導(dǎo)數(shù)的綜合大題及其分類

1、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是歷年高考必考的熱點(diǎn)，試題難度較大，多以壓軸題形式出現(xiàn)，命題的熱點(diǎn)主要有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；利用導(dǎo)數(shù)研究不等式；利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(或函數(shù)的零點(diǎn))；利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題等表達(dá)了分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題型概覽：函數(shù)單調(diào)性和極值、最值綜合問題的突破難點(diǎn)是分類討論.1單調(diào)性討論策略：單調(diào)性的討論是以導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為分界點(diǎn)，把函數(shù)定義域分段，在各段上討論導(dǎo)數(shù)的符號，在不能確定導(dǎo)數(shù)等于零 的點(diǎn)的相對位置時(shí)，還需要對導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)展討論.(2)極值討論策略：極值的討論是以單調(diào)性的

2、討論為根底，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值點(diǎn).最值討論策略：圖象連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上最值的討論，是以函數(shù)在該區(qū)間上的極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)展比擬為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)展的，在 極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值中最大的為最大值，最小的為最小值.1函數(shù) f(x)= x -， g(x) = alnx(a R).X(1)當(dāng)a> 2時(shí)，求F(x)= f(x) g(x)的單調(diào)區(qū)間；1 、設(shè)h(x) = f(x) + g(x)，且h(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為X1，X2，其中* 0，求h(x“ h(X2)的最小 值.審題程序第一步：在定義域內(nèi)，依據(jù)F (x) = 0根的情況對F(x)的符號討論；第二步：整合討論結(jié)果，確定單調(diào)區(qū)間；第

3、三步：建立禺、X2及a間的關(guān)系及取值范圍；第四步：通過代換轉(zhuǎn)化為關(guān)于 捲(或X2)的函數(shù)，求出最小值.1標(biāo)準(zhǔn)解答(1)由題意得F(x) = xX alnx，x2ax + 1其定義域?yàn)?0，+)，那么F' (x) = X2，入令 m(x) = x2 ax+ 1，那么 = a2 4. 當(dāng)一2<a<2時(shí)，A<0,從而F' (x)>0,二F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+)； 當(dāng) a>2 時(shí)，A>0，設(shè) F' (x) = 0 的兩根為 X1 = ， X2= *+， F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,a_ a匚4和a+a2 42F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

4、a寸 a2 4 a+ a2 42 ， 2綜上，當(dāng)一2<a<2時(shí)，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；當(dāng)a>2時(shí)，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,a a匚4和a+a2 42F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為a . a2 4 a+ , a2 42 ， 21對 h(x) = x x+ alnx，x (0，+ 8)入求導(dǎo)得,設(shè)h' (x) = 0的兩根分別為xi，X2，那么有 xi x2= 1，xl + X2= a，-x2 =1xi，從而有a =X1x1111=x+x二 Inxx+XXX令 H(x)= h(x) h 1z.1x _x=2 -x-x Inx+ x片，In1(x) = 2 貞

5、-1lnx=2 1 x 1 + x Inx1當(dāng) x 0，時(shí)，H ' (x)<0，1H(x)在0，上單調(diào)遞減，1又 H(X1)= h(X1)= h(x0 h(X2)，h(X1) h(X2)min = H 1 = 5ln2 3.解題反思本例中求F(x)的單調(diào)區(qū)間，需先求出F(x)的定義域，同時(shí)在解不等式F' (x)>0 時(shí)需根據(jù)方程x2 - ax + 1 = 0的根的情況求出不等式的解集，故以判別式“的取值作為分類討論的依據(jù)在 中求出h(x。一 h(X2)的最小值，需先求出其解析式.由題可知xi, X2是h ' (x) = 0的兩根，可得到XiX2 = 1, x

6、i + X2= a,從而將h(xi) h(x2)只用一個(gè)變量xi導(dǎo)出.從而得到 H(xi)1、ii=h(Xi) h，這樣將所求問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)H(x) = h(x) h -在0, t上的最值問題，表達(dá)XiX2轉(zhuǎn)為與化歸數(shù)學(xué)思想.答題模板解決這類問題的答題模板如下:求定義域隸出函數(shù)的至義域.J求導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1根據(jù)參數(shù)的取值范圍，結(jié)合極值點(diǎn)與 給定區(qū)間的位置對導(dǎo)函數(shù)的符號進(jìn) 行分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性.討論單調(diào)性1*根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定極值、最值 的取得情況.討論極值最值根據(jù)分類討論的結(jié)果，對結(jié)論逬行整 合，做到不重不漏.整合結(jié)論題型專練1.設(shè)函數(shù) f(x) = (1+ x)2

