1.1.3-集合的基本運(yùn)算

1、1.1.3集合的基本運(yùn)算第一課時(shí)并集和交集Q 已知一個(gè)班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判斷這個(gè)班有多少是獨(dú)生子女嗎？如果不能判斷，你能說出需哪些條件才能對(duì)這一問題做出判斷嗎？事實(shí)上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我們就知道，上面給出的條件不足以判斷這個(gè)班獨(dú)生子女的人數(shù)，為了解決這個(gè)問題，我們還必須知道“有兄弟且有姐妹的同學(xué)的人數(shù)”應(yīng)用本小節(jié)集合運(yùn)算的知識(shí)，我們就能清晰地描述并解決上述問題了X 1并集和交集的定義定義并集交集自然語言一般地，由所有屬于集合A_或_集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作_AB_一般地，由屬于集合A_且_屬于集合B的所有元素組成的集合，

2、稱為集合A與B的交集，記作_AB_符號(hào)語言ABx|_xA_，或xBABx|xA，且_xB_圖形語言知識(shí)點(diǎn)撥(1)簡(jiǎn)單地說，集合A和集合B的全部(公共)元素組成的集合就是集合A與B的并(交)集；(2)當(dāng)集合A，B無公共元素時(shí)，不能說A與B沒有交集，只能說它們的交集是空集；(3)在兩個(gè)集合的并集中，屬于集合A且屬于集合B的元素只顯示一次；(4)交集與并集的相同點(diǎn)是：由兩個(gè)集合確定一個(gè)新的集合，不同點(diǎn)是：生成新集合的法則不同2并集和交集的性質(zhì)并集交集簡(jiǎn)單性質(zhì)AA_A_；A_A_AA_A_；A_常用結(jié)論ABBA；A(AB)；B(AB)；ABBABABBA；(AB)A；(AB)B；ABBBAY 1(20

3、17·全國卷文，1)設(shè)集合A1,2,3，B2,3,4，則AB(A)A1,2,3,4B1,2,3C2,3,4D1,3,4解析AB1,2,32,3,41,2,3,4，故選A2(2016·全國卷文，1)設(shè)集合A1,3,5,7，Bx|2x5，則AB(B)A1,3B3,5C5,7D1,7解析集合A與集合B公共元素有3,5，故AB3,5，選B3設(shè)集合A2,4,6，B1,3,6，則如圖中陰影部分表示的集合是(C)A2,4,6B1,3,6C1,2,3,4,6D6解析圖中陰影表示AB，又因?yàn)锳2,4,6，B1,3,6，所以AB1,2,3,4,6，故選C4已知集合A1,2,3，B2,4,5，則

4、集合AB中元素的個(gè)數(shù)為_5_.解析AB1,2,3,4,5，故填5.5已知集合A1,2,3，B2，m,4，AB2,3，則m_3_.解析因?yàn)锳B2,3，所以3B.所以m3.H 命題方向1并集的概念及運(yùn)算典題1 (1)設(shè)集合A1,2,3，B2,3,4,5，求AB；(2)設(shè)集合Ax|3<x5，Bx|2<x6，求AB.思路分析第(1)題由定義直接求解，第(2)題借助數(shù)軸求很方便解析(1)AB1,2,32,3,4,51,2,3,4,5(2)畫出數(shù)軸如圖所示：ABx|3<x5x|2<x6x|3<x6規(guī)律方法并集運(yùn)算應(yīng)注意的問題(1)對(duì)于描述法給出的集合，應(yīng)先看集合的代表元素是什

5、么，弄清是數(shù)集，還是點(diǎn)集，然后將集合化簡(jiǎn)，再按定義求解(2)求兩個(gè)集合的并集時(shí)要注意利用集合元素的互異性這一屬性，重復(fù)的元素只能算一個(gè)(3)對(duì)于元素個(gè)數(shù)無限的集合進(jìn)行并集運(yùn)算時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點(diǎn)的值能否取到跟蹤練習(xí)1(1)已知集合A0,2,4，B0,1,2,3,5，則AB_0,1,2,3,4,5_(2)若集合Ax|1x2，Bx|0x3，則AB_x|1x3_(3)已知集合A1,3，B1，m，ABA，則m(B)A0或B0或3C1或D1或3解析(1)AB0,2,40,1,2,3,50,1,2,3,4,5(2)結(jié)合數(shù)軸，分析可得ABx|1x3(3)方法一：利用并集的性質(zhì)及子

