吳贛昌-第五版-經管類概率論與數理統(tǒng)計課后習題-完整版(共109頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上隨機事件及其概率1.1 隨機事件習題1試說明隨機試驗應具有的三個特點習題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現正面”，“兩次出現同一面”，“至少有一次出現正面”，試寫出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點.現習題91.2 隨機事件的概率1.3 古典概型現習題3現習題4現習題5現習題6現習題7現習題8現習題9現習題101.4 條件概率習題3 空現習題41.5 事件的獨立性現習題6現習題7現習題8總習題1習題3. 證明下列等式：習題4.現習題5習題6.習題7習題8習題9習題10習題11現習題12習題13習題14習題15習題16習題17習題18習題19習

2、題20 習題21習題22現習題23現習題24第二章 隨機變量及其分布2.1 隨機變量習題1隨機變量的特征是什么？解答：隨機變量是定義在樣本空間上的一個實值函數.隨機變量的取值是隨機的，事先或試驗前不知道取哪個值.隨機變量取特定值的概率大小是確定的.習題2試述隨機變量的分類.解答：若隨機變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量；否則稱為非離散型隨機變量.若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱X為連續(xù)型隨機變量.習題3盒中裝有大小相同的球10個，編號為0,1,2,9, 從中任取1個，觀察號碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個隨機變

3、量來表達上述隨機試驗結果，并寫出該隨機變量取每一個特定值的概率.2.2 離散型隨機變量及其概率分布習題1設隨機變量X服從參數為的泊松分布，且PX=1=PX=2,求.習題2設隨機變量X的分布律為 PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P12<X<52;   (2)P1X3;   (3)PX>3.習題3一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5.在袋中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.習題4 (空)習題5某加油站替出租車公司代營出租汽車業(yè)務，每出租一輛汽車，可從出租公司得

4、到3元.因代營業(yè)務，每天加油站要多付給職工服務費60元，設每天出租汽車數X是一個隨機變量，它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代營業(yè)務得到的收入大于當天的額外支出費用的概率.習題6設自動生產線在調整以后出現廢品的概率為p=0.1, 當生產過程中出現廢品時立即進行調整，X代表在兩次調整之間生產的合格品數，試求：(1)X的概率分布； (2)PX5;(3)在兩次調整之間能以0.6的概率保證生產的合格品數不少于多少?習題7設某運動員投籃命中的概率為0.6,求他一次投籃時，投籃命中的概率分布.習題8某種產品共10件，其中有3件次品，現從中任取3件，求取出

5、的3件產品中次品的概率分布.習題9一批產品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產品中任取一件，取出的產品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數X的概率分布.習題10 紡織廠女工照顧800個紡綻，每一紡錠在某一段時間內斷頭的概率為0.005,在這段時間內斷頭次數不大于2的概率.習題11設書籍上每頁的印刷錯誤的個數X服從泊松分布，經統(tǒng)計發(fā)現在某本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率.2.3 隨機變量的分布函數習題1.解答：離散.由于F(x)是一個階梯函數，故知X是一個離散型隨機變量.習題2習題3已知離散型隨機變量X的概率分布為PX=1=

6、0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2,試寫出X的分布函數F(x)，并畫出圖形.習題4習題5習題6在區(qū)間0,a上任意投擲一個質點，以X表示這個質點的坐標.設這個質點落在0,a中任意小區(qū)間內的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求X的分布函數.2.4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度習題1習題2習題3習題4習題5設一個汽車站上，某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達，設乘客在5分鐘內任一時間到達是等可能的，試計算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時間超過4分鐘的概率.習題6習題7 (空)習題8習題9習題10習題112.5 隨機變量函數的分布習題1習題2習題3習題4習題5習題6總習題二1、 2、 3、 4