7、 2ln(1 + x).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)0<a<2時(shí)，求函數(shù)g(x) = f(x) x2 ax 1在區(qū)間0,3上的最小值. 解(1)f(x)的定義域?yàn)?1 ,+乂).V f(x)= (1+ x)2 2ln(1 + x), x ( 1,+ 乂),(x) = 2(1 + x)2 2x x+ 21 + x_ x+ 1由 f (x)>0，得 x>0;由 f (x)<0，得一1<x<0.二函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+x),單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,0).由題意可知 g(x) = (2 a)x 2ln(1 + x)(x> 1),那么 g (

8、x) = 2 a2 _1+ x_2 a x a1 + x-0<a<2，2 a>0,令 g (x)= 0,得 x = 一a，aa函數(shù)g(x)在0,上為減函數(shù)，在23a，+x上為增函數(shù).a3當(dāng)0<<3,即0<a<2時(shí)，在區(qū)間0,3上,2 a2aag(x)在0, 二 上為減函數(shù)，在2一，3上為增函數(shù),a二 g(x)min = g 2一 aa2ln22 a.a3當(dāng) '>3,即a<2時(shí)，g(x)在區(qū)間0,3上為減函數(shù),2 a2g(x)min= g(3) = 6 3a 2ln4.3 2綜上所述，當(dāng) 0<a<3時(shí)，g(x)min =

9、a 22一一r 3t當(dāng) 2w a<2 時(shí)，g(x)min = 6 3a 2ln4.北京卷19本小題13分函數(shù) f x=excosx-x.I求曲線y= f x在點(diǎn)0, f 0處的切線方程;n求函數(shù)f X在區(qū)間0，n上的最大值和最小值 219共 13 分解：I因?yàn)閒 (x)ex cosx x，所以 f (x) ex(cosx sinx) 1, f (0)0.又因?yàn)閒 (0)1，所以曲線yf (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程為y 1.n設(shè) h(x) ex(cosx sinx) 1，那么 h (x) ex(cosx sinx sinx cosx)2ex sin x.當(dāng) x (0,)時(shí)，h

10、(x) 0 ,2冗所以h(x)在區(qū)間0,才上單調(diào)遞減.所以對任意 x (0,有 h(x) h(0)0，即 f (x)0.2n所以函數(shù)f (x)在區(qū)間0, n上單調(diào)遞減.因此f (x)在區(qū)間0, n上的最大值為f (0)21，最小值為f (-)221. 12 分3函數(shù) f(x) ax ax xlnx,且 f (x)0.1求 a;2證明：f (x)存在唯一的極大值點(diǎn) x0，且e 2 f (x0) 221.解：門f x的定義域?yàn)?0,+設(shè) g x = ax - a - lnx，那么 f x = xg xx 0等價(jià)于g x 0因?yàn)?g 1 =0, g x 0,故g' 1 =0,而g'

11、x1a , g' 1 =a 1,得a 1 x假設(shè)a=1，那么g' x1-.當(dāng)0v x v 1時(shí)，g' x <0, g x單調(diào)遞減；當(dāng)x > 1時(shí)，g' x > 0, g x單調(diào)遞增.所以x=1是g x的極小值點(diǎn),故 g x g 1 =02由1知f2xxx x InX, f'(x)2x設(shè)hx2x2In x,則h '( x)21X當(dāng)x10,-時(shí)，h ' x v 0 ;當(dāng) x1 ，+時(shí)，h '22又h2e > 0,h 1v0, h 10 ,所以h :x在0,122h xv 0，當(dāng)1 x1,+ 時(shí)，h x >

12、 0因?yàn)閒 ' xh x，所以X=X0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)由f 'x00得InX。2x°1),故fX0=x°(1X。)由x°0,1得f'1X0 v 4因?yàn)閄=X0是f(x)在0,1的最大值點(diǎn)，由1 e0,1f x0)> f e12 e綜上，a=1有唯一零點(diǎn)2 In xV2-2,f ' e 1所以e 2v f x01 ix > 0，所以h x在0,單調(diào)遞減，在-，+ 單調(diào)遞增2 21xo,在-，+有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)x 0,x0時(shí)，h x >0 ；當(dāng)xx0,1時(shí)，題型二利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)或圖象交點(diǎn)題型

