圓錐曲線(xiàn)與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、圓錐曲線(xiàn)與方程考綱導(dǎo)讀1掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、了解橢圓的參數(shù)方程2掌握雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)3掌握拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)4了解圓錐曲線(xiàn)的初步應(yīng)用知識(shí)網(wǎng)絡(luò)橢圓橢圓定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)a、b、c 三者第二定義間的關(guān)系圓錐雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)統(tǒng)曲一線(xiàn)定第二定義義拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系高考導(dǎo)航圓錐曲線(xiàn)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容， 它的基本特點(diǎn)是數(shù)形兼?zhèn)?，兼容并包，可與代數(shù)、三角、幾何知識(shí)相溝通，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容?？v觀近幾年高考試題中對(duì)圓錐曲線(xiàn)的考查，基本上是兩個(gè)客觀題，一個(gè)主觀題，分值 21分24 分，

2、占 15%左右，并且主要體現(xiàn)出以下幾個(gè)特點(diǎn)：1圓錐曲線(xiàn)的基本問(wèn)題，主要考查以下內(nèi)容：圓錐曲線(xiàn)的兩種定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及 a、b、c、e、p 五個(gè)參數(shù)的求解圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的應(yīng)用2、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程或軌跡圖形在高考中出現(xiàn)的頻率較高， 此類(lèi)問(wèn)題的解決需掌握四種基本方法：直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法.3有關(guān)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題， 是高考的重?zé)狳c(diǎn)問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題常涉及圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)和直線(xiàn)的基本知識(shí)以及線(xiàn)段中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等，分析這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，往往要利用數(shù)形結(jié)合思想和 “設(shè)而不求”的方法、對(duì)稱(chēng)的方法及韋達(dá)定理，多以解答題的形式出現(xiàn)4求與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的參數(shù)或參數(shù)范圍問(wèn)題， 是高考命題的一大熱點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題綜合性

3、較大，運(yùn)算技巧要求較高；尤其是與平面向量、平面幾何、函數(shù)、不等式的綜合，特別近年出現(xiàn)的解析幾何與平面向量結(jié)合的問(wèn)題，是?？汲Ｐ碌脑囶}，將是今后高考命題的一個(gè)趨勢(shì)第1課時(shí)橢圓基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1橢圓的兩種定義(1) 平面內(nèi)與兩定點(diǎn) F1，F(xiàn)2 的距離的和等于常數(shù) (大于 F1 F2 )的點(diǎn)的軌跡叫橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的，之間的距離叫做焦距注：當(dāng) 2a|F1F2|時(shí)，P 點(diǎn)的軌跡是當(dāng) 2a|F1F2|時(shí)，P 點(diǎn)的軌跡不存在(2)橢圓的第二定義：到的距離與到的距離之比是常數(shù) e ，且 e的點(diǎn)的軌跡叫橢圓定點(diǎn) F 是橢圓的，定直線(xiàn) l是，常數(shù) e 是2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)在 x 軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)

4、準(zhǔn)方程是： x 2y 21 ，(>>0，且 a 2a 2b 2(2)焦點(diǎn)在 y 軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是 y 2x 21 ，其中 a，b 滿(mǎn)a 2b 2足：3橢圓的幾何性質(zhì) (對(duì) x 2y 2 1 ,a > b >0 進(jìn)行討論)a 2b 2(1)范圍：x ，y (2)對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)軸方程為；對(duì)稱(chēng)中心為(3)頂點(diǎn)坐標(biāo)：，焦點(diǎn)坐標(biāo)：，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)：，短半軸長(zhǎng)：；準(zhǔn)線(xiàn)方程：(4)離心率： e(與的比)， e， e 越接近 1，橢圓越；e 越接近 0，橢圓越接近于;.(5) 焦半徑公式：設(shè) F1 ,F2 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)， P( x0 , y 0 ) 是橢圓上一點(diǎn)，則P

5、F1， PF2 2a PF1 =(6) 橢圓的參數(shù)方程為4焦點(diǎn)三角形應(yīng)注意以下關(guān)系：(1) 定義： r1r22a(2)余弦定理： r12 r22 2r1r2cos(2c)2(3)面積：SPF F1r1r2 sin1·2c| y0，|PF2|(其中 P( x0, y0 )為橢圓上一點(diǎn)， |PF1|r12|122r2，F(xiàn)1PF2)典型例題例 1. 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（4，0），（4，0），橢圓上一點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)距離之和等于 10；（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（ 0，2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3,5 ) ；22（3）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 3 倍