7、、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、13、 14、15、 16、 17、 18、 19、 20、 第三章 多維隨機變量及其分布3.1 二維隨機變量及其分布1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 3.2 條件分布與隨機變量的獨立性1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 3.3 二維隨機變量函數的分布1、 2、 7、 4、復習總結與總習題解答1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、（空）15、16、17、 第四章 隨機變量的數字特征4.1 數學期望 1、 2、 3、 4 5、 6、 7、 8、 9、 10、 1

8、1、4.2 方差1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 4.3 協(xié)方差與相關系數1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 4.4 大數定理與中心極限定理1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 總習題四解答1、 2、 3、 4、 5、 6、X表示每件產品的利潤，則X取-2,10, 求每件產品的平均利潤，即X的數學期望.E(X)=-2×0.1+10×0.9=8.8.7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 故cov(X,Y)=0.16、 17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、 第

9、五章 數理統(tǒng)計的基礎知識 5.1 數理統(tǒng)計的基本概念 習題1 已知總體X服從0,上的均勻分布(未知), X1,X2,Xn為X的樣本，則(). (A)1/ni=1nXi-2是一個統(tǒng)計量； (B)1/ni=1nXi-E(X)是一個統(tǒng)計量； (C)X1+X2是一個統(tǒng)計量； (D)1/ni=1nXi2-D(X)是一個統(tǒng)計量. 解答： 應選(C). 由統(tǒng)計量的定義：樣本的任一不含總體分布未知參數的函數稱為該樣本的統(tǒng)計量.(A)(B)(D)中均含未知參數. 習題2 觀察一個連續(xù)型隨機變量，抽到100株“豫農一號”玉米的穗位(單位：cm), 得到如下表中所列的數據. 按區(qū)間70,80),80,90),150

10、,160), 將100個數據分成9個組，列出分組數據計表(包括頻率和累積頻率), 并畫出頻率累積的直方圖. 解答： 分組數據統(tǒng)計表 組序號123456789組限組中值組頻率組頻率%累計頻率%7080 75 3 3 38090 85991290100 95 13 13 25100110 105 16 16 41110120 115 26 26 67120130 125 20 20 87130140 1357794140150 1454498150160 15522100頻率直方圖見圖(a),累積頻率直方圖見圖(b). 習題3 測得20個毛坯重量(單位：g),列成如下簡表：毛坯重量 185 187

11、 192 195 200 202 205 206 頻數 1 1 1 1 1 2 1 1 毛坯重量 207 208 210 214 215 216 218 227 頻數 2 1 1 1 2 1 2 1將其按區(qū)間183.5,192.5),219.5,228.5)組，列出分組統(tǒng)計表，并畫出頻率直方圖. 解答： 分組統(tǒng)計表見表組序號 1 2 3 4 5 組限 183.5,192.5 192.5,201.5 201.5,210.5 210.5,219.5 219.5,228.5組中值 188 197 206 215 224組頻數 3 2 8 6 1組頻率/% 15 10 40 30 5 頻率直方圖見下圖

12、 習題4 某地區(qū)抽樣調查200個居民戶的月人均收入，得如下統(tǒng)計資料： 月人均收入(百元) 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 合計 戶數 18 35 76 24 19 14 14 200 求樣本容量n,樣本均值X¯，樣本方差S2. 解答： 對于抽到的每個居民戶調查均收入，可見n=200. 這里，沒有給出原始數據，而是給出了整理過的資料(頻率分布), 我們首先計算各組的“組中值”，然后計算X¯和S2的近似值： 月人均收入(百元) 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 合計 組中值ak 5.5 6.5 7.5 8.5 9

13、.5 10.5 11.5 - 戶數fk 18 35 76 24 19 14 14 200 X¯=1nkakfk=1200(5.5×18+11.5×14)=7.945, S21n-1k(ak-X¯)2fk=1n-1kak2fk-X¯2 =1199(5.52×18+11.52×14)-7.94566.0402-63.=2. 習題5設總體X服從二項分布B(10,3100),X1,X2,Xn為來自總體的簡單隨機樣本， X¯=1ni=1nXi與Sn2=1ni=1n(Xi-X¯)2 分別表示樣本均值和樣本二階中心矩，

