同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)資料

1、第一部分第一部分 復(fù)習(xí)的重點(diǎn)及題型分析復(fù)習(xí)重點(diǎn)復(fù)習(xí)重點(diǎn)三個(gè)基本計(jì)算三個(gè)基本計(jì)算 極限極限 , 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) , 積分積分兩個(gè)基本應(yīng)用兩個(gè)基本應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 , 積分應(yīng)用積分應(yīng)用一個(gè)基本理論一個(gè)基本理論 有關(guān)中值的定理及應(yīng)用有關(guān)中值的定理及應(yīng)用一一. 三個(gè)基本計(jì)算三個(gè)基本計(jì)算 (約約 70 % )1. 極限的計(jì)算極限的計(jì)算 (約約 24 % )主要題型主要題型(1) 利用基本方法求極限利用基本方法求極限函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 ; 四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則 ; 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 ;兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 ; 等價(jià)無窮小替換等價(jià)無窮小替換 ; 洛必塔法則洛必塔法則 .(2) 利用特殊

2、方法求極限利用特殊方法求極限導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義 ; 定積分定義定積分定義 ;微分中值定理微分中值定理 ;變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo) ;討論左右極限討論左右極限 .(3) 無窮小量的比較無窮小量的比較例題分析例題分析例例1. 計(jì)算計(jì)算解解:11lim21 xxx原原式式0 112lim21 xxxx解解: 利用等價(jià)關(guān)系利用等價(jià)關(guān)系 xxfxxx2sin3sinlim0例例2. 設(shè)設(shè) f (x) 處處連續(xù)處處連續(xù), 且且 f (2)=3, 計(jì)算計(jì)算 xxfxxx23lim0 原原式式9)2(3 f解解: nnnn1212lim nnn1221lim 原原式式化為指數(shù)形式化為指數(shù)形式 , 利用利用uu

3、)1ln( e 122lim nnne 例例3. 計(jì)算計(jì)算解解: 222)()2()1(limnnnnnnnIn nInknkn1)1(1lim12 102)1(dxx0111x 21 例例4. 計(jì)算計(jì)算 例例5. 計(jì)算計(jì)算1000102limxexx 21xt ttet500lim 原原式式tte!500lim 0 解解: 令令 例例6. 計(jì)算計(jì)算解解 : 令令)1ln(lim12xxxx xt1 )1ln(11lim20tttt 原原式式20)1ln(limtttt ttt21lim110 )1(2lim0tttt 21 例例7. 計(jì)算計(jì)算解解:)21ln(arcsinlim240 xxx

4、x 利用等價(jià)無窮小利用等價(jià)無窮小xx2lim0 原式原式24xx 20421limxx 41 xxx 111limxxxeln111lim 原原式式)1(1ln(111lim xxxe1 e)1(111lim xxxe例例8. 計(jì)算計(jì)算 解解: 23)1(1lim20tttt例例9. 求求 21arcsin2limxxxx 0 解解: 令令,1xt 則則原式原式 =ttt21120arcsinlim 洛洛1 例例10. 計(jì)算計(jì)算解解:xxxeexxxcossinlimtan0 直接用洛必塔直接用洛必塔法則不方便法則不方便xxxeexxxxcossin)1(limtan0 原式原式利用等價(jià)無窮小

5、利用等價(jià)無窮小xxexx tanlim0 xcos1 xx tan例例11. 計(jì)算計(jì)算解解: 利用微分中值定理利用微分中值定理 )0(1arctanarctanlim2 ananann 111lim22 nanann 原原式式)1(之之間間與與在在 nana )1(11lim22 nnnan a 例例12. 計(jì)算計(jì)算解解:200sindcoslim2xxxxx 200dcoslimxxtt原式原式2x洛洛20coslimxx x2 x21 這是積分變量這是積分變量例例13. 求求 xxxtttttan0sin00dsindtanlim00原式原式 =xxxxx20sectansincossin

