優(yōu)化設計作業(yè)

1、作業(yè)1.闡述優(yōu)化設計數學模型的三要素。寫出一般形式的數學模型。答：建立最優(yōu)化問題數學模型的三要素：(1)決策變量和參數。決策變量是由數學模型的解確定的未知數。參數表示系統(tǒng)的控制變量，有確定性的也有隨機性的。(2)約束或限制條件。由于現實系統(tǒng)的客觀物質條件限制， 模型必須包括把決策變量限制在它們可行值之內的約束條件， 而這通常是用約束的數學函數形式來表示的。(3)目標函數。這是作為系統(tǒng)決策變量的一個數學函數來衡量系統(tǒng)的效率，即系統(tǒng)追求的目標。2 .闡述設計可行域和不可行域的基本概念答：約束對設計點在設計空間的活動范圍有所限制。凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間中的可能活動范圍，稱可行設計區(qū)

2、域(可行域)。不能滿足所有約束條件的設計空間便是不可行設計區(qū)域(不可彳T域)。3、無約束局部最優(yōu)解的必要條件？答：(1)一元函數(即單變量函數)極值點存在的必要條件如果函數f(x)的一階導數f(x)存在的話，則欲使x*為極值點的必要條件為：f(x*)=0但使f(x*)=0的點并不一定部是極值點；使函數f(x)的一階導數f(x)=0的點稱為函數f(x)的駐點；極值點(對存在導數的函數)必為駐點，但駐點不一定是極值點。至于駐點是否為極值點可以通過二階導數f(x)=0來判斷。3 2)2)n n元函數在定義域內極值點X*X*存在的必要條件為fx*)=fXNf)fxJT=0|_cx1cx2cxn即對每一

3、個變量的一階偏導數值必須為零，或者說梯度為零(n維零向量)。Vf(X*)=0是多元函數極值點存在的必要條件，而并非充分條件；滿足f(X*)=0的點X*稱為駐點，至于駐點是否為極值點，尚須通過二階偏導數矩陣來判斷。4 .闡述約束優(yōu)化問題最優(yōu)解的K-T條件。答：K-T條件可闡述為：如果X(k)是一個局部極小點，則該點的目標函數梯度VNX)可表示成該點諸約束面梯度為gu(X(k)、hv(X(k)的如下線性組合：qjfXk)-:;%,、guXk，JjhvXk=0u1v1式中：q在X(k)點的不等式約束面數；j在X(k)點的等式約束面數；Zu(u=1,2,q)、w(v=1,2,j)非負值的乘子，亦稱拉格

4、朗日乘子。如無等式約束，而全部是不等式約束，則式(3-20)中j=0,第三項全部為零。也可以對K-T條件用圖形來說明。 式(3-20)表明， 如果X,是一一個局部極小點， 則該點的目標函數梯度f(X(k)應落在該點諸約束面梯度gu(X(k)、Vhv(X(k)在設計空間所組成的錐角范圍內。如圖3-12所示，圖(a)中設計點X(k)不是約束極值點，圖(b)的設計點X(k)是約束極值點。(A)ffi3125 .給出圖中的可行設計點、邊界設計點和不可行設計點。答：內點X(1)、邊界點X均為可行設計點，邊界點X為邊界設計點，外點X則為不可行設計點。6、根據逼近思想所構造的優(yōu)化計算方法的基本規(guī)則是什么？答

5、：基本思想是：在設計空間從一個出始設計點X(0)開始，應用某一規(guī)定的算法，沿某一方向S(0)和步長”(0)產生改進設計的新點X(1),使得f(X(1)vf(X(0),然后再從X點開始，仍應用同一算法，沿某一方號 3勒“力/維設計空間向S和步長”(1),產生又有改進的設計新點X(2),使得f(X)f(X(1),這樣一步一步地搜索下去，使目標函數值步步下降，直至得到滿足所規(guī)定精度要求的、逼近理論極小點的X*點為止。7、數值迭代計算中，通常采用哪三種終止條件？答：1)點距準則當相鄰兩迭代點X(k),X(k+1)之間的距離已達到充分小時，即小于或等于規(guī)定的某一很小正數e時，迭代終止。一般用兩個迭代點向