6、集的含義求解ABA，BA，又A1,3，B1，m，m3或m.由m得m0或m1.但m1不符合集合中元素的互異性，故舍去，故m0或m3，故選B方法二：利用排除法求解B1，m，m1，可排除選項(xiàng)C、D又當(dāng)m3時(shí)，A1,3，B1,3，AB1,3，A，故m3適合題意，故選B命題方向2交集的概念及其運(yùn)算典題2 (1)設(shè)集合M1,0,1，Nx|x2x則MN(B)A1,0,1B0,1C1D0(2)若集合Ax|2x3，Bx|x<1或x>4，則集合AB等于(D)Ax|x3或x>4 Bx|1<x3Cx|3x<4 Dx|2x<1(3)已知A(x，y)|4xy6，B(x，y)|3x2y7

7、，則AB_(1,2)_.思路分析(1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集(2)借助數(shù)軸求AB.(3)集合A和B的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，A、B的交集即為方程組的解集解析(1)Nx|x2x0,1，MN0,1故選B(2)將集合A、B表示在數(shù)軸上，由數(shù)軸可得ABx|2x<1，故選D(3)AB(x，y)|4xy6(x，y)|3x2y7(1,2)規(guī)律方法求集合AB的方法與步驟(1)步驟首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；把所求交集的集合用集合符號(hào)表示出來，寫成“AB”的形式；把化簡(jiǎn)后的集合A、B的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素則所求交集為)(2)方法若A、B的代表元素是方程的根，則

8、應(yīng)先解方程求出方程的根后，再求兩集合的交集；若集合的代表元素是有序數(shù)對(duì)，則AB是指兩個(gè)方程組成的方程組的解集，解集是點(diǎn)集若A、B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時(shí)，含有端點(diǎn)的值用實(shí)點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用虛點(diǎn)表示跟蹤練習(xí)2(1)(2015·廣東卷理科，1題)若集合Mx|(x4)(x1)0，Nx|(x4)(x1)0，則MN(D)A1,4B1，4C0D(2)已知集合Ax|1x3，Bx|2x5，則AB(C)A2Bx|1x3Cx|2x3Dx|3x5(3)已知Ax|x是等腰三角形，Bx|x是直角三角形，則AB_x|x是等腰直角三角形_解析(1)M4，1，N4,1，MN

9、，故選D(2)在數(shù)軸上表示集合A、B，如下圖所示，則ABx|2x3，故選C(3)既是等腰又是直角的三角形為等腰直角三角形所以ABx|x是等腰直角三角形命題方向3集合交集、并集運(yùn)算的性質(zhì)及應(yīng)用典題3 (1)(20162017·臨沂高一檢測(cè))已知集合Ax|x2px20，Bx|x2qxr0，且AB2,1,5，AB2，則pqr_14_.(2)設(shè)集合A2，Bx|ax10，aR，若ABB，則a的值為_a0或_.思路分析(1)2是不是方程x2px20的根？怎樣確定集合B?(2)條件中的ABB應(yīng)如何轉(zhuǎn)化？解析(1)AB2，2A且2B，將x2代入x2px20，得p1，A1，2，AB2,1,5，AB2，

10、B2,5，q(2)53，r(2)×510，pqr14.(2)ABB，BA.A2，B或B.當(dāng)B時(shí)，方程ax10無解，此時(shí)a0，滿足BA.當(dāng)B時(shí)，此時(shí)a0，則B，A，即2，得a.綜上，得a0得a.規(guī)律方法利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關(guān)注點(diǎn)(1)方法：利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí)，常常遇到ABB，ABA等這類問題，解答時(shí)常借助于交集、并集的定義及已知集合間的關(guān)系去轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解，如ABAAB，ABBAB.(2)關(guān)注點(diǎn)：當(dāng)集合AB時(shí)，若集合A不確定，運(yùn)算時(shí)要考慮A的情況，否則易漏解跟蹤練習(xí)3已知集合Mx|2x40，Nx|x23xm0(1)當(dāng)m2時(shí)，求MN，MN；(2)當(dāng)MN