14、試求E(X¯),E(S2). 解答： 由XB(10,3100), 得 E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=, 所以 E(X¯)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n. 習題6 設某商店100天銷售電視機的情況有如下統(tǒng)計資料 日售出臺數k 2 3 4 5 6 合計 天數fk 20 30 10 25 15 100 求樣本容量n,經驗分布函數Fn(x). 解答： (1)樣本容量n=100; (2)經驗分布函數 Fn(x)=0,x<20.20,2x<30.50,3x&

15、lt;40.60,4x<50.85,5x<61,x6. 習題7 設總體X的分布函數為F(x), 概率密度為f(x),X1,X2,Xn為來自總體X的一個樣本，記 X(1)=min1in(Xi),X(n)=max1in(Xi), 試求X(1)和X(n) 各自的分布函數和概率密度. 解答： 設X(1)的分布函數和概率密度分別為F1(x)和f1(x), X(n)的分布函數和概率密度分別為Fn(x)和fn(x), 則 Fn(X)=PX(n)x=PX1x,X(n)x =PX1xPX2xPXnx=F(x)n, fn(x)=Fn(x)=nF(x)n-1f(x), F1(x)=PX(1)x=1-PX

16、(1)>x=1-PX1>x,X2>x,Xn>x =1-PX1>xPX2>xPXn>x =1-1-PX1x1-PX2x1-PXnx =1-1-F(x)n, F1(x)=f1(x)=n1-F(x)n-1f(x). 習題8 設總體X服從指數分布e(),X1,X2是容量為2的樣本，求X(1)，X(2)的概率密度. 解答： f(x)=e-x,x>00,其它, F(x)=1-e-x,x>00,x0, X(2)的概率密度為 f(2)(x)=2F(x)f(x)=2e-x(1-e-x),x>00,其它, 又X(1)的概率密度為 f(1)(x)=21-F

17、(x)f(x)=2e-2x,x>00,其它. 習題9 設電子元件的壽命時間X(單位：h)服從參數=0.0015的指數分布，今獨立測試n=6元件，記錄它們的失效時間，求： (1)沒有元件在800h之前失效的概率； (2)沒有元件最后超過3000h的概率. 解答： (1)總體X的概率密度f(x)=(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它, 分布函數F(x)=1-e-0.0015x,x>00,其它, 沒有元件在800h前失效=最小順序統(tǒng)計量X(1)>800, 有 PX(1)>800=PX>8006=1-F(800)6 =exp(-0.0015×

18、800×6)=exp(-7.2)0. (2)沒有元件最后超過3000h=最大順序統(tǒng)計量X(6)<3000 PX(6)<3000=PX<30006=F(3000)6 =1-exp-0.0015×30006=1-exp-4.56 0.93517. 習題10 設總體X任意，期望為,方差為2, 若至少要以95%的概率保證X¯-<0.1, 問樣本容量n應取多大？ 解答： 因當n很大時，X¯-N(,2n), 于是 PX¯-<0.1=P-0.1<X¯<+0.1 (0.1/n)-(-0.1/n)=2(0.1n

19、)-10.95, 則(0.1n)0.975, 查表得(1.96)=0.975, 因(x)非減，故0.1n1.96,n384.16, 故樣本容量至少取385才能滿足要求. 5.2 常用統(tǒng)計分布 習題1 對于給定的正數a(0<a<1), 設za,a2(n),ta(n),Fa(n1,n2)分別是標準正態(tài)分布，2(n),t(n), F(n1,n2)分布的上a分位點，則下面的結論中不正確的是(). (A)z1-a(n)=-za(n); (B)1-a2(n)=-a2(n); (C)t1-a(n)=-ta(n); (D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).解答： 應選(B). 因為標準