6、量差的模來表示，即Xk1-Xk三；用X(k+1)和X(k)在各坐標軸上的分量差來表示，即XiEXfg(i=1,2,，n)2)函數下降量準則當相鄰兩迭代點X(k),X(k+1)的目標函數值的下降量已達到充分小時。即小于或等于規(guī)定的萊一很小正數e時，迭代終止。一般用目標函數值下降量的絕對值來表示，即f(X(k*f(X(k)DI3)梯度準則當目標函數在迭代點X(k+1)的梯度已達到充分小時，即小于或等于規(guī)定的某一很小正數e時，迭代終止。一般用梯度向量的模來表示，即|Vf(X(k41)hs8 .對于約束極值問題minfx=x=x1-32 十十x22s.t.g1x x=x1x2-4-0g2X X- -x

7、20最優(yōu)化問題的懲罰XDRn函數。答：用內點法求解D：g(X)=x-1刃的約束最優(yōu)化問題。懲罰函數為13.優(yōu)化迭代逼近搜索中是在每一迭代點X(k)上利用函數在該點鄰近局部性質的信息，確定一個搜索方向S(k+1)和搜索步長a,求新的迭代點X(k+1)=X(k)+0s(k+1)。其中，最速下降法(梯度法)、共軻梯度法和牛頓法的搜索方向是如何確定？14.什么是共軻梯度法答：共軻梯度法是共軻方向發(fā)中的一種，因為在該方法中每一個共軻響亮都是依賴于迭代點處的負梯度而構造出來的，所以稱作共軻梯度法。尋求共軻方向作為探索方向的最優(yōu)化方法稱為共軻梯度法。15 .闡述變尺度法的基本思想答：變尺度法的基本思想梯度法

8、和阻尼牛頓法的迭代公式，即X(k+1)=X(k)-a(k)Vf(X(k)X(k+1)=X(k)-a(k)H(X(k)-1Vf(X(k)變尺度法所構成的迭代公式為X(k+1)=X(k)-嚴A(5-18)變尺度法的搜索方向應為S(k)=-A(k)Vf(X(k)；A(k)是根據需要構造的一個nxn階對稱矩陣。若在初始點X(0)取A為單位矩陣I,則式(5-18)為的梯度法代公式，搜索方向為負梯度方向。迭代過程不斷地修正構造矩陣A(k),使它在整個迭代過程中逐步地逼近目標函數在極小點處的赫森矩陣的逆矩陣。當A(k)=H(X(k)-1時，式(5-18)為阻尼牛頓法迭代公式。這樣，當迭代點逼近最優(yōu)點時，搜索

9、方向趨于牛頓方向。這種構想，綜合了梯度法和牛頓法的優(yōu)點，不計算H(X(k)-1,而用變化的構造矩陣A國去逼近它。構造矩陣A(k)在迭代過程中是變化的，稱為變尺度矩陣。由于變尺度法的迭代形式與牛頓法類似，不同的是在迭彳t公式中用A(k)來逼近H(X(k)-1,所以又稱為“擬牛頓法”變尺度法的搜索方向S(k)=-A(k)Vf(X(k),最終要逼近牛頓方向S(k)=-H(X(k)-1Vf(X(k),故又稱為擬牛頓方向。16 .分析比較牛頓法、梯度法和Powell法的特點。答：梯度法方法特點：需計算一階偏導數。方法簡單，可靠性較好，可穩(wěn)定地使函數值下降。對初始點要求不嚴。但收斂速度十分緩慢，特別是當迭