11、M時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值解析由已知得M2，(1)當(dāng)m2時(shí)，N1,2，所以MN2，MN1,2(2)若MNM，則MN，2N，所以46m0，m2.命題方向4利用交集、并集運(yùn)算求參數(shù)的值典題4 已知集合A4,2a1，a2，Ba5，1a，9，分別求適合下列條件的a值.(1)9AB；(2)9AB.思路分析9AB與9AB意義不同，9AB說明9是A與B的一個(gè)公共元素，但A與B中允許有其他公共元素9AB，說明A與B的公共元素有且只有一個(gè)9.解析(1)9AB，9A.2a19或a29，a5或a±3.檢驗(yàn)知：a5或a3滿足題意(2)9AB，9AB，a5或a3.檢驗(yàn)知：a5時(shí)，AB4,9不合題意，a3.規(guī)律方法利用

12、交集、并集、集合相等求參數(shù)的值時(shí)，求出值后要注意檢驗(yàn)。一是看是否滿足元素的“互異性”；二是看是否滿足子集、真子集、交集、并集的條件跟蹤練習(xí)4已知Ax|2x2axb0，Bx|bx2(a2)x5b0，且AB，求AB.分析由交集的定義知A，且B，于是可得關(guān)于a、b的二元方程組解方程組求a、b的值，即可得集合A、B，再求AB.解析AB，A，且B.，解之得，于是Ax|18x243x260，Bx|26x225x190，AB，Y 集合運(yùn)算時(shí)忽略空集致錯(cuò) 典題5 集合Ax|x23x20，Bx|x22xa10，ABB，求a的取值范圍.錯(cuò)解由題意，得A1,2ABB，1B，或者2B，a2或a1.錯(cuò)因分析ABBAB.

13、而B是二次方程的解集，它可能為空集，如果B不為空集，它可能是A的真子集，也可以等于A.思路分析ABB，B可能為空集，千萬不要忘記正解由題意，得A1,2，ABB，當(dāng)B時(shí)，(2)24(a1)<0，解得a>2；當(dāng)1B時(shí)，12a10，解得a2，且此時(shí)B1，符合題意；當(dāng)2B時(shí)，44a10，解得a1，此時(shí)B0,2，不合題意；當(dāng)1B且2B時(shí)，此時(shí)a無解綜上所述，a2.跟蹤練習(xí)設(shè)集合Mx|2x5，Nx|2tx2t1，tR，若MNN，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_t2_.解析當(dāng)2t12t即t時(shí)N.滿足MNN；當(dāng)2t12t即t時(shí)若MNN應(yīng)滿足解得t2.t2.綜上t2.X 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 對(duì)于和實(shí)數(shù)集有關(guān)的

14、集合的交集、并集等運(yùn)算問題，常借助于數(shù)軸將集合語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，或借助Venn圖，通過數(shù)形結(jié)合可直觀、形象地看出其解集典題6 已知集合Ax|0x4，集合Bx|m1x1m，且ABA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.思路分析先將ABA等價(jià)轉(zhuǎn)化，再借助于數(shù)軸直觀表達(dá)A、B之間的關(guān)系，列出關(guān)于m的不等式組，解不等式組得到m的取值范圍解析ABA，BA.Ax|0x4，B或B.當(dāng)B時(shí)，有m1>1m，解得m>0.當(dāng)B時(shí)，用數(shù)軸表示集合A和B，如圖所示，BA，解得1m0.檢驗(yàn)知m1，m0符合題意綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>0或1m0，即m1.規(guī)律方法求解此類問題一定要看是否包括端點(diǎn)(臨界)值集合問題

15、大都比較抽象，解題時(shí)要盡可能借助Venn圖、數(shù)軸等工具利用數(shù)形結(jié)合思想將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，從而使問題獲解K 1(2017·全國卷文，1)已知集合A1,2,3,4，B2,4,6,8，則AB中元素的個(gè)數(shù)為(B)A1B2C3D4解析AB1,2,3,42,4,6,82,4，AB中共有2個(gè)元素，故選B2(2016·天津卷)已知集合A1,2,3，By|y2x1，xA，則AB(A)A1,3B1,2C2,3D1,2,3解析A1,2,3，B1,3,5，AB1,3，選A3(2016·全國卷理，2)已知集合A1,2,3，Bx|(x1)(x2)<0，xZ，則AB(C)