6、，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（-3，3 ）變式訓(xùn)練 1：根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)和橢圓 x2y21 共準(zhǔn)線(xiàn)，且離心率為 1 24202(2)已知 P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓上，點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)的距離分別為 45 和 25 ，33過(guò) P 作長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)例 2. 點(diǎn) P(3, 4)是橢圓 x2y 2 1 (a>b>0) 上的一點(diǎn)， F1、F2 是它的兩焦點(diǎn)，若 PF1PF2a2b2求：(1) 橢圓的方程； (2) PF1F2 的面積解：（1）法一：令 F1(C，0)，F(xiàn)2(C，0). PF1PF2， kPF1kPF 21即 4c41 ，解得 c533c22 y2

7、橢圓的方程為 x2251aa 點(diǎn) P（3，4）在橢圓上，9ab251a 22解得 a245 或 a25又 ac， a25 舍去.故所求橢圓的方程為 x 2y 21 .4520法二：利用 PF1F2 是直角三角形，求得 c5(以下同方法一 )（2）由焦半徑公式：| PF1 |aex35 5×34 535| PF2 |aex35 5×32 535 S PF1F2 1 | PF1| |·PF2| 1 ×4 5 ×2 5 2022變式訓(xùn)練 2：已知 P（x）是橢圓 x2y21（a b0）上的任0,y02b 2a意一點(diǎn)， F1、F2 是焦點(diǎn)，求證：以 P

8、F2為直徑的圓必和以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切 .證明設(shè)以 PF2 為直徑的圓心為 A，半徑為 r.F1、 F2 為焦點(diǎn)，所以由橢圓定義知 |PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a r）連結(jié) OA，由三角形中位線(xiàn)定理，知|OA|= 1 | PF1 |12(ar )ar .22故以 PF2 為直徑的圓必和以長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切 .評(píng)注運(yùn)用橢圓的定義結(jié)合三角形中位線(xiàn)定理，使題目得證。例 3. 如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，其左焦點(diǎn) F1 與拋物線(xiàn) y 2 4x 的焦點(diǎn)重合，過(guò) F1 的直線(xiàn) l 與橢圓交于 A、B 兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于 C、D 兩點(diǎn)當(dāng)直線(xiàn) l

9、 與 x 軸垂直時(shí)，CD 2 2 AB（1）求橢圓的方程；;.2OF13F2A F2B1F1 ( 1,0)x2y 21( a b 0)a2b2y24xC-12 D1-2x1x| FC1|CD |2 2 |F1A|2A(1, 2 ) 2 |F1A |AB|22111 a2b 2c21a22b2111b21a22b21 2b2x2y21 4 22a2, b1,c1OF11Mx2M (1 , t),2.r ( 1) ( 2)3.22OMr ,( 1 )2t 23 ,t2.22( x1) 2( y2) 29 . 8243點(diǎn)F1(1,0), F2 (1,0)ABxA(1,2),B(1,2 )22F2A

10、( 2,2), F2B ( 2,2 )22F2 A F2B417 922AB xABkAByk( x1)yk( x1)22222 y22 0(1 2k ) x4k x 2(k1) 0x28k 280A(x1, y1 ) B(x2 , y2 ) .x1x24k 22 ,x1 x22(k 21)2k1 2k2111F2 A ( x11, y1 ), F2 B (x21, y2 );.F2A F2 B( x11)( x21)y1 y2(x1 1)( x21) k 2 ( x1 1)( x21)(1 k 2 ) x1 x2(k 21)( x1x2 ) 1 k 2(1 k22( k 21)(k21)(4

11、k 22 ) 1 k2)2k22k117k 2179=2k222(12k 2 )1k 20,1 2k 21,01112k 2F2 A F2B1, 7 ，所以當(dāng)直線(xiàn) l 垂于 x 軸時(shí)， F2 A F2 B 取得最大值722當(dāng)直線(xiàn) l 與 x 軸重合時(shí)， F2 A F2 B 取得最小值1變式訓(xùn)練 3：在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) A(-1, 0)、B(1, 0), 動(dòng)點(diǎn) C 滿(mǎn)足條件：ABC的周長(zhǎng)為 22 2.記動(dòng)點(diǎn) C 的軌跡為曲線(xiàn) W.(1)求 W 的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0,2）且斜率為 k 的直線(xiàn) l 與曲線(xiàn) W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn) P 和 Q，求 k 的取值范圍；（3）已知點(diǎn) M

