代數(shù)方程變形導(dǎo)致增根失根的原因

1、目錄 摘要2 ABSTRACT3 弓I言4 第一章解方程中產(chǎn)生增根的幾種方程5 1.1 分式方程的增根5 1.2 無理方程的增根6 1.3 三角方程的增根6 1.4 對(duì)數(shù)函數(shù)的增根7 1.5 產(chǎn)生增根的原因7 1.6 增根的應(yīng)用8 第二章解方程中產(chǎn)生失根的幾種方程9 整式方程的失根9 三角方程的失根9 對(duì)數(shù)方程的失根1.0 產(chǎn)生失根的原因1.0 小結(jié)1.1 參考文獻(xiàn)1.1 致謝1.2代數(shù)方程的變形導(dǎo)致增根失根的原因 郭厚龍 摘要 從初等代數(shù)到高等代數(shù)的研究過程中，方程是研究問題的基礎(chǔ)。如分式方程、無理方程、三角方程、整式方程、對(duì)數(shù)方程等等。而解方程的過程就是對(duì)代數(shù)的研究過程，尤其是代數(shù)方程，而

2、代數(shù)方程在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性不言而喻。解代數(shù)方程的過程中，由于定義域的范圍可能改變，導(dǎo)致其所得的根可能不在其定義域的范圍內(nèi)，而不在其定義域內(nèi)的根就是我們所說的增根。反之，在定義域內(nèi)有解，但沒有解出來的根就是失根。然而，增根與失根的問題卻使老師和同學(xué)們?cè)诮夥匠痰倪^程中患得患失，力不從心。那么，什么是增根與失根？產(chǎn)出增根與失根的原因是什么？本文將從解分式方程、無理方程、三角方程、整式方程、對(duì)數(shù)方程等方程的過程中產(chǎn)生增根與失根的現(xiàn)象出發(fā)，來分析代數(shù)方程變形導(dǎo)致增根與失根的原因。關(guān)鍵詞：代數(shù)方程；增根；失根 THEREASONFORTHATTHECHANGEOFTHEALGEBRAICEQUATION

3、 LEADSTOINCREASINGROOTANDLOSINGROOT ABSTRACT Fromelementaryalgebratohighalgebra,thequestionofequationisthe bases.Suchasfractionalequation、irrationalequation、trigonometric equation、ntegralexpression、logarithmicequationAndtheprocess resolvingequationistheprocessofresearchingalgebraicequation,especial

4、algebraicequation.Asweallknow,thealgebraicequationisveryimportant.In theprocessofresolvingalgebraicequation,itispossiblethatthescopeofdomainofdefinitionchange,whichleadstorootisnotthescopeofdomainof ofdefinition,therootiscalledincreasingroot,oppositelywecallitlosingroot.However,thequestionofincreasi

5、ngrootandlosingrootoftenmake teachersandstudentsfeelitdifficult,then,whatisincreasingrootandlosing Keyword:algebraicequation,increasingroot,losingroot 引言 從小學(xué)到大學(xué)，每個(gè)學(xué)習(xí)階段都有解方程的題。特別是在中學(xué)數(shù)學(xué)中,解方程幾乎貫穿了整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的始終。無論是平時(shí)的月考、期末考，還是在中考、高考中，解方程已成為一種?？嫉念}型和解決其它問題的工具。足可見出解方程在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位。然而，常常由于在解方程過程中產(chǎn)生增根與失根，讓我們?cè)诿鎸?duì)這樣的

6、題時(shí)不能完全做對(duì)。本文將從分式方程的增根、無理方程的增根、三角方程的增根、對(duì)數(shù)方程的增根，整root?Whyproduceincreasing rootand losingroot?Wewillanalysethe reasonthatthechangeofthe algebraic equationleadstoincreasingroot andlosingrootfromresolving fractional equation、irrationalequation、 trigonometricequation 、ntegralexpression 、logarithmicequatio

7、n. 式方程的失根、三角方程的失根、對(duì)數(shù)方程的失根出發(fā)，分析道出解方程過程中產(chǎn)生增根與失根的原因。 第一章解方程中產(chǎn)生增根的幾種方程 1.1分式方程的增根 對(duì)分式方程的解， 我們一般是通過在方程的兩邊同時(shí)乘以最簡公分母， 將分式方程化為整式方程進(jìn)行求解，在這過程中，看似每步都有理有據(jù)，但常常與答案稍有偏差，這究竟是答案有誤？還是我們的求解欠佳？卜面我們通過一個(gè)例子來回答這個(gè)問題 、12 1例 1:解方程- 2 x23x2 x2x1一2 解：方程兩邊同時(shí)乘以 x3xx3x2 2 得 x x1 12x2x4242 化簡得；3x3x3 3 解得：x x1 1 上面的解法有理有據(jù)，然而，x x1 1

