全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題

1、2021年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題、選擇題18小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).1 當(dāng) x > 0時(shí)，f x 二x-sinax與 g x=x2ln 1-bx 等價(jià)無窮小，那么11Aa=1,b.Bia=1,b6611Ca = -1,b.iDa = -1,bh66(2)如圖，正方形(x,y j|x| <1, y <0被其對(duì)角線劃分為四個(gè)區(qū)域 Dk k =1,2,3,4 , lk 二 ycosxdxdy，Dk那么 maxm .；二()A I1.B I2.C I3.3設(shè)函數(shù)y = f x在區(qū)間-1,

2、3 上的圖形為:f(x)I/7-2-123x那么函數(shù)F x = p f t dt的圖形為 f(x)f(x)1(4)(5)(6)設(shè)有兩個(gè)數(shù)列：an ?,、bn ，假設(shè)lim an = 0，0O0A當(dāng)a bn收斂時(shí)，7 anbn收斂.n呂n仝C 當(dāng)無| bn收斂時(shí)，送a：b2收斂.設(shè)冷，2,3是3維向量空間R3的一組基,>1 *2,2那么B當(dāng)& bn發(fā)散時(shí),n呂D當(dāng)bn發(fā)散時(shí),那么由基n =4& anbn發(fā)散.n -4二a2bn發(fā)散.n =411:4,2,3到基23廣101、12 02 20(B)02 3e 33丿03?* 11r 111、246222111111(D)246

3、444111111< 246666B均為2階矩陣,A*,B*分別為A, B的伴隨矩陣，假設(shè)*3, >3 *1的過渡矩陣為)CA = 2, B = 3，那么分塊A設(shè)A,的伴隨矩陣為O 3BO 2B(A)*(B)k3A*O<2AO 丿f _* 、f _* 、O 3AO 2A(C )*(D)*<2BO 丿<3BO 丿矩陣'O<B，其中G x為標(biāo)準(zhǔn)正r x _ i (7)設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 F (x )=0.3(x )+0.7態(tài)分布函數(shù)，那么EX二()A 0.B 0.3.C 0.7.D 1.(8) 設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，且 X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N

4、 0,1 , Y的概率分布為1pfY =0.；=PfY =1，記Fz z為隨機(jī)變量Z二XY的分布函數(shù)，貝y函數(shù)Fz z的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A 0.B 1.C 2.D 3.二、填空題(9-14小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9) 設(shè)函數(shù)f u,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z = f x,xy，那么.一二。£cy(10) 假設(shè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程y ： ay ' by =0的通解為y二C1 C2x ex，那么非齊次方程y ： ayby二x滿足條件y 0 = 2, y 0二0的解為y =。(11) 曲線 L:y =x2 0 乞，那么Xds 二。(12) 設(shè)

5、;.；-x, y, z x2 y2 z2 _仁，那么 ii iz2dxdydz =。Q(13) 假設(shè)3維列向量:-/滿足=2，其中：T為的轉(zhuǎn)置，那么矩陣1 的非零特征值為。(14) 設(shè)XX2,1H, Xm為來自二項(xiàng)分布總體 B n, p的簡單隨機(jī)樣本，X和S2分別為樣本均值和樣本方差。假設(shè) X kS2為np2的無偏估計(jì)量，那么 k =。三、解答題(15- 23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (此題總分值9分)求二元函數(shù) f(x, y)=x2 2 y2y lny的極值。(16) (此題總分值9分)設(shè)an為曲線y =xn與y二xn

6、 1 n=1,2,.所圍成區(qū)域的面積，記QOQOan, S2 a2n_4，求 S 與 S2 的值。n證n 32 2(17) (此題總分值11分)橢球面S1是橢圓x y1繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面 S,是過點(diǎn)434,0且與橢圓相切的直線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成。(I)求S)及S,的方程(n)求S與§之間的立體體積。(18)(此題總分值11分)(I)證明拉格朗日中值定理：假設(shè)函數(shù) f x在la,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，那么存在-i：a,b，使得 f b - f a 二 f b-a(n)證明：假設(shè)函數(shù)f x在x=0處連續(xù)，在0門0內(nèi)可導(dǎo)，且匕mfx)= a 那么 f；(0)存在,(19)(此題總分值

7、10分)計(jì)算曲面積分I-1'xdydz ydzdx zdxdy，其中是曲面3x2y2z2 2(20)2x2 2y2 z2 = 4的外側(cè)。(此題總分值11 分)-1-1-1一2丿(I)求滿足A2 3 = 1的所有向量(n)對(duì)中的任意向量八；證明無關(guān)。(21)(此題總分值11分)設(shè)二次型 f x1,x?,x3 =a# ax；亠a-1 迂 2%-2x2x3(I)求二次型 f的矩陣的所有特征值;(n)假設(shè)二次型 f的標(biāo)準(zhǔn)形為y1 y2，求a的值。(此題總分值11分)袋中有1個(gè)紅色球，2個(gè)黑色球與3個(gè)白球，現(xiàn)有回放地從袋中取兩次， 每次取一球,以X,Y,Z分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù)。(I)求 px =1 Z =0；(n)求二維隨機(jī)變量 X