16、A1B1,2C0,1,2,3D1,0,1,2,3解析Bx|(x1)(x2)<0，xZx|1<x<2，xZ，B0,1，AB0,1,2,3，故選C4設(shè)Ax|1x3，Bx|x<0或x2，則AB_x|2x3_，AB_x|x<0或x1_.5已知集合Ax|x1，Bx|xa，且ABR，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_a1_.解析利用數(shù)軸畫圖解題要使ABR，則a1.6設(shè)集合Aa2，3,9，B4，3,8，若AB4，3，求實(shí)數(shù)a的值.解析AB4，3，4A.a24，a±2.A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1下面四個(gè)結(jié)論：若a(AB)，則aA；若a(AB)，則a(AB)；若aA，且aB，則a(AB

17、)；若ABA，則ABB.其中正確的個(gè)數(shù)為(C)A1B2C3D4解析不正確，正確，故選C2已知集合Mx|3<x5，Nx|x>3，則MN(A)Ax|x>3Bx|3<x5Cx|3<x5Dx|x5解析在數(shù)軸上表示集合M，N，如圖所示，則MNx|x>33(2016·北京文，1)已知集合Ax|2<x<4，Bx|x<3或x>5，則AB(C)Ax|2<x<5Bx|x<4或x>5Cx|2<x<3Dx|x<2或x>5解析在數(shù)軸上表示集合A與集合B，由數(shù)軸可知，ABx|2<x<3，故選C

18、4(2016·浙江省期中試題)集合A1,2，B1,2,3，C2,3,4，則(AB)C(D)A1,2,3B1,2,4C2,3,4D1,2,3,4解析AB1,2，(AB)C1,2,3,4，故選D5已知集合A2，3，集合B滿足BAB，那么符合條件的集合B的個(gè)數(shù)是(D)A1B2C3D4解析由BAB可得BA，因此B就是A的子集，所以符合條件的集合B一共有4個(gè)：，2，3，2，36設(shè)集合Ax|1x2，集合Bx|xa，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值集合為(C)Aa|a<2Ba|a1Ca|a<1Da|1a2解析如圖要使AB，應(yīng)有a<1.二、填空題7若集合A2,4，x，B2，x2，且AB2,4

19、，x，則x_0,1或2_.解析由已知得BA，x24或x2x，x0,1，±2，由元素的互異性知x2，x0,1或2.8已知集合Ax|x5，集合Bx|xm，且ABx|5x6，則實(shí)數(shù)m_6_.解析用數(shù)軸表示集合A、B如圖所示由于ABx|5x6，得m6.三、解答題9設(shè)集合Aa2，a1，3，Ba3,2a1，a21，AB3，求實(shí)數(shù)a的值.解析AB3，3B.a213，a33或2a13.若a33，則a0，此時(shí)A0,1，3，B3，1,1，但由于AB1，3與已知AB3矛盾，a0.若2a13，則a1，此時(shí)A1,0，3，B4，3,2，AB3綜上可知a1.10已知Ax|2axa8，Bx|x1或x5，ABR，求a

20、的取值范圍.解析Bx|x1或x5，ABR，解得3a.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1已知集合M1,0,1，Nx|xab，a，bM且ab，則MN(C)A0,1B1,0C1,0,1D1,1解析由題意可知，集合N1,0，所以MNM.2(2016·全國卷理，1)設(shè)集合Sx|(x2)(x3)0，Tx|x>0，則ST(D)A2,3B(，23，)C3，)D(0,23，)解析Sx|(x2)(x3)0x|x2或x3，且Tx|x>0，STx|0<x2或x3故選D3當(dāng)xA時(shí)，若x1A，且x1A，則稱x為A的一個(gè)“孤立元素”，由A的所有孤立元素組成的集合稱為A的“孤星集”，若集合M0,1,3的孤星

21、集為M，集合N0,3,4的孤星集為N，則MN(D)A0,1,3,4B1,4C1,3D0,3解析由條件及孤星集的定義知，M3，N0，則MN0,34設(shè)AxN|1x10，BxR|x2x60，則如圖中陰影部分表示的集合為(A)A2B3C3,2D2,3解析B3,2，圖中陰影部分表示AB2，故選A二、填空題5(2017·江蘇卷，1)已知集合A1,2，Ba，a23，若AB1，則實(shí)數(shù)a的值為_1_.解析AB1，1B.a1.6已知集合Ax|x2pxq0，Bx|x2px2q0，且AB1，則AB_2，1,4_.解析因?yàn)锳B1，所以1A，1B，即1是方程x2pxq0和x2px2q0的解，所以解得所以A1，2