20、正態(tài)分布和t分布的密度函數圖形都有是關于y軸對稱的，而2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是對的.(B)是錯的. 對于F分布，若FF(n1,n2), 則 1-a=PF>F1-a(n1,n2)=P1F<1F1-a(n1,n2)=1-P1F>1F1-a(n1,n2) 由于1FF(n2,n1), 所以 P1F>1F1-a(n1,n2)=P1F>Fa(n2,n1)=a, 即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是對的. 習題2(1) 2.設總體XN(0,1),X1,X2,Xn為簡單隨機樣本，問下列各統(tǒng)計量服從什么分布? (1)X1-X2X32+X

21、42; 解答： 因為XiN(0,1),i=1,2,n, 所以： X1-X2N(0,2), X1-X22N(0,1), X32+X422(2), 故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422t(2). 習題2(2) 2.設總體XN(0,1),X1,X2,Xn為簡單隨機樣本，問下列各統(tǒng)計量服從什么分布? (2)n-1X1X22+X32+Xn2; 解答： 因為XiN(0,1),i=2nXi22(n-1), 所以 n-1X1X22+X32+Xn2=X1i=2nXi2/(n-1)t(n-1). 習題2(3) 2.設總體XN(0,1),X1,X2,Xn為簡單隨機樣本，問下列各統(tǒng)計量服從什

22、么分布? (3)(n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2. 解答： 因為i=13Xi22(3),i=4nXi22(n-3), 所以： (n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2=i=13Xi2/3i=4nXi2/(n-3)F(3,n-3). 習題3 設X1,X2,X3,X4是取自正態(tài)總體XN(0,22)的簡單隨機樣本，且 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2, 則a=?,b=?時，統(tǒng)計量Y服從2分布，其自由度是多少？ 解答： 解法一 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2, 令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4), 則 Y=Y12+Y22, 為使Y2(2

23、), 必有Y1N(0,1),Y2N(0,1), 因而 E(Y1)=0,D(Y1)=1, E(Y2)=0,D(Y2)=1, 注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4, 由 D(Y1)=Da(X1-2X2)=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2) =a(4+4×4)=20a=1, D(Y2)=Db(3X3-4X4)=bD(3X3-4X4) =b(9D(X3)+16D(X4)=b(4×9+16×4)=100b=1, 分別得a=120,b=1100. 這時Y2(2), 自由度為n=2. 解法二 因XiN(0,22)且相互獨立，知 X1-2X2=

24、X1+(-2)X2N(0,20), 3X3-4X4=3X3+(-4)X4N(0,100), 故X1-2X220N(0,1),3X3-4X4100N(0,1), 為使 Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)22(2), 必有X1-2X21/aN(0,1),3X3-4X41/bN(0,1), 與上面兩個服從標準正態(tài)分布的隨機變量比較即是 1a=20,1b=100, 即a=120,b=1100. 習題4 設隨機變量X和Y 相互獨立且都服從正態(tài)分布N(0,32). X1,X2,X9和Y1,Y2,Y9是分別取自總體X和Y的簡單隨機樣本，試證統(tǒng)計量 T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y9

25、2 服從自由度為9的t分布. 解答： 首先將Xi,Yi分別除以3, 使之化為標準正態(tài). 令Xi=Xi3,Yi=Yi3,i=1,2,9, 則 XiN(0,1),YiN(0,1); 再令X=X1+X2+X9, 則XN(0,9),X3N(0,1), Y2=Y12+Y22+Y92, Y22(9). 因此 T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=XY2=X/3Y2/9t(9), 注意到X,Y2相互獨立. 習題5 設總體XN(0,4), 而X1,X2,X15為取自該總體的樣本，問隨機變量 Y=X12+X22+X1022(X112+X122+X152) 服從什么分

