第八章：平面解析幾何

1、五年高考真題分類匯編：平面解析幾何一、填空題1（2013·湖南高考理）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為_【解析】本小題主要考查雙曲線的定義及其幾何性質(zhì)和余弦定理，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬中檔題依題意及雙曲線的對稱性，不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，求得|PF1|4a，|PF2|2a.而|F1F2|2c，所以在PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2|P

2、F1|2|F1F2|22|PF1|·|F1F2|·cosPF1F2，所以4a216a24c22·4a·2c·cos 30°，即3a22acc20，所以ac0，故雙曲線C的離心率為.【答案】2（2013·福建高考理）橢圓：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_【解析】本題考查橢圓的定義、離心率等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力直線y(xc)過點F1，且傾斜角為60°，所

3、以MF1F260°，從而MF2F130°，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以該橢圓的離心率e1.【答案】13（2013·遼寧高考理）已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，則C的離心率e_.【解析】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系以及離心率的求解求解此題的關(guān)鍵是能夠巧妙地應(yīng)用過原點的直線與橢圓的兩個交點關(guān)于原點對稱來確定a值，試題也側(cè)重考查了邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力設(shè)橢圓的右焦點為F1，在ABF中，由余弦定理可

4、解得|BF|8，所以ABF為直角三角形，又因為斜邊AB的中點為O，所以|OF|c5，連接AF1，因為A，B關(guān)于原點對稱，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以離心率e.【答案】4（2013·安徽高考理）已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點若該拋物線上存在點C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_【解析】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)，考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力法一：設(shè)直線ya與y軸交于點M，拋物線yx2上要存在C點，只要以|AB|為直徑的圓與拋物線yx2有交點即可，也就是使|AM|MO|，即a(a>0)，所以a1.法二：易知a>0，設(shè)C(m，m2)，由

5、已知可令A(yù)(，a)，B(，a)，則AC(m，m2a)，BC(m，m2a)，因為ACBC，所以m2am42am2a20，可得(m2a)(m21a)0.因為由題易知m2a，所以m2a10，故a1，)【答案】1，)5（2013·浙江高考理）設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點，過點P(1,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點，點Q為線段AB的中點若|FQ|2，則直線l的斜率等于_【解析】本題考查拋物線方程、性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想及運算求解能力法一：注意到|FQ|2，正好是拋物線通徑的一半，所以點Q為通徑的一個端點，其坐標(biāo)為(1，±2)，這時A，B，Q三點重合，直線

6、l的斜率為±1.法二：令直線l的方程為xty1，由得y24ty40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24，x1x24t22，所以xQ2t21，yQ2t，|FQ|2(xQ1)2y4，代入解得，t±1或t0(舍去)，即直線l的斜率為±1.【答案】±16（2013·陜西高考理）雙曲線1的離心率為，則m等于_【解析】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)和方程思想的具體應(yīng)用m9.【答案】97（2013·江西高考理）拋物線x22py(p>0)的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A，B兩點，若ABF為等邊三角形，則p_.【解析】

7、本題考查拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力由x22py(p>0)得焦點F，準(zhǔn)線l為y，所以可求得拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線1的交點A，B，所以|AB| ，則|AF|AB| ，所以sin ，即，解得p6.【答案】68（2013·北京高考文）若拋物線y22px的焦點坐標(biāo)為(1,0)，則p_，準(zhǔn)線方程為_【解析】本題主要考查拋物線的方程及其簡單的幾何性質(zhì)，意在考查考生的運算求解能力因為拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0)，所以1，p2，準(zhǔn)線方程為x1.【答案】2x19（2013·江蘇高考文）雙曲線1的兩條漸近線的方程為_【解析】本題考

8、查雙曲線的幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生的運算能力令0，解得y±x.【答案】y±x10（2013·江蘇高考文）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，右焦點為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個端點為B.設(shè)原點到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2.若d2=d1，則橢圓C的離心率為_【解析】本題考查橢圓的基本概念及性質(zhì)，意在考查學(xué)生的推理能力及運算能力令F(c,0)，B(0，b)，則直線BF的方程為1，所以d1 .又d2c，由d2d1，可得·，解得b22c2，所以a23c2，ac，所以e.【答案】117（2013·山東高