12、（ 2，0），N（0, 1），在()的條件下，是否存在常數(shù) k，使得向量 OPOQ與 MN 共線(xiàn)？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .解：() 設(shè) C（x, y）, ACBCAB222,AB 2, ACBC 222, 由定義知，動(dòng)點(diǎn) C 的軌跡是以 A、B 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 22的橢圓除去與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn). a2, c=1 . b2a2c21 . W: x2y21( y0 ).22(2) 設(shè)直線(xiàn) l 的方程為 ykx2 ，代入橢圓方程，得 x(kx 2) 21.2整理，得 (1k 2 ) x222kx10 .2因?yàn)橹本€(xiàn) l 與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn) P 和 Q 等價(jià)于8k 2

13、4( 1k2 )4k220 ，解得 k2 或 k2 .222 滿(mǎn)足條件的 k的取值范圍為 k（,2 ) (2 ,)22（3）設(shè) P（x1,y1）,Q(x2,y2),則 OPOQ （x1+x2，y1+y2),由得 x1x242k2 .12k又 y1y2k (x1x2 ) 2 2因?yàn)镸(2, 0) ，N(0, 1) ， 所以 MN(2, 1).所以 OPOQ 與 MN 共線(xiàn)等價(jià)于 x1x2 =-2 ( y1y2 ) .將代入上式，解得 k2 .2所以不存在常數(shù) k，使得向量 OP OQ 與 MN 共線(xiàn).例 4. 已知橢圓 W 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率為6 ，兩條準(zhǔn)線(xiàn)間的距離為 6.3

14、;.橢圓 W 的左焦點(diǎn)為 F ，過(guò)左準(zhǔn)線(xiàn)與 x 軸的交點(diǎn) M 任作一條斜率不為零的直線(xiàn) l 與橢圓 W交于不同的兩點(diǎn) A 、 B ，點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 C .（1）求橢圓 W 的方程；（ ）求證： CFFB；2(R )（3）求MBC 面積 S 的最大值.x2y21，由題意可知解：（1）設(shè)橢圓 W 的方程為b2a2設(shè)點(diǎn) A ， B 的坐標(biāo)分別為 (x1, y1 ) ， ( x2 , y2 ) ,18k227k26 ， y1則 x1 x22 ， x1x22k ( x1 3) ， y2 k( x2 3) 13k13k因?yàn)?F ( 2,0)， C( x1 ,y1) ，所以 FC( x 2,

15、y ) ， FB ( x2, y2) .112又因?yàn)?( x12) y2( x2 2)(y)1( x1 2)k ( x23) ( x22)k (x13)c6 ,yAk2 x1 x25( x1x2 )12a3B2a2b2,解得 a6 ， c2 ， b2 ，F(xiàn)Ox22cM54k1290k2122k22a6,C13k13kck(54 k 212 90k 212 36k2 )x2y21 4 分13k20，所以橢圓 W 的方程為26所以 CFFB 10 分a2（2）解法 1：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線(xiàn)方程為 xc 3 ，所以點(diǎn) M 坐標(biāo)為 ( 3,0) .于是可設(shè)直 解法 2：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線(xiàn)方程為 x a2 3 ，所以點(diǎn)

16、M 坐標(biāo)為 ( 3,0) . c線(xiàn) l的方程為 y k (x3) 于是可設(shè)直線(xiàn) l 的方程為 y k( x3) ，點(diǎn) A ， B 的坐標(biāo)分別為 ( x1 , y1) ， ( x2 , y2 ) ,yk( x 3),x2y2得 (13k 2 ) x218k 2 x27k260 .則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ( x1 ,y1) ， y1k ( x13) ， y2 k( x2 3) 612由橢圓的第二定義可得由直線(xiàn) l 與橢圓 W 交于 A、 B 兩點(diǎn)，可知|FB |x23| y2|FC |x13,2| y1 |(18k 2 )24(1 3k 2 )(27 k26)0 ，解得 k2FB 10 分3所以 B，