13、概覽：研究方程根、函數(shù)零點(diǎn)或圖象交點(diǎn)的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).函數(shù)f(x) = (x+ a)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)a<1時(shí)，試確定函數(shù)g(x) = f(x-a) x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.審題程序第一步：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第二步：簡化g(x)二0,構(gòu)造新函數(shù)；第三步：求新函數(shù)的單調(diào)性及最值；第四步：確定結(jié)果.標(biāo)準(zhǔn)解答(1)因?yàn)?f(x) = (x+ a)

14、ex，x R，所以 f' (x) = (x+ a+ 1)ex.令 f' (x) = 0，得 x= a 1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)和f' (x)的變化情況如下：x(X，a 1)a 1(a 1，+ x )f' (x)0+f(x)故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一X， a 1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(一a 1，+).(2)結(jié)論：函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).理由如下：由 g(x) = f(x a) x2= 0，得方程 xex a= x2，顯然x= 0為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以x= 0是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)xm0時(shí)，方程可化簡為ex a= x.設(shè)函數(shù) F(x)= exa x，

15、那么 F' (x) = exa 1，令 F' (x) = 0，得 x= a.當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)(x)和F' (x)的變化情況如下：x(X，a)a(a，+x)F' (x)0+F(x)即F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，+x)，單調(diào)遞減區(qū)間為(一x，a).所以 F(x)的最小值 F(x)min = F(a) = 1 a. 因?yàn)?a<1,所以 F(x)min = F(a)= 1 a>0, 所以對于任意x R, F(x)>0, 因此方程ex a = x無實(shí)數(shù)解.所以當(dāng)XM 0時(shí)，函數(shù)g(x)不存在零點(diǎn). 綜上，函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).典例321. 12

16、分函數(shù)f (x)3axax xlnx,且 f (x)0.1求 a;2證明:f (x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e 2f (x0) 2 3.21.解:1的定義域?yàn)?,+x = ax - a -Inx，那么 f x = xg x , fx 0等價(jià)于g x 0因?yàn)間 1 =0, g x0,故g' 1 =0,而g' x a1, g' 1 =ax1,得 a 1假設(shè)a=1，那么g'1丄.當(dāng)0<x< 1時(shí),xx <0, g x單調(diào)遞減;x > 1 時(shí)，g' x > 0, g x單調(diào)遞增.所以x=1是g x的極小值點(diǎn),2由1知fx2x x

17、Inx,f '( x)2x2 Inx2x2Inx,則h '( x)2o1 時(shí),1 -，+ 2時(shí),所以h x110,-單調(diào)遞減，在 -，+22單調(diào)遞增<0, h 10,所以h x1在0,-有唯一零點(diǎn)Xo,在21 -，+ 2有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)x0,x0 時(shí)，h x >0 ;當(dāng) xx0,1 時(shí),1,+ 時(shí),因?yàn)閒 ' x，所以X=Xo是f(x)的唯一極大值點(diǎn)0得lnXo 2x°1),故f Xo =X0(1Xo)由 X。0,1 得 f ' Xo < -4因?yàn)閤=xo是f(x)在0,1丨的最大值點(diǎn)，由 e 10,1 ,f ' e 10得

18、rr12f x0 > f e e所以 e 2< f x0 <2-2解題反思在本例(1)中求f(x)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出f' (x)，注意到ex>0即可.(2)中由g(x) = 0得xex a = x2,解此方程易將x約去，從而產(chǎn)生丟解情況研究exa=x的解轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)F(x) = exa x的最值，從而確定F(x)零點(diǎn)，這種通過構(gòu)造函數(shù)、研究函數(shù)的最值從而確定函數(shù)零點(diǎn)的題型是高考中熱點(diǎn)題型，要熟練掌握.答題模板解決這類問題的答題模板如下：等價(jià)轉(zhuǎn)化把函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、兩函數(shù)圖象的 交點(diǎn)問題相互轉(zhuǎn)化.構(gòu)造新的函數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)、方程根、兩 函數(shù)圖象交點(diǎn)問題