9、考文）過點(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長為_【解析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算能力最短弦為過點(3,1)，且垂直于點(3,1)與圓心的連線的弦，易知弦心矩d，所以最短弦長為222.【答案】2118（2013·福建高考文）橢圓：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_【解析】本題主要考查橢圓的定義、圖像和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力直線y(xc)過點F1(c,0)，且傾斜角為6

10、0°，所以MF1F260°，從而MF2F130°，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以該橢圓的離心率e1.【答案】1119（2013·湖南高考文）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個焦點若在C上存在一點P，使PF1PF2，且PF1F230°，則C的離心率為_【解析】本題主要考查雙曲線的離心率和解直角三角形，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，意在考查考生的轉(zhuǎn)化處理能力和運算能力由已知可得，|PF1|2ccos 30°c，|PF2|2csin 30°c，由雙曲線的定義，可得

11、cc2a，則e1.【答案】1120（2013·浙江高考文）直線y2x3被圓x2y26x8y0所截得的弦長等于_【解析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長求法等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的解析幾何思想，以及對基礎(chǔ)知識的掌握程度已知圓的圓心為(3,4)，半徑為5，圓心到直線y2x3的距離為d，所以弦長l24.【答案】4121（2013·天津高考文）已知拋物線y28x的準(zhǔn)線過雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點， 且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_【解析】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，意在考查考生的運算求解能力拋物線y28x的準(zhǔn)線x2過雙曲

12、線的一個焦點，所以c2，又離心率為2，所以a1，b，所以該雙曲線的方程為x21.【答案】x21122（2013·湖北高考文）已知圓O：x2y25，直線l：xcos ysin .設(shè)圓O上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為k，則k_.【解析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系直線l：xcos ysin 1是單位圓x2y21在第一象限部分的切線，圓O：x2y25的圓心到直線l的距離為1，故過原點O與l平行的直線l1與圓O的2個交點到直線l的距離為1，l1關(guān)于l對稱的直線l2與圓O也有2個交點，共4個【答案】4123（2013·陜西高考文）雙曲線1的離心率為_【解析】本題主要考查雙曲線的

13、幾何量之間的關(guān)系由幾何量之間的關(guān)系，得a216，b29，e2，e.【答案】124（2013·江西高考文）若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點和點(4,0)，且與直線y1相切，則圓C的方程是_【解析】本題主要考查圓的方程及待定系數(shù)法，考查方程思想及運算求解能力因為圓過原點，所以可設(shè)圓的方程為x2y2DxEy0.因為圓過點(4,0)，將點(4,0)代入圓的方程得D4，即圓的方程為x2y24xEy0.又圓與直線y1相切，將其代入圓的方程得x214xE0，又方程只有一個解，所以424(1E)0，解得E3.故所求圓的方程為x2y24x3y0，即(x2)22.【答案】(x2)22125（2013·四川高

14、考文）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距離之和最小的點的坐標(biāo)是_【解析】本題主要考查幾何最值問題，從幾何方法入手，用代數(shù)手段解決，意在考查考生對解析幾何和平面幾何的結(jié)合與轉(zhuǎn)化的能力取四邊形ABCD對角線的交點，這個交點到四點的距離之和就是最小值可證明如下：假設(shè)在四邊形ABCD中任取一點P，在APC中，有APPCAC，在BPD中，有PBPDBD，而如果P在線段AC上，那么APPCAC；同理，如果P在線段BD上，那么BPPDBD.如果同時取等號，那么意味著距離之和最小，此時P就只能是AC與BD的交點易求得P(2,4)【答案】(2,4)126（2013

15、·遼寧高考文）已知F為雙曲線C：1的左焦點，P，Q為C上的點若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則PQF的周長為_【解析】本題主要考查雙曲線的定義，雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線方程，意在考查考生綜合運用圓錐曲線知識解決問題的能力由題意得，|FP|PA|6，|FQ|QA|6，兩式相加，利用雙曲線的定義得|FP|FQ|28，所以PQF的周長為|FP|FQ|PQ|44.【答案】44127（2013·重慶高考理）過拋物線y22x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|，|AF|<|BF|，則|AF|_.【解析】設(shè)過拋物線焦點的直線為yk(x)，聯(lián)立得整理