17、F ，C三點(diǎn)共線(xiàn)，即 CF(3)由題意知;.S1 | MF | y1 |1 | MF | y2 |221|MF | y1y2 |21 | k (x1x2 ) 6k |23 |k|3233，13k21323| k | k |當(dāng)且僅當(dāng) k 21時(shí) “ =成”立，33所以MBC 面積 S 的最大值為22變式訓(xùn)練 4：設(shè) F1 、 F2 分別是橢圓 x+ y= 1的左、右焦點(diǎn) .54（1）若 P 是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PF1PF2 的最大值和最小值；（2）是否存在過(guò)點(diǎn) A（5，0）的直線(xiàn) l 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) C、D，使得 |F2C|=|F2D|？若存在，求直線(xiàn) l 的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

18、由 .解：（1）易知 a5,b2, c 1,F1(1,0), F2 (1,0)設(shè) P（x，y），則( 1,)(1 ,)221PF2xyxy xyPF1x244 x 211 x2355x5,5 ，當(dāng) x0 ，即點(diǎn) P 為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)， PF1PF2 有最小值 3；.當(dāng) x5 ，即點(diǎn) P 為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)， PF1 PF2 有最大值 4（2）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn) l 易知點(diǎn) A（ 5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線(xiàn) l 的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn) l 與橢圓無(wú)交點(diǎn)，所在直線(xiàn) l 斜率存在，設(shè)為 k直線(xiàn) l 的方程為 yk( x5)x2y21 ，得 (5k 24) x250k2 x 125k 220 0由方

19、程組 54yk( x5)依題意20(1680k 2 )0，得5k55555時(shí)，設(shè)交點(diǎn) C ( x1 , y1 )、 D ( x2 , y2 ) ，CD 的中點(diǎn)為 R( x0 , y0 ) ，當(dāng)k55則 x1x250k 2, x0x1x225k 25k 2425k 24y0k ( x05)k(25k 245)20k .5k 25k 24又|F2C|=|F2D|F2 Rlk kF2R10(20 k)20k2k kF2 Rk5k 24125k 24 20k 215k 2420k224，而 20k224 不成立，所以不存在直線(xiàn) l ，使得 |F22=20k=20kC|=|FD|綜上所述，不存在直線(xiàn) l

20、，使得 |F2C|=|F2D|小結(jié)歸納1在解題中要充分利用橢圓的兩種定義，靈活處理焦半徑，熟悉和掌握 a、b、c、e 關(guān)系及幾何意義，能夠減少運(yùn)算量，提高解題速度，達(dá)到事半功倍之效2由給定條件求橢圓方程， 常用待定系數(shù)法步驟是：定型 確定曲線(xiàn)形狀；定位;.確定焦點(diǎn)位置；定量 由條件求 a、b、c，當(dāng)焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，方程可能有兩種形式，要防止遺漏3解與橢圓的焦半徑、焦點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)， 一般要從橢圓的定義入手考慮；橢圓的焦半徑的取值范圍是 ac, ac 4“設(shè)而不求”，“點(diǎn)差法”等方法，是簡(jiǎn)化解題過(guò)程的常用技巧，要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)5解析幾何與代數(shù)向量的結(jié)合，是近年來(lái)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視第2課時(shí)雙曲線(xiàn)

21、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1雙曲線(xiàn)的兩種定義(1) 平面內(nèi)與兩定點(diǎn) F1，F(xiàn)2 的常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)注：當(dāng) 2a|F1F2|時(shí)，p 點(diǎn)的軌跡是2a|F1F2|時(shí)，p 點(diǎn)軌跡不存在(2) 平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn) P 到一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線(xiàn) l (F 不在 上)的距離的比是常數(shù) e，當(dāng) e 時(shí)動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線(xiàn)設(shè) P 到 F1 的對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 d ，到 F2對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 d2 ，則PF1PF2d1ed22雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 標(biāo)準(zhǔn)方程：x2y2軸上；y2x 21 ，焦點(diǎn)在軸上其中：a0，a22 1，焦點(diǎn)在a2b2bb 0， a 2(2) 雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式：mx2ny21(nm 0

