所截，求截下的楔形的體積。解  取坐標系如圖，這時垂直x軸的截斷面都是直角三角形，它的一個銳角為，這個銳解的

49、斜邊長為，對邊長為截面面積于是例84  過點作拋物線的切線，該切線與上述拋物線及x軸圍成一平面圖形，求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。解  設(shè)所作切線與拋物線相切于點，因  故切線方程為又因該切線過點，所以 即.從而切線方程為因此，所求旋轉(zhuǎn)體的體積例85  曲線和x軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解法一  利用公式解法二  由當(dāng)時，于是例86  設(shè)平面圖形A由與所確定，求圖形A繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解法一  A的圖形如圖5-24所示，取y為積分變量，它的變化區(qū)間

50、，A的兩條邊長曲線方程為及，曲線上點到直線x=2的距離為由直線上點到直線x=2的距離為，故解法二  相應(yīng)于上任一小區(qū)間的薄片的體積元素為于是所求體積為例87  求曲線與x軸圍成的封閉圖形繞旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解  該曲線于x軸交于，由該平面圖形關(guān)于y軸對稱。且曲線上點到的距離為曲線上點到的距離為于是 例88  已知點A與B的直角坐標分別為與，線投AB繞z軸一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為S，求由S及兩平面所圍成的立體體積（僅適合數(shù)學(xué)一）。解  直線AB的方程為   即  在z軸上截距為z的水平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面

51、為一個圓，此截面與z軸交于點與AB交于點，故圓截面半徑，截面面積，旋轉(zhuǎn)體的體積4旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積及表面積求由連續(xù)曲線軸及直線所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積（圖5-28）。將所求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積看成分布在區(qū)間上。（1）選取區(qū)間，把該區(qū)間的側(cè)面積看成上底半徑為，下底半徑為，母線為曲線弧長的圓臺的側(cè)面積，因此，由圓臺側(cè)面積公式有即又可簡單地看作一圓柱體的側(cè)面積，該圓柱體的底圓半徑為，高（2）得微分（3）計算積分注意：圓柱體的高不能看成，否則，由于一般情況下不為0（當(dāng)時，），即因此，我們計算的近似值時，要利用已知的關(guān)系，盡可能的精確。例89  設(shè)有曲線，過原點作其切線，求由此曲線

52、，切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積。解  設(shè)切點為，則過原點的切線方程為再以點代入，解得，則上述切線方程為由曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)面的面積由直線段繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)面的面積因此，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積為.例90  求曲線繞Ox軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的面積.解  .例91  計算半徑為R的球面的面積（圖5-30）。解  半徑為R的球面可以看成圓所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。由于，于是5平面曲線的弧長若給定曲線弧的方程為，其中，在上連續(xù)，且，則曲線弧是可求長的。其弧長s可表示為（1）若曲線方程由給出

53、，這時代入（式1），得曲線弧的長為（2）若曲線方程由給出，這時代入（式1），得曲線弧的長為（3）若曲線方程由給出，把極坐變換化為參數(shù)方程由于于是弧長微分公式若選定點為度量弧長的起點。為弧上一點，設(shè)弧的長為s，顯然弧長s是t的函數(shù)這里規(guī)定：當(dāng)時，s取正值；當(dāng)時，s取負值。則當(dāng)t增加時s也增加，因此是嚴格增函數(shù)。對積分上限求導(dǎo)，得從這里也可以看出是增函數(shù)，改寫成微分形式，即得弧長的微分公式若曲線方程則若曲線方程則若曲線方程則由于所以它的幾何意義是：當(dāng)自變量x增加到時，相應(yīng)的曲線段增量的切線長（圖5-31）例92  計算圓的周長。解  將圓的方程化成參數(shù)方程則例93 

54、計算曲線的弧長。解  所求曲線的弧長為例94  計算內(nèi)擺線的周長。解法一  由于曲線關(guān)于x軸及y軸對稱，所以，只需計算第一象限內(nèi)曲線的長，再乘以4即得所求。不妨設(shè)，得解法二  把曲線化為參數(shù)方程在第一象限的參數(shù)，于是因此6定積分在物理中的應(yīng)用（僅適合數(shù)學(xué)一、二）液體的靜壓力在設(shè)計水庫的閘門、管道的閥門時，常常需要計算油類或者水等液體對它們的靜壓力，這類問題也可用定積分進行計算。例95  一圓柱形水管半徑為1m，若管中裝水一半，求水管閥門一側(cè)所受的靜壓力。解  取坐標系如圖5-32，此時變量x表示水中各點深度，它們的變化區(qū)間是，圓的方程

55、為由物理知識，對于均勻受壓的情況，壓強P處處相等。要計算所求的壓力，可按公式  壓力=壓強×面積計算，但現(xiàn)在閘門在水中所受的壓力是不均勻的，壓強隨著水深度x的增加而增加，根據(jù)物理學(xué)知識，有，其中是水的密度，是重力加速度。因此要計算閘門所受的水壓力，不能直接用上述公式。但是，如果將閘門分成若干個水平的窄條，由于窄條上各處深度x相差很小，壓強可看成不變。從而1選取深度小區(qū)間，在此小區(qū)間閘門所受到的壓力為，則2得微分3定積分功：例96  設(shè)有一直徑為20m的半球形水池，池內(nèi)貯滿水，若要把水抽盡，問至少作多少功。解  本題要計算克服重力所作的功。要將水抽出，池中水至少要升高到池的表面。由此可見對不同深度x的單位質(zhì)點所需作的功不同，而對同一深度x的單