22、，B1,4，所以AB2，1,4C級(jí)能力拔高1設(shè)Ax|x28x0，Bx|x22(a2)xa240，其中aR.如果ABB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析Axx28x00，8，ABB，BA.當(dāng)B時(shí)，方程x22(a2)xa240無解，即4(a2)24(a24)0，得a2.當(dāng)B0或8時(shí)，這時(shí)方程的判別式4(a2)24(a24)0，得a2.將a2代入方程，解得x0，B0滿足當(dāng)B0，8時(shí)，可得a2.綜上可得a2或a2.2(20162017·四川宜賓三中高一期中)集合Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80.(1)若ABAB，求a的值；(2)若AB，AC，求a的值解析由已知得B2,

23、3，C2，4(1)ABAB，AB.2,3是關(guān)于x的一元二次方程x2axa2190的兩個(gè)根.得a5.(2)由 ABAB.又AC，得3A,2A，4A.由3A，得323aa2190，解得a5或a2.當(dāng)a5時(shí)，Ax|x25x602,3，與2A矛盾；當(dāng)a2時(shí)，Axx22x1503，5，符合題意a2.第二課時(shí)補(bǔ)集Q 如果你所在班級(jí)共有60名同學(xué)，要求你從中選出56名同學(xué)參加體操比賽，你如何完成這件事呢？你不可能直接去找張三、李四、王五、，一一確定出誰去參加吧？如果按這種方法做這件事情，可就麻煩多了若確定出4位不參加比賽的同學(xué)，剩下的56名同學(xué)都參加，問題可就簡(jiǎn)單多了不要小看這個(gè)問題的解決方法，它可是這節(jié)內(nèi)

24、容(補(bǔ)集)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)X 1全集文字語言一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為_全集_2補(bǔ)集文字語言對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中_不屬于_集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于_全集U_的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作_UA_符號(hào)語言UAx|xU，且x_A圖形語言知識(shí)點(diǎn)撥(1)簡(jiǎn)單地說，UA是從全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素組成的集合(2)性質(zhì)：A(UA)U，A(UA)，U(UA)A，UU，UU，U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)(3)如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個(gè)集合運(yùn)算結(jié)果的Venn圖表示Y 1若全集M1,2,

25、3,4,5，N2,4，則MN(B)AB1,3,5C2,4D1,2,3,4,5解析MN1,3,5，選B2(2017·北京文，1)已知全集UR，集合Ax|x<2或x>2，則UA(C)A(2,2)B(，2)(2，)C2,2D(，22，)解析Ax|x<2或x>2，全集UR，UAx|2x2，故選C3設(shè)集合U1,2,3,4,5，A1,2,3，B2,5，則A(UB)(D)A2B2,3C3D1,3解析U1,2,3,4,5，UB1,3,4，AUB1,34設(shè)集合S三角形，A直角三角形，則SA_鈍角三角形或銳角三角形_.解析三角形直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形結(jié)合補(bǔ)集的定義求得

26、H 命題方向1補(bǔ)集的基本運(yùn)算典題1 已知全集U，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，求集合B.思路分析先由集合A與UA求出全集，再由補(bǔ)集定義求出集合B，或利用Venn圖求出集合B.解析方法一：A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7，又UB1,4,6，B2,3,5,7方法二：借助Venn圖，如圖所示，由圖可知B2,3,5,7規(guī)律方法求集合補(bǔ)集的基本方法及處理技巧(1)基本方法：定義法(2)兩種處理技巧：當(dāng)集合用列舉法表示時(shí)，可借助Venn圖求解當(dāng)集合是用描述表示的連續(xù)數(shù)集時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析求解跟蹤練習(xí)1(1)設(shè)全集UxN|x2，集合AxN|x2

27、5，則UA(B)AB2C5D2,5(2)已知全集Ux|1x5，Ax|1xa，若UAx|2x5，則a_2_.解析(1)由題意知集合AxN|x，則UAxN|2x2，故選B(2)AUAU，且AUA，Ax|1x2，a2.命題方向2交集、并集、補(bǔ)集的綜合運(yùn)算典題2 (1)已知全集U0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A0,1,3,5,8，集合B2,4,5,6,8，則(UA)(UB)(B)A5,8B7,9C0,1,3D2,4,6(2)已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(UB).思路分析(1)有限集利用Venn圖求解；(2)無限集利用數(shù)軸，分別表示出全集U及集