16、得k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得k224，代入k2x2(k22)xk20得12x213x30，解得x1，x2，又|AF|<|BF|，故|AF|x1.【答案】128（2012·廣東高考理）曲線yx3x3在點(1,3)處的切線方程為_【解析】曲線方程為yx3x3，則y3x21，又易知點(1,3)在曲線上，有y|x12，即在點(1,3)處的切線方程的斜率為2，所以切線方程為y32(x1)，即y2x1.【答案】y2x1129（2012·江西高考理）橢圓1(a>b>0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.若

17、|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_【解析】依題意得|F1F2|2|AF1|·|BF1|，即4c2(ac)·(ac)a2c2，整理得5c2a2，得e.【答案】130（2012·四川高考理）橢圓1的左焦點為F，直線xm與橢圓相交于點A、B.當(dāng)FAB的周長最大時，F(xiàn)AB的面積是_【解析】法一：依題意得知，點F(1,0)，不妨設(shè)點A(2cos ，sin )(sin >0)，則有B(2cos ，sin )，|FA|FB|2cos ，|AB|2sin ，|FA|FB|AB|42cos 2sin 44sin()，當(dāng)2k，kZ，即2k，kZ

18、，2cos 1，sin 時，F(xiàn)AB的周長最大，此時FAB的面積等于×(11)×33.法二：橢圓右焦點為F(1,0)由橢圓定義|AF|AF|BF|BF|2a.則FAB的周長l|AF|BF|AB|4a(|FA|FB|)|AB|4a|FA|FB|AB|4aFAB周長最大時，直線xm經(jīng)過F(1,0)這時|AB|3，此時SFAB×2×33.【答案】3131（2012·湖南高考理）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(為參數(shù)，a0)有一個公共點在x軸上，則a_.【解析】曲線C1的普通方程為2xy3，曲線C2的普通方程為1，直線2xy

19、3與x軸的交點坐標(biāo)為(，0)，故曲線1也經(jīng)過這個點，代入解得a(舍去)【答案】132（2012·遼寧高考理）已知P，Q為拋物線x22y上兩點，點P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標(biāo)為_【解析】易知拋物線yx2上的點P(4,8)，Q(2,2)，且yx，則過點P的切線方程為y4x8，過點Q的切線方程為y2x2，聯(lián)立兩個方程解得交點A(1，4)，所以點A的縱坐標(biāo)是4.【答案】4133（2012·北京高考理）直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點個數(shù)為_【解析】直線的普通方程為xy10，圓的普通方程為x2y232，圓心到直線的距離d

20、3，故直線與圓的交點個數(shù)是2.【答案】2134在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y24x的焦點F，且與該拋物線相交于A，B兩點，其中點A在x軸上方若直線l的傾斜角為60°，則OAF的面積為_【解析】直線l的方程為y(x1)，即xy1，代入拋物線方程得y2y40，解得yA2(yB0，舍去)，故OAF的面積為×1×2.【答案】135（2012·天津高考理）已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p>0，焦點為F，準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E.若|EF|MF|，點M的橫坐標(biāo)是3，則p_.【解析】由題意知，拋物線的普通方程為y22px(

21、p>0)，焦點F(，0)，準(zhǔn)線x，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為A.由拋物線定義可得|EM|MF|，所以MEF是正三角形，在直角三角形EFA中，|EF|2|FA|，即32p，得p2.【答案】2136. （2012·陜西高考理）右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米水位下降1米后，水面寬_米【解析】以拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x22py，則點(2，2)在拋物線上，代入可得p1，所以x22y.當(dāng)y3時，x26，所以水面寬為2.【答案】2137.（2012·江蘇高考理）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1的離心率為，則m的值

22、為_【解析】由題意得m0，a，b，c，由e得5，解得m2.【答案】2138（2012·江蘇高考理）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_【解析】設(shè)圓心C(4,0)到直線ykx2的距離為d，則d，由題意知問題轉(zhuǎn)化為d2，即d2，得0k，所以kmax.【答案】139（2012·湖北高考理）如圖，雙曲線1(a，b0)的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D.則(1)雙曲線