10、代點進入最優(yōu)點鄰域時，更為嚴重。使用條件：目標函數必須存在一階偏導數。適于精度要求不高的優(yōu)化問題。牛頓法方法特點：具有二次收斂性，在極值點附近收斂速度快。但要計算函數的Hessian矩陣及其逆陣。準備工作量大，程序復雜，所需貯存量大。要求迭代點Hessian矩陣非奇異且為定型（正定或負定），要求初始點靠近極值點?？煽啃暂^差。使用條件：目標函數存在一階或二階偏導數。鮑威爾法方法特點：屬于共軻方向法。具有直接法的共同優(yōu)點，且具有二次收斂性，收斂速度較快，可靠性也比較好。存貯量少。程序較復雜。使用條件：用于維數較高的目標函數（50維以下）其他同上。17 .已知約束優(yōu)化問題的數學模型minf（X）=（

11、x1-32-（x2一4）X.DR2s.t.g1X=5-x1-x2-0g2X=2.5-x1x2_0g3X=xi-0g4X-x2-0hX=x1-x2=0試寫出混合型罰函數。18 .外點法和混合懲罰函數法都可處理同時具有等式和不等式約束的優(yōu)化問題，兩種方法在構造懲罰函數時有何主要區(qū)別？19 .設約束優(yōu)化問題的數學模型為minfx x=x2-x1s.t.g1x-x-1nxiE0h1x x=x1x2-1=0試用混合懲罰函數法構造該問題的懲罰函數。20.確定目標函數、設計變量、約束條件應注意哪些問題？選擇優(yōu)化方法應掌握哪些原則？答： 目標函數是以設計變量表示設計所要追求的某種性能指標的解析表達式，用來評價

12、設計方案的優(yōu)劣程度。對于不同的機械設計有不同的衡量評價標準。從使用性能出發(fā)，有要求效率最高，功率利用率最好，可靠性最好，測量或運動傳遞誤差最小，平均速度最大或最小，加速度最大或最小，盡可能滿足某動力學參數要求等等。從結構型式出發(fā)，有要求重量最輕，體積最小等等。從經濟性考慮，有要求成本最低，工時最少，生產率最高，產值最大等等。往往要求同時兼顧幾方面的要求。一般說來，目標函數越多，設計結果越趨完善，但優(yōu)化設計的難度也相應增加。實際使用中應盡量控制目標函數的數目，抓問題的主要矛盾，針對影響機械設計的質量和使用性能最重要、最顯著的問題來建立目標函數，保證重點要求的實現，其余的要求可處理成設計約束來加以

13、保證。設計變量是在設計過程中需要進行選擇并最終必須確定的各項獨立參數。凡能影響設計質量或結果的可變參數均可作為設計變量總原則應該在確保優(yōu)化效果的前提下，盡可能地減少設計變量。在優(yōu)化設計中，對某一種參數是否作為設計變量，必須考察這種參數是否能夠控制，實行起來是否便利，制造加工成本如何以及允許調整范圍等實際問題。參數中對優(yōu)化目標影響最大的那些獨立參數作為設計變量。力求選取容易控制調整的參數作為設計變量。對有關材料的機械性能，由于可供選用的材料往往是有限的，而且它們的機械性能又常常需要采用試驗的方法來確定，無法直接控制，所以作設計常量處理較為合理。那些根據以往經驗或資料可確定的參數，受工廠條件限制無

14、法隨意變動的參數，也都應取作設計常量。對于應力、應變、壓力、撓度、功率、溫度等等設計者不能直接判斷，而是一些具有一定函數關系式計算出的因變量，當它們在數學上易于消去時，也可不定為設計變量。但如果避免這種參數在數學上有困難，可取為設計變量。設計約束是考慮邊界和性能對設計變量取值的限制條件。邊界約束規(guī)定設計變量的取值范圍，在優(yōu)化設計中，先對每個設計變量都給出明確的上、下界限約束是完全可能的。盡管其中某些約束會由于引入其它約束條件成為不起作用的消極約束，但對求解中確定計算初始點，估計可行區(qū)域，判斷結果合理性等都會帶來好處。在優(yōu)化設計中，對于一個性能指標，可以取為目標函數，也可以定為設計約束（或稱為性能約束）。如機械設計中的強度條件、剛度條