28、合A，B，先求出UA及UB，再求解解析(1)由圖(1)知，UA2,4,6,7,9，UB0,1,3,7,9，(UA)(UB)7,9，故選B圖(1)圖(2)(2)如圖(2)，Ax|2x3，Bx|3x2，UAx|x2，或3x4，UBx|x3，或2x4ABx|2x2，(UA)Bx|x2，或3x4；A(UB)x|2x3規(guī)律方法求集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的方法跟蹤練習(xí)2(1)(2015·湖南文)已知集合U1,2,3,4，A1,3，B1,3,4，則A(CUB)_1,2,3_(2)設(shè)UR，Ax|x0，Bx|x1，則A(UB)(B)Ax|0x1Bx|0x1Cx|x0Dx|x1解析(1)CUB2，A(CUB)

29、1,2,3(2)UR，Bx|x1，UBx|x1又Ax|x0，A(UB)x|0x1Y 忽視空集或補(bǔ)集的性質(zhì)易致錯(cuò) 典題3 已知全集U1,2,3,4,5，Ax|x25xq0，AU，求UA及q的值.錯(cuò)解當(dāng)q0時(shí)，x25xq0的根為x5，x0，5U，此時(shí)A5，UA1,2,3,4當(dāng)q0時(shí)，由韋達(dá)定理知方程x25xq0的根在1、2、3、4、5中取時(shí)，只可能是3或2,1或4，因此q6時(shí)，A2,3，UA1,4,5q4時(shí)，A1,4，UA2,3,5所以q0時(shí)，UA1,2,3,4，q4時(shí)，UA2,3,5，q6時(shí)，UA1,4,5錯(cuò)因分析錯(cuò)解中沒有注意到AU，當(dāng)q0時(shí)，A0,5U，另外，當(dāng)A時(shí)，UAU，此時(shí)方程x25x

30、q0無實(shí)數(shù)解正解若A，則UAU，此時(shí)方程x25xq0無實(shí)數(shù)解0，即254q0，q.若A，由于方程x25xq0的兩根之和為5，又由于兩根只能從1,2,3,4,5中取值，因此A1,4或2,3當(dāng)A1,4時(shí)，UA2,3,5，q4；當(dāng)A2,3時(shí)，UA1,4,5，q6.警示本題易錯(cuò)點(diǎn)：(一)忽略AU，求出q的值后不驗(yàn)證AU是否成立；(二)不考察A的情形跟蹤練習(xí)設(shè)全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，則實(shí)數(shù)a的值為_2_.錯(cuò)解UA5，5U，且5A，a22a35，且|2a1|5，解得a2或a4.故實(shí)數(shù)a的值為2或4.錯(cuò)因分析上述求解的錯(cuò)誤在于忽略驗(yàn)證“AU”這一隱含條件正解方法一：UA5，5U，

31、且5A，a22a35，且|2a1|5，解得a2或a4.當(dāng)a2時(shí)，|2a1|3，A2,3，符合題意；而當(dāng)a4時(shí)，A9,2，不是U的子集故實(shí)數(shù)a的值為2.方法二：UA5，5U，且5A，且|2a1|3.解得a2.故實(shí)數(shù)a的值為2.警示準(zhǔn)確理解補(bǔ)集的概念是求解此類問題的關(guān)鍵實(shí)際上UA的數(shù)學(xué)意義包括兩個(gè)方面，首先必須具備AU，其次是定義UAx|xU，且xA因此本題應(yīng)先由5U求出a的值，再利用5A驗(yàn)證a的值是否符合題意X “正難則反”思想的應(yīng)用 “正難則反”策略是指當(dāng)某一問題從正面解決較困難時(shí)，我們可以從其反面入手解決已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可運(yùn)用“正難則反”策略先求UA，再由U(UA)A求

32、A.補(bǔ)集作為一種思想方法給我們研究問題開辟了新思路，今后要有意識(shí)地去體會(huì)并運(yùn)用在順向思維受阻時(shí)，改用逆向思維，可能“柳暗花明”從這個(gè)意義上講，補(bǔ)集思想具有轉(zhuǎn)換研究對(duì)象的功能，這是轉(zhuǎn)化思想的又一體現(xiàn)典題4 已知集合Ax|x24x2m60，Bx|x<0，若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析A是一元二次方程的解集，AB表明方程x24x2m60有負(fù)根，其包含情況比較復(fù)雜，因此可轉(zhuǎn)化為先求AB時(shí)，m的取值范圍，再利用補(bǔ)集思想求滿足題意的m的取值范圍解析先求AB時(shí)m的取值范圍(1)當(dāng)A時(shí)，方程x24x2m60無實(shí)根，所以(4)24(2m6)<0，解得m>1.(2)當(dāng)A，AB時(shí)，方程x24x2