19、.構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性、極值和最 值等性質(zhì)，有時(shí)可畫出函數(shù)圖象.解決問題得出結(jié)論利用極值和最值,結(jié)合圖象得出結(jié)果.i題型專練求c, d的值;假設(shè)函數(shù)f(x)在x = 2處的切線方程為3x+y-11 = 0,求函數(shù)f(x)的解析式；. 1 一.一、. .一在的條件下，函數(shù)y= f(x)與y=§f' (x) + 5x+ m的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求 m的取值范圍.解函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f' (x) = 3a/+ 2bx+ c- 3a- 2b.由圖可知函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(0,3)，且f' (1)= 0,d= 3,d = 3,得解得3a + 2

20、b + c 3a 2b= 0,c= 0.由得，f(x) = ax3 + bx2 (3a + 2b)x+ 3, 所以 f' (x)= 3ax2 + 2bx (3a + 2b).由函數(shù)f(x)在x= 2處的切線方程為3x+ y 11= 0,f 2 = 5 ,得，f'2 = 3 ,8a + 4b 6a 4b+ 3 = 5,a= 1,所以解得12a + 4b 3a 2b = 3,b= 6,所以 f(x) = x3 6x2+ 9x+ 3.由知 f(x)= x3 6/ + 9x + 3,所以 f' (x) = 3x2 12x+ 9.1函數(shù)y = f(x)與y = gf' (

21、x) + 5x + m的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)， 等價(jià)于x3 6x2 + 9x+ 3= (x2 4x+ 3) + 5x+ m有三個(gè)不等實(shí)根, 等價(jià)于g(x) = x3 7x2 + 8x m的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn).因?yàn)?g' (x) = 3x2 14x+ 8= (3x 2)(x 4),x2oo ,3233 , 44(4 , +o )g' (x)+0一0+g(x)極大值極小值2 68g 3 = 27 m, g(4) = 16 m,當(dāng)且僅當(dāng)g 2 = 68 m>0327時(shí)，g(x)圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，解得16<m<所以m的取值范圍為68一 16 ,刃g(shù) 4 = 16

22、 m<021. 12 分函數(shù)f(x)2x ,小、xae +(a- 2) e - x.1討論f (x)的單調(diào)性；2假設(shè)f(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍ii假設(shè)a 0,那么由f (x)0得x Ina.當(dāng)x (, In a)時(shí)，f (x)0 ;當(dāng)x (Ina,)時(shí)，f (x)0 ,所以f (x)在(，In a)單調(diào)遞減，在(In a,)單調(diào)遞增2i假設(shè)a 0，由1知，f (x)至多有一個(gè)零點(diǎn)1ii假設(shè)a 0,由1知，當(dāng)x In a時(shí)，f (x)取得最小值，最小值為f( | n a) 1 In a 觀察特殊值1a 當(dāng)a 1時(shí)，由于f( Ina) 0,故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；1 當(dāng)a (1,)時(shí)

23、，由于1- In a 0,即f( I n a) 0,故f (x)沒有零點(diǎn)；a1 當(dāng) a (0,1)時(shí)，1- In a 0，即 f ( In a) 0 .a422又 f( 2) ae (a 2)e2 2e 20,故 f (x)在(，Ina)有一個(gè)零點(diǎn)3設(shè)正整數(shù) n0滿足n0In( 1)，那么 f(n0)en0(ae5a 2)n0en°n02n°n00.a3由于In( 1) In a ,因此f (x)在(In a,)有一個(gè)零點(diǎn).a綜上，a的取值范圍為(0,1).題型三利用導(dǎo)數(shù)證明不等式題型概覽：證明f(x)vg(x), x (a, b)，可以直接構(gòu)造函數(shù)F(x)= f(x) g

24、(x),如果F' (x)<0，那么F(x)在(a, b)上是減函數(shù), 同時(shí)假設(shè)F(a)< 0,由減函數(shù)的定義可知，x (a, b)時(shí)，有F(x)<0，即證明了 f(x)vg(x) 有時(shí)需對不等式等價(jià)變形后間接構(gòu)造假 設(shè)上述方法通過導(dǎo)數(shù)不便于討論 F' (x)的符號，可考慮分別研究f(x)、g(x)的單調(diào)性與最值情況，有時(shí)需對不等式進(jìn)展等價(jià)轉(zhuǎn)化.典例3(2021陜西西安三模)函數(shù)f(x) =-.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)P2,e22處的切線方程;證明：f(x)>2(x lnx).審題程序第一步：求f (x)，寫出在點(diǎn)P處的切線方程；第二步：直接構(gòu)造g(x