22、)3雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì) (對(duì) x2y20, b 0 進(jìn)行討論 )221, aab(1)范圍： x， y(2)對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)軸方程為；對(duì)稱(chēng)中心為(3)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，.準(zhǔn)線(xiàn)方程為，漸近線(xiàn)方程為(4) 離心率 e =，且 e， e 越大，雙曲線(xiàn)開(kāi)口越， e 越小，雙曲線(xiàn)開(kāi)口越，焦準(zhǔn)距 P(5) 焦半徑公式，設(shè) F1，F(xiàn)2 分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若 P( x0 , y0 ) 是雙曲線(xiàn)右支上任意一點(diǎn)，PF，PF，若 P( x , y) 是雙曲線(xiàn)左支上任意一點(diǎn)， PF，12001PF2(6)具有相同漸近線(xiàn) yb x 的雙曲線(xiàn)系方程為a(7)的雙曲線(xiàn)叫等軸雙曲線(xiàn)，等軸雙曲線(xiàn)的漸

23、近線(xiàn)為，離心率為(8)x 2y21 的共軛雙曲線(xiàn)方程為a 2b2典型例題例 1根據(jù)下列條件，寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)是 (0，6)，且離心率是 1.5(2) 與雙曲線(xiàn) x22y22 有公共漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn) M(2，2)解： (1)頂點(diǎn)為(0，6)，設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為 y 2x 21 a 6a 2b 2又 e 1.5 c a e b 1.5 9故所求的雙曲線(xiàn)方程為 y 2 x 2136 45(2) 令與雙曲線(xiàn) x22y22 有公共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)為 x22y2 k 雙曲線(xiàn)過(guò) M（2，2） 42×4k得 k4 x2 2y24 即 y 2x 2124變式訓(xùn)練 1：根據(jù)下

24、列條件，求雙曲線(xiàn)方程。22（1）與雙曲線(xiàn) xy1 有共同漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)（ -3， 23 ）；916;.（2）與雙曲線(xiàn) x 2y 21 有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（ 32 ，2）1642解：法一：（1）雙曲線(xiàn) x 24 xy1 的漸近線(xiàn)為 y9163令 x=-3，y=±4，因 23 4 ，故點(diǎn)（-3， 2 3 ）在射線(xiàn) y4 x （x0）及 x 軸負(fù)半軸之3間， 雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在 x 軸上設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x 2y 21 ，（a>0，b>0）a 2b 2b4a3( 3)2( 23 ) 21a 2b 2解之得：a29b244 雙曲線(xiàn)方程為 x 2y 21944（2）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為 x 2y2

25、1 （a>0，b>0）a2b 2a2b220則 (32) 2221a2b2解之得：a212b28 雙曲線(xiàn)方程為 x 2y 21128法二：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為 x 2y 2（ 0）916.( 3)2(2 3)29 16 1422 雙曲線(xiàn)方程為 xy19 442216k0（1）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為xy16k 4 k1k04(32) 22 2116k4 k解之得： k=4 雙曲線(xiàn)方程為 x 2y 21128評(píng)注：與雙曲線(xiàn)x 2y 21 共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為x 2y 2（0），當(dāng) >0時(shí)，a 2b 2a2b 2焦點(diǎn)在 x 軸上；當(dāng) <0時(shí)，焦點(diǎn)在 y 軸上。與雙曲線(xiàn) x2y2共焦

26、點(diǎn)的雙曲線(xiàn)為1y 2a2b 2x 2122a2kb 2（a +k>0，b -k>0）。比較上述兩種解法可知，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)可以提k高解題質(zhì)量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準(zhǔn)確地理解解析幾何的基本思想。例 2 雙曲線(xiàn)型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為 12 m，上口半徑為 13 m，下口半徑為 25 m，高 55 m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線(xiàn)的方程（精確到 1m） .解：如圖 817，建立直角坐標(biāo)系 xOy，使 A 圓的直徑 AA在 x 軸上，圓心與原點(diǎn)重合 .這時(shí)上、下口的直徑 CC、BB平行于 x 軸，且 CC =13&

27、#215;2 (m)， BB =25×2 (m).設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為 x2y 21 （a>0,b>0）令點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（13，y），則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（25，ya2b255） .因?yàn)辄c(diǎn) B、C 在雙曲線(xiàn)上，所以 252( y 55) 21, 132y 21.12 2b212 2b 2;.252( y 55) 21(1)解方程組 12 2b 25 b （負(fù)值舍去） .代入y 2由方程（ 2）得 y1321(2)12122b 22( 5b55) 2方程（1）得2512b 21, 化簡(jiǎn)得 19b2+275b18150=0（3）122解方程（3）得b25 (m)所.以所求雙曲線(xiàn)方