26、布？參數為多少？ 解答： 因為Xi2N(0,1), 故Xi242(1),i=1,2,15, 而X1,X2,X15獨立，故 X12+X22+X10242(10),X112+X122+X15242(5), 所以 X12+X22+X1024/10X112+X122+X1524/5=X12+X22+X1022(X112+X122+X152)=Y 習題6 證明：若隨機變量X服從F(n1,n2)的分布，則 (1)Y=1X服從F(n2,n1)分布；(2)并由此證明F1-(n1,n2)=1F(n2,n1). 解答： (1)因隨機變量X服從F(n1,n2), 故可設X=U/n1V/n2, 其中U服從2(n1),

27、V服從2(n2), 且U與V相互獨立，設1X=V/n2U/n1, 由F分布之定義知 Y=1x=V/n2U/n1, 服從F(n2,n1). (2)由上側分位數和定義知 PXF1-(n1,n2)=1-,P1X1F1-(n1,n2)=1-, 即PY1F1-(n1,n2)=1-,1-PY>1F1-(n1,n2)=1-, 故 PY>1F1-(n1,n2)=, 而PYF(n2,n1)=. 又Y為連續(xù)型隨機變量，故PY1F1-(n1,n2)=, 從而 F(n2,n1)=1F1-(n1,n2), 即F1-(n1,n2)=1F(n2,n1). 習題7 查表求標準正態(tài)分布的上側分位數：u0.4,u0.

28、2,u0.1與u0.05. 解答： u0.4=0.253, u0.2=0.8416, u0.1=1.28,u0.05=1.65.習題8 查表求2分布的上側分位數：0.952(5), 0.052(5), 0.992(10)與0.012(10). 解答： 1.145, 11.071, 2.558, 23.209. 習題9 查表求F分布的上側分位數：F0.95(4,6),F0.975(3,7)與F0.99(5,5). 解答： 0.1623,0.0684,0.0912. 習題10 查表求t分布的下側分位數：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)與t0.005(10). 解答： 2.353

29、,3.365,1.415,3.169. 5.3 抽樣分布 習題1 已知離散型均勻總體X,其分布律為 X 2 4 6 Pi 1/3 1/3 1/3 取大小為n=54的樣本，求： (1)樣本平均數X¯落于4.1到4.4之間的概率； (2)樣本均值X¯超過4.5的概率. 解答： =E(X)=13×(2+4+6)=4, 2=E(X2)-E(X)2=13×(22+42+66)-42=83, 所以 X¯=4, X¯2=2n=8/354=481, X¯=29. 令Z=X¯-42/9, 則n充分大時，Z近似N(0,1). (1)P

30、4.1<X¯<4.4=P4.1-42/9<Z<4.4-42/9 (1.8)-(0.45)=0.9641-0.6736=0.2905. (2)PX¯>4.5=PZ>4.5-42/9=1-PZ2.25 1-(2.25)=1-0.9878=0.0122. 習題2 設總體X服從正態(tài)分布N(10,32),X1,X2,X6是它的一組樣本，設 X¯=16i=16Xi. (1)寫出X¯所服從的分布；(2)求X¯>11的概率. 解答： (1)X¯N(10,326), 即X¯N(10,32). (2)P

31、X¯>11=1-PX¯11=1-(11-1032) 1-(0,8165)1-(0.82)=0.2061. 習題3 設X1,X2,Xn是總體X的樣本，X¯=1ni=1nXi, 分別按總體服從下列指定分布求E(X¯),D(X¯). (1)X服從0-1分布b(1,p); (2)*X服從二項分布b(m,p); (3)X服從泊松分布P(); (4)X服從均勻分布Ua,b; (5)X服從指數分布e(). 解答： (1)由題意，X的分布律為： PX=k=Pk(1-P)1-k(k=0,1). E(X)=p,D(X)=p(1-p). 所以 E(X¯