6、tanlim 洛洛xsintanxsinxxtansinxtanxxxx0lim 1 利用等價(jià)無窮小利用等價(jià)無窮小解解:例例14. 已知已知解解: 1dsin1limsin0220 xxttbtxxa0limxxbx22sinsin xcos 1cos xa對(duì)所給等式左邊用洛必塔法則對(duì)所給等式左邊用洛必塔法則, 得得)1cos(lim00 xax1 a1 a再利用再利用,1cos221xx ,sin22xx可知可知 22120lim1xxx xbx2sincos b2 4 b求求 a, b . 1 2. 導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算 (約約 18%)主要題型主要題型 (1) 計(jì)算計(jì)算復(fù)合函

7、數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的導(dǎo)數(shù)和微分 ;(2) 計(jì)算計(jì)算隱函數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的導(dǎo)數(shù)和微分 ;(3) 參數(shù)方程參數(shù)方程求一階、二階導(dǎo)數(shù)求一階、二階導(dǎo)數(shù) ;(4) 用導(dǎo)數(shù)定義求用導(dǎo)數(shù)定義求特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值的導(dǎo)數(shù)值 ;(5) 計(jì)算計(jì)算 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) .(包括包括對(duì)數(shù)微分法對(duì)數(shù)微分法)例題分析例題分析例例1. 已知已知解法解法1.,1 xyeey1 xyyeeyyey)1(1yeeyyx , 10 yx得得由由210dd xxy等式兩邊對(duì)等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得.0dd xxy求求故故 解法解法2. 等式兩邊取對(duì)數(shù)等式兩邊取對(duì)數(shù), 得得 1ln xyy11 yyy兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求

8、導(dǎo)求導(dǎo), 得得 yyy 1, 10 yx得得由由210dd xxy故故 例例2. 已知已知解：解：),1,0,0( babaaxxbbaybax兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得 yln兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) yybalnxa xb baxaxxbbaybalnxa xb baxln lnlnxbalnlnaxb .y 求求例例3. 證明下述函數(shù)在證明下述函數(shù)在 x = 0 連續(xù)且可導(dǎo)連續(xù)且可導(dǎo)證證: 因?yàn)橐驗(yàn)?)(xf)(lim0 xfx210limxex 0 )0(f 0)0()(lim0 xfxfxxexx210lim 2limttet 0 0,00,21 xxex又又 )(xf在在 x

9、= 0 連續(xù)且可導(dǎo)連續(xù)且可導(dǎo). 思考思考: 若函數(shù)改為若函數(shù)改為 )(xf0,00,1 xxex是否有同樣的是否有同樣的 結(jié)論結(jié)論? xt1令 例例4. 已知已知解解: xyddy x )1ln(2ttx tyarctan 211t 2121tt 2)1(1t 22ddxytyd)(d x 3)1(2t 2121tt 52)1()1(2tt , 求求 .dd,dd22xyxy例例5. 設(shè)設(shè) ., )10(1111lnyxxxxxy 求求解解:ln 原式原式xx21222 xxln)11ln(2 y2111x 2122xx x1 xxxx11122 231sinarcsindddd2xxxy 例

10、例6. 設(shè)設(shè)解解: 23dduu vvarcsinddxx1cos1sin2 21x x14sin11 ww2sindd xx1dd ,23uy ,sin2wv xw1 ),arcsin(vu .dd,1sinarcsin232xyxy求求 211sinarcsin232x 例例7. 設(shè)設(shè),ln tytx求.ddnnxy解解: dd xy1 tt1 t dd22 xy12 tt1 t2 txynnn dd例例8. 求求解解:xexxf )(方法方法1 .xxexexf )(xex )1(xexf )( xex )1(xex )2()1(2xex )1(利用歸納法可證利用歸納法可證xnexxf

11、)()1()()(nn方法方法2 . 利用萊布尼茲求導(dǎo)公式利用萊布尼茲求導(dǎo)公式 vuvunn)()( )()()(nxnexxf vunn)1( vunnn)2(!2)1()(nvu )1()( nxnxenexxnex )1(xnen 1)1(xnenx )()1(的的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù). 例例9. 設(shè)設(shè),11 xxy求求.)(ny解解:121 xy1)1(21 x2)1( )1(2 xy3)1( )2()1(2 xy)1()()1( )()2()1(2 nnxny1)1(!)1(2 nnxn3. 不定積分與定積分的計(jì)算不定積分與定積分的計(jì)算 (約約 28%)主要題型主要題型(1) 利用基本