23、的離心率e_；(2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值_.【解析】由題意可得abc，a43a2c2c40，e43e210，e2，e.設(shè)sin ，cos ，e2.【答案】140（2012·浙江高考文）定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離已知曲線C1：yx2a到直線l：yx的距離等于曲線C2：x2(y4)22到直線l：yx的距離，則實數(shù)a_.【解析】因曲線C2：x2(y4)22到直線l：yx的距離為2，則曲線C1與直線l不能相交，即x2a>x，x2ax>0.設(shè)C1：yx2a上一點為(x0，y0)，則點(x0，y0)到直線l

24、的距離d，所以a.【答案】141（2012·四川高考文）橢圓1(a為定值，且a>)的左焦點為F，直線xm與橢圓相交于點A、B，F(xiàn)AB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是_【解析】依題意得，點F(，0)，不妨設(shè)點A(acos ，sin )，|FA|FB|acos ，|AB|2sin ，|FA|FB|AB|2a2cos 2sin 的最大值是2a 4a12，即a3，因此該橢圓的離心率是.【答案】142（2012·天津高考文）設(shè)m，nR，若直線l：mxny10與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，且l與圓x2y24相交所得弦的長為2，O為坐標(biāo)原點，則AOB面積的最小值為_【

25、解析】由直線與圓相交所得弦長為2，知圓心到直線的距離為，即，所以m2n22|mn|，所以|mn|，又A(，0)，B(0，)，所以AOB的面積為3，最小值為3.【答案】3143（2012·湖南高考文）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l1：(s為參數(shù))和直線l2：(t為參數(shù))平行，則常數(shù)a的值為_解析：本題主要考查直線的參數(shù)方程與兩直線平行的概念，意在考查考生的轉(zhuǎn)化處理能力把直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，得l1：x2y10，l2：xy0，由兩直線平行，可得1×1×(2)0，且1×1×(1)0，即a4.答案：4144（2012·遼寧高考文）

26、已知雙曲線x2y21，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1PF2，則|PF1|PF2|的值為_【解析】不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，因為PF1PF2，所以(2)2|PF1|2|PF2|2，又因為|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|·|PF2|4，則(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.【答案】2145（2012·天津高考文）已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)與雙曲線C2：1有相同的漸近線，且C1的右焦點為F(，0)，則a_b_.【解析】

27、雙曲線1的漸近線為y±2x，則2，即b2a，又因為c，a2b2c2，所以a1，b2.【答案】12146.（2012·江蘇高考文）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1的離心率為，則m的值為_【解析】由題意得m>0，a，b，c，由e得5，解得m2.【答案】2147（2012·江蘇高考文）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_【解析】設(shè)圓心C(4,0)到直線ykx2的距離為d，則d，由題意知問題轉(zhuǎn)化為d2，即d2，得0k，所以kmax.【答案】148（2

28、012·安徽高考文）過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點若|AF|3，則|BF|_.【解析】拋物線y24x準(zhǔn)線為x1，焦點為F(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由拋物線的定義可知|AF|x113，所以x12，所以y1±2，由拋物線關(guān)于x軸對稱，假設(shè)A(2,2)，由A，F(xiàn)，B三點共線可知直線AB的方程為y02(x1)，代入拋物線方程消去y得2x25x20，求得x2或，所以x2，故|BF|.【答案】149（2012·北京高考文）直線yx被圓x2(y2)24截得的弦長為_【解析】圓心(0,2)到直線yx的距離為d，圓的半徑為2，所以所求弦長

29、為22.【答案】2150（2012·重慶高考文）設(shè)P為直線yx與雙曲線1(a>0，b>0)左支的交點，F(xiàn)1是左焦點，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e_.【解析】由PF1x軸且P點在雙曲線的左支上，可得P(c，)又因為點P在直線yx上，所以×(c)，整理得c3b，根據(jù)c2a2b2得a2 b，所以雙曲線的離心率e.【答案】151（2011·新課標(biāo)高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么C的方程為_【解析】根據(jù)橢圓焦點在x軸上，可設(shè)橢圓方程為1(a&

30、gt;b>0)，e，.根據(jù)ABF2的周長為16得4a16，因此a4，b2，所以橢圓方程為1.【答案】1152（2011·大綱卷高考）已知F1、F2分別為雙曲線C：1的左、右焦點，點AC，點M的坐標(biāo)為(2,0)，AM為F1AF2的平分線，則|AF2|_.【解析】依題意得知，點F1(6,0)，F(xiàn)2(6,0)，|F1M|8，|F2M|4.由三角形的內(nèi)角平分線定理得2，|F1A|2|F2A|；又點A在雙曲線上，因此有|F1A|F2A|2×36,2|F2A|F2A|F2A|6.【答案】6153（2011·北京高考）曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(1,0)和F2(1,0)