8、真的是原方程的根嗎？把根 x x1 1 代入原方程，我們看到，分母 x x10,10,因此，x x1 1 不是原方 程的根，其實(shí)，在我們剛才的求解過程中，忽視了一個(gè)問題：方程兩邊同時(shí)乘以的式子不能為 0,0,即本題中的(x1)(x(x1)(x2)02)0 即 x1,xx1,x2,2,所以，解出得 x x1 1 不是方程的根，我們稱其為原方程的增根. 1.2無理方程的增根 對(duì)無理方程的求解，我們常通過兩邊平方去根號(hào)來解方程，與分式方程中分母不為0的限制一樣， 無理方程也有一個(gè)限制：根號(hào)下的式子必須大于或等于0,那么，在解方程過程中，是否也會(huì)像分式方程一樣，可能會(huì)產(chǎn)生增根呢？我們也通過一個(gè)例子來檢

9、驗(yàn)一下： 例2：解方程 J2J2x x23x x6 6x x 22 解:兩邊平萬得 2xx2xx6 6x x 移項(xiàng)整理得 x x2x x6060 解得 x x3 3 或 x x2 2 我們同樣把 x x3 3、x x2 2 分別代入原方程知，當(dāng) x x2 2 時(shí)，方程變?yōu)?2, 這顯然不對(duì)，即 x x2 2 不是原方程的根，這是為什么呢？在原方程中，左邊含根號(hào)，故右邊的x應(yīng)大于或等于 0,0,故 x x2 2 只是原方程的增根。 1.3三角方程的增根 另一種在解方程過程中較易產(chǎn)生增根的方程是三角方程，下面我們也通過一個(gè)例子來說明和分析一下： 網(wǎng)例3:解方程C0S2x0 tanx 解：由cos2

10、x0得 2周志剛.時(shí)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).2006(11) 3朱偉衛(wèi)數(shù)理天地2008(11) Xik4 x2k(k)4 在上面的解方程過程中，似乎也毫無破綻，但我們應(yīng)該注意到，在正 切函數(shù)中xk,同時(shí)，因分母不為0,所以xk,故所得的24 解X2k是原方程的增根 4 1.4對(duì)數(shù)函數(shù)的增根 在解對(duì)數(shù)方程過程中，因?qū)?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，故對(duì)形如logaf(x)loga9(x)(a0,a1)的方程我們用f(x)g(x)來求解方程，然而，在解方程過程中，我們常忽f(x),g(x)本身作為真數(shù)應(yīng)大于0這個(gè)限制而導(dǎo)致所解方程出現(xiàn)增根。 ,2 44例 4 4：解方程lg(x5x6)lg(2x4)o 解：根據(jù)同底數(shù)的兩個(gè)

11、對(duì)數(shù)式相等， 其真數(shù)相等得：x x25x5x6 62x2x4 4 即 _ x x23x3x2020 解得 x1x1 或 x2x2 與前面一樣，我們吧所得的根代入原方程，則當(dāng) x x2 2 時(shí)，真數(shù) 2x2x40,40,這顯然違反了對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0的前提條件，故 x x2 2 不是原方程的根，而是其增根。 1.5產(chǎn)生增根的原因 現(xiàn)在我們根據(jù)上面的內(nèi)容來分析在解方程過程中產(chǎn)生增根的原因： 在例1中，對(duì)原方程，因分母不為0,故其未知數(shù)的取值范圍為 x x1 1、 x x2,2,而變形成整式方程后，未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù) R,R,從而 導(dǎo)致所得的根 X1X1 是其增根。在例2中，對(duì)原方程，因根

12、號(hào)下的式子大 于或等于 0,0,故其未知數(shù)的取值范圍為 X2,X2,兩邊平方變形后未知數(shù)的取 值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù) R,R,從而導(dǎo)致所得的根 x x2 2 是原方程的增根。在例 3中，原方程的取值范圍為xk且X2k一,變形后未知數(shù)的取 24 值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù)R,從而導(dǎo)致所得的根X2k2是原方程的增根； 在例4中，因?yàn)閷?duì)數(shù)的真數(shù)大于0,故其未知數(shù)的取值范圍為 x x2,2,而根 據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)后，未知的取值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù) R,R,從 而導(dǎo)致所得的根 x x2 2 是原方程的增根。 從上面的分析中，我們不難發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程變形導(dǎo)致增根的原因是：變形后未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大了。 1.6

13、增根的應(yīng)用 我們解代數(shù)方程時(shí)，在變形過程中可能會(huì)因未知數(shù)的范圍擴(kuò)大而產(chǎn)生增根，然而，我們常常只去擔(dān)心增根會(huì)導(dǎo)致方程不能完全解對(duì)，殊不知，增根卻有著其極大的潛在作用：當(dāng)我們已知方程的增根時(shí)，?？赏ㄟ^增根反解出原方程中的未知數(shù)字母的值。 5例5若關(guān)于x的方程3匹22有增根 x x1 1,求a的值。 xx1x1 ._.2_ 解：去分母整理得：(a2)x4x(a2)x4x3030 因?yàn)樵匠逃性龈?x x1,1, 把 x x1 1 代入方程得，(a(a2)4302)430 解得a=3 方程的增根雖然不適合原方程，但卻適合變形后的整式方程，這也是 求字母系數(shù)的方法。第二章解方程中產(chǎn)生失根的幾種方程 2.