12、積分方法計(jì)算不定積分利用基本積分方法計(jì)算不定積分 ;(2) 利用基本積分方法及公式計(jì)算定積分利用基本積分方法及公式計(jì)算定積分 ;(3) 利用簡化技巧計(jì)算積分利用簡化技巧計(jì)算積分 ;(4) 廣義積分的計(jì)算及收斂性判別廣義積分的計(jì)算及收斂性判別 .例題分析例題分析例例1. 求求解解: xxeex3d令令,xet )1(d22ttt原式原式 tttd)1(22)1(2t 2t t1 .d2sin4xx 原原式式令令,2xt ttdsin4204 例例2. 求求解解:Ct arctanCeexx arctan221434 43 例例3. 求求.d)1()2ln(2 xxx解解: 原式原式 = )2ln

13、(x)11(d x)2ln(11 xx )1)(2(dxxx)2ln(11 xx xxxd2111 )2ln(11 xxCxx 21ln例例4. 求求解解:.d3ln31xxx xxdln3231 原原式式 32 xxxd31 3ln2 20234dxxx13ln xx 例例5. 討論積分討論積分解解: 20)3)(1(dxxx原式原式 xxxd11312120 023ln21 x xxxxd11d11212110 x232 133443ln2 的斂散性的斂散性. 發(fā)散發(fā)散可見原積分發(fā)散可見原積分發(fā)散. 例例6. 求求解解: .d12arctan2211xxxx ,sintx 再再令令奇函數(shù)奇

14、函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)xx d14102 原式原式ttdcos4202 例例7. 已知已知解解: 對(duì)所給等式兩邊求導(dǎo)對(duì)所給等式兩邊求導(dǎo), 得得,arcsind)(Cxxxfx 211)(xxfx xxxxfxd1)(d2 )1(d12122xx 求求.)(d xfxCx 232)1(31利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”, 得得 例例8. 設(shè)設(shè) )(xf0,11 xx0,11 xxe, 求求 20d)1(xxf(P266 題題10)解解: 令令,1 xt則則 20d)1(xxf 11d)(ttf 01d11tet 10d11tt01)1ln( tet10)1ln(t )1ln(e 例例9. 已知已知解解:

15、 由已知條件得由已知條件得,dsin)(0tttxfx ,0)0( fxxxf sin)(.d)(0 xxf 0)( xfx xxfxd)(0 xxxdsin0 xxxxdsin0 xxxxdsin)(0 0cos x 求求xxfd)(0 2 022)tan1(xxd 20 例例10. 求求 解解:xxxdsin10 xxfsin11)(sin 00d)(sin2d)(sinxxfxxfxxxdsin1120 原原式式222)cos(sinxx 2222cossinxx xxxd)tan1(tan1202222 )tan1d(2x 0tan112 x利用利用 P245 例例6(2), 即即 x

16、xxd)tan1(sec202222 例例11. 利用遞推公式計(jì)算下列廣義積分利用遞推公式計(jì)算下列廣義積分 0d xexIxnn解解: 0dxnnexI 01d0 xexnexxnxn 01d xexnxn1 nIn 00d xeIx 0 xe1 0!InIn !n (P256 題題3)二二. 兩個(gè)基本應(yīng)用兩個(gè)基本應(yīng)用 (約約 24 % )1. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (約約 16 % )主要題型主要題型 (1) 導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用(2) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)形態(tài)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)形態(tài)(3) 求解最值問題求解最值問題(4) 利用導(dǎo)數(shù)證明恒等式利用導(dǎo)數(shù)證明恒等式(5) 利用單調(diào)性證明不等式利用

17、單調(diào)性證明不等式例例1. 設(shè)函數(shù))(xf在定義域內(nèi)可導(dǎo),)(xfy 的圖形如右圖所示, 則導(dǎo)函數(shù)的圖形為 . (2001考研考研)(A)(B)(C)(D提示提示:)(xf)(xf在某區(qū)間I 內(nèi)可導(dǎo), 則在I 內(nèi)0)( xfx是)(xf的極值點(diǎn)0)(xfD例題分析例題分析ln)1ln()()(1xxxfxf例例2. 證明在xxxf)1 ()(1),0(上單調(diào)增加.證證:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故當(dāng) x 0 時(shí),0)(