31、的距離的積等于常數(shù)a2(a1)的點的軌跡給出下列三個結(jié)論：曲線C過坐標(biāo)原點；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；若點P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結(jié)論的序號是_【解析】因為原點O到兩個定點F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1，而a1，所以曲線C不過原點，即錯誤；因為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)關(guān)于原點對稱，所以|PF1|PF2|a2對應(yīng)的軌跡關(guān)于原點對稱，即正確；因為SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即面積不大于a2，所以正確【答案】154（2011·江西高考）若橢圓1的焦點在x軸上，過點(1，)作圓x2y21的切線，切點

32、分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是_【解析】由題可設(shè)斜率存在的切線的方程為yk(x1)(k為切線的斜率)，即2kx2y2k10，由1，解得k，所以圓x2y21的一條切線方程為3x4y50，求得切點A(，)，易知另一切點B(1,0)，則直線AB的方程為y2x2.令y0得右焦點為(1,0)，令x0得上頂點為(0,2)a2b2c25，故得所求橢圓方程為1.【答案】1155（2011·四川高考）雙曲線1上一點P到雙曲線右焦點的距離是4，那么點P到左準(zhǔn)線的距離是_【解析】由已知，雙曲線中，a8，b6，所以c10，由于點P到右焦點的距離為4,4<ac18，所以

33、點P在雙曲線右支上由雙曲線第一定義，可知點P到左焦點的距離為2×8420，設(shè)點P到雙曲線左準(zhǔn)線的距離為d，再根據(jù)雙曲線第二定義，有，故d16.【答案】16156（2011·重慶高考）設(shè)圓C位于拋物線y22x與直線x3所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為_【解析】依題意，結(jié)合圖形的對稱性可知，要使?jié)M足題目約束條件的圓的半徑最大，圓心位于x軸上時才有可能，可設(shè)圓心坐標(biāo)是(a,0)(0a3)，則由條件知圓的方程是(xa)2y2(3a)2.由消去y得x22(1a)x6a90，結(jié)合圖形分析可知，當(dāng)2(1a)24(6a9)0且0a3，即a4時，相應(yīng)的圓滿足題目約

34、束條件，因此所求圓的最大半徑是3a1.【答案】1157（2011·天津高考）已知拋物線C的參數(shù)方程為，(t為參數(shù))若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓(x4)2y2r2(r>0)相切，則r_.【解析】將拋物線C的參數(shù)方程化為普通方程得y28x，焦點坐標(biāo)為(2,0)，所以過焦點且斜率為1的直線方程為xy20，又該直線與圓相切，所以圓心(4,0)到該直線的距離等于圓的半徑，即r.【答案】158（2011·浙江高考）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓y21的左，右焦點，點A，B在橢圓上，若F1A5F2B，則點A的坐標(biāo)是_【解析】根據(jù)題意設(shè)A點坐標(biāo)為(m，n)，B點坐標(biāo)為(c，d)

35、F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，其坐標(biāo)分別為(，0)，(，0)，可得F1A(m，n)，F(xiàn)2B(c，d)F1A5F2B，c，d.點A、B都在橢圓上，d21，()21.解得m0，n±1，故點A坐標(biāo)為(0，±1)【答案】(0，±1)159（2011·遼寧高考）已知點(2,3)在雙曲線C：1(a0，b0)上，C的焦距為4，則它的離心率為_【解析】根據(jù)點(2,3)在雙曲線上，可以很容易建立一個關(guān)于a，b的等式，即1，考慮到焦距為4，這也是一個關(guān)于c的等式，2c4，即c2.再有雙曲線自身的一個等式a2b2c2，這樣，三個方程，三個未知量，可以解出a1，b，c2，所