33、m60的根為非負(fù)實(shí)根設(shè)方程x24x2m60的兩根為x1，x2，則即解得3m1.綜上，當(dāng)AB時(shí)，m的取值范圍是m|m3又因?yàn)閁R，所以當(dāng)AB時(shí)，m<3.即AB時(shí)，m的取值范圍是m|m<3跟蹤練習(xí)3若集合Ax|ax23x20中至多有1個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析假設(shè)集合A中含有2個(gè)元素，即ax23x20有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，解得a且a0，則此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是.在全集UR中，集合的補(bǔ)集是.所以滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是.K 1設(shè)全集UR，Ax|0x6，則RA等于(B)A0,1,2,3,4,5,6Bx|x<0或x>6Cx|0<x<6Dx|x0或x6解析由

34、補(bǔ)集定義并結(jié)合數(shù)軸易知RAx|x<0或x>6，故選B2已知集合Ux|x0，UAx|0x2，那么集合A(C)Ax|x0或x2Bx|x0或x2Cx|x2Dx|x2解析利用數(shù)軸分析，可知Ax|x23已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，則集合U(AB)(D)Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1解析ABx|x0或x1，U(AB)x|0x1故選D4(2016·山東文，1)設(shè)集合U1,2,3,4,5,6，A1,3,5，b3,4,5，則U(AB)(A)A2,6B3,6C1,3,4,5D1,2,4,6解析由題知AB1,3,4,5，所以U(AB)2,6故選A5設(shè)全集UnN|1n10

35、，A1,2,3,5,8，B1,3,5,7,9，則(UA)B_7,9_.解析由題意，得U1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故UA4,6,7,9,10，所以(UA)B7,9A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1(2016·全國卷文，1)設(shè)集合A0,2,4,6,8,10，B4,8，則AB(C)A4,8B0,2,6C0,2,6,10D0,2,4,6,8,10解析依據(jù)補(bǔ)集的定義，從集合A0,2,4,6,8,10中去掉集合B4,8，剩下的四個(gè)元素為0,2,6,10，故AB0,2,6,10，故應(yīng)選答案C2已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，則(UA)B為(C)A1,2,4B2,3,4C0,2

36、,4D0,2,3,4解析因?yàn)閁0,1,2,3,4，A1,2,3，所以UA0,4，故UAB0,2,43若全集U1,2,3,4,5,6，M2,3，N1,4，則集合5,6等于(D)AMNBMNC(UM)(UN)D(UM)(UN)解析根據(jù)已知可知，MN1,2,3,4，MN，(UM)(UN)1,4,5,62,3,5,61,2,3,4,5,6，(UM)(UN)1,4,5,62,3,5,65,6，因此選D4設(shè)全集U1,2,3,4,5，A1,3,5，則UA的所有非空子集的個(gè)數(shù)為(B)A4B3C2D1解析UA2,4，非空子集有2213個(gè)，故選B5若Px|x1，Qx|x1，則(C)APQBQPC(RP)QDQRP

37、解析Px|x1，RPx|x1又Qx|x1，(RP)Q，故選C6已知集合Ax|xa，Bx|x2，且A(RB)R，則a滿足(A)Aa2Ba2Ca2Da2解析RBx|x2，則由A(RB)R得a2，故選A二、填空題7UR，Ax|2<x1或x>3，Bx|x4，則UA_x|x2或1<x3_，AB_x|2<x1或3<x<4_.8設(shè)U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，則實(shí)數(shù)m_3_.解析UA1,2，A0,30,3是方程x2mx0的兩根03m.m3.9已知全集U1,2,3,4,5,6，集合A1,3，集合B3,4,6，集合U，A，B的關(guān)系如圖所示，則圖中陰影部分