18、xf從而)(xf在),0(上單調(diào)增.得(L.P95 例4) , )0(1111ln)( xxxxf例例3. 證明當(dāng)證明當(dāng) x 0 時(shí)時(shí),證法證法1: 設(shè)設(shè)則則2)1(1)(xxxf )0(0 x,)(單單調(diào)調(diào)遞遞降降xf0)(lim)( xfxfx .1111lnxx 故故 xxx 1111ln,0時(shí)時(shí)從而從而證法證法2:當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), xxxln)1ln(11ln )10(1 xx x 11在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,得.)1ln(1,0 xxxxx 時(shí)時(shí)例例4. 證明證明:證證:1ln)1ln()1ln( xx)0(1xx )0(11 xxxxx 即即 xxxx )1l

19、n(1（P130 例例1）例例5. 證明當(dāng)證明當(dāng).11,10 xexx 時(shí)時(shí)01 xxexe證證: 歸結(jié)為證歸結(jié)為證 1)( xxexexf設(shè)設(shè))1, 0(, 0)( xexxfx則則,)1 , 0()(上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減在在故故xf,)1 , 0(時(shí)時(shí)因因此此 x即即 01 xxexexex 11從而從而,11)(xexfx 若若設(shè)設(shè),)1(1)(2xexfx 則則在在(0,1)上不好判別正負(fù)號(hào)上不好判別正負(fù)號(hào) ,0)0()( fxf提示提示: 證明證明 f (0) 是是 f (x) 在在( , 1) 上的最大值上的最大值. )(xf說明說明: 若改為證明當(dāng)若改為證明當(dāng) x 1 時(shí)時(shí), ,

20、11xex 如何證明如何證明? 例例5. 設(shè)設(shè).1)1(21:, 1,0,11 pppxxxp證證明明,)1()(ppxxxf 證證: 設(shè)設(shè),1,0)(Cxf 則則且且1)1()0( ff, 0)1 ()(11ppxppxxf令21 x得得 12121 pf 比較比較 , 可知可知, 11 , 021)(min21 pxff 1)(max01 , 0 xff故不等式成立故不等式成立 .xaxxf ln)(有兩個(gè)根有兩個(gè)根 ;例例6. 討論方程討論方程)0(ln axax有幾個(gè)實(shí)根有幾個(gè)實(shí)根.解解: 設(shè)設(shè),ln)(xaxxf 令令,0)(1 axfx得得ax1 x)(xf)(xf a1),( a

21、1),0(a101ln a (最大值最大值)注意注意,)0( f,)( f因此因此當(dāng)當(dāng)ea10 時(shí)時(shí),0)(1 af當(dāng)當(dāng)ea1 時(shí)時(shí),0)(1 af只有一個(gè)根；只有一個(gè)根；當(dāng)當(dāng)ea1 時(shí)時(shí),0)(1 af無實(shí)根無實(shí)根 .(P151 題題5)例例7. 求雙曲線1yx的曲率半徑 R, 并分析何處 R 最小?解解:,12xy ,23xy 則 R23)1(2y y 234)1(1x 32x232)(1221xx 利用baba222 2 .21為最小值為最小值顯然顯然 xR11yoxArDEBh例例8. 求內(nèi)接于半徑為求內(nèi)接于半徑為R 的球內(nèi)的正圓錐體的最大體積的球內(nèi)的正圓錐體的最大體積.解解: 設(shè)錐體

22、的底半徑為設(shè)錐體的底半徑為 r, 高為高為 h , 如圖如圖 因因 ADB BDE, 所以所以,2rhRhr )2(2hRhr 即即圓錐體體積圓錐體體積 hrV231 , )2(231hRh Rh20 , )34()(3hRhhV hhVR 2)(34 )(0,0)(34舍舍去去得得令令 hRhhV,0)(3434 RRV 又又Rh34 為極大值點(diǎn)為極大值點(diǎn) 在在 (0, 2R) 內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)內(nèi)只有唯一駐點(diǎn), 且為極大值點(diǎn)且為極大值點(diǎn), 故為最大故為最大 值點(diǎn)值點(diǎn), 最大值為最大值為 3813234)(RRV 2. 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 (約約 8% )(1) 利用定積分計(jì)算面積利用定積