36、以，離心率e2.【答案】2160.（2010·全國卷2高考理）已知拋物線的準(zhǔn)線為，過且斜率為的直線與相交于點，與的一個交點為若，則 【解析】過B作BE垂直于準(zhǔn)線于E，M為中點，又斜率為，M為拋物線的焦點，2.【答案】2 161.（2009·重慶高考文）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為 .解：法一：因為在中，由正弦定理得，則由已知，得，即.設(shè)點由焦點半徑公式，得則.記得，由橢圓的幾何性質(zhì)知，整理得解得，故橢圓的離心率.法二： 由法一知由橢圓的定義知 ，由橢圓的幾何性質(zhì)知所以以下同解析1.【答案】162.（2009·江蘇高考

37、）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點T，線段與橢圓的交點恰為線段的中點，則該橢圓的離心率為 . 【解析】 直線的方程為：；直線的方程為：.二者聯(lián)立解得：， 則在橢圓上， 解得.【答案】二、解答題163（2013·湖南高考理）過拋物線E：x22py(p>0)的焦點F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1k22，l1與E相交于點A，B，l2與E相交于點C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l.(1)若k1>0，k2>0，證明：FM·FN<2p2；(2)若點M到直線

38、l的距離的最小值為，求拋物線E的方程解：本小題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何意義，圓的方程及兩圓的公共弦的求法，點到直線的距離公式，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積，基本不等式的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的求法，考查運算求解能力和函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想屬難題(1)由題意，拋物線E的焦點為F，直線l1的方程為yk1x.由得x22pk1xp20.設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實數(shù)根從而x1x22pk1，y1y2k1(x1x2)p2pkp.所以點M的坐標(biāo)為，F(xiàn)M(pk1，pk)同理可得點N的坐標(biāo)為，F(xiàn)N(pk2，pk)于

39、是FM·FNp2(k1k2kk)由題設(shè)，k1k22，k1>0，k2>0，k1k2，所以0<k1k2<21.故FM·FN<p2(112)2p2.(2)由拋物線的定義得|FA|y1，|FB|y2，所以|AB|y1y2p2pk2p，從而圓M的半徑r1pkp.故圓M的方程為(xpk1)22(pkp)2，化簡得x2y22pk1xp(2k1)yp20.同理可得圓N的方程為x2y22pk2xp(2k1)yp20.于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2k1)x(kk)y0.又k2k10，k1k22，則l的方程為x2y0.因為p>0，所以點M到直線

40、l的距離d.故當(dāng)k1時，d取最小值.由題設(shè)，解得p8.故所求的拋物線E的方程為x216y.164（2013·福建高考理）如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(10,0)，點C的坐標(biāo)為(0,10)分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1，A2，A9和B1，B2，B9連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi交于點Pi(iN*,1i9)(1)求證：點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；(2)過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M，N，若OCM與OCN的面積比為41，求直線l的方程解：本小題主要考查拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識

41、，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想法一：(1)依題意，過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線的方程為xi，Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方程為yx.設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x，y)，由得yx2，即x210y.所以點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x210y.(2)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykx10.由得x210kx1000，此時100k2400>0，直線l與拋物線E恒有兩個不同的交點M，N.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則因為SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1&#

42、183;x2<0，所以x14x2，分別代入和，得解得k±.所以直線l的方程為y±x10，即3x2y200或3x2y200.法二：(1)點Pi(iN*,1i9)都在拋物線E：x210y上證明如下：過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線的方程為xi，Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方程為yx.由解得Pi的坐標(biāo)為.因為點Pi的坐標(biāo)都滿足方程x210y，所以點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x210y.(2)同法一165. （2013·遼寧高考理）如圖，拋物線C1：x24y，C2：x22py(p>0)點M(x0，y0)

43、在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A，B(M為原點O時，A，B重合于O)當(dāng)x01時，切線MA的斜率為.(1)求p的值；(2)當(dāng)M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程(A，B重合于O時，中點為O)解：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題以及求解軌跡方程等問題，考查了考生的邏輯思維能力和歸納推理能力(1)因為拋物線C1：x24y上任意一點(x，y)的切線斜率為y，且切線MA的斜率為，所以A點坐標(biāo)為，故切線MA的方程為y(x1).因為點M(1，y0)在切線MA及拋物線C2上，于是y0(2)，y0.由得p2.(2)設(shè)N(x，y)，A，B，x1x2，由N為線段AB中點知x，y.切線MA，M