32、;)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=1nnp=p, D(X¯)=D(1ni=1nXi)=1n2i=1nD(X1)=1n2np(1-p)=1np(1-p). (2)由題意，X的分布律為： PX=k=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,m). 同(1)可得 E(X¯)=mp,D(X¯)=1nmp(1-p). (3)由題意，X的分布律為： PX=k=kk!e-(>0,k=0,1,2,). E(X)=,D(X)=. 同(1)可得 E(X¯)=,D(X¯)=1n. (4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212,

33、同(1)可得 E(X¯)=a+b2,D(X¯)=(b-a)212n. (5)由E(X)=1,D(X)=12, 同(1)可得 D(X¯)=1,D(X¯)=1n2. 習題4 某廠生產的攪拌機平均壽命為5年，標準差為1年，假設這些攪拌機的壽命近似服從正態(tài)分布，求： （1）容量為9的隨機樣本平均壽命落在4.4年和5.2年之間的概率； （2）容量為9的隨機樣本平均壽命小于6年的概率。 解答： （1）由題意知X¯N(5,1n),n=9，則標準化變量 Z=X¯-51/9=X¯-51/3N(0,1). 而 P4.4<X¯&l

34、t;5.2=P4.4-51/3<X¯-51/3<5.2-51/3 =P-1.8<Z<0.6(0.6)-(-1.8) =0.7257-0.0359=0.6898 （2）PX¯<6=PX¯-51/3<6-51/3=PZ<3(3)=0.9987. 習題5 設X1,X2,X16及Y1,Y2,Y25分別是兩個獨立總體N(0,16)和N(1,9)的樣本，以X¯和Y¯分別表示兩個樣本均值，求PX¯-Y¯>1. 解答： X¯N(0,1616)，Y¯N(1,925)，X

35、75;-Y¯N(-1,1+925)，即 X¯-Y¯N(-1,3425) 標準化變量X¯-Y¯，令Z=X¯-Y¯34/5N(0,1)，所以 PX¯-Y¯>1=1-PX¯-Y¯1=1-P-1X¯-Y¯1 =1-P0X¯-Y¯+134/5234/5 1-(1.715)+(0) =1-0.9569+0.5=0.5431 習題6 假設總體X服從正態(tài)分布N(20,32), 樣本X1,X25來自總體X, 計算 Pi=116Xi-i=1725Xi182.

36、解答： 令Y1=i=116Xi,Y2=i=1725Xi, 由于X1,X25相互獨立同正態(tài)分布N(20,32), 因此有Y1與Y2相互獨立，且Y1N(320,122), Y2N(180,92), Y1-Y2N(140,152), i=116Xi-i=1725Xi182=PY1-Y2182, =PY1-Y2-140152.8(2.8)=0.997. 習題7 從一正態(tài)總體中抽取容量為n=16的樣本，假定樣本均值與總體均值之差的絕對值大于2的概率為0.01, 試求總體的標準差. 解答： 設總體XN(,2), 樣本均值為X¯,則有 X¯-/n=X¯-/4N(0,1). 因為

37、 PX¯->2=PX¯-/4>8=2PZ>8=21-(8)=0.01, 所以(8)=0.995. 查標準正態(tài)分布表，得8=2.575, 從而=82.575=3.11. 習題8 設在總體N(,2)中抽取一容量為16的樣本，這里,2均為未知. (1)求PS2/22.041, 其中S2為樣本方差； (2)求D(S2). 解答： (1)因為是正態(tài)總體，根據正態(tài)總體下的統(tǒng)計量分布可知 (n-1)S222(n-1). 這里n=16, 于是 PS2/22.041=P(15S2215×2.041) =1-P15S22>30.615(查2分布表可得) =1-