25、) = f(x) 2(x lnx),利用導(dǎo)數(shù)證明g(x)min>0.標(biāo)準(zhǔn)解答(i)因?yàn)閒(x)=ex，所以f (x)=x2exx ex=嚀眾，又切點(diǎn)為2, e,所以切線方程為 y 2 = f(x 2)，即 e2x 4y = 0.x (0,+x),e證明：設(shè)函數(shù) g(x) = f(x) 2(x Inx) = ; 2x+ 2lnx,zvx2那么 g (x) =1 2 + 2=譽(yù)2了 1 , x (0,設(shè) h(x) = ex 2x, x (0,+3),那么 h' (x) = e 2,令 h' (x)= 0,那么 x= In2.當(dāng) x (0, In2)時(shí)，h' (x)&l

26、t;0;當(dāng) x (In2 ,+3)時(shí)，h' (x)>0. 所以 h(x)min = h(ln2) = 2 2In2>0，故 h(x)= ex 2x>0.e 2x x i令 g (x)=2= 0,那么 x= 1.當(dāng) x (0,1)時(shí)，g' (x)<0; 當(dāng) x (1,+3)時(shí),g' (x)>0.所以 g(x)min = g(1) = e 2>0,故 g(x) = f(x) 2(x Inx)>0，從而有 f(x)>2(x Inx).解題反思本例中(2)的證明方法是最常見的不等式證明方法之一，通過合理地構(gòu)造新函數(shù)g(x).求g(

27、x)的最值來完成.在求g(x)的最值過程中，需要探討g' (x)的正負(fù)，而此時(shí)g' (x)的式子中有一項(xiàng)g 2x的符號 不易確定，這時(shí)可以單獨(dú)拿出 0 2x這一項(xiàng)，再重新構(gòu)造新函數(shù) h(x)= ex 2x(x>0)，考慮h(x)的正負(fù)問題，此 題看似簡單，且不含任何參數(shù)，但需要兩次構(gòu)造函數(shù)求最值，同時(shí)在(2)中定義域也是易無視的一個(gè)方向.答題模板解決這類問題的答題模板如下:合理轉(zhuǎn)化一把不等式問題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.把不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新的函數(shù).構(gòu)造函數(shù)有時(shí)要變形,切記變形的依據(jù)是能夠通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.判斷單調(diào)性-利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性.1確定

28、最值1由函數(shù)的單調(diào)性，確定新函數(shù)的最值.得出結(jié)論一利用新函數(shù)的極值或最值,得出結(jié)論.題型專練13. (2021福建漳州質(zhì)檢)函數(shù)f(x) = aex blnx,曲線y= f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程為y= ?一 1 x+ 1.(1)求 a, b;證明：f(x)>0.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+乂).b11f (x)= aex x，由題意得 f(1) = e，ff (1)=" 1,11ae=,丄ea= 9,所以d解得621ae b=： 1,b= 1.e1由(1)知 f(x) = e lnx.因?yàn)?ff (x)=才2-在(0,+乂)上單調(diào)遞增，又 ff (1)

29、<0, f (2)>0, ZV所以ff (x)= 0在(0,+乂)上有唯一實(shí)根Xo,且Xg (1,2).當(dāng) x (0, Xo)時(shí)，f (x)<0，當(dāng) x (xo，+乂)時(shí)，ff (x)>0,從而當(dāng)x= xo時(shí)，f(x)取極小值，也是最小值.- 1由 f (xo)= 0,得 exo 2=，那么 x 2= Inxo. xo故 f(x)f(xo) = e xo 2 Inxo=> + xo 2>2/丄 xo 2= o,所以 f(x)>o. xoxo4、【2o21高考三卷】21. 12分函數(shù)f (x) =x - 1 - aln x.1假設(shè)f(x) °，

30、求a的值；2設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n, (1+1)(1 +*)_(1+*)v m求m的最小值.21.解：1f x的定義域?yàn)閛,+. 假設(shè)a o，因?yàn)閒 - =- - +aln 2vo，所以不滿足題意；2 2 假設(shè)a>0，由f' x 1 - x-知，當(dāng)x o,a時(shí)，f' x v o ;當(dāng)x a,+時(shí)，f' x >o，所以f x在o,a單調(diào)x x遞減，在a,+單調(diào)遞增，故x=a是f x在x O,+的唯一最小值點(diǎn).由于f 1 o,所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，f x o.故a=11 ln x> O2由1知當(dāng)x 1,+ 時(shí)，x令 x=1+£ 得 In