44、B的方程為y(xx1).y(xx2).由得MA，MB的交點M(x0，y0)的坐標(biāo)為x0，y0.因為點M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2.由得x2y，x0.當(dāng)x1x2時，A，B重合于原點O，AB中點N為O，坐標(biāo)滿足x2y.因此線段AB中點N的軌跡方程為x2y.166（2013·安徽高考理）設(shè)橢圓E：1的焦點在x軸上(1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1PF1Q.證明：當(dāng)a變化時，點P在某定直線上解：本題考查橢圓方程和橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識和

45、運算求解能力，意在考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，對數(shù)式變形能力要求較高(1)因為焦距為1，且焦點在x軸上，所以2a21，解得a2.故橢圓E的方程為1.(2)證明：設(shè)P(x0，y0)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c.由題設(shè)知x0c，則直線F1P的斜率kF1P，直線F2P的斜率kF2P.故直線F2P的方程為y(xc)當(dāng)x0時，y，即點Q坐標(biāo)為.因此，直線F1Q的斜率為kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1P·kF1Q·1.化簡得yx(2a21)將代入橢圓E的方程，由于點P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即點P在定直線xy1上167（2013

46、83;浙江高考理）如圖，點P(0，1)是橢圓C1：1(a>b>0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2y24的直徑l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D.(1)求橢圓C1的方程；(2)求ABD面積取最大值時直線l1的方程解：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力(1)由題意得所以橢圓C1的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為ykx1.又圓C2：x2y

47、24，故點O到直線l1的距離d，所以|AB|22 .又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以|PD|.設(shè)ABD的面積為S，則S|AB|·|PD|，所以S，當(dāng)且僅當(dāng)k±時取等號所以所求直線l1的方程為y±x1. 168（2013·重慶高考理）如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A，A兩點，|AA|4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P，P，過P，P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外若PQPQ，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程解

48、：本題主要考查解析幾何問題，意在考查考生的計算能力和轉(zhuǎn)化化歸能力(1)由題意知點A(c,2)在橢圓上，則1，從而e21.由e得b28，從而a216.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由橢圓的對稱性，可設(shè)Q(x0,0)又設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點，則|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4,4)設(shè)P(x1，y1)，由題意，P是橢圓上到Q的距離最小的點，因此，上式當(dāng)xx1時取最小值，又因x1(4,4)，所以上式當(dāng)x2x0時取最小值，從而x12x0，且|QP|28x.因為PQPQ，且P(x1，y1)，所以QP·QP(x1x0，y1)·(x1x0，y1)0

49、，即(x1x0)2y0.由橢圓方程及x12x0得x80，解得x1±，x0±.從而|QP|28x.故這樣的圓有兩個，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為2y2，2y2.169（2013·新課標(biāo)高考理）已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB|. 解：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，意在考查考生綜合運用所學(xué)知識解答問題的能力和運算求解能力由已

50、知得圓M的圓心為M(1,0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為1(x2)(2)對于曲線C上任意一點P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時，R2.所以當(dāng)圓P的半徑最長時，其方程為(x2)2y24.若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|2.若l的傾斜角不為90°，由r1R知l不

51、平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點為Q，則，可求得Q(4,0)，所以可設(shè)l：yk(x4)，由l與圓M相切得1，解得k±.當(dāng)k時，yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|x2x1|.當(dāng)k時，由圖形的對稱性可知|AB|.綜上，|AB|2或|AB|.170（2013·新課標(biāo)高考理）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：1 (a>b>0)右焦點的直線xy0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值解：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓方程以及直線與橢圓位

52、置關(guān)系的問題，考查利用函數(shù)思想求最值，體現(xiàn)對考生綜合素質(zhì)特別是對考生分析問題、解決問題以及化歸與轉(zhuǎn)化能力的考查(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則1，1，1，由此可得1.因為x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點為(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為1.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線CD的方程為yxn，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因為直線CD的斜率為1，所以|CD|x4x3| .由已知，四邊形ACBD的面積S|CD|·|AB| .當(dāng)n0時，S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為. 171（2013·北京高考理）已知A，B，C是橢圓W：y21上的三個點，O是坐標(biāo)原點(1)當(dāng)點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；(2)當(dāng)點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由解：本題考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和考生的運算求解能力以及分析問題和解決問題的能力(1)橢圓W：y21的右頂點B的坐標(biāo)為(2,0)因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分所以可設(shè)A(1，m)，代入橢圓方