38、0.01=0.99. (2)因為(n-1)S222(n-1), 又知 D(n-1)S22)=2(n-1), 所以 D(S2)=4(n-1)2D(n-1)S22)=4(n-1)22(n-1)=2n-14=2154 (因為n=16). 習題9 設總體XN(,16),X1,X2,X10為取自該總體的樣本，已知PS2>a=0.1, 求常數a. 解答： 因為(n-1)S222(n-1),n=10,=4, 所以PS2>a=P9S216>916a=0.1. 查自由度為9的2分布表得，916a=14.684, 所以a26.105. 習題10 設X1,X2,Xn和Y1,Y2,Yn分別取自正態(tài)總

39、體 XN(1,2)和YN(2,2) 且相互獨立，問以下統(tǒng)計量服從什么分布？ (1)(n-1)(S12+S22)2; (2)n(X¯-Y¯)-(2-2)2S12+S22. 解答： (1)由(n-1)S1222(n-1), (n-1)S2222(n-1), 由2(n)的可加性 (n-1)(S12+S22)2(2(n-1). (2)X¯-Y¯N(1-2,22n), 標準化后(X¯-Y¯)-(1-2)2nN(0,1), 故有 (X¯-Y¯)-(1-2)222n2(1), 又由(n-1)(S12+S22)22(2n-2),

40、注意F分布定義 (X¯-Y¯)-(1-2)21n22/1(n-1)(S12+S22)2/2(n-1)=n(X¯-Y¯)-(1-2)2S1 習題11 分別從方差為20和35的正態(tài)總體中抽取容量為8和10的兩個樣本，求第一個樣本方差不小于第二個樣本方差的兩倍的概率. 解答： 用S12和S22分別表示兩個樣本方差，由定理知 F=S12/12S22/22=S12/20S22/35=1.75S12S22F(8-1,10-1)=F(7,9). 又設事件A=S122S22, 下面求PS122S22, 因 PS122S22=PS12S222=PS12/20S22/352

41、×3520=PF3.5. 查F分布表得到自由度為n1=7,n2=9的F分布上分布點F(n1=7,n2=9)有如下數值： F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20, 因而F0.05(7,9)=3.29<3.5<F0.025(7,9)=4.20, 即事件A的概率介于0.025和0.05之間，故 0.025PS122S220.05. 總習題解答 習題1 設總體X服從泊松分布.一個容量為10的樣本值為1,2,4,3,3,4,5,6,4,8, 計算樣本均值，樣本方差和經驗分布函數.解答： 樣本的頻率分布為x¯=4,s2=3.6. 經驗分布函數為 F

42、10(x)=0,x<11/10,1x<22/10,2x<34/10,3x<47/10,4x<58/10,5x<69/10,6x<71,x8. 習題2 A廠生產的某產種電器的使用壽命服從指數分布，參數未知. 為此，抽查了n件電器，測量其使用壽命，試確定本問題的總體、樣本及樣本的分布. 解答： 總體是這種電器的使用壽命，其概率密度為 f(x)=e-x,x>00,x0(未知), 樣本X1,X2,Xn是n件某種電器的使用壽命，抽到的n件電器的使用壽命是樣本的一組觀察值.樣本X1,X2,Xn相互獨立，來自同一總體X, 所以樣本的聯合密度為 f(x1,x2,

43、xn)=ne-(x1+x2+xn),x1,x2,xn>00,其它. 習題3 設總體X在區(qū)間a,b上服從均勻分布，求： (1)來自X的簡單隨機樣本X1,X2,Xn的密度f(x1,x2,xn); (2)Y=maxX1,X2,Xn的密度fY(x); Z=minX1,X2,Xn的密度fZ(x). 解答： (1)X的密度為f(x)=1b-a,x(a,b)0,其它, 由于X1,X2,Xn獨立且與X同分布，所以有 f(x1,x2,xn)=i=1nf(xi)=1(b-a)n,ax1xnb0,其它. (2)由題設X在a,b上服從均勻分布，其分布函數為 F(x)=0,x<ax-ab-a,xa,b1,x