28、程為： x2y21.144625變式訓(xùn)練 2：一炮彈在某處爆炸，在 A 處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在 B 處晚 2 s.（1）爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線(xiàn)上？（2）已知 A、B 兩地相距 800 m，并且此時(shí)聲速為 340 m/s，求曲線(xiàn)的方程 .解（1）由聲速及 A、B 兩處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差，可知 A、B 兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差，因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以 A、B 為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)上 .因?yàn)楸c(diǎn)離 A 處比離 B 處更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近 B 處的一支上 .（2）如圖 814，建立直角坐標(biāo)系 xOy，使 A、 B 兩點(diǎn)在 x軸上，并且點(diǎn) O 與線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)重合.設(shè)爆炸點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ x,y），則

29、PA PB 3402680,即 2a=680,a=340.又 AB800, 2c=800,c=400,b2=c2a2=44400. PAPB 6800, x>0.所求雙曲線(xiàn)的方程為：x2y21(x>0).11560044400例 3.ABC 中，固定底邊 BC，讓頂點(diǎn) A 移動(dòng)，已知 BC4 ，且 sin C sin B1 sin A ，求2頂點(diǎn) A 的軌跡方程解：取 BC 的中點(diǎn) O 為原點(diǎn)，BC 所在直線(xiàn)為 x 軸，建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)?BC4 ，所以142，即 ABAC2由雙曲線(xiàn)B( 2,0 )， c(2,0) 利用正弦定理，從條件得 c b2定義知，點(diǎn) A 的軌跡是 B、C

30、 為焦點(diǎn)，焦距為 4，實(shí)軸長(zhǎng)為 2，虛軸長(zhǎng)為 23的雙曲線(xiàn)右.支，點(diǎn) (1，0)除外，即軌跡方程為 x2y 21 ( x1 )3變式訓(xùn)練 3：已知雙曲線(xiàn) x2y 21( a0, b0) 的一條漸近線(xiàn)方程為 y3x ，兩a2b 2條準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 l.（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）直線(xiàn) l 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O 且和雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn) M、N，點(diǎn) P 為雙曲線(xiàn)上異于 M、N 的一點(diǎn)，且直線(xiàn) PM，PN 的斜率均存在，求 kPM·kPN 的值.b3,a2a2（1）解：依題意有：c1,a2b 2c2 ,解得 a 21, b23.可得雙曲線(xiàn)方程為 x 2y 21.3（2）解：設(shè)M ( x0 , y0 ),

31、由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,可得 N(x0 , y0 ).設(shè)P(xP , yP ),則k PMkPNyPy0yPy0yP2y02xPx0xPx022 .xPx0又 x02y021,3所以 y023x023,同理 yP23xP23,;.3xP233x0233.所以 k PM kPNxP2x02例 4. 設(shè)雙曲線(xiàn) C： x2y 21的左、右頂點(diǎn)分別為 A 1、A 2，垂直于 x 軸的直線(xiàn) m 與雙2曲線(xiàn) C 交于不同的兩點(diǎn) P、Q。（1）若直線(xiàn) m 與 x 軸正半軸的交點(diǎn)為 T，且 A1PA2 Q 1，求點(diǎn) T 的坐標(biāo)；（2）求直線(xiàn) A1P與直線(xiàn) A 2Q 的交點(diǎn) M 的軌跡 E 的方程；（3）過(guò)點(diǎn) F（1

32、，0）作直線(xiàn) l 與（）中的軌跡 E 交于不同的兩點(diǎn) A 、B，設(shè) FAFB ，若 2, 1, 求 |TATB |（T 為（）中的點(diǎn)）的取值范圍。解：（1）由題，得 A (2 ,0), A(2 ,0) ，設(shè)P(x0 , y0 ), Q( x0 , y0 )12則 A1P( x02 , y0 ), A2 Q( x02,y0 ).由 A1PA2 Q1x02y0221,即x02y023.又 P(x0 , y0 ) 在雙曲線(xiàn)上，則 x02y021.2聯(lián)立、，解得x02由題意， x00,x02.點(diǎn) T 的坐標(biāo)為（ 2，0） 3分（2）設(shè)直線(xiàn) A1P與直線(xiàn) A 2Q 的交點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ x，y）由 A 1、P、M 三點(diǎn)共線(xiàn)，得( x02) yy0 ( x2) 1分由 A 2、Q、M 三點(diǎn)共線(xiàn)，得( x02) yy