38、所表示的集合用列舉法表示為_4,6_.三、解答題10(20162017·唐山一中月考試題)已知全集Ux|x4，集合Ax|2<x<3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(UB).分析利用數(shù)軸，分別表示出全集U及集合A，B，先求出UA及UB，然后求解解析如圖所示，Ax|2<x<3，Bx|3x2，UAx|x2或3x4，UBx|x<3或2<x4ABx|2<x2，(UA)Bx|x2或3x4，A(UB)x|2<x<3點(diǎn)評(píng)(1)數(shù)軸與Venn圖有同樣的直觀功效，在數(shù)軸上可以直觀地表示數(shù)集，所以進(jìn)行數(shù)集的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常借助數(shù)軸求解(2)

39、不等式中的等號(hào)在補(bǔ)集中能否取到要引起重視，還要注意補(bǔ)集是全集的子集B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1如圖，陰影部分用集合A、B、U表示為(C)A(UA)BB(UA)(UB)CA(UB)DA(UB)解析陰影部分在A中，不在B中，故既在A中也在UB中，因此是A與UB的公共部分2設(shè)Px|x>4，Qx|2<x<2，則(D)APQBQPCPRQDQRP解析Qx|2<x<2，而RPx|x4，QRP.3已知集合Px|x22axa<0，若2P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(B)Aa>BaCa<Da解析由2P知2RP，即2x|x22axa0，因此2滿足不等式x22axa0，于是22

40、4aa0，解得a.4設(shè)全集U1,2,3,4,5，集合S與T都是U的子集，滿足ST2，(US)T4，(US)(UT)1,5則有(B)A3S,3TB3S,3UTC3US,3TD3US,3UT解析若3S,3T，則3ST，排除A；若3US，3T，則3(US)T，排除C；若3US,3UT，則3(US)(UT)，排除D，選B，也可畫圖表示二、填空題5已知全集為R，集合MxR|2x2，Px|xa，并且MRP，則a的取值范圍是_a2_.解析Mx|2x2，RPx|xaMRP，由數(shù)軸知a2.6已知UR，Ax|axb，UAx|x3或x4，則ab_12_.解析A(UA)R，a3，b4，ab12.C級(jí)能力拔高1已知全集

41、UR，集合Ax|x<1，Bx|2a<x<a3，且BRA，求a的取值范圍.分析本題從條件BRA分析可先求出RA，再結(jié)合BRA列出關(guān)于a的不等式組求a的取值范圍解析由題意得RAx|x1(1)若B，則a32a，即a3，滿足BRA.(2)若B，則由BRA，得2a1且2a<a3，即a<3.綜上可得a.2已知集合Ax|x2ax12b0和Bx|x2axb0，滿足(UA)B2，A(UB)4，UR，求實(shí)數(shù)a，b的值.提示由2B,4A，列方程組求解解析(UA)B2，2B，42ab0.又A(UB)4，4A，164a12b0.聯(lián)立，得解得經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意：a，b.點(diǎn)評(píng)由題目中所給的集合之

42、間的關(guān)系，通過分析得出元素與集合之間的關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵第三課時(shí)集合習(xí)題課網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建規(guī)律小結(jié)在解答與集合有關(guān)的題目時(shí)應(yīng)注意：1弄清集合的屬性，分清集合的元素的類型：數(shù)集、點(diǎn)集、圖形集等2牢記集合元素的特性：確定性、互異性、無序性特別是互異性要求一個(gè)集合中的元素不能重復(fù)，求解含有參數(shù)的集合問題時(shí)，求得參數(shù)值后還要檢驗(yàn)互異性3空集的特殊性和特殊作用空集是一個(gè)特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解決集合之間關(guān)系問題時(shí)，它往往被忽視而導(dǎo)致漏解需優(yōu)先考慮4含n個(gè)元素的集合子集總數(shù)為2n，真子集有2n1個(gè)5具體化、直觀化原則：解答集合問題時(shí)，對(duì)于方程、不等式的解集等要先解方程(或不等式)，將集合化簡(jiǎn)，對(duì)于描述法給出的集合，要盡量化簡(jiǎn)明確集合中的元素能利用數(shù)軸、Venn圖或平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)等表示的盡量直觀表示，從而可借助數(shù)形結(jié)合思想解題6集合運(yùn)算中的常用結(jié)論(1)ABABAABB.(2)ABUAUB.(3)ABABAB.(4)U(AB)(UA)(UB)(5)U(AB)(UA)(UB)7補(bǔ)集思想的運(yùn)用8注意區(qū)分元素與集合間的從屬關(guān)系及集合與集合間的包含關(guān)系9利用數(shù)軸處理集合運(yùn)算關(guān)系時(shí)，要注意端點(diǎn)是實(shí)心