44、>b, 由Y=maxX1,X2,Xn及Z=minX1,X2,Xn分布函數的定義 FY(x)=F(x)n, FZ(x)=1-1-F(x)n, 于是有 fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,xa,b, fZ(x)=n1-Fn-1(x)n-1f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,xa,b. 習題4 在天平上重復稱一重量為a的物品，假設各次稱量的結果相互獨立，且服從正態(tài)分布N(a,0.2). 若以X¯表示n次稱量結果的算術平均值，求使PX¯-a<0.10.95成立的稱量次數n的最小值. 解答： 因為X¯=1ni=1nXiN(

45、a,(0.2)2n), 所以 X¯-a0.2/nN(0,1), 故 PX¯-a<0.1=PX¯-a0.2/n<0.10.2/n=2(n2)-10.95, 即(n2)0.975, 查正態(tài)分布表得n21.96, 所以n15.37, 即n=16.習題5 設總體XN(20,3), 從X中抽取兩個樣本X1,X2,X10和Y1,Y2,X15, 求概率PX¯-Y¯>0.3. 解答： 因為X1,X2,X10和Y1,Y2,Y15獨立同分布，所以 X¯N(20,310), Y¯N(20,0.2), 于是X¯-Y

46、75;N(0,0.5). PX¯-Y¯>0.3=PX¯-Y¯/0.5>0.3/0.5 =1-PX¯-Y¯/0.50.3/0.5 =21-(0.3/0.5)=21-0.6628 =0.6744(查正態(tài)分布表). 習題6 設總體XN(,2), 假如要以0.9606的概率保證偏差X¯-<0.1, 試問：當2=0.25時，樣本容量n應取多大？ 解答： PX¯-<0.1=0.9606, 即 PX¯-<0.1=PX¯-0.25/n<0.10.25/n=2(0.1n0.25

47、)-1=0.9606, (0.1n0.25)=0.9803n5=2.06n106. PX¯-<0.1=0.9606, 即 PX¯-<0.1=PX¯-0.25/n<0.10.25/n. 習題7 設X1¯和X2¯分別為來自正態(tài)總體N(,2)的容量為n的兩個簡單隨機樣本X11,X12,X1n和X21,X22,X2n的均值，試確定n,使兩個子樣的均值之差超過的概率小于0.05. 解答： Xi¯N(,2n)(i=1,2), 且X1¯和X2¯相互獨立，故有 X1¯-X2¯N(0,22n),

48、 從而X1¯-X2¯/2/nN(0,1), P(X1¯-X2¯>)=PX1¯-X2¯2/n>n2=2(-n2) =21-(n2)<0.05, 故(n2)>0.975, 查正態(tài)分布表n21.96, 所以n>7.68, 即取n=8. 習題8 設總體Xf(x)=x,x<10,其它，X1,X2,X50為取自X的一個樣本，試求： (1) X¯的數學期望與方差； (2) S2的數學期望； (3) PX¯>0.02. 解答： =E(X)=-11xxdx=0, 2=D(X)=E(X2)-E

49、(X)2=E(X2)=-11x2xdx=12. (1) X¯=1ni=1nXi(n=50) E(X¯)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=0,D(X¯)=2n=12n=1100; (2) E(S2)=1n-1i=1n(Xi-X¯)2=1n-1Ei=1n(Xi-X¯)2 =1n-1E(i=1nXi2-nX¯2)=1n-1(i=1nD(X1)-nD(X¯) =1n-1(n12-n12n)=12; (3) PX¯>0.02=1-PX¯0.02 =1-PX¯-D(X¯)0.02-D(X¯) =1-PX1/100.2=21-(0.2)=0.8414. 習題9 從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本，設樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上的概率為0.02, 求總體的標準差. 解答： 由于X¯N(,2n), 故有 0.02=PX¯-4=PX¯-/n4/n 2(1-(4/n)2(1-(12.65), (12.65)=0.99, 即有12.65=u0.01=2.33, 解得5.43. 習題10 設X1,