23、分計(jì)算面積直角坐標(biāo)方程參數(shù)方程 極坐標(biāo)方程(2) 利用定積分計(jì)算弧長及旋轉(zhuǎn)體體積利用定積分計(jì)算弧長及旋轉(zhuǎn)體體積(3) 定積分的物理應(yīng)用定積分的物理應(yīng)用(4) 有關(guān)定積分的證明題有關(guān)定積分的證明題主要題型主要題型例題分析例題分析例例1. 求曲線求曲線解解: 設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為, ),(00 xex則切線方程為則切線方程為 0 xey)(00 xxex 令令,0 yx得得, 10 x 10Sxe xxed xey 與其通過原點(diǎn)的切線及與其通過原點(diǎn)的切線及 y 軸所圍圖形軸所圍圖形 的面積的面積. 故所求面積為故所求面積為 01212xeex 121 ee121 exey 例例2. 求曲線求曲線解解:

24、 022xdexVx xeV22 2x x 21 列表列表 :2xxe2x220 xe221xe241xe281 04 )0( xexyx繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積. 例例3. 求拋物線求拋物線xy42 解解:xoxy42xy y與直線與直線xy 所圍的圖形繞所圍的圖形繞 y 軸軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積. 44yyyd)(22412 40Vyyyd1614402 4053516131yy 15128 例例4. 求由圓求由圓yyx222 解解: 圓的方程為圓的方程為圍成的平面圖形繞圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積一周形成的旋

25、轉(zhuǎn)體體積. yxyd22 1)1(22 yx 20Vtytxsin1,cos 即即o2yxytttdcos)sin1(4222 利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”2218 22 例例5. 證明提示提示: 令令0sin)()(2 xxxxfn, 得得 x = 1, 0,判別判別 x = 1 為為 f (x) 在在,0 上的唯一極大點(diǎn)上的唯一極大點(diǎn) , 故故)(max)1(,0 xff 則則)1()(fxf ttttndsin)(102 tdtttn)(102 ,0 x時(shí)時(shí))3)(2(1 nn, 0時(shí)時(shí) x)3)(2(1dsin)()(02 nnttttxfnx例例6. 求拋物線求拋物線21xy 在在(

26、0,1) 內(nèi)的一條切線內(nèi)的一條切線, 使它與使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解: 設(shè)拋物線上切點(diǎn)為設(shè)拋物線上切點(diǎn)為)1,(2xxM 則該點(diǎn)處的切線方程為則該點(diǎn)處的切線方程為)(2)1(2xXxxY 它與它與 x , y 軸的交點(diǎn)分別為軸的交點(diǎn)分別為, )0,21(2xxA )1,0(2 xB所求面積所求面積 )(xSxx2)1(2122 102d)1(xx324)1(22 xx11MBAyxo)(xS)13()1(22412 xxx,33 x0)( xS,33 x0)( xS且為最小點(diǎn) . 故所求切線為34332XY,0)( xS令令得 0 , 1

27、 上的唯一駐點(diǎn)33 x, 1 , 0)(33上的唯一極小點(diǎn)在是因此xSx 11MBAyxo三三. 一個(gè)基本理論一個(gè)基本理論 有關(guān)中值的問題有關(guān)中值的問題 (約約 5% )主要題型主要題型(1) 討論函數(shù)的零點(diǎn)問題或方程根的問題討論函數(shù)的零點(diǎn)問題或方程根的問題存在性存在性唯一性唯一性 常用常用介值定理介值定理 ; 羅爾定理羅爾定理 利用利用單調(diào)性單調(diào)性 ; 反證法反證法(2) 利用微分和積分利用微分和積分中值定理中值定理證明等式或不等式證明等式或不等式例例1. 敘述拉格朗日中值定理并證明之?dāng)⑹隼窭嗜罩兄刀ɡ聿⒆C明之.提示提示: 利用逆向思維設(shè)出滿足利用逆向思維設(shè)出滿足羅爾定理羅爾定理的輔助函數(shù)的輔助函數(shù) .例題分析例題分析例例2. 設(shè)常數(shù)ba,至少有一正根 , 且不超過bxaxsin.ba證證: 設(shè)bxxxxfsin)(, 則0)0( bf均為正值,證明方程bbaababaf)sin()()sin(1 baa若, 1)sin(ba則0)(bafbax0為一