14、1整式方程的失根 我們?cè)诮庹椒匠虝r(shí)， 常會(huì)通過在方程的兩邊同時(shí)除以一個(gè)相同的代數(shù)式來化簡方程，然而，在這過程中，很容易會(huì)失去原方程的根。 例6解方程(x1)(x(x1)(x2)(2x3)(x(2x3)(x1)1) 解：方程兩邊同時(shí)除以(x(x1)1)得 x x2 22x2x3 3 解得 x x1 1 這個(gè)題簡單易解，解題過程似乎也沒有不對(duì)之處，可是，如果我們仔細(xì)觀察一下原方程，就會(huì)發(fā)現(xiàn) x x1 1 也是原方程的根，即我們?cè)诮夥匠踢^程中失去了根 x x1 1。 2.2三角方程的失根 在第二節(jié)中，我們知道，在解三角方程時(shí)，會(huì)因?yàn)樽冃沃形粗獢?shù)的范圍擴(kuò)大而產(chǎn)生增根。其實(shí)，在解三角方程時(shí)，也很容易會(huì)

15、使原方程失根。7例 7：解方程sinxcosx1 cx,2x 2tan-1tan一 解：用代換sinx2,cosx2o 2x2x tan1tan 2 22tan2- 方程可化為20 tan2- 解得：x2k-(k) 2 方程解到這里，似乎也該結(jié)束了，可是，我們把 xkxk 代入也滿足原方程，即我們?cè)诮夥匠踢^程中失去了原方程的根 xkxk(k)0 6陸秀朋數(shù)學(xué)大世界(初中生數(shù)學(xué)輔導(dǎo)版)，2000(1) 7鄧念祖數(shù)學(xué)教學(xué)1956(2) 對(duì)數(shù)方程的失根 對(duì)于含形如的logjf(x)對(duì)數(shù)方程，我們常把 f(x)f(x)的指數(shù)n提到對(duì)數(shù)符號(hào)前面化簡方程進(jìn)行求解，在此過程中，是否會(huì)因?yàn)槲覀兊目紤]不周而失根

16、呢？我們同樣通過一個(gè)例子來驗(yàn)證一下。 、,2 網(wǎng)例8:解方程lgx2 原方程變形為2lgx2 即 lgx1 解得x10 至恥匕，我們的方程解完了嗎？如果我們把 x10 代入原方程，會(huì)發(fā)現(xiàn)x1他適合原方程，我們解方程過程中丟失了根x10。 產(chǎn)生失根的原因 現(xiàn)在我們也通過上面的內(nèi)容來分析解方程過程中導(dǎo)致失根的原因： 在例2中，原方程的取值范圍是全體實(shí)數(shù)R,代換變形后在正切函數(shù) x 中，-一k,即 x x 也，縮小了未知數(shù)x的取值范圍，從而導(dǎo)致原 22 方程的根 xkxk 丟失了。在例3中，原方程的未知數(shù)的取值范圍為 x x0,0, 變形后，未知數(shù)的取值范圍縮小為 x x0,0,從而導(dǎo)致原方程的根

17、x10 丟失 了。然而，在例1中，變形前后未知數(shù)的取值范圍均為全體實(shí)數(shù)，并未發(fā) 生變化，只是在原方程的兩邊同時(shí)除以一個(gè)相同的含未知數(shù)的式子，同樣 也使原方程的根丟失了。 從上面的分析中，我們看到，代數(shù)方程變形導(dǎo)致失根的原因有兩種：第一、方程兩邊同時(shí)除以一個(gè)相同的含未知數(shù)的式子而導(dǎo)致失根。第二、變形后未知數(shù)的取值范圍縮小而導(dǎo)致失根。 小結(jié) 本文通過解各種形式的方程導(dǎo)致增根與失根的現(xiàn)象出發(fā)分析出代數(shù)方程變形導(dǎo)致增根與失根的原因。變形導(dǎo)致增根的原因是：變形后未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大了(不在定義域范圍內(nèi)或在定義域內(nèi)而沒有解出根)；變 形導(dǎo)致失根的原因 有兩種：第一、方程兩邊同時(shí)除以一個(gè)含未知數(shù)的式子而導(dǎo)致失根。第二、 變形后未知數(shù)的取值范圍縮小而導(dǎo)致失根。 參考文獻(xiàn) 1周志剛時(shí)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)2006(3) 2周志剛.時(shí)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).2006(11) 3朱偉衛(wèi)數(shù)理天地2008(11) 4戴遠(yuǎn)偉數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2010(15) 5李小福時(shí)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)2004(4) 6陸秀朋數(shù)學(xué)大世界(初中