31、1+2n v 2，從而+丄=1V12門2門,1,1,11 1In 1 + +ln1+-5+ +ln1+匚v- +-y +2222n2 22故111故 1+1+-21+-n v e222而1+11+1+2>2，所以m的最小值為3.2 2 221. 12 分2函數(shù) f (x) =1 n x+ax+(2 a+1) x.1討論f (x)的單調(diào)性;2當(dāng)a< 0時(shí)，證明f (x)4a【答案】1當(dāng)a 0時(shí)，f(x)在(0,)單調(diào)遞增；當(dāng)a 0時(shí)，那么f(x)在(0,丄)單調(diào)遞增，在(丄，)單調(diào)遞減；2詳見解析2a2a【解析】 八力=加+”1用！=(皿+咚丄1)心叭當(dāng)切£0時(shí),心卩則畑在

32、(*)單磁増,些”0時(shí)，則/"在臺單調(diào)遞増，在單調(diào)遞減由(1)知，當(dāng)”0時(shí)，C =/(-),2a/(一點(diǎn)一(一丄7訓(xùn)一令燉Er(-±>0),-aia4aJc? 丄 q2a二F在Bl)單調(diào)遞増丿在Q-+x)單調(diào)遞痛題型四 利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題題型概覽：不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；假設(shè)參數(shù)不便于別離，或別離以后不便于求 解，那么考慮直接構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.典例41 a 函數(shù) f(x) = 2Inx mx, g(x) = x (a>0).2 x(1

33、)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；1假設(shè)m = 2e2，對? xi, X2 2,2e2都有g(shù)(xi)f(X2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.審題程序第步：利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x)的單調(diào)性，對m分類討論；第二步：對不等式進(jìn)展等價(jià)轉(zhuǎn)化，將g(X1)A f(X2)轉(zhuǎn)化為g(x)min > f(x)max；第三步：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并判斷其單調(diào)性進(jìn)而求極值(最值)；第四步：確疋結(jié)果.1 1標(biāo)準(zhǔn)解答(1)f(x) = 2lnx mx, x>0,所以 f (x)=以一m,當(dāng)mW 0時(shí)，f (x)>0, f(x)在(0,+乂)上單調(diào)遞增.1f' x >01f' x <01當(dāng) m&g

34、t;0 時(shí)，由 f (0)= 0 得 x= 2m；由 c ， 得 0<x<2m；由 c ， 得 x>2m.2mx>02mx>02m綜上所述，當(dāng)mW 0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+乂);1 1當(dāng)m>o時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,2m，單調(diào)遞減區(qū)間為 需，+乂.1 1 1 假設(shè)m= 2，那么f(x)= Inx 看.對? X1, x? 2,2說都有 g(X1)f(x2)成立,等價(jià)于對? x 2,2e都有 g(x)min >f(x)max ,1 由(1)知在2,2e2上f(x)的最大值為f(e2) = ?,aaa 1g (x)= 1+ x2>

35、0(a>0),x 2,2國，函數(shù) g(x)在2,2e2上是增函數(shù)，g(x)min = g(2) = 2-，由 2->2,得 a<3, 又a>0，所以a (0,3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,3.解題反思本例(1)的解答中要注意f(x)的定義域，(2)中問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù) f(x)、g(x)的 最值問題此題中，? Xi,X2有g(shù)(Xi) > f(X2)?g(x)min > f(x)max 假設(shè)改為:?Xi, ?沁 都有g(shù)(X“> f(X2),那么有g(shù)(x)max> f(x)max假設(shè)改為：？ Xi, ? X2都有g(shù)(Xi)> g

36、(X2)，那么有g(shù)(x)min > f(x)min要仔細(xì)體會，轉(zhuǎn)化準(zhǔn)確.答題模板解決這類問題的答題模板如下：1 |分離參數(shù)法構(gòu)造函數(shù)與直接法構(gòu)造前數(shù)構(gòu)造函數(shù)一靈活選用.討論單調(diào)性一那用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性.確定最住依據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性確定最值情況得出結(jié)論整合結(jié)論，得出結(jié)果，注意區(qū)間開閉.題型專練4. f(x) = xlnx, g(x) = x2 + ax-3.(1)對一切x (0,+乂), 2f(x)>g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;1 2 一證明：對一切x (0,+x ), inx>e<-&恒成立.解(1)由題意知2xlnx> x2+ ax 3對一切

37、x (0,+)恒成立,3那么 a<21 nx+x+-，x、r3設(shè) h(x) = 2lnx + x+ X(x>0),zv那么h（X）=x+3 x-1x2 當(dāng)x (0,1)時(shí)，h (x)<0, h(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x (1,+x)時(shí)，h (x)>0, h(x)單調(diào)遞增，所以 h(x)min = h(1) = 4,對一切 x (0,+x) , 2f(x)>g(x)恒成立，所以 aW h(x)min = 4.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一x, 4 x 2(2)證明：問題等價(jià)于證明xlnx>g e(x (0,+ x).D D又 f(x) = xlnx, f' (x

38、)= lnx+ 1,1當(dāng) x 0, e 時(shí)，f' (x)<0, f(x)單調(diào)遞減；1 、 1 1當(dāng) x e，+x 時(shí)，f' (x)>0, f(x)單調(diào)遞增，所以 f(x)min = f； = .DDDx 2設(shè) m(x)= e(x (0,+x),1 一 x那么m' (x)=-一廠，口 -1易知 m(x)max= m(1)= e，1 2從而對一切x (0,+x), In d 恒成立.e ex當(dāng) x (1,+x)時(shí)，h' (x)>0, h(x)單調(diào)遞增，所以 h(x)min = h(1) = 4,對一切 x (0,+x), 2f(x) > g(

39、x)恒成立,所以 a< h(x)min = 4.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一x, 4.題型五：二階導(dǎo)主要用于求函數(shù)的取值范圍23. （12 分）函數(shù) f x= x+1Inx - a x 1.I當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f乂在1, f1處的切線方程；II假設(shè)當(dāng)x 1, +乂時(shí)，fx0,求a的取值范圍.【解答】解：I當(dāng) a=4 時(shí)，fx=x+1lnx - 4x- 1.f 1=0,即點(diǎn)為1, 0，函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f'x=lnx+x+1?丄-4, 那么 f' 1=ln1+2 - 4=2 - 4=- 2,即函數(shù)的切線斜率 k二f' 1二-2, 那么曲線y=f乂在1, 0處的切線方程為y

40、=- 2x- 1=- 2x+2;II Jv fx=x+1lnx - ax - 1，f' x=1+ lnx - a,. f x=v x 1，二 f " x 0,.f'乂在1, +=上單調(diào)遞增，.f ' x f'1=2- a. a 2, f' x f' 10,.fx在1, +x上單調(diào)遞增，fxf 1=0,滿足題意; a 2,存在 x° 1, +x，f' X。=0,函數(shù)fx在1, X。上單調(diào)遞減，在X。，+x上單調(diào)遞增， 由f 1=0,可得存在x° 1, +x，f x°v 0,不合題意. 綜上所述，a 2

41、.23. （12 分）函數(shù) fx=x+1lnx - ax- 1.I當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=fx在1, f 1處的切線方程；II假設(shè)當(dāng)x 1, +x時(shí)，fx 0,求a的取值范圍.【解答】 解：I 丨當(dāng) a=4 時(shí)，f x= x+1lnx - 4 x - 1.f 1=0，即點(diǎn)為1, 0，函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f' x=lnx+ x+1片-4, f ” xII I： f x= x+1Inx - a x - 1， f' x=1 + 丄_+1 nx - a,/x 1 , f" x 0, f' x在1, +8上單調(diào)遞增, f'x f' 1=2 - a. aW2, f'x f' 10, fx在1, +上單調(diào)遞增， fx f 1=0，滿足題意; a2，存在 x° 1, +8，fxo=0 ,函數(shù)f乂在1, Xo上單調(diào)遞減，在xo, +8上單調(diào)遞增， 由f 1=0，可得存在X。 1, +8，fX0V 0,不合題意. 綜上所述，a2.題型六：求含參數(shù)求知范圍此類問題一般分為兩類：一、 也可別離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題此法適用于方便別離參數(shù)并可求出函數(shù)最大值與最小值的情況，假設(shè)題中